Bài tập Giải tích 2 - Phan Đức Tuấn

Chia sẻ: Nguyen Thanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

528
lượt xem 85
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Giải tích 2 tổng hợp một số bài tập của 5 chương: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương trình vi phân, lý thuyết chuỗi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Giải tích 2 - Phan Đức Tuấn

1 Chương 1 Tích phân bội 1.1 Tích phân kép 1.1. Tính các tích phân kép sau: RR a. I= (4x + 2)dxdy, với D là miền: 0 ≤ x ≤ 2; x2 ≤ y ≤ 2x. D RR √ b. I= y xdxdy, với D là miền: x ≥ 0; y ≥ x2 ; y ≤ 2 − x2 . D RR √ c. I= y ln xdxdy, với D là miền giới hạn bởi: xy = 1; y = x; x = 2. D RR d. I= xydxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x − 2)2 + y 2 ≤ 1; y ≥ 0. D RR x + y e. I= 2 + y2 dxdy, với D là nửa trên của hình tròn: (x − 1)2 + y 2 ≤ 1; y ≥ 0. D x RR √ √ f. I= xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: y = 2x − x2 ; y = 3x; y = 0. D RR x2 g. I= (12 − 3x2 − 4y)dxdy với D là miền giới hạn bởi + y 2 = 1. D 4 RR h. I= xy 2 dxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2 + (y − 1)2 = 1; x2 + y 2 = 4y. D RR dxdy √ i. I= , với D là miền giới hạn bởi: y = x; y = 3 x; x2 + y 2 = 4x; x2 + D (x2 2 +y ) 2 y 2 = 8x. 1.2. Đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau: √ R2 R 2 2x−x Re ln Rx a. I= dx f (x, y)dy. c. I= dx f (x, y)dy. 1 2−x 1 0 √ R2 R2x R2 R1 b. I= dx f (x, y)dy. d. I= dy f (x, y)dx. √ 0 y 0 2x−x2 2 1.3. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi: Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
2 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI a. x2 = y; x2 = 2y; y 2 = x; y 2 = 4x. c. x2 + y 2 = 2x; x2 + y 2 = 2y. b. y = 4x − x2 ; y = 2x2 − 5x. d. x2 + y 2 = 2x; x2 + y 2 = 1. Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y) và hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là D := chV /Oxy. Khi đó, diện tích của mặt S được tính bởi công thức ZZ q ∆S = 1 + fx0 2 + fy0 2 dxdy. D 1.4. Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy: x y z a. Phần mặt phẳng 2 + 3 + 4 = 1, bị chặn bởi các mặt phẳng tọa độ. b. Phần Parabol Eliptic y = 2 − x2 − z 2 , mằn phía trong mặt trụ x2 + z 2 = 1. p c. Phần mặt nón z = x2 + y 2 , bị chặn bởi mặt trụ x2 + y 2 = 2x. d. Phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1, bị chặn bởi phần mặt trụ z 2 = 2y. 1.2 Tích phân bội 3 1.5. Tính các tích phân 3 lớp sau: RRR 2 a. I= (x + z 2 )dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + z 2 = 2y; y = 2. V RRR 2 p b. I= z dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 2; z = x2 + y 2 . V RRR 2 2 c. I= x y dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 = 1; z = 0; z = x2 + y 2 . V RRR √ d. I= y cos(x + z)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: y = x; y = 0; z = V 0; x + z = π2 . RRR 2 e. I= x dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: z = 2 − x2 − y 2 ; z = 0; x2 + y 2 = 1. V RRR p f. I= xzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 2; z = x2 + y 2 , (x ≤ V 0, y ≥ 0). RRR p g. I= x2 + y 2 dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 − z 2 = 0; z = 1. V RRR h. I= xyzdxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2 + y 2 = 2; y = x2 ; z = 0; z = 1. V 1.6. Đổi biến thích hợp để tính các tích phân sau: √ √ √ √ R3 R 2 3−x 4−x2 −y 2 R1 R 2 1−x R2 p a. I= dx dy R dz. b. I= dx dy x2 + y 2 dz. √ 0 0 −1 − 1−x2 2(x2 +y 2 ) (x2 +y 2 )/3 Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
1.2. TÍCH PHÂN BỘI 3 3 √ √ √ √ 2−x2 −y 2 a2 −x2 −y 2 R1 R 2 1−x R Ra 2 −x2 aR R c. I= dx dy dz. d. I= dx dy zdz. 0 0 √ 0 0 0 x2 +y 2 1.7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: a. z = 4−y 2 ; z = y 2 +2; x = −1; x = 2. d. z = x2 +y 2 ; z = x2 +y 2 +1; x2 +y 2 = 1. b. z = x2 + y 2 ; z = 2x2 + 2y 2 ; y = e. y = x2 ; y + z = 1; z = 0. x2 ; y = x. f. z = 4 − x2 ; x2 + y 2 = 4; z = 0. c. z = x2 + y 2 ; y = x2 ; y = 1; z = 0. g. z = x2 + y 2 ; z = x + y. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
4 Chương 2 Tích phân đường 2.1 Tích phân đường loại 1 2.1. Tính các tích phân đường loại 1 trong R2 sau: R x2 √ a. I= x3 dl, với C là cung y = , (0 ≤ x ≤ 3). C 2 R b. I= xydl, với C là chu tuyến của hình vuông |x| + |y| = 1. C R c. I= y 2 dl, với C là cung Cycloit: x = t − sin t, y = 1 − cos t, (0 ≤ t ≤ 2π). C R 4 4 d. I= x + y dl, với C là đường Astroit: x = cos3 t, y = sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2π). 3 3 C R e. I= (y 2 − x2 )dl, với C là cung x2 + y 2 = a2 , (x ≤ 0, y ≥ 0). C R f. I= xydl, với C là đường gấp khúc nối O(0, 0); A(1, 3); B(2, 4). C R g. I= (y − x)dl, với C là cung x2 + y 2 = 4x, (y ≥ 0). C Rp h. I= x2 + y 2 dl, với C là cung x2 + y 2 = 2y, (y ≥ 1). C 2.2. Tính các tích phân đường loại 1 trong R3 sau: a. I= (x2 + y 2 + z 2 )dl, với C là đường x = cos3 t, y = sin3 t, z = t, (0 ≤ t ≤ 2π). R C R b. I= xyzdl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt x2 + y 2 + z 2 = 4; x2 + y 2 = C 1, (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0). Rp c. I= 2y 2 + z 2 dl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt: x2 + y 2 + z 2 = 2; y = x. C R p d. I= (2z − x2 + y 2 )dl, với C là đường xoắn ốc x = t cos t, y = t sin t, z = t, (0 ≤ C t ≤ 2π). Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
2.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 5 2.2 Tích phân đường loại 2 2.3. Tính các tích phân đường loại 2 sau: R a. I= (2 − y)dx + xdy, với C là cung Cycloit x = t − sin t, y = 1 − cos t, (t : 0 → 2π). C R b. I= (x2 − 2xy)dx + (2xy + y 2 )dy, với C là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi C y = x2 , y = 0, x = 1. R c. I= ydx − (y + x2 )dy, với C là phần cung y = 3x − x2 , nằm phía trên Ox và theo C chiều ngược kim đồng hồ. R y2 d. I= (xy − 1)dx + x2 ydy, với C là phần cung x = 1 − , lấy từ A(1, 0) đến B(0, 2). C 4 R e. I= (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2 )dy, với C là đường cong y = 1 − |1 − x|, với x tăng từ 0 C đến 2. R f. I= (x + y)dx − (x2 + y 2 )dy, với C là nửa trên đường tròn x2 + y 2 = 1, đi từ A(1, 0) C đến B(−1, 0). R xdy − ydx 1 g. I= p , với C là 4 đường tròn x2 + y 2 = 4, đi từ A(2, 0) đến B(0, 2). C 1 + x2 + y 2 R (x + y)dx − (x − y)dy h. I= 2 + y2 , với C là đường tròn x2 + y 2 = 4, lấy ngược chiều kim C x đồng hồ. H i. I= x2 ydx + x3 dy, với C là chu tuyến miền giới hạn bởi y = x2 , x = y 2 . C H j. I= (6y + x)dx + (3y + 2x)dy, với C là đường tròn (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4. C R k. I= (ex sin y + 5xy)dx + (ex cos y − 5)dy, với C là nửa trên đường tròn x2 + y 2 = 2x, C đi từ A(2, 0) đến O(0, 0). H x2 y 2 l. I= (xy + x + y)dx + (xy + x − y)dy, với C là đường Elip 2 + 2 = 1. C a b m. I= (ey sin x − x)dx + (ey cos x − 1)dy, với C là 14 đường tròn x2 + y 2 = 2x, đi từ R C O(0, 0) đến A(1, 1). (3,2) R xdx + ydy n. I= , theo đường cong không đi qua gốc O. (1,1) x2 + y 2 (3,0) R o. I= (x4 + 4xy 3 )dx + (6x2 y 2 − 5y 4 )dy. (−2,−1) Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
6 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG (1,0) R xdy − ydx p. I= , theo đường cong không cắt đường thẳng y = x. (0,−1) (x − y)2 2.4. Tìm các tham số để các tích phân sau không phụ thuộc vào đường lấy tích phân R (x + y)(xdy − ydx) a. I= , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa C (x2 + y 2 )n độ. R (1 − ax2 )dy + 2bxydx b. I= , với a, b là tham số và C là đường cong không đi qua các C (1 − x2 )2 + y 2 điểm (1, 0) và (−1, 0). R (x − y)dx + (x + y)dy c. I= , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc C (x2 + y 2 )n tọa độ. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
7 Chương 3 Tích phân mặt 3.1 Tích phâm mặt loại 1 3.1. Tính các tích phân sau: RR a. I= (3x + 2y + z)ds, với S là phần mặt phẳng x + 2y + z = 1 nằm trong miền S x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. RR b. I= zds, với S là phần mặt Paraboloid z = 2 − x2 − y 2 nằm trong miền z ≥ 0. S RR c. I= (x2 + y 2 )ds, với S là nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 nằm trong miền z ≥ 0. S 1 RR d. I= xyds, với S là 4 mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1 nằm trong miền x ≥ 0, y ≥ 0. S RR p e. I= x2 + y 2 ds, với S là phần mặt nón x2 +y 2 −z 2 = 0 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. S RR f. I= xyzds, với S là phần mặt trụ x2 + y 2 = 1 bị cắt bởi các mặt y + z = 1, z = 0 S và nằm trong miền x ≥ 0. RR g. I= xzds, với S là phần mặt phẳng y + 2z = 6 nằm trong mặt trụ x2 + y 2 = 2y. S RR p h. I= (xy + yz + zx)ds, với S là phần mặt nón z = x2 + y 2 nằm trong mặt trụ S x2 + y 2 = 2x. 3.2. Tính diện tích phần mặt phẳng x + 2y + 2z = 5 nằm trong 2 mặt trụ y = x2 và y = 2 − x2 . p 3.3. Tính diện tích phần mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 2 nằm trong mặt nón z = x2 + y 2 . 3.4. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi x2 + y 2 = 1, x + z = 1 và z = 0. p 3.5. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi z = x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2 . Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
8 CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN MẶT 3.2 Tích phân mặt loại 2 3.6. Tính trực tiếp các tích phân mặt loại 2 sau a. I= xyzdxdy, với S là mặt phía ngoài của 41 mặt cầu x2 +y 2 +z 2 = 4, (x ≥ 0, y ≥ 0). RR S RR b. I= xdydz, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = S 4, (z ≥ 0). RR c. I= zdxdy, với S là phần mặt Paraboloid z = x2 + y 2 nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, S lấy phía ngoài. RR d. I= y 2 dxdz, với S là mặt phía ngoài của phần mặt Paraboloid z = x2 + y 2 nằm S trong miền 0 ≤ z ≤ 1. RR e. I= z 2 dydz + xdxdz − 3zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ z = 4 − y 2 S nằm trong miền 0 ≤ x ≤ 1, z ≥ 0. RR f. I= xdydz + ydxdz + zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ y = x2 S nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1, y ≤ 1. RR g. I= xydydz + yzdzdx + zxdxdy, với S là mặt phía trên (theo hướng Oz) của phần S mặt phẳng y + z = 2 nằm trong trụ x2 + y 2 = 1. 3.7. Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính các tích phân sau RR a. I= yzdydz + yxdxdz + y 2 dxdy, với S là biên phía ngoài của tứ diện x + y + z ≤ S 1, x ≥ 0, y ≥ 0 và z ≥ 0. RR b. I= xzdydz + zydxdz + xydxdy, với S là biên phía trong của vật thể giới hạn bởi S x2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 1. RR c. I= xzdydz+zydxdz+xydxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt nón x2 +y 2 = S z 2 , nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. RR x2 y 2 z 2 d. I= z 2 dxdy, với S là mặt phía ngoài của ellipsoid + + = 1. S 4 9 16 RR e. I= xdydz+ydxdz+zdxdy, với S là mặt phía ngoài của phần mặt cầu x2 +y 2 +z 2 = S 2z, nằm trong miền 0 ≤ z ≤ 1. RR f. I= yzdxdz + xzdydz + xydxdy, với S là biên phía ngoài của vật thể xác định bởi S 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 , x2 + y 2 ≤ 4, ; x ≥ 0 và y ≥ 0. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
9 Chương 4 Phương trình vi phân 4.1. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau: a. tan ydx − x ln xdy = 0 m. x2 y 2 y 0 + xy 3 = 1 b. x(1 + x2 )y 0 − y(x2 + 1) + 2x = 0 1 n. y 0 = y 2x + y c. xy 0 = e x + y + x o. 2ydx = (2y 3 − x)dy d. y 0 − 2y tan x + y 2 sin x = 0 2 2 3 p. (y + x2 )dx + (x − y2 )dy =0 0 e. y cos x = y √ q. y 0 = 2x + y − 3 0 f. y − 2y = sin 2x p r. y 0 = 3 (4x − y + 1)2 g. x(y 0 − sin xy ) = y s. y 0 + y = xe3x 3y + 2 0 y2 + 4 h. y =√ t. (x2 − xy)dy + y 2 dx = 0 x+1 x2 + 4x + 13 u. y 0 = y(y 3 cos x + tan x) i. y 0 = 1 + cos x x−y−1 j. (x2 + y)dx + (x − 2y)dy = 0 v. y 0 = x−y−2 k. x2 y 0 + y 2 + xy + x2 = 0 w. y 0 = sin(y − x − 1) l. ydx − (x + y 2 sin y)dy = 0 x. (x + 2y)dx − xdy = 0 4.2. Tìm nghiệm riêng của các phương trình sau với điều kiện ban đầu đã cho tương ứng: a. x2 (y 3 + 5)dx + (x3 + 5)y 2 dy = 0, thỏa mãn y(0) = 1. b. xy 0 = y ln xy , thỏa mãn y(1) = 1. c. 3dy + (y + 3y 4 ) sin xdx = 0, thỏa mãn y( π2 ) = 1. 3x − 1 + 3y d. y 0 = − , thỏa mãn y(0) = 2. 2(x + y) √ e. ( xy − x)dy + ydx = 0, thỏa mãn y(1) = 1. p f. (y + x2 + y 2 )dx − xdy = 0, thỏa mãn y(1) = 0. Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
10 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN √ g. y 0 1 + x2 + y = arcsin x, thỏa mãn y(0) = 0. h. 2ydx + (2x − x3 y)dy = 0, thỏa mãn y( 12 ) = 1. 4.3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 sau: y0 y a. (1 − ln x)y 00 + − 2 = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng là y = ln x. x x b. y 00 + y 0 tan x − cos2 x = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng có dạng y = eαx . c. x2 y 00 − xy 0 + y = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng dạng đa thức. d. x2 y 00 − 2y = x2 , biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng là y = x1 . e. (2x + 1)y 00 + (2x − 1)y 0 − 2y = x2 + x, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng dạng đa thức. 4.4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng sau: a. y 00 − 3y 0 + 2y = 2x2 − 6 d. y 00 + 4y 0 + 4y = e2x b. y 00 + 2y 0 − 3y = 4ex e. y 00 − 6y 0 + 10y = sin 2x c. y 00 − 3y 0 = 3x + 7 f. y 00 − 2y = x + e3x Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn
11 Chương 5 Lý thuyết chuỗi 5.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ π ∞ 2 n+3 ∞ n2 + 2n P a. (n + 1) sin P g. ln P n n. n=1 n=1 n+1 n=1 2n2 + 3 ∞ n3 + n ∞ 1 P n h. ∞ n − n2 P b. p n=1 en o. P n=1 n(n + 2) n=1 n2 + 1 P∞ n−1 ∞ 2n + n i. 2 ∞ 1 n n n=1 ln n P c. n p. P n=1 3 + 1 ∞ 2 n n=1 n! e P n +n j. ∞ (2n + 1)!! n=1 n2 + 1 √ √ P ∞ n+1− n−1 d. ∞ (2n + 1)! q. P n=1 n! P n k. n=1 n n=1 2n .n2 ∞ n2 + 2 P ∞ 3n (n!)2 e. ∞ 2 n(n+1) r. P n=1 2n2 + n l. P 2n 1 − n=1 (2n)! n=1 n ∞ 2n2 ∞ ∞ n+1 n! 1 (−1)n (−1)n tan √ P P P f. . m. s. n=1 n+2 n=1 (2n)!! n=1 n 5.2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau: √ ∞ ∞ 3n x2n ∞ n+ n n P n! P c. . P a. x . n n e. . n=1 2n n=1 n x n=1 2n + 1 ∞ 2 n ∞ ∞ (−1)n−1 3n + 1 n 1 (2x − 3)n . P P P b. 2 x . d. 3 n n . f. n=1 5n − 1 n=1 n 2 (x + 1) n=1 n2n 5.3. Tính tổng ∞ x4n−3 ∞ n(n + 1)xn−1 . P c. P a. . n=1 4n − 3 n=1 ∞ (−1)n−1 ∞ (−1)n−1 (2n − 1)x2n−2 . P P b. n−1 . d. n=1 (2n − 1)3 n=1 Bài tập Giải tích 2 Giảng viên: Phan Đức Tuấn