Bài giảng Xác suất thống kê Chương 3a Nguyễn Văn Tiến: Tổng hợp kiến thức

Chương 3

Qui luật phân phối xác suất thường gặp

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 1

Phần 1 Quy luật phân phối rời rạc Descrete probability distributions

•Nhị thức

•Siêu bội

•Poisson

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 2

Phần 2 Quy luật phân phối liên tục Continuous probability distributions •Chuẩn

•Khi bình phương

•Student

•Fisher

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 3

Phân phối Nhị thức (Binomial)

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật Nhị thức nếu

• X={0,1,2,3…n}

n k

)

( P X k

• Với xác suất tương ứng là: k C p q n

• Kí hiệu: X~B(n,p)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 4

Quá trình Bernoulli

• Dãy n phép thử độc lập

• Trong mỗi phép thử bc A xuất hiện với

)

xác suất không đổi. ( p P A

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 5

Mô hình Nhị thức

Đặt X là số lần bc A xuất hiện trong quá trình Bernoulli gồm n phép thử.

Khi đó: X~B(n,p)

Chú ý:

Gọi Y là số lần A không xuất hiện trong quá trình Bernoulli

Phân phối xác suất của Y?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 6

Thường gặp

• Khi điều tra tỷ lệ hỏng trong một dây

chuyền sản xuất.

• Đo lường kiểm soát chất lượng và lấy mẫu

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 7

Tham số đặc trưng

• Cho bnn X~B(n,p). Ta có: )

)

( E X

)

- (cid:0) (cid:0)

(

( ) iii n

ModX

+ n

ii VarX npq ) + 1

) 1

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 8

Ví dụ 1

• Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khi điều trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu 15 người đồng ý chữa trị thì xác suất:

• A) Có ít nhất 10 người khỏi

• B) Có từ 3 đến 8 người khỏi

• C) Có đúng 5 người khỏi

Là bao nhiêu?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 9

Ví dụ 2

• Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết bị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị hư hỏng của loại thiết bị này là 3%.

a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô hàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bị hỏng là bao nhiêu?

b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và với mỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20 thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ít nhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị được kiểm tra?

Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 10

Ví dụ 3

• Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ở vùng nông thôn có tạp chất. Để có thể tìm hiểu kỹ hơn người ta đi xét nghiệm một số giếng (vì không đủ tiền xét nghiệm hết).

• A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất

có đúng 3 giếng có tạp chất.

• B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp

chất?

• C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6 giếng có tạp chất. Có thể kết luận gì về giả thiết trên?

Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 11

Tính chất

Cho X1, X2 là hai bnn độc lập.

Giả sử:

(

)

;

n 1

( B n 2

Khi đó:

)

( B n 1

, pn 2

)

Hệ quả: Tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng pp A(p) là bnn có pp B(n,p) ) ( =� (cid:0) Z A p

( , B n p

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 12

Ví dụ 5

Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập nhau. Xác suất thu được mỗi lần là 0,4. Tìm xác suất:

a) Nguồn thu nhận được đúng 2 lần.

b) Nguồn thu nhận được thông tin đó.

c) Tìm giá trị chắc chắn nhất của số lần

thành công.

d) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥0,9 thì

phải phát đi bao nhiêu lần.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 13

Ví dụ 6

• Hai đội A và B tham gia đấu giải với nhau và đội nào đạt 4 trận thắng trước là đội chiến thắng cả giải. Xác suất đội A thắng một trận đấu bất kỳ đều là p và giả sử rằng các trận đấu đều độc lập nhau.

• Xác suất A thắng giải là bao nhiêu?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 14

Phân phối Siêu bội

Định nghĩa: Bnn X gọi là phân phối theo qui luật siêu bội nếu:

• X={0,1,2,3…n}

)

( P X k

• Với xác suất tương ứng là: k n k . C C M N M n N

• Kí hiệu: X~H(N,M,n)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 15

Mô hình siêu bội 1

Xét tập hợp có N phần tử.

Tính chất A

N M-

Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Lấy ngẫu nhiên 1 lượt n phần tử. Bài giảng Xác suất Thống kê 2015

X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.

Nguyễn Văn Tiến 16

Mô hình siêu bội 2

Xét tập hợp có N phần tử.

Tính chất A

N M-

Lấy ngẫu nhiên n phần tử. Lấy lần lượt từng phần tử, không hoàn lại phần tử đã lấy.

X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 17

Ví dụ 1

• Một chi tiết của thiết bị tiêm được bán từng lốc 10 chi tiết. Nhà sản xuất cho rằng sẽ chấp nhận được nếu có không quá 1 chi tiết hỏng trong 1 lốc. Kế hoạch kiểm tra là lấy mẫu 3 chi tiết và kiểm tra. Nếu không có chi tiết nào hỏng thì chấp nhận lốc ấy.

• Có nhận xét gì về kế hoạch kiểm tra?

•

(giả sử lốc có 2 chi tiết hỏng)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 18

Ví dụ 2

• Kiện hàng chứa 40 sản phẩm. Bên mua sẽ không mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên. Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểm tra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua lô hàng. Xác suất tìm thấy đúng 1 sản phẩm lỗi biết lô hàng có 3 sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 19

Các tham số

Cho bnn X~H(N,M,n) ta có:

)

( E X

; np

( Var X

npq

N n N 1

Trong đó:

;

= - 1

M N

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 20

Ví dụ 1

Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó mua phải.

a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?

b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X?

c) Tính ModX?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 21

Ví dụ 2

Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩm trong 4 sp.

a) Luật phân phối xác suất của X.

b) Tính E(X), Var(X)?

c) Tìm Mod(X)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 22

Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội

)

( X H N M n

( X B n p

N>20n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 23

Ví dụ

• Nhà sản xuất thông báo rằng trong số 5000 lốp xe máy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có 1000 lốp có lỗi nhẹ. Nếu một người mua ngẫu nhiên 10 lốp xe từ nhà phân phối này thì xác suất có 3 lốp mắc lỗi là bao nhiêu?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 24

Phân phối Poisson

• X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng

thời gian (không gian)

• X=0,1,2,…

• X có thể là bnn Poisson

• Ví dụ:

• Số lỗi sai trên 1 trang in

• Số khách hàng vào ATM trong 10 phút

• Số người qua ngã tư trong 2 phút

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25

Phân phối Poisson P( )λ

Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật Poisson P(λ) nếu

• X={0,1,2,3…}

• Với xác suất tương ứng là: l

P X (

)

• Kí hiệu: X~ P(λ)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 26

Điều kiện

• X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục.

• X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với

tham số λ > 0 nếu:

•

(1) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng rời nhau là độc lập.

•

(2) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1 khoảng ngắn h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n.

•

(3) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự kiện xh trong một khoảng ngắn là 0 (rất nhỏ).

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27

Các tham số và tính chất

• Cho X~ P(λ). Ta có: ) =

)

( E X

)

ii VarX l

)

iii

ModX

• X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~

P(λ2).

+ l

(

)

Ta có:

- (cid:0) (cid:0)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28

Một số ví dụ

• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi

phút.

• Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong

mỗi phút.

• Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng

thời gian xác định.

• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang

giấy.

• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên

mỗi đơn vị độ dài của một con đường.

• Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích 29

rừng hỗn hợp.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

Ví dụ 1

Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 giờ có

a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A)

b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30

Ví dụ 3

Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc gọi trong một giờ. Tính xác suất:

a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1

phút.

b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5

phút.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 31

Bài tập 4

• Gà mẹ ấp n quả trứng. Xác suất mỗi quả

trứng nở ra gà con là p (độc lập nhau).

• Xác suất mỗi gà con sống được r (độc lập

nhau)

• a) PPXS của số gà con nở ra là?

• b) PPXS của số con gà sống sót là?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 32

Bài tập 5

• Một cửa hàng một ngày nhận bán 10 loại nhật báo khác nhau. Xác suất bán hết báo trong ngày của mỗi loại là 0,8. Vậy nếu trong một năm với khoảng 300 ngày bán hàng thì có khoảng bao nhiêu ngày bán không hết báo?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 33

Xấp xỉ xác suất

)

( X H N M n

( X B n p

n rất lớn p rất nhỏ

n rất lớn p rất lớn

(

)

(

)

X P ~ l =