Đi l ng ng u nhiên, hàm phân ph i ạ ượ ẫ ố
•Đnh nghĩa 1:Xét m t phép th , là không gian bi n c s c p liên k t ị ộ ử Ω ế ố ơ ấ ế
v i phép th .Ánh x X: ớ ử ạ Ω R đc g i là đi l ng ng u nhiên hay ượ ọ ạ ượ ẫ
bi n ng u nhiên.ế ẫ
•Đnh nghĩa 2: X là đi l ng ng u nhiên . F(X) là hàm phân ph i c a ị ạ ượ ẫ ố ủ
đi l ng ng u nhiên X đc xác đnh:ạ ượ ẫ ượ ị
{ }
( ) ( : ( )F X P X x
ω ω
= Ω <�; vi t t t F(X)= P(X<x), x thu c Rế ắ ộ
•Tính ch tấ :
1 2 1 2
1)0 ( ) 1, .
2) ( ) ( ) ( )
3) ; ( ) ( )
4) lim ( ) 0; lim ( ) 1
i
x x
F X x R
P x F F
F F
F X F X
x x x x x
α β α β β α
− +
∀
= −
∀
= =
p p
p
•Đnh nghĩa 3: Đi l ng ị ạ ượ
ng u nhiên X g i là đi ẫ ọ ạ
l ng ng u nhiên r i r c ượ ẫ ờ ạ
n u mi n giá tr c a nó là ế ề ị ủ
t p h u h n hay vô h n ậ ữ ạ ạ
đm đc .ế ượ
•B ng phân ph i xác su t:ả ố ấ
X x1x2… Xn
P(X) P(x1) P(x2) … P(xn)
a-P(x1)+P(x2)+… +P(xn) =1
Đnh nghĩa 4 : Hàm phân ph i ( hàm tích lũy ) ị ố
( ) ( )
xi x
F X x P X xi
<
< = =
•Đi l ng ng u nhiên liên t cạ ượ ẫ ụ
•Đnh nghĩa 5: X là đi l ng ng u nhiên có hàm phân ph i xác ị ạ ượ ẫ ố
su t F(X) . N u t n t i m t hàm s f(x) xác đnh sao cho :ấ ế ồ ạ ộ ố ị
thì X là đi l ng ng u nhiên liên t c và f(x) ạ ượ ẫ ụ
g i là hàm m t đ xác su t.ọ ậ ộ ấ
( , )− +
( ) ( )
x
F X f t dt
−
=
Tính ch t c a hàm m t đ ấ ủ ậ ộ
f(x)
1)0 ( ),
2) ( ) 1
3) , ( ) ( ) ( ) ( )
b
a
f x x R
f x dx
a b P a x b f x dx F b F a
+
−
∀
=
< = = −
1
. ( )
n
i
xi P xi
=
Các tham s đc tr ng c b n c a xác su t:ố ặ ư ơ ả ủ ấ
1) K v ng toán ỷ ọ
Đnh nghĩa 6: ị
•X là đi l ng ng u nhiên r i r c thì E(X)=ạ ượ ẫ ờ ạ
•X là đi l ng ng u nhiên liên t c thì: ạ ượ ẫ ụ
( ) . ( )E X x f x dx
+
−
=
Các tham s đc tr ng c b n c a xác su t:ố ặ ư ơ ả ủ ấ
2) Ph ng saiươ
Đnh nghĩa 7: ị
•X là đi l ng ng u nhiên r i r c E(X) là k v ng thìạ ượ ẫ ờ ạ ỳ ọ
D(X) = E { X- E(X)}2 = E(X2) –E(X)2
•X là đi l ng ng u nhiên liên t c thì: ạ ượ ẫ ụ
2
( ) ( ) . ( ) ;
( )
E X a D X f x dx
x a
+
−
= =
−
1) Gieo 10 l n m t đng ti n cân đi đng ch t. X ầ ộ ồ ề ố ồ ấ
là s l n xu t hi n m t s p trong 10 l n gieo.Tìm ố ầ ấ ệ ặ ấ ầ
phân ph i xác su t c a X. Tính P(0≤ x≤ 8)ố ấ ủ
H ng d n : Xác su t xu t hi n m t s p là 0,5; gieo ướ ẫ ấ ấ ệ ặ ấ
10 l n đc xem là 10 phép th Bernoulli. Bài ầ ượ ử
toán th a mãn đi u ki n c a Bernoulli v i n=10; ỏ ề ệ ủ ớ
p=0,5 và q=0,5. Áp d ng công th c ta có:ụ ứ
P(X)=
P(1≤ x )= 1- P( x<1)=1- 0,510
P(0≤ x≤ 8)= 1- (p( x=9) + P(x=10))=1-11.0,510
10 10
10 10
0,5
k k
k k
k x k x
p q
C C
−
< <
=
� �