1
Chương 1
Tích phân bội
1.1 Tích phân kép
1.1.Tính các tích phân kép sau:
a. I=RR
D
(4x+ 2)dxdy, với Dlà miền: 0≤x≤2; x2≤y≤2x.
b. I=RR
D
y√xdxdy, với Dlà miền: x≥0; y≥x2;y≤2−x2.
c. I=RR
D
yln xdxdy, với Dlà miền giới hạn bởi: xy = 1; y=√x;x= 2.
d. I=RR
D
xydxdy, với Dlà nửa trên của hình tròn: (x−2)2+y2≤1; y≥0.
e. I=RR
D
x+y
x2+y2dxdy, với Dlà nửa trên của hình tròn: (x−1)2+y2≤1; y≥0.
f. I=RR
D
xydxdy, với Dlà miền giới hạn bởi: y=√2x−x2;y=√3x;y= 0.
g. I=RR
D
(12 −3x2−4y)dxdy với Dlà miền giới hạn bởi x2
4+y2= 1.
h. I=RR
D
xy2dxdy, với Dlà miền giới hạn bởi: x2+ (y−1)2= 1; x2+y2= 4y.
i. I=RR
D
dxdy
(x2+y2)2,với Dlà miền giới hạn bởi: y=x;y=√3x;x2+y2= 4x;x2+
y2= 8x.
1.2.Đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:
a. I= 2
R
1
dx
√2x−x2
R
2−x
f(x, y)dy.
b. I= 2
R
0
dx
√2x
R
√2x−x2
f(x, y)dy.
c. I= e
R
1
dx
ln x
R
0
f(x, y)dy.
d. I= 2
R
0
dy
1
R
y
2
f(x, y)dx.
1.3.Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
2 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI
a. x2=y;x2= 2y;y2=x;y2= 4x.
b. y= 4x−x2;y= 2x2−5x.
c. x2+y2= 2x;x2+y2= 2y.
d. x2+y2= 2x;x2+y2= 1.
Cho mặt cong Scó phương trình z=f(x, y)và hình chiếu của Slên mặt phẳng Oxy
là D:= chV/Oxy. Khi đó, diện tích của mặt Sđược tính bởi công thức
∆S=ZZ
Dq1 + f′2
x+f′2
ydxdy.
1.4.Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy:
a. Phần mặt phẳng x
2+y
3+z
4= 1,bị chặn bởi các mặt phẳng tọa độ.
b. Phần Parabol Eliptic y= 2 −x2−z2, mằn phía trong mặt trụ x2+z2= 1.
c. Phần mặt nón z=px2+y2,bị chặn bởi mặt trụ x2+y2= 2x.
d. Phần mặt cầu x2+y2+z2= 1, bị chặn bởi phần mặt trụ z2= 2y.
1.2 Tích phân bội 3
1.5.Tính các tích phân 3 lớp sau:
a. I=RRR
V
(x2+z2)dxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: x2+z2= 2y;y= 2.
b. I=RRR
V
z2dxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: x2+y2+z2= 2; z=px2+y2.
c. I=RRR
V
x2y2dxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: x2+y2= 1; z= 0; z=x2+y2.
d. I=RRR
V
ycos(x+z)dxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: y=√x;y= 0; z=
0; x+z=π
2.
e. I=RRR
V
x2dxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: z= 2 −x2−y2;z= 0; x2+y2= 1.
f. I=RRR
V
xzdxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: x2+y2+z2= 2; z=px2+y2,(x≤
0, y ≥0).
g. I=RRR
Vpx2+y2dxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: x2+y2−z2= 0; z= 1.
h. I=RRR
V
xyzdxdydz, với Vlà vật thể giới hạn bởi: x2+y2= 2; y=x2;z= 0; z= 1.
1.6.Đổi biến thích hợp để tính các tích phân sau:
a. I=
√3
R
0
dx
√3−x2
R
0
dy
√4−x2−y2
R
(x2+y2)/3
dz.b. I= 1
R
−1
dx
√1−x2
R
−√1−x2
dy
2
R
2(x2+y2)px2+y2dz.
Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
1.2. TÍCH PHÂN BỘI 3 3
c. I= 1
R
0
dx
√1−x2
R
0
dy
√2−x2−y2
R
√x2+y2
dz. d. I= a
R
0
dx
√a2−x2
R
0
dy
√a2−x2−y2
R
0
zdz.
1.7.Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:
a. z= 4−y2;z=y2+2; x=−1; x= 2.
b. z=x2+y2;z= 2x2+ 2y2;y=
x2;y=x.
c. z=x2+y2;y=x2;y= 1; z= 0.
d. z=x2+y2;z=x2+y2+1; x2+y2= 1.
e. y=x2;y+z= 1; z= 0.
f. z= 4 −x2;x2+y2= 4; z= 0.
g. z=x2+y2;z=x+y.
Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
4
Chương 2
Tích phân đường
2.1 Tích phân đường loại 1
2.1.Tính các tích phân đường loại 1 trong R2sau:
a. I=R
C
x3dl, với Clà cung y=x2
2,(0 ≤x≤√3).
b. I=R
C
xydl, với Clà chu tuyến của hình vuông |x|+|y|= 1.
c. I=R
C
y2dl, với Clà cung Cycloit: x=t−sin t, y = 1 −cos t, (0 ≤t≤2π).
d. I=R
Cx4
3+y4
3dl, với Clà đường Astroit: x= cos3t, y = sin3t, (0 ≤t≤2π).
e. I=R
C
(y2−x2)dl, với Clà cung x2+y2=a2,(x≤0, y ≥0).
f. I=R
C
xydl, với Clà đường gấp khúc nối O(0,0); A(1,3); B(2,4).
g. I=R
C
(y−x)dl, với Clà cung x2+y2= 4x, (y≥0).
h. I=R
Cpx2+y2dl, với Clà cung x2+y2= 2y, (y≥1).
2.2.Tính các tích phân đường loại 1 trong R3sau:
a. I=R
C
(x2+y2+z2)dl, với Clà đường x= cos3t, y = sin3t, z =t, (0 ≤t≤2π).
b. I=R
C
xyzdl, với Clà một phần giao tuyến của 2 mặt x2+y2+z2= 4; x2+y2=
1,(x≥0, y ≥0, z ≥0).
c. I=R
Cp2y2+z2dl, với Clà một phần giao tuyến của 2 mặt: x2+y2+z2= 2; y=x.
d. I=R
C
(2z−px2+y2)dl, với Clà đường xoắn ốc x=tcos t, y =tsin t, z =t, (0 ≤
t≤2π).
Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
2.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 5
2.2 Tích phân đường loại 2
2.3.Tính các tích phân đường loại 2 sau:
a. I=R
C
(2 −y)dx +xdy, với Clà cung Cycloit x=t−sin t, y = 1 −cos t, (t: 0 →2π).
b. I=R
C
(x2−2xy)dx + (2xy +y2)dy, với Clà chu tuyến dương của miền giới hạn bởi
y=x2, y = 0, x = 1.
c. I=R
C
ydx −(y+x2)dy, với Clà phần cung y= 3x−x2,nằm phía trên Ox và theo
chiều ngược kim đồng hồ.
d. I=R
C
(xy −1)dx +x2ydy, với Clà phần cung x= 1 −y2
4,lấy từ A(1,0) đến B(0,2).
e. I=R
C
(x2+y2)dx + (x2−y2)dy, với Clà đường cong y= 1 −|1−x|,với xtăng từ 0
đến 2.
f. I=R
C
(x+y)dx −(x2+y2)dy, với Clà nửa trên đường tròn x2+y2= 1,đi từ A(1,0)
đến B(−1,0).
g. I=R
C
xdy −ydx
p1 + x2+y2, với Clà 1
4đường tròn x2+y2= 4,đi từ A(2,0) đến B(0,2).
h. I=R
C
(x+y)dx −(x−y)dy
x2+y2, với Clà đường tròn x2+y2= 4,lấy ngược chiều kim
đồng hồ.
i. I=H
C
x2ydx +x3dy, với Clà chu tuyến miền giới hạn bởi y=x2, x =y2.
j. I=H
C
(6y+x)dx + (3y+ 2x)dy, với Clà đường tròn (x−2)2+ (y−3)2= 4.
k. I=R
C
(exsin y+ 5xy)dx + (excos y−5)dy, với Clà nửa trên đường tròn x2+y2= 2x,
đi từ A(2,0) đến O(0,0).
l. I=H
C
(xy +x+y)dx + (xy +x−y)dy, với Clà đường Elip x2
a2+y2
b2= 1.
m. I=R
C
(eysin x−x)dx + (eycos x−1)dy, với Clà 1
4đường tròn x2+y2= 2x, đi từ
O(0,0) đến A(1,1).
n. I=(3,2)
R
(1,1)
xdx +ydy
x2+y2, theo đường cong không đi qua gốc O.
o. I= (3,0)
R
(−2,−1)
(x4+ 4xy3)dx + (6x2y2−5y4)dy.
Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn