Bài t p ậ Gi i Tíchả 2 ThS. Lê Hoàng
Tu nấ
BÀI T P ẬGI I TÍCH Ả2
CH NG IƯƠ : TÍCH PHÂN XÁC Đ NH VÀ TÍCH PHÂN SUY R NGỊ Ộ
Bài 1: Tính các tích phân sau
a/
∫
=
2
ln
e
exx
dx
I
b/
∫−=
1
0
2
1dxxI
c/
∫
=
e
xdxI
1
ln
d/
∫
=
2/
0
sin
π
xdxI n
n
e/
∫++
=
1
0
2544 xx
dx
I
f/
∫
−
=
3/
3/
2
cos
sin
π
π
dx
x
xx
I
g/
∫
−+
=
2
2
4
2
1
2dx
x
xtgx
I
h/
∫−=
π
2
0
2cos1 dxxI
i/
∫+
=
π
0
2
cos1
sin
x
xdxx
I
j/
k/
∫+
=
2
0cos23 x
dx
I
l/
∫
+
=
1
0
1
arcsin dx
x
x
I
m/
∫+
=
8ln
3ln 1
x
e
dx
I
n/
∫
=
3
0
xarctgxdxI
o/
∫
=
e
xdxI
1
2
ln
p/
∫+
=
2/
0
2
sin21
π
x
dx
I
q/
∫
=
e
n
nxdxI
1
ln
r/
∫
=
2/
0
coscos
π
nxdxxI n
n
s/
∫
=
4/
0
2
π
xdxtgI n
n
t/
∫−
=
1
0
dxexI xn
n
Bài 2: Tính các tích phân suy r ngộ
a/
∫
+ ∞
+
=
0
2
1x
dx
I
b/
∫−
=
1
02
1x
dx
I
c/
∫
+ ∞
∞− +
=22 )1( x
dx
I
d/
∫
+ ∞
+
=
0
3
1x
dx
I
e/
∫
+ ∞ −
=
0
dxexI xn
f/
∫
+ ∞
−
=
221xx
dx
I
B môn Toán - Lý, tr ng ĐH CNTTộ ườ
Trang
1
=∫
∫
−
a
a
adxxf
dxxf
0
)(2
0
)(
, nếu
)(xf
là hàm lẻ
, n u ế
)(xf
là hàm lẻ
, n u ế
)(xf
là hàm ch nẵ
Bài t p ậ Gi i Tíchả 2 ThS. Lê Hoàng
Tu nấ
g/
∫
=
e
xx
dx
I
1ln
h/
∫−−
=
b
axbax
xdx
I))((
i/
∫−−
=
3
1234 xx
dx
I
j/
∫
+ ∞ −
=
0
2dxxeI x
k/
∫−
+
=
2
02
2dx
x
x
I
l/
( )
∫
+ ∞
+
=
0
2/3
2
1dx
x
arctgx
I
Bài 3: Kh o sát s h i t (hay phân kỳ) c a tích phân suy r ngả ự ộ ụ ủ ộ
a/
∫
∞
=
a
x
dx
I
α
, v i ớ
0
>
α
b/
∫
∞
+
=
0
2
2
1
cos dx
x
x
I
c/
∫
∞
+
=
12
1xx
dx
I
d/
∫
∞
+
=
1
2
2/3
1dx
x
x
I
e/
∫
−
=
b
a
xb
dx
I
α
)(
, v i ớ
R
∈
α
f/
∫−
=
1
044
1x
dx
I
g/
∫+
=
1
0
2
1
ln dx
x
x
I
h/
∫
∞
+
=
0
2
1
ln dx
x
x
I
i/
∫
=
1
0
dx
x
arctgx
I
j/
∫
+ ∞
+
=2
1x
dx
I
k/
∫
+ ∞
∞− ++
=22 )1( xx
dx
I
l/
∫
+ ∞ +
=
1
)1ln( dx
x
x
I
m/
n/
∫
+ ∞
+
=
1
1ln xx
dx
I
βα
, v i ớ
0
>
α
o/
∫
+ ∞
−
=
1
1ln xx
dx
I
βα
, v i ớ
0
>
α
p/
∫
+ ∞
=
2ln xx
dx
I
β
q/
∫
+ ∞
=
0
cos xdxI
r/
∫
+ ∞
=
1
2
sin dx
x
x
I
s/
∫
+ ∞
=
1
cos dx
x
x
I
t/
∫−
=
1
01
x
e
dx
I
u/
∫−
=
1
01x
dx
I
v/
∫
=
2
1ln x
dx
I
w/
∫−
=
1
0cos xe
dx
Ix
x/
∫
−
=
1
02
xx
dx
I
y/
∫
+ ∞
++
=
0
312xx
xdx
I
z/
∫
+ ∞
+
−
=
13
3
3sin41 dx
xx
x
I
Bài 4: Tính di n tích hình ph ng b gi i h n b i các đ ng congệ ẳ ị ớ ạ ở ườ
a/
xy 2
2=
và
yx 2
2=
b/
∫−=
2
0
|1| dxxS
B môn Toán - Lý, tr ng ĐH CNTTộ ườ
Trang
2
Bài t p ậ Gi i Tíchả 2 ThS. Lê Hoàng
Tu nấ
c/
2
2xy −=
và
23 xy =
d/
−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
và tr c ụ
Ox
e/
1
2−= tx
và
3
4tty −=
f/
)cos1(
ϕ
+= ar
và
ar =
g/
1
2
2
2
2=+ b
y
a
x
, v i ớ
0,0 >> ba
h/
2
)1( += xy
và
)sin( yx
π
=
i/
4
22 =+ yx
và
02
22 =++ xyx
j/
xy =
và
xxy 2
sin+=
, v i ớ
π
≤≤
x0
k/
0,0 == yx
và
)1(
2−= yyx
l/
)( 2222 xaxy −=
, v i ớ
0
>
a
Bài 5: Tính th tíchể
a/
−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
;
π
20
≤≤
t
và
0=y
xoay quanh
Ox
b/
=
−=
0
22
y
xxy
xoay quanh
Ox
và
Oy
c/ v t b gi i h n b i m t ậ ị ớ ạ ở ặ
2
4yz −=
và
ax =
(v i ớ
0
>
a
),
0,0 >> zx
d/ v t b gi i h n b i 2 m t tr ậ ị ớ ạ ở ặ ụ
222 ayx =+
và
222 azy =+
e/ v t tròn xoay khi quay hình ph ng b gi i h n b i ậ ẳ ị ớ ạ ở
xy sin=
(
π
≤≤
x0
) và tr c ụ
Ox
khi
quay quanh
Ox
và quay quanh
Oy
f/ v t tròn xoay do hình ph ng gi i h n b i ậ ẳ ớ ạ ở
2
xy =
và
4=y
quay quanh
Oy
và quay
quanh đ ng th ng ườ ẳ
2=x
g/
32 )4( += xy
,
0=x
xoay quanh tr c ụ
Oy
h/
0,1,1
2=+=−= −− xeyey xx
quay quanh tr c ụ
Ox
Bài 6: Tính di n tích m t tròn xoayệ ặ
a/
2
xy =
;
10 ≤≤ x
xoay quanh
Oy
b/
−=
−=
)cos1(
)sin(
tay
ttax
; và
0=y
xoay quanh
Ox
c/
22 )3(9 xxy −=
;
30 ≤≤ x
quay quanh
Ox
d/
3
3xy =
;
ax ≤≤0
quay quanh
Ox
e/
=
=
tay
tax
3
32
sin
cos
;
π
20 ≤≤ t
quay quanh
Ox
Bài 7: Tính đ dài đ ng congộ ườ
a/
32 xy =
t g c to đ đ n đi m ừ ố ạ ộ ế ể
)8,4(A
b/
=
=
tay
tax
3
3
sin
cos
;
π
20 ≤≤ t
c/
3
sin3
ϕ
=r
v i ớ
2/0
πϕ
≤≤
d/
xxy )3(
3
1−=
;
30 ≤≤ x
e/
xxy ln
2
1
4
12−=
;
ex ≤≤1
B môn Toán - Lý, tr ng ĐH CNTTộ ườ
Trang
3
Bài t p ậ Gi i Tíchả 2 ThS. Lê Hoàng
Tu nấ
CH NG IIƯƠ : TÍCH PHÂN B IỘ
Bài 1: Tính các tích phân b i haiộ
a/
∫ ∫ −=
D
dxdyxyxI )2(
2
, v i ớ
=
−=
2
2
2
3
:xy
xy
D
b/
∫ ∫ +=
D
dxdyxxyI )3(
, v i ớ
+=
=
12
2
:
2
xy
xy
D
c/
∫ ∫ +=
D
dxdyxyxI )5(
2
, v i ớ
−=
−=
xy
xy
D1
1
:
2
d/
∫ ∫
=
D
xydxdyI
, v i ớ
=
=
=
1
2:
y
yx
yx
D
e/
∫ ∫ −=
D
dxdyyxI )4(
, v i ớ
≤≤
≤+≤
xyx
yx
D3
41
:
22
f/
∫ ∫ −−=
D
dxdyyxI 22
4
, v i ớ
≤
=+
0
2
:
22
y
xyx
D
g/
∫ ∫ +
=
D
dxdy
yx
I22
1
, v i ớ
≤
≤+
xy
yyx
D2
:
22
h/
∫ ∫ +=
D
dxdyyxI )2(
, v i ớ
≤
−≥
≤+
0
4
:
22
y
xy
yx
D
i/
∫ ∫ −=
D
dxdyyxI )72(
, v i ớ
−≥
≥
−≤
xy
y
xy
D0
2
:
2
j/
∫ ∫
=
D
xdxdyI 3
, v i ớ
≥
≥
≤+≤
0
42
:
22
x
xy
yyxy
D
k/
∫ ∫ −=
D
dxdyyxI )6(
, v i ớ
=
=
=
2
0
ln
:
ex
y
xy
D
Bài 2: Tính các tích phân b i baộ
a/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI 22
, v i ớ
=
=
=+
Ω
2
0
4
:
22
y
y
zx
b/
∫∫∫
Ω
−+= dxdydzzyxI )(
, v i ớ
=−+−=−+
=++−=++−
=+−=+−
Ω
4;1
3;1
2;0
:
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx
B môn Toán - Lý, tr ng ĐH CNTTộ ườ
Trang
4
Bài t p ậ Gi i Tíchả 2 ThS. Lê Hoàng
Tu nấ
c/
∫∫∫
Ω++
=dxdydz
zyx
I222
1
, v i ớ
≥
≤++
Ω0
4
:
222
y
zyx
d/
∫∫∫
Ω
=xdxdydzI
, v i ớ
=+
+=
Ω2
:
22
yz
yxz
e/
∫∫∫
Ω
=zdxdydzI
, v i ớ
≤++
≤++≤
Ω0
41
:22
222
zyx
zyx
f/
, v i ớ
≤
≤++
Ω0
2
:
222
z
yzyx
g/
, v i ớ
≤+
≤++
Ωzyx
zyx
22
222 4
:
h/
∫∫∫
Ω
++= dxdydzz
yx
I2
22
49
, v i ớ
≥
≤++
Ω
0
1
49
:2
22
z
z
yx
i/
∫∫∫
Ω
−= dxdydzyxI )4(
, v i ớ
≤≤
≥
≤+
Ω
50
0
4
:
22
z
x
yx
j/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzyI 22
, v i ớ
=−
=+
=+
Ω
2
2
4
:
22
xy
xy
zy
k/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyxzI 22
, v i ớ
≤≤
≤+
Ωyz
xyx
0
2
:
22
l/
∫∫∫
Ω
=xdxdydzI
, v i ớ
≥+
≤++
Ω222
222 4
:zyx
zzyx
Bài 3: Tính th tích các kh i v t th ể ố ậ ể
Ω
sau
a/
=
+=
Ω1
2
:
22
z
yxz
b/
−=+
+=
=+
Ω
zyx
yxz
yx
4
1
:
22
22
22
c/
+=
≤+
≥≥≥
Ω
2
22
2
1
0,0,0
:
xz
yx
zyx
d/
+≥
≤++
Ω22
222 1
:yxz
zyx
Bài 4: Tính các tích phân sau
a/
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzxI )(
, v i ớ
+=
==
==
Ω
22
0,1
2,
:
yxz
zy
xyxy
B môn Toán - Lý, tr ng ĐH CNTTộ ườ
Trang
5