Bài giảng Toán cao cấp: Phép tính vi tích phân hàm nhiều biến - Nguyễn Văn Phong

PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

Nguyễn Văn Phong

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 30

Toán cao cấp - MS: MAT1006

NỘI DUNG

1 HÀM NHIỀU BIẾN

2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

3 ĐẠO HÀM RIÊNG - GRADIENT

4 VI PHÂN

5 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN

6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

1 / 30

Hàm nhiều biến

Định nghĩa Một hàm nhiều biến f là một quy tắc

f : D ⊂ Rn → R

(x1, x2, . . . , xn) (cid:55)→ z = f (x1, x2, . . . , xn)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

2 / 30

Ví dụ về hàm hai biến

Đồ thị

Định nghĩa Nếu f là hàm hai biến xác định trên miền D thì đồ thị của f được định nghĩa là tập hợp các điểm (x, y , z) trong R3 sao cho z = f (x, y ) và (x, y ) ∈ D

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

3 / 30

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

4 / 30

Giới hạn hàm hai biến

Định nghĩa Cho hàm f xác định trên D ⊂ R2, và (a, b) ∈ D. Khi đó, ta nói giới hạn của f (x, y ) khi (x, y ) tiến về (a, b) là L, ta viết

f (x, y ) = L lim (x,y )→(a,b)

nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho, nếu

(x, y ) ∈ D và 0 < (cid:112)(x − a)2 + (y − b)2 < δ,

thì

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

5 / 30

|f (x, y ) − L| < ε

Chú ý

f (x) = L. Với x = (x, y ), a = (a, b), thì lim x→a

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

6 / 30

|f (x, y ) − L| là khoảng cách từ f (x, y ) tới số L (cid:112)(x − a)2 + (y − b)2 là khoảng cách từ x tới a

Hàm liên tục

Định nghĩa Hàm hai biến f được gọi là liên tục tại điểm (a, b) nếu

f (x, y ) = f (a, b) lim (x,y )→(a,b)

Ta nói, f liên tục trên D, nếu nó liên tục tại mọi (a, b) thuộc D

Ví dụ. Xét sự liên tục của hàm số

  (x, y ) (cid:54)= (0, 0) f (x, y ) =

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

7 / 30

 3x 2y x 2 + y 2 , 0, (x, y ) = (0, 0)

Giới hạn và liên tục hàm nhiều biến

Với, x = (x1, x2, . . . , xn), a = (a1, a2, . . . , an), ta có

Định nghĩa Hàm f xác định trên D ⊂ Rn. Khi đó

i) Ta nói giới hạn của f , khi x tiến về a là L,

nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 : (∀x ∈ D) ∧ (0 < |x − a| < δ)

thì

|f (x) − L| < ε

ii) Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

8 / 30

f (x) = f (a) lim x→a

Đạo hàm riêng - Gradient

fx(x, y ) = lim ∆x→0

fy (x, y ) = lim ∆y →0

Định nghĩa Cho f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của f là các hàm hai biến fx và fy được định nghĩa như sau: f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∆x f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) ∆y

Nếu cả hai đạo hàm riêng đều tồn tại thì gradient của f là hàm vector ∇f (hoặc gradf ) được định nghĩa:

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

9 / 30

gradf (x, y ) = ∇f (x, y ) = (fx(x, y ), fy (x, y )) = fxi + fy j Với i = (1, 0) và j = (0, 1)

Một vài ký hiệu

f (x, y ) = = = Dxf fx(x, y ) = fx =

f (x, y ) = = fy (x, y ) = fy = = Dy f Đạo hàm riêng của z = f (x, y ) có thể ký hiệu: ∂f ∂x ∂f ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y

Để tìm fx, xem y là hằng số và lấy đạo hàm theo x Để tìm fy , xem x là hằng số và lấy đạo hàm theo y

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

10 / 30

. Tìm ∇f (π, 1). Ví dụ. 1. f (x, y ) = x 3 − sin(x + y 2) + xy 5. Tìm fx(π, 0), fy (π, 0) y 2. f (x, y ) = x sin x x 1 + y 2 +

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

11 / 30

Ví dụ

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

12 / 30

Với f (x, y ) = 4 − x 2 − 2y 2 thì fx = −2x, fy = −4y và fx(1, 1) = −2, fy (1, 1) = −4. Các đường cong và tiếp tuyến tương ứng như hình vẽ

Mặt phẳng tiếp xúc

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = f (x, y ) tại điểm (a, b, f (a, b)) là:

z − f (a, b) = fx(a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

13 / 30

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt z = 2x 2 + y 2 tại điểm (1, 1, 3)

Đạo hàm riêng hàm nhiều biến Cho hàm f (x1, x2, . . . , xn). Khi đó, đạo hàm riêng của f theo biến thứ i, được định nghĩa là:

= lim ∆xi →0

∂f ∂xi

f (x1, . . . , xi + ∆xi , . . . , xn) − f (x1, . . . , xi , . . . , xn) ∆xi

Đạo hàm riêng theo biến thứ i cũng được ký hiệu là:

= fxi = Dxi f ∂f ∂xi

Vector Gradient

Nếu mọi fxi tồn tại thì ∇f = (fx1, fx2, . . . , fxn)

Ví dụ. Cho f (x, y , z) = ex sin y ln(x 2 + z). Tìm

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

14 / 30

∇f (x, y , z) và ∇f (1, 0, 0)

Đạo hàm riêng cấp cao

(cid:19)

= lim ∆x→0 (cid:19)

= lim ∆y →0

(cid:17)

fx (x + ∆x, y ) − fx (x, y ) ∆x fy (x + ∆x, y ) − fy (x, y ) ∆y fy (x + ∆x, y ) − fy (x, y ) ∆x = lim ∆x→0 (cid:19) = = lim ∆y →0 fx (x + ∆x, y ) − fx (x, y ) ∆y ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

15 / 30

Cho hàm hai biến f (x, y ), giả sử các đạo hàm riêng cấp một fx và fy khả vi. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của f được định nghĩa bởi (cid:18)∂f ∂2f ∂x 2 = ∂x (cid:18) ∂f ∂2f ∂y 2 = ∂y ∂2f (cid:16) ∂f = ∂y ∂x∂y (cid:18)∂f ∂2f ∂y ∂x ∂x Ví dụ. Tìm fxx, fyy , fxy , fyx của f (x, y ) = x 3 + x 2y 3 − 2y 2

Một số kết quả

Định lý (Clairaut’s - Young’s)

Giả sử f xác định trên D chứa điểm (a, b). Nếu các hàm số fxy và fyx đều liên tục trên D, thì

fxy (a, b) = fyx(a, b)

Phản ví dụ. Cho

  nếu (x, y ) (cid:54)= (0, 0) f (x, y ) =

 x 3y − xy 3 x 2 + y 2 0 nếu (x, y ) = (0, 0)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

16 / 30

CMR fxy (0, 0) (cid:54)= fyx(0, 0)

Tính khả vi

Định nghĩa Hàm z = f (x, y ) gọi là khả vi tại (a, b) nếu ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b)

có thể viết dưới dạng

∆z = fx(a, b)∆x + fy (a, b)∆y + ε(cid:112)(∆x)2 + (∆y )2

Trong đó ε → 0 khi (∆x, ∆y ) → (0, 0)

Để kiểm tra tính khả vi, ta dùng định lý sau:

Định lý Nếu các đạo hàm riêng fx và fy tồn tại quanh điểm (a, b) và liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

17 / 30

Tính khả vi

Tính chất hàm khả vi

Nếu f khả vi tại (a, b) thì f liên tục tại (a, b)

Xấp xỉ tuyến tính (tiếp diện)

Xấp xỉ tuyến tính của f tại (a, b) là hàm

L(x, y ) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

18 / 30

Ví dụ. Cho f (x, y ) = xexy . Tìm xấp xỉ tuyến tính của f tại điểm (1, 0). Tính xấp xỉ f (0.95, 0.1)

Vi phân

Định nghĩa 1) Vi phân toàn phần cấp 1 của f (x, y ) là

df = fx(x, y )dx + fy (x, y )dy

2) Vi phân toàn phần cấp 2 của f (x, y ) là

d 2f = fxx(x, y )(dx)2+2fxy (x, y )dxdy +fyy (x, y )(dy )2

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

19 / 30

Trong đó, df (x, y ) = f (x + ∆x, y + ∆y ) − f (x, y ) Ví dụ. Cho f (x, y ) = ex sin(2x + 3y ). a) Tìm df (0, 1) và d 2f (0, 1) b) Tính xấp xỉ f (−0.01, 0.98)

Cực trị hàm hai biến

Định nghĩa Cho f xác định trên một lân cận của (a, b), N(a,b). Khi đó

1) Nếu ∀(x, y ) ∈ N(a,b) : f (x, y ) (cid:62) f (a, b) thì (a, b)

được gọi là cực tiểu địa phương của f .

2) Nếu ∀(x, y ) ∈ N(a,b) : f (x, y ) (cid:54) f (a, b) thì (a, b)

được gọi là cực đại địa phương của f .

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

20 / 30

Điểm (a, b) còn được gọi là cực trị địa phương của f

Cực trị hàm hai biến

Cực trị toàn cục (Max, Min)

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

21 / 30

Nếu f (x, y ) đạt cực trị trên D, với D là miền xác định, thì (a, b) được gọi là cực trị toàn cục của f hay f đạt giá trị lớn nhất, (nhỏ nhất) tại (a, b)

Điều kiện cần

Định lý Nếu f đạt cực trị địa phương tại (a, b) và các đạo hàm riêng cấp một của f tồn tại, thì

fx(a, b) = 0 và fy (a, b) = 0

Nhân xét.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

22 / 30

Điểm (a, b) được gọi là điểm dừng của f . Chiều ngược lại của định lý không đúng.

Ví dụ

⇒

Ví dụ 1. Cho f (x, y ) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14

(cid:26) x = 1 y = 3

(cid:26) fx = 2x − 2 = 0 fy = 2y − 6 = 0

Ta có

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

23 / 30

Nên f có một điểm dừng là (1, 3) Do f (x, y ) = 4 + (x − 1)2 + (y − 3)2 ≥ 4 = f (1, 3) với mọi x, y , nên f đạt cực tiểu tại (1, 3)

Ví dụ

Ta có fx = −2x; fy = 2y nên f có một điểm dừng là (0, 0).

Mặt khác f (x, 0) = −x 2 < 0, x (cid:54)= 0; f (0, y ) = y 2 > 0, y (cid:54)= 0.

Trên N(0,0), theo phương Ox hàm f cực đại, theo phương Oy hàm f cực tiểu.

Ví dụ 2. Cho f (x, y ) = y 2 − x 2

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

24 / 30

Do đó điểm (0, 0) không là cực trị của f .

Điều kiện đủ

Định lý Nếu các đạo hàm riêng cấp hai của f (x, y ) tồn tại trên N(a,b) và fx(a, b) = 0, fy (a, b) = 0. Ta đặt

∆ = fxx(a, b)fyy (a, b) − [fxy (a, b)]2 = fxx fyx fxy fyy (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

a. Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) > 0 thì (a, b) là cực tiểu b. Nếu ∆ > 0 và fxx(a, b) < 0 thì (a, b) là cực đại c. Nếu ∆ < 0 thì (a, b) là điểm yên ngựa

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

25 / 30

Chú ý. Trong trường hợp ∆ = 0 thì (a, b) có thể là cực đại, có thể là cực tiểu, cũng có thể là điểm yên ngựa.

Ví dụ

Tìm các cực trị (địa phương) của hàm số:

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

26 / 30

1. f (x, y ) = x 4 + y 4 − 4xy + 1 2. f (x, y ) = x 3 + y 3 + 3x 2y − 15y + 1

Cực trị có điều kiện

Bài toán

Tìm cực trị của hàm f (x, y ) thoả mãn g (x, y ) = 0

Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 1. (Chuyển về bài toán một biến)

Bước 1. Từ ràng buộc g (x, y ) = 0, ta tìm x = ϕ (y ) hay y = ψ (x).

Bước 2. Thay x = ϕ (y ) hay y = ψ (x) vào hàm f ,

ta được hàm một biến theo y (hay theo x).

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

27 / 30

Ví dụ. Khảo sát cực trị của f (x, y ) = 2x 2 − 6y 2 với ràng buộc x + 2y = 6

Cực trị có điều kiện

Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 2. (Nhân tử Lagrange) Bước 1. Lập hàm Lagrange

L(x, y , λ) = f (x, y ) + λg (x, y )

Bước 2. Tìm các điểm dừng

  ⇒ (x0, y0, λ)

 Lx (x, y , λ) = 0 Ly (x, y , λ) = 0 Lλ (x, y , λ) = 0

Bước 3. Tính

Toán cao cấp - MS: MAT1006

GIẢI TÍCH

28 / 30

dg (x0, y0) = gx(x0, y0)dx + gy (x0, y0)dx và cho dg (x0, y0) = 0. Ta tìm được biểu thức liên hệ giữa dx và dyNguyễn Văn Phong (BMT - TK)

Cực trị có điều kiện

Phương pháp tìm CT có điều kiện Phương pháp 2. (Nhân tử Lagrange)

Bước 4. Kiểm tra điều kiện cực trị

Tính d 2L(x0, y0) vi phân toàn phần cấp hai của L Nếu d 2L(x0, y0) > 0 thì (x0, y0) là cực tiểu Nếu d 2L(x0, y0) < 0 thì (x0, y0) là cực đại

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

29 / 30

Trường hợp d 2L(x0, y0) = 0 thì (x0, y0) có thể là cực tiểu, cực đại

Ví dụ.

Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)

GIẢI TÍCH

Toán cao cấp - MS: MAT1006

30 / 30

Tìm cực trị của f (x, y ) = x 2 + 2y 2 1. Trên đường tròn x 2 + y 2 = 1 2. Trên hình tròn x 2 + y 2 ≤ 1