Bài giảng Toán rời rạc - Phần 2: Vị từ và lượng từ (TS. Nguyễn Viết Đông)

ị ừ

ừ

Ph n IIầ ượ và l

V t

ng t

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ị

• Đ nh nghĩa:

ớ

ộ ậ ỗ x = a (cid:0)

ế

ộ

ợ ả ỗ Cho A là m t t p h p khác r ng. Gi ệ ử ứ ộ A ta có m t m nh s , ng v i m i ộ ị ừ đ ề p(a). Khi đó, ta nói p = p(x) là m t v t ị theo m t bi n (xác đ nh trên

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ị

• Đ nh nghĩa: ổ

ả ử ằ

T ng quát, cho ố

ệ

ộ

theo

ế

ị

A1, A2, A3…là n t p ậ ợ ứ ớ ỗ h p khác tr ng. Gi s r ng ng v i m i ... (cid:0) An, (x1,x2,.,xn) = (a1,a2,.,an) (cid:0) A1(cid:0) A2(cid:0) ề p(a1,a2,.,an). Khi đó ta ta có m t m nh đ ị ừ ộ n nói p = p(x1,x2,.,xn) là m t v t ... (cid:0) An) bi n(xác đ nh trên

A1(cid:0) A2(cid:0)

Predicates and Quantifiers

Propositional functions or predicates are propositions which contain variables Example Let P denote the Predicate “is greater than 0” and P(x) denote “x > 0” x is called a variable

The predicate become a proposition once the variable x has been assigned a value. Example What is the truth value of p(5), p(0) and p(2)? “5>0” is true, “0>0” is false and “2>0” is false

ượ

ừ

ị ừ

ng t

và l

ế

ị

m t bi n xác đ nh

ậ

V t • Ví d 1:ụ Xét p(n) = “n > 2” là m t v t ố ự trên t p các s t

nhiên

ộ ị ừ ộ N.

ượ

ệ

ớ n = 3; 4 ta đ

ượ

ề

ề c các m nh đ đúng ệ c m nh đ sai

ấ Ta th y v i p(3), p(4), còn v i ớ n = 0,1 ta đ p(0), p(1).

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

• Ví d 2ụ

ộ ị ừ

Xét p(x,y) = “x2 + y = 1” là m t v t

ị

ề

ệ

ộ

theo hai ệ ộ R2, ta th y ấ p(0,1) là m t m nh p(1,1) là m t m nh đ sai.

ế bi n xác đ nh trên ề đ đúng, trong khi

Examples

Example: Let Q(x,y) denote the statement “y =x + 2”. What is the truth value of Q(2,4,) and Q(4, 1) “4 = 2+2” is true and “1 = 4+2” is false

Q(2,y) (cid:0) (cid:0) Q(0,3) is a proposition??? Q(1,3) (cid:0) (cid:0) Q(0,1) is a proposition ???

Q(2,y) (cid:0) (cid:0) Q(0,3) is not a proposition: y is not bounded Q(1,3) (cid:0) (cid:0) Q(0,1) is a proposition which is true

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ướ

ị ừ

• Đ nh nghĩa: Cho tr

c các v t

p(x), q(x) theo

(cid:0)

ệ

ầ ử ố ị (cid:0) p(x) là v t ị ừ ủ c đ nh c a A thì ta đ mà ượ c

ị A. Khi y,ấ ế ộ m t bi n x – Ph đ nh c a v t ủ ị ừ p(x) kí hi u là ủ ị ở ộ khi thay x b i m t ph n t ề (cid:0) (p(a)) m nh đ ố ề ươ ứ

– Phép n i li n(t

ệ

ượ ệ

ệ ề ủ ố ờ ng ng n i r i, kéo theo …) c a p(x) (cid:0) q(x)( t ứ ươ ng ng là c ký hi u b i p(x) ế theo bi n x mà khi thay x c m nh đ

ầ ử ố ị ươ ứ ở và q(x) đ p(x)(cid:0) q(x), p(x)(cid:0) q(x)) là v t ị ừ ở b i ph n t p(a)(cid:0) q(a) ( t ủ c đ nh a c a A ta đ ng ng là p(a) ượ (cid:0) q(a), p(a)(cid:0) q(a))

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

• Đ nh nghĩa:

ị ế theo m t bi n xác đ nh trên A. Ta

ệ

ộ ừ hóa c a p(x) nh sau:

ệ

ủ ệ

ị ọ

A .

ệ

ề

ạ

ấ

ồ

ư ở (cid:0) x (cid:0) A, p(x)”, ỉ A, p(x)” đúng khi và ch khi (cid:0)

ệ

ở

ộ ấ ề ượ A, p(x)” , là m nh đ đ ộ

ị ị

ấ

ỉ

ộ i(ít nh t )(hay có (ít nh t) m t x thu c A, (cid:0) x (cid:0) ệ c đ nh b i A, p(x)” đúng khi và ch khi có ít nh t m t giá tr x = a0

ị ộ ị ừ Cho p(x) là m t v t ệ ị ề ượ đ nh nghĩa các m nh đ l ng t – M nh đ “V i m i x thu c A,p(x)”, kí hi u b i “ ớ ề ộ ọ ở (cid:0) x (cid:0) ề ượ là m nh đ đ c đ nh b i “ ị ớ p(a) luôn đúng v i m i giá tr a – M nh đ “T n t ở

p(x))” kí hi u b i :“ “(cid:0) x (cid:0) ệ nào đó sao cho m nh đ p(a0) đúng. ừ hóa ứ

ệ ở ng t

ệ ị ề trên đ u là các ị ừ

ề ề ượ • Chú ý: Các m nh đ l ị ề m nh đ có chân tr xác đ nh ch không còn là các v t ế theo bi n x n a.

ữ

Universe of Discourse

Question Let R be the threevariable predicate R(x,y,z): x+y = z Find the truth value of R(2,1,5), R(3,4,7) R(x,3,z)

A universe of discourse (U) is a domain for the variables of a propositional function.

Example Let U = Z, the integers = {…, 2, 1, 0, 1, 2, …}

Universal quantifier

P(1) (cid:0) P(2) (cid:0) P(3)

The Universal Quantifier of P(x): is the proposition “P(x) is true for every x in the universe of discourse” Notation: (cid:0) x P(x) `For all x, P(x)’ `For every x, P(x)’ Example: U = {1, 2, 3} (cid:0) x P(x) (cid:0) Example What is the truth value of (cid:0) x P(x) if P(x) is “3x <10”and U is positive integers not exceeding 4

P(1) (cid:0) P(2) (cid:0) P(3) (cid:0) P(4) is false

Existential quantifier

The Existential Quantifier of P(x): is the proposition “P(x) is true for some x in the universe of discourse” Notation: (cid:0) x P(x) ‘For some x P(x)’ ‘For at least an x in P(x)’

P(1) (cid:0) P(2) (cid:0) P(3)

Example: U = {1, 2, 3}, (cid:0) x P(x) (cid:0) Example What is the truth value of (cid:0) x P(x) if P(x) is “3x <10”and U is positive integers not exceeding 4

P(1) (cid:0) P(2) (cid:0) P(3) (cid:0) P(4) is True

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

0” laø R, x2 + 3x + 1 (cid:0)

ệ

toàn taïi x0 = 1 (cid:0)

R maø x02 + 3x0 + 1 (cid:0) 0

ề M nh đ sai vì

2) Meänh ñeà “(cid:0) x (cid:0)

0” là moät meänh ñeà ñuùng hay sai?

R, x2 + 3x + 1 (cid:0)

R maø x02 + 3x0 + 1 (cid:0)

Meänh ñeà ñuùng vì toàn taïi x0 = –1 (cid:0) 0.

1) Meänh ñeà “(cid:0) x (cid:0) moät meänh ñeà sai hay đúng ?

ượ

ị ừ

ừ

và l

ng t

2x” laø moät

V t Meänh ñeà “(cid:0) x (cid:0) R, x2 + 1 (cid:0) meänh ñeà ñuùng hay sai?

R, , ta luoân

ệ

vì vôùi (cid:0) x (cid:0)

R, x2 + 1 < 0” laø moät

ề M nh đ đúng luoân coù x2-2x + 1 (cid:0) 0 M nhệ ñeà “(cid:0) x (cid:0) meänh ñeà đúng hay sai?

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

• Đ nh nghĩa: Cho p(x, y) laø moät vò töø theo hai bieán x, y xaùc ñònh treân A(cid:0) B. Ta ñònh nghóa caùc meänh ñeà löôïng töø hoùa cuûa p(x, y) nhö sau:

ị

A,(cid:0) y (cid:0) B, p(x, y)” = “(cid:0) x (cid:0) A, ((cid:0) y (cid:0) B,

A, (cid:0) y (cid:0) B, p(x, y)” = “(cid:0) x (cid:0) A, ((cid:0) y (cid:0) B,

“(cid:0) x (cid:0) p(x, y))” “(cid:0) x (cid:0) p(x, y))” “(cid:0) x (cid:0) p(x, y))” “(cid:0) x (cid:0) p(x, y))”

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

Xeùt vò töø p(x, y) = “x + 2y < 1” theo hai bieán x, y xaùc ñònh treân R2

ệ M nh đ “ ề (cid:0) x (cid:0) R, x + 2y < 1” đúng hay sai? R, (cid:0) y (cid:0)

(cid:0) ồ ạ ệ ề M nh đ sai vì t n t i x0 = 0, y0 = 1 1. R mà x0 + 2y0 (cid:0)

ệ M nh đ “ ề (cid:0) x (cid:0) R, (cid:0) y (cid:0) R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

(cid:0) (cid:0) ệ ề ớ ỗ ồ ạ i ya R, t n t R như

M nh đ đúng vì v i m i x = a ya = –a/2, sao cho a + 2ya < 1.

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ệ M nh đ “ ề (cid:0) x (cid:0) R, (cid:0) y (cid:0) R, x + 2y < 1” đúng hay sai

(cid:0) ề ệ ể

(cid:0) c th a v i m i y

ọ ấ ẳ ượ ể ỏ ể ấ ẳ ứ R đ b t đ ng th c M nh đ sai vì không th có x = a ạ ẳ ỏ ớ a + 2y < 1 đ R (ch ng h n, y =–a/2 + ứ 2 không th th a mãn b t đ ng th c này)

ệ M nh đ “ ề (cid:0) x (cid:0) R, (cid:0) y (cid:0) R, x + 2y < 1” đúng hay sai?

(cid:0) ồ ạ ạ ẳ i x0 = 0, y0 = 0 R ch ng h n,

ệ ỏ

ề M nh đ đúng vì t n t th a mãn x0 + 2y0 < 1.

Translate into English

Example Translate the statement (cid:0) x(C(x) (cid:0) (cid:0) y(C(y) (cid:0) F(x,y))) into English Where C(x) is “x has a computer” F(x,y) is “x and y are friends” and U is x and y are students in your school

For every student x in your school x has a computer or there is a student y such that y has a computer and x and y are friends.

Example

False

True

Example:Let U = R, the real numbers. P(x,y): xy = 0 (cid:0) x(cid:0) y P(x,y) (cid:0) x (cid:0) y P(x,y) (cid:0) x (cid:0) y P(x,y) (cid:0) x (cid:0) y P(x,y)

True True

Example: Let U={1, 2, 3}. Find an expression equivalent to (cid:0) x (cid:0) y P(x,y) where the variables are bound by substitution instead:

Solution: (cid:0) y P(1,y) (cid:0) (cid:0) y P(2,y) (cid:0) (cid:0) y P(3,y) (cid:0) [P(1,1) (cid:0) P(1,2) (cid:0) P(1,3)] (cid:0) [P(2,1) (cid:0) P(2,2) (cid:0) P(2,3)] (cid:0) [P(3,1) (cid:0) P(3,2) (cid:0) P(3,3)]

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

Cho p(x, y) laø moät vò töø theo hai bieán x, y xaùc ñònh treân A(cid:0) B. Khi ñoù: 1) “(cid:0) x (cid:0)

B, p(x, y)”

A, (cid:0) y (cid:0)

“(cid:0) y (cid:0)

B, (cid:0) x (cid:0)

A, p(x, y)”

2) “(cid:0) x (cid:0)

A, (cid:0) y (cid:0)

B, p(x, y)”

(cid:0)

“(cid:0) y (cid:0)

B, (cid:0) x (cid:0)

A, p(x, y)”

3) “(cid:0) x (cid:0)

A, (cid:0) y (cid:0)

B, p(x, y)”

(cid:0)

“(cid:0) y (cid:0)

B, (cid:0) x (cid:0)

A, p(x, y)”

Chieàu ñaûo cuûa 3) noùi chung khoâng ñuùng.

(cid:0)

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

B, p(x, y)” là đúng.

A sao cho “(cid:0) y (cid:0)

B, p(x,

ồ ạ

A, (cid:0) y (cid:0) i a

(cid:0)

ế ư ậ

ấ ỳ B b t k thì ọ ỳ B tu ch n thì

ể (cid:0) x (cid:0)

ọ

A, p(x, y)” là

B, (cid:0) x (cid:0)

21 A, p(x, y)” là m nh ệ

ứ • Ch ng minh 3) ả ử (cid:0) x (cid:0) s “ Gi Khi đó, t n t y)” là đúng, nghĩa là n u thay y = b p(a,b) đúng. Nh v y, y = b ta ể có th ch n x = a đ “ đúng. Do đó, “(cid:0) y (cid:0) đề

đúng.

(cid:0)

ắ

•

ế

ọ

ư ả ủ Ví d th hi n chi u đ o c a 3 là ch a ch c đúng: ự theo 2 bi n th c

ề ụ ể ệ ị ừ G i p(x,y) là v t p(x,y) = “x + y = 1”,

•

ể

ế

A, p(x, y) là đúng.

ề “(cid:0) y(cid:0)

B, (cid:0) x (cid:0)

A, p(x, y)” là

•

ể ọ

ọ

ỳ i, n u ch n x = a tu ý, ta có th ch n

B, p(x, y)” là sai. A, (cid:0) y (cid:0) ỏ (cid:0) x (cid:0) , “

B, p(x, y)” là

•

B, (cid:0) x (cid:0)

A, (cid:0) y (cid:0)

A, p(x, y)” -> “(cid:0) x (cid:0) 22

ỳ N u thay y tu ý thì x = 1 y đ cho x + y = 1 ề (cid:0) x (cid:0) ệ nên m nh đ ệ Nên m nh đ đúng. ế ượ ạ c l Ng y = a đ “ể (cid:0) y (cid:0) ứ ề Đi u này ch ng t sai. Do đó, phép kéo theo sau là sai: “(cid:0) y (cid:0) B, p(x, y)”

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

•

ộ

ệ

hoá t

ừ ộ m t ế theo nhi u bi n đ c l p, n u ta

ươ ượ

ươ ừ

ế

ệ

ượ

ẽ 2. M nh đ m i này s là m t h qu logic c khi

ả ừ ướ tr

ộ ệ ng t

ề ượ ừ Trong m t m nh đ l ng t ề ế ị ừ ộ ậ v t ượ ạ ừ ứ ị ng t hoán v hai l đ ng c nh nhau thì: ề ớ ẫ ệ ng logic ng đ 1. M nh đ m i v n còn t ề ớ v i m nh đ cũ n u hai l này cùng ng t lo iạ . ệ ề ớ ề ệ ủ c a m nh đ cũ n u hai l ạ ị hoán v có d ng

ế (cid:0)

(cid:0)

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ị

)

(

�

" $

�� x A p x , )

Đ nh lý: a) Vôùi p(x) laø moät vò töø theo moät bieán xaùc ñònh treân A, ta coù: x A p x , )

(

�

�� x A p x ,

x A p x ,

,...,

( ( b) Phuû ñònh cuûa meänh ñeà löôïng töø hoùa töø vò töø p(x1, x2, ..., xn) coù ñöôïc baèng caùch thay löôïng töø (cid:0) baèng löôïng töø (cid:0) vaø ngöôïc laïi, vaø thay vò töø p(x1, x2, ..., xn) baèng vò töø . ) x n

$ "

( p x x 1 2

Negation

(cid:0) x (cid:0) P(x) (cid:0) x (cid:0) P(x)

(cid:0) x P(x) (cid:0) (cid:0) x P(x) (cid:0)

Equivalence involving the negation operator (cid:0) (cid:0) Multiple Quantifiers: read from left to right

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

“Hoâm nay, coù (ít nhaát) moät sinh vieân lôùp TH1vaéng maët”.

Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “Trong lôùp TH2coù (ít nhaát moät) sinh vieân ñöôïc thöôûng” laø gì?

“Trong lôùp TH2khoâng coù sinh vieân naøo ñöôïc thöôûng”.

Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “Hoâm nay, moïi sinh vieân lôùp TH1ñeàu coù maët” laø gì ?

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

A, 2x + 1 > 0”.

A, 2x + 1 (cid:0)

R, (cid:0) x – a(cid:0) < (cid:0) (cid:0)

(cid:0) f(x) – f(a)(cid:0) < (cid:0) ”.

(cid:0) > 0, (cid:0)

Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “(cid:0) (cid:0) > 0, (cid:0) x (cid:0) (ñieàu kieän ñeå haøm soá f(x) lieân tuïc taïi x = a)

ề

laø:

Phuû ñònh cuûa meänh đ trên (cid:0) > 0, (cid:0) x (cid:0) “(cid:0)

(cid:0) > 0, (cid:0)

R, (cid:0) x – a(cid:0) < (cid:0) (cid:0) ((cid:0) f(x) – f(a)(cid:0) (cid:0)

(cid:0) )”.

Phuû ñònh cuûa meänh ñeà “(cid:0) x (cid:0) 0” laø gì ? Phuû ñònh cuûa meänh ñeà trên là “(cid:0) x (cid:0)

ượ

ừ

ị ừ

và l

ng t

ổ ụ

t hoá ph d ng:

V t ắ ặ Qui t c đ c bi ộ

ế

ượ

(cid:0)

ế

ng t

(cid:0)

ộ

ệ ề ệ ạ ng N u m t m nh đ đúng có d ng l ở ộ ị ế ộ A b bu c b i hoá trong đó m t bi n x ấ ổ ụ ừ , khi y n u thay th x ph d ng ề ệ ẽ ượ A ta s đ

ế c m t m nh đ đúng.

ừ t ượ l b i a ở

(cid:0)

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ườ ề

ế

i đ u ch t” i”ườ

ế

ậ

Ví d : ụ ọ “M i ng “Socrate là ng V y “Socrate cũng ch t”

ị ừ

ượ

ừ

V t

và l

ng t

ắ ổ

ế

ng t ừ (cid:0)

ổ ụ • Qui t c t ng quát hoá ph d ng: ề ượ ệ ộ N u trong m t m nh đ l ộ ở ượ ế ư

ng t ỳ ậ ề ượ

ả

ừ hoá, b ng ằ ủ ậ c đ nh nh ng tu ý c a t p ượ ề c có ừ hoá

ng t

ị

ộ khi thay m t bi n bu c b i l ầ ử ố ị ộ m t ph n t ệ ứ ợ ươ ng ng mà m nh đ nh n đ h p t ị ệ chân tr 1 thì b n thân m nh đ l ầ ban đ u cũng có chân tr 1.

Inference Rules for Quantifiers

•

(cid:0) x P(x) (cid:0) P(o) • P(g)

•

(cid:0) x P(x) (cid:0) x P(x) (cid:0) P(c) • P(o)

(cid:0)

(cid:0) x P(x)

Universal instantiation (substitute any object o) (for g a general element of u.d.) Universal generalization Existential instantiation (substitute a new constant c) (substitute any extant object o) Existential generalization

(cid:0)

Example

Every man has two legs, John Smith is a man. Therefore, John Smith has two legs. Predicates: M(x): x is a man L(x): x has two legs J: John Smith is a member of the universe 1. (cid:0) x[M(x) (cid:0) L(x)] 2. M(J) (cid:0) L(J) Proof 1. (cid:0) x[M(x) (cid:0) L(x)] Hypothesis 1 2. M(J) (cid:0) L(J) Step 1 and UI 3. M(J) Hypothesis 2 4. L(J) Step 2 and 3 and modus ponens

Đ thiề

ệ

ị ủ

ề

→

(x>0)

1) Hãy xác đinh chân tr c a m nh đ sau: a) 2002 (cid:0) x(cid:0) R,(x24x 5=0) b) 2004 (cid:0) x(cid:0) R,(x 3 4x2 +5x 2=0)(cid:0)

(x23x+2 = 0)

ệ

2) 2003 ề ủ ủ ị L y ph đ nh c a m nh đ sau: (cid:0) >0, (cid:0) x, x’(cid:0) R,(|xx’ |<(cid:0)

ấ (cid:0) >0,(cid:0)

(cid:0) → |f(x)f(x’) |< (cid:0) )

Đ thiề

ậ ắ ủ

→

\ → ể 3) Ki m tra tính đúng đ n c a suy lu n sau: a) 2005 (cid:0) x(cid:0) R(P(x) (cid:0) Q(x)) (cid:0) x(cid:0) R((cid:0) P(x)(cid:0) Q(x) R(x)) ________________________ (cid:0) x(cid:0) R((cid:0) R(x) P(x))

b) 2006 (cid:0) x(cid:0) R, P(x) (cid:0) (cid:0) x(cid:0) R, Q(x)) (cid:0) x(cid:0) R, (cid:0) P(x) ___________________ (cid:0) x(cid:0) R,Q(x)

Đ thiề

c) 2007

(cid:0)

x (P(x) (cid:0) x (P(x) (cid:0) (cid:0)

Q(x)) R(x))

(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x (Q(x) (cid:0) (cid:0)

R(x))

trong đó P(x), Q(x) và R(x) là 3 v tị ừ

(cid:0)

Đ thiề

ế

ậ

ạ

t suy lu n sau đúng không ?T i

(cid:0) Q(x)) (cid:0) R(x))

ị ừ

ộ và a là m t

ầ ử ủ ậ

ụ

4) 2007.Cho bi sao? (cid:0) x(P(x)(cid:0) (cid:0) x(Q(x)(cid:0) R(a) ___________ (cid:0) P(a) Trong đó P(x), Q(x) và R(x) là 3 v t ph n t

c a t p vũ tr

(cid:0)

Đ thiề

ượ ế ồ ạ ộ ố ự c nói là thu c O(n) n u t n t i

ự ươ ố ự

nhiên m sao cho ừ ề ượ ệ ng C và s t ử ụ m. Hãy s d ng m nh đ l ng t (cid:0) xn(cid:0) < Cn m i khi ỗ ể ế ạ ị t l hóa đ vi i đ nh

ề ượ ừ ố ự ộ ệ t ra m nh đ l ng t hóa cho m t dãy s th c {xn}

5) 2009. ộ a) M t dãy s th c {xn}đ số th c d n (cid:0) nghĩa trên. ế b) Vi không thu c O(n).

ộ

Đ thiề

ậ

ắ ủ

ể (cid:0) Q(x))

(cid:0) R(x))

6) 2010. Ki m tra tính đúng đ n c a suy lu n sau (cid:0) x(P(x)(cid:0) (cid:0) x((cid:0) Q(x)(cid:0) (cid:0) x (cid:0) P(x) ___________ (cid:0) (cid:0) x R(x) Trong đó P(x), Q(x) và R(x) là 3 v tị ừ

Bài t pậ

0; 0;

Xeùt chaân trò vaø tìm phuû ñònh cuûa caùc meänh ñeà sau: a) (cid:0) x (cid:0) b) (cid:0) x (cid:0) c) (cid:0) x (cid:0) d) (cid:0) x (cid:0) e) (cid:0) y (cid:0) f) (cid:0) x (cid:0) g) (cid:0) x (cid:0) h) (cid:0) x (cid:0) R, x2 – 3x + 2 (cid:0) R, x2 – 3x + 2 (cid:0) N, (cid:0) y (cid:0) N, (cid:0) y (cid:0) R, (cid:0) x (cid:0) N, (cid:0) y (cid:0) Z, (cid:0) y (cid:0) Z, (cid:0) y (cid:0) R, x + y (cid:0) R, x + y (cid:0) N, x + y (cid:0) R, x + y (cid:0) R, x + y (cid:0) R, x + y (cid:0) 0; 0; 0; 0; 0; 0;

ệ

ả Tài li u tham kh o

•

ễ

ờ ạ

•

ầ

ọ

•

ữ [1]GS.TS Nguy n H u Anh, Toán r i r c, NXB Giáo d cụ ờ ạ ộ [2]TS. Tr n Ng c H i, Toán r i r c [3] Dr.Kossi Edoh,Department of Computer Science, Montclair State University [4] Michael P.Frank ‘s slides