1
Phn mt: Các dng h cơ bn
I . H phương trình ñi xng.
1.Phương trình ñi xng loi 1.
a)Đnh nghĩa
Mt h phương trình n x, y ñưc gi là h phương trình ñi xng loi 1 nu mi
phương trình ta ñi vai trò ca x, y cho nhau thì phương trình ñó không ñi
b) Tính cht
Nu
( )
00
,yx là m
t nghi
m thì h
( )
00
,xy c
ũ
ng là nghi
m
c) cách gi
i
=
+=
yxP
yxS
.
ñ
i
u ki
n
PS 4
2
≥
Ta bi
n
ñ
i
ñư
a h
ñ
ã cho (1) v
h
2
n S, P (2) (x;y) là nghi
m c
a (1) khi và ch
khi
(S,P) là 1 nghi
mc c
a (2) tho
i mãn
ñ
i
u ki
n:
04
2≥− PS v
i m
i (S;P) tìm
ñư
c ta có
(x;y) là nghi
m c
a ph
ươ
ng trình:
0
2
=+− PSXX .
Gi
s
ph
ươ
ng trình có 2 nghi
m là X
1
, X
2
.
+ N
u
0>∆
thì
21
XX ≠
nên h
(1) có 2 nghi
m phân bi
t
( )
21
;XX ;
( )
12
;XX
+ N
u
0=∆
thì
21
XX =
nên h
có nghi
m duy nh
t
( )
21
;
XX
.
+ H
có ít nh
t m
t nghi
m tho
mãn
0≥x
khi và ch
khi h
(2) có ít nh
t 1
nghi
m (S;P) tho
mãn.
≥
≥
≥−=∆
0
0
04
2
P
S
PS
VD 1: Gi
i h
ph
ươ
ng trình
=++
=++
5
7
22
xyyx
xyyx
H
có nghi
m là (1;2), (2;1)
VD2:
Đ
nh m
ñ
h
sau có nghi
m
=+
=++
myx
mxyyx
22
Đ
S:
80 ≤≤ m
2) H phương trình ñi xng loi 2
.
-M
t h
ph
ươ
ng trình 2
n x, y
ñư
c g
i là
ñ
i x
ng lo
i 2 n
u trong h
ph
ươ
ng trình ta
ñ
i vai trò x, y cho nhau thì ph
ươ
ng trình tr
thành ph
ươ
ng trình kia.
VD:
=+
=+
xxyy
yyxx
10
10
23
23
b) Tính ch
t.
- N
u
( )
00
;yx là 1 nghi
m c
a h
thì
( )
00
;xy c
ũ
ng là nghi
m
c) Cách gi
i
http://kinhhoa.violet.vn
http://NgocHung.name.vn
http://NgocHung.name.vn
2
- Tr v vi v hai phương trình ca h ta ñưc mt phương trình có dng
( ) ( )
[ ]
0; =− yxfyx
( )
=
=−
0;
0
yxf
yx
Ví d :
Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau:
3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
x x y
y y x
= +
= +
HD:
Tr
hai ph
ươ
ng trình c
a h
ta thu
ñư
c
3 3 2 2 2 2
3( ) ( ) ( )[3( ) ] 0
x y x y x y x y xy x y− = − − ⇔ − + + + + =
H
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
i
3 2 2
2 2
3 2 2
0( )
3 2
3( ) 0 ( )
3 2
x y I
y y x
x y xy x y
II
y y x
− =
= +
+ + + + =
= +
Gi
i (I) ta
ñư
c x=y=0 ho
c x=y=1
Xét (II) T
gi
thi
t ta suy ra x, y không âm . N
u x, y d
ươ
ng thì h
vô nghi
m suy ta h
có nghi
m duy nh
t
x=y=0
K
t lu
n: H
có 2 nghi
m x=y=0 và x=y=1
3) H phương trình v trái ñng cp bc II
a) Các d
ng c
ơ
b
n.
.
2 2
2 2
1 1 1 1
ax bxy cy d
a x b xy c y d
+ + =
+ + =
b) Cách gi
i.
+ Xét tr
ư
ng h
p y=0 xem có ph
i là nghi
m hay không
+
Đ
t x=ty thay vào h
r
i chia 2 ph
ươ
ng trình c
a h
cho nhau ta
ñư
c ph
ươ
ng trình b
c
2 theo t. Gi
i ph
ươ
ng trình tìm t sau
ñ
ó th
vao m
t trong hai ph
ươ
ng trình c
a h
ñ
tìm
x,y
Ph
ươ
ng pháp này c
ũ
ng
ñ
úng khi v
trái là ph
ươ
ng trình
ñ!
ng c
p b
c n.
Ví d:
Gi
i h
2 2
2 2
3 1
2 2 1
x xy y
x xy y
− + = −
+ − =
+ D
"
th
y y=0 không ph
i là nghi
m
+
Đ
t x=ty th
vào h
ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
3 1
2 2 1
t y ty y
t y ty y
− + = −
+ − =
chia 2 ph
ươ
ng trình c
a h
cho nhau ta
có
2
2
2
1
3 1 1 2 1 0 1 1
2 2 2 2
t x y
t t t t
t t t x y
= =
− +
= − ⇔ − − = ⇒⇔
+ − = − = −
t
ñ
ó th
hai tr
ư
ng h
p vào
m
t trong hai ph
ươ
ng trình c
a h
ñ
gi
i.
http://kinhhoa.violet.vn
http://NgocHung.name.vn
http://NgocHung.name.vn
3
PHN HAI: MT S PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯNG DÙNG
TRONG GII H
I) PHƯƠNG PHP BIN ĐI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp này ch yu là dùng các k# năng bin ñi phương trình cu h ñ dưa v
phương trình ñơn gin có th rút x theo y hoc ngưc li ñ th vào phương trình khác
ca h
Ta xét ví d% sau:
Loi 1) Trong h có mt phương trình bc nht theo n x hoc n y. Khi ñó ta rút x
theo y hoc y theo x ñ th vào phương trình còn li
Ví d 1) Gii gh phương trình
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1(1)
1 (2)
x y x y x x
xy y x
+ + + = − +
+ + =
HD: Ta thy x=0 không phi là nghim ca phương trình (2) t phương trình (2) ta có
2
1
1x
y
x
−
+ =
thay vào phương trình (1) ta có
( )
( )
( )( )
2 2
2 2 3 2
1 1 3 4 1 1 2 2 1 1 3 1
x x
x x x x x x x x x x
x x
− − + = − + ⇔ − + − − = − −
( )
( )
3 2
1 2 2 4 0x x x x⇔ − + − =
Ví d 2) Gii h phương trình:
( )
( )
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
+ + + =
+ + − =
Gii: Ta có x=y=0 là nghim.
Các cp s (x,y) vi x=0, y
≠
0 hoc x
≠
0, y=0 không là nghim.
Xét xy
≠
0. chia 2 v phương trình cho xy
≠
0 ta ñưc
1 1 2 5
1 1 3 4
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + − =
Suy ra
1 1
5 2 4 3 2 1
x y
− − = + = + − ⇔ = −
Thay x=2y-1 vào ph
ươ
ng trình th
hai ta thu
ñư
c:
( )( ) ( )
( )
2 2
2 1 2 1 5 3 4 2 1 3 1 10 11 3 8 4y y y y y y y y y y y y y− + + − − = − ⇔ − + − + = −
( )
( )
3 2 2
10 19 10 1 0 1 10 9 1
9 41 9 41
1; ;
20 20
y y y y y y
y y y
⇔ − + − = ⇔ − − +
+ −
⇔ = = =
http://kinhhoa.violet.vn
4
Đáp s:
( )
1; 1
9 41 41 1
;
20 10
9 41 41 1
;
20 10
y x
y x
y x
= =
+ −
= =
+ − −
= =
Loi 2) Mt phương trình ca h có th ñưa v dng tích ca 2 phương trình bc nht
hai n. Khi ñó ta ñưa v gii 2 h phương trình tương ñương
Ví d 1)
Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau
2 2
2 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y
+ + = −
− − = −
Đ
i
u ki
n là
0; 1y x≥ ≥
Ph
ươ
ng trình (1)
⇔
(x+y)(x-2y-1)=0 t
ñ
ó ta có 2 1
x y
x y
= −
= +
thay l
&
n l
ư
t hai tr
ư
ng h
p
vào ph
ươ
ng trình (2)
ñ
gi
i
Ví d 2)
Gi
i h
ph
ươ
ng trình:
2 2
1 (1)
1(2)
x y x y x y
x y
+ + − = + −
+ =
Gii:
Đ
i
u ki
n 0x y≥ ≥
( )
(1) ( 1) 1 0
x y x y⇔ + − − − =
H
ñ
ã cho t
ươ
ng
ñươ
ng v
i:
1
1
1
1
x y
x y
x y
x y
+ =
+ =
− =
+ =
gi
i
11
0
1
x y x
y
x y
+ =
=
⇔
=
+ =
và 0
1
x
y
=
=
gi
i
11
0
1
x y x
y
x y
− =
=
⇔
=
+ =
Đ
áp s
: x=1,y=0 và x=0, y=1.
Ví d 3)
Gi
i h
ph
ươ
ng trình:
3
3 (1)
3(2)
y
x y x x
x y x x
−
+ + + =
+ + = +
Gii:
Đ
i
u ki
n
0, 3x y> ≥
Ta có: 3 3
(1) 3
y y
x
x y x
− −
⇔ =
+ − +
V
i y=3 ta có 2 3 0 3x x+ = ⇔ = − (lo
i)
http://kinhhoa.violet.vn
5
Vi
3y≠
ta có
3
3
x y x x
x y x x
+ − + =
+ + = +
Suy ra
3 3x x x y x x+ − = + = + +
Suy ra 3 3 1
x x x
+ + = ⇔ = thay vào (2) ta ñưc:
1 3 8y y+ = ⇔ =
Đáp s: 1
8
x
y
=
=
Chú ý: Trong mt s bài toán nhiu khi các em cn cng hoc tr 2 phương trình
c a h sau ñó m!i xu"t hin phương trình dng tích
Ví d 4) Gii h phương trình :
( )
4 4 2 2
2 2
6 41
10
x y x y
xy x y
+ + =
+ =
Gii: S d%ng h'ng ñ!ng thc:
( )
( )
44 4 2 2 2 2
4 6
x y x y xy x y x y
+ = + + + +
HD: H ñã cho tương ñương vi
( )
4 4 2 2
2 2
6 41
4 40
x y x y
xy x y
+ + =
+ =
cng v vi v 2 phương trình ta thu ñưc:
( )
( )
4
4 4 2 2 2 2
4 6 81 81 3x y xy x y x y x y x y+ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ±
h ñã cho tương ñương vi
( )
( )
2 2
2 2
3
10
3
10
x y
xy x y
x y
xy x y
+ =
+ =
+ = −
+ =
a)
Xét
( )
( ) ( )
2
2 2
3
33
10 2 10 9 2 10
x y
x y x y
xy x y xy x y xy xy xy
+ =
+ =
+ =
⇔ ⇔
+ = − − = − =
b)
Xét
( )
( )
2 2
33
10 9 2 10
x y x y
xy x y xy xy
+ = −
+ = −
⇔
+ = − =
Loi 3) Mt phương trình ca h là phương trình bc 2 theo mt n chng hn x là
n. Khi ñó ta coi y như là tham s gii x theo y.
Ví d 1)
Gi
i h
ph
ươ
ng trình sau
2
2 2
(5 4)(4 )
5 4 16 8 16 0
y x x
x y xy x y
= + −
− + − + − + =
( )
( )
1
2
HD:
Coi ph
ươ
ng trình (2) là ph
ươ
ng trình theo
n y ta có (2) ⇔y
2
–4(x+2)y-
5x
2
+16x+16=0
http://kinhhoa.violet.vn