GIẢI BÀI TOÁN PHÂN CỰC BẰNG
MA TRẬN JONES
Học viên: Nguyễn Thị Kim Cương
Nguyễn Công Tấn
Ngô Hồ Quang Vũ
NỘI DUNG
1.Ánh sáng phân cực
2.Ánh sáng phân cực elip
3.Ma trận Jones
4.Kính phân cực
5.Bản dịch pha
6.Bài tập áp dụng
ÁNH SÁNG PHÂN CỰC
Một sóng phẳng tần số góc ω lan truyền với vận tốc c theo
hướng Oz, khi đó vector điện trường E:
Viết dưới dạng ma trận Viết dưới dạng ma trận
Với Với
ÁNH SÁNG PHÂN CỰC
Gọi θ là góc hợp bởi mặt phẳng dao động và trục x.
Khi đó
Vậy cột Maxwell hay vector Jones:
ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP
Các thành phần điện trường
2
2
cos
2
Khử
Các dao động đến từ bản đồng bộ pha xác định bởi:
sin
2
2
2
2
A
y sin
A
2
2
sin
2
2
x cos 2 x H
xy 2 2 sin A cos xy HK
cos 2 y K
t ta được:
ÁNH SÁNG PHÂN CỰC ELIP
Nhận xét: - H = 0: phân cực dọc - K= 0 : phân cực ngang. - Nếu Δ = 0 độ phân cực là tuyến tính.
- Δ = -π =>
bản “nửa sóng”.
- Nếu Δ = π/2 , ánh sáng phân cực tròn. - Trong trường hợp tổng quát, ánh sáng phân cực
ellipse.
MA TRẬN JONES
Dụng cụ quang học
Ánh sáng dụng cụ quang học phân cực tính phân cực ánh sáng thay đổi. Ma trận Jones
Giả sử Chùm sáng tới có vectơ Jones Ei , Chùm sáng ló ra được biểu diễn bằng vectơ Jones Et .
Etx = j11 Eix + j12 Eiy Ety = j21 Eix + j22 Eiy
Suy ra
Ma trận Jones
MA TRẬN JONES
Ý nghĩa của các yếu tố trong ma trận Jones
Etx = j11 Eix + j12 Eiy Ety = j21 Eix + j22 Eiy
Nếu sóng tới bị phân cực dọc
theo trục x: Eiy = 0 thì:
J11 , J21 được xác định dựa vào mối liên hệ về biên độ và pha của thành phần dao động Et của tia ló đối với thành phần Eix của tia tới
Nếu sóng tới bị phân cực dọc
theo trục y: Eix = 0 thì:
J12 , J22 được xác định dựa vào mối liên hệ giữa biên độ và pha của thành phần dao động Et của tia ló đối với thành phần Eiy của tia tới
KÍNH PHÂN CỰC
Chùm tia ló ra khỏi kính phân cực:
0 ≤ px,y ≤ 1
- Ánh sáng phân cực truyền qua hoàn toàn px,y = 1 - Ánh sáng phân cực bi chặn hoàn toàn px,y = 0.
KÍNH PHÂN CỰC LÝ TƯỞNG
╬ Kính phân cực có trục truyền qua trùng với trục x (kính phân cực ngang)
Ma trận Jones biểu thị cho kính phân cực dọc: px =0, py = 1
Cho ánh sáng phân cực theo trục x qua hoàn toàn và chặn ánh sáng phân cực theo trục y : px =1, py = 0
KÍNH PHÂN CỰC LÝ TƯỞNG
╬ Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc ө với trục x
Ánh sáng qua kính phân cực chỉ còn lại thành phần dọc theo trục truyền qua của kính:
Chiếu thành phần này lên trục x và y:
Ex cosө + Ey sinө
E’x = (Ex cosө + Ey sinө)cosө E’y = (Ex cosө + Ey sinө)sinө
E’x = (cos2ө)Ex + (sinөcosө)Ey E’y = (cosөsinө)Ex + (sin2ө)Ey
Ma trận Jones
╬ Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc ө với trục x Cách khác để xác định ma trận Jones
Biểu diễn ánh sáng phân cực trước kính phân cực sang hệ trục tọa độ mới x’y’z’ ( 2 hệ trục tọa độ có trục z trùng z’, hệ tọa độ mới quay 1 góc ө quanh trục z’ so với hệ cũ, trục truyền qua của kính phân cực trùng với trục x’ của hệ trục mới).
Ma trận của phép biến đổi từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác bằng cách quay 1 góc ө :
Ánh sáng khi đến kính phân cực (trong hệ trục tọa độ mới) có vec tơ
E’x = (cosө)Ex + (sinө)Ey E’y = (-sinө)Ex + (cosө)Ey
G N Ở Ư T Ý L C Ự C N Â H P H N Í K
Jones: E’i = R(ө)Ei
╬ Kính phân cực có trục truyền qua lập 1 góc ө với trục x
Trong hệ tọa độ OX’Y’, sau khi truyền qua kính phân cực
thì chùm sáng ló ra có vec tơ Jones: E’t = JPH E’i
Biểu diễn vec tơ Jones của chùm sáng ló ra trong hệ trục OXY, ta quay
hệ toa độ trở lại vị trí ban đầu ( với góc –ө) : Et = R(-ө) E’t
Ma trận Jones :
G N Ở Ư T Ý L C Ự C N Â H P H N Í K
JP (ө) = R(-ө) JPH R(ө)
BẢN DỊCH PHA
╬ Sự phân cực của ánh sáng khi truyền qua tinh thể lưỡng chiết
Khi ánh sáng truyền trong các tinh thể đơn trục thì có tính lưỡng chiết:
-Tia thường truyền với vận tốc v0 = c/ n0, mặt sóng là mặt cầu. - Tia bất thường truyền với vận tốc ve =c/ne, mặt sóng là 1 ellipsoid.
Quang trục M
Quang trục
y
o e
x
z
N
Khi chùm tia sáng tới vuông góc với trục quang của tinh thể thì tia thường và bất thường đi theo quỹ đạo giống hệt nhau chúng dao động trong những mp vuông góc với nhau Sự lệch pha phụ thuộc vào mức độ lưỡng chiết, và có vecto cường độ tổng hợp bằng tổng hợp các thành phần của chúng.
BẢN DỊCH PHA
Được chế tạo từ tinh thể đơn trục lưỡng chiết,có chiều dày d.Khi dùng nó, chiếu ánh sáng vuông góc với quang trục.
Input
Output :
Ma trận Jones biểu thị tác dụng của bản dịch pha:
d thay đổi làm thay đổi hiệu pha giữa 2 thành phần thường và dị thường ne < no (tinh thể đơn trục âm): trục quang (trục x) là trục nhanh
và trục y là trục chậm của bản dịch pha.
ne > no (tinh thể đơn trục dương): trục quang (trục x) là trục chậm
và trục y là trục nhanh của bản dịch pha.
BẢN ¼ SÓNG CÓ TRỤC NHANH TRÙNG VỚI TRỤC X
- Làm chuyển đổi ánh sáng phân cực thẳng thành phân cực ellip. - Trường hợp ánh sáng tới phân cực 450 thì nó có tác dụng biến ánh sáng này thành phân cực tròn
Ma trận Jones:
φ=π/2
φx = -π/4
- Bản ¼ sóng có bề dày được chọn sao cho: (n0 – ne )d = λ/4
BẢN ¼ SÓNG CÓ TRỤC NHANH QUAY GÓC Φ SO VỚI TRỤC X
Ma trận Jones: J= R(-Φ) J1/4 R(Φ)
(n0– ne )d = λ/2
Dùng để đảo chiều phân cực thẳng hoặc đổi hướng phân cực tròn
BẢN ½ SÓNG
╬ Bản ½ sóng có trục chậm thẳng đứng
φ=π
φx = π/2
Ma trận Jones:
╬ Bản ½ sóng có trục chậm nằm ngang
φ=π
φx = - π/2
BẢN ½ SÓNG
╬ Bản ½ sóng có trục quay 1 góc Φ so với trục X
Ma trận Jones
J1/2 (Φ) = R(-Φ)J1/2 R(Φ)
MA TRẬN JONNES CHO TRƯỜNG HỢP HỆ NHIỀU YẾU TỐ QUANG
Nếu ánh sáng truyền liên
học, được đặc trưng tương ứng bởi các ma trận J1 ,J2 ,….,Jn thì
tiếp qua n yếu tố quang
Et = (Jn . Jn-1 . …J2 .J1 )Ei Et = J Ei
J = J n.Jn-1 . …J 2.J1
Problem 4 trang 228: một tia sáng tới phân cực elip truyền qua hệ quang học gồm một bảng ¼ bước sóng và bảng phân cực thẳng. Biết tia sáng ló bị triệt tiêu khi góc hợp bởi “trục nhanh” của bảng ¼ và mặt phẳng truyền qua của bảng phân cực với phương ngang lần lượt bằng 30 và 60 độ. Tính góc định hướng và tỉ số hai trục của elip.
Phân tích Ma trận Jones của hệ quang học
J=J2.J1= [2x2]=
Ma trận Maxwell qua hệ
M2=J.M1=
(1)
(2)
(3)
- syms deta, delta.
- Input các giá trị deta1, deta2.
- Nhập
- Ma trận Jones của hệ: J=J2*J1
Lập trình
- Góc định hướng của elip
(4)
- Tỷ số hai trục
(5)
Phần ngược
Tìm góc delta2. Phân tích
Tỉ số hai trục a=real(M1(2)/M1(1))=real(-A/B) a=tan(deta)*cos(delta)cos(delta)=a/tan(deta) (1)
Từ tan(2*alpha)=tan(2*deta)*cos(delta) và (1)
Cho biết các yếu tố của elip và góc delta1.
(2) tan(2*deta)+tan(2*alpha)*tan(deta)*a=0
solve((2))deta, delta M2=subs(M2) delta2=solve(M2(1))
để loại các giá trị 0 của deta.
Chú ý: (1) suy ra deta không thể nhận giá trị 0. Dùng lệnh for và if
Code phần thuận clc clear all; %Nhap cac gia tri cua goc hop boi "truc nhanh" va mat phang
truyen qua voi
%phuong ngang syms delta deta delta1=input('nhap goc (tinh bang do) giua truc nhanh va
phuong ngang ' );
delta2=input('nhap goc (tinh bang do) giua mat phang truyen
qua va phuong ngang ' );;
C1*S1*(1+i) -i*C1^2+S1^2];
C1=cos(delta1*pi/180); S1=sin(delta1*pi/180); C2=cos(delta2*pi/180); S2=sin(delta2*pi/180); %Ma tran bang 1/4 buoc song J1=[C1^2-i*S1^2 C1*S1*(1+i) %Ma tran phan cuc thang J2=[C2^2 C2*S2 C2*S2 S2^2]; %Ma tran he quang hoc J=J2*J1;
sin(deta)*exp(i*delta)];
%Ma tran Maxwell M=[cos(deta) %Tinh ti so A/B E=-J(1,1)/J(1,2); %Phan thuc cua E F=real(E); %Phan ao cua E G=imag(E); %Tinh cac gia tri delta va deta delta=atan(G/F); deta=atan(F/cos(delta)); %Goc hop boi truc phu cua elip va phuong ngang disp('Goc dinh huong elip alpha bang' ) alpha=atan(tan(2*deta)*cos(delta))*180/pi/2 %Ti so do dai hai ban truc a t=1-sin(2*deta)^2*sin(delta)^2; disp('Ti so do dai hai ban truc elip bang ') sqrt((1+sqrt(t))/(1-sqrt(t)))
Code phần nghịch clc clear all; syms delta2 deta delta alpha=input('nhap goc (tinh bang do) giua truc nho va phuong
ngang ' );
alpha=alpha*pi/180; a=input('nhap ti so hai ban truc ' ); delta1=input('nhap goc (tinh bang do) giua mat phang truyen
qua va phuong ngang ');
C1*S1*(1+i) -i*C1^2+S1^2];
delta1=delta1*pi/180; C1=cos(delta1); S1=sin(delta1); C2=cos(delta2); S2=sin(delta2); %Ma tran bang 1/4 buoc song J1=[C1^2-i*S1^2 C1*S1*(1+i) %Ma tran phan cuc thang J2=[C2^2 C2*S2 C2*S2 S2^2]; %Ma tran he quang hoc J=J2*J1;
sin(deta)*exp(i*delta)];
if k(n)~=0
deta(m,1)=double(k(n,1)); m=m+1;
end
%Ma tran Maxwell ban dau M1=[cos(deta) %Ma tran Maxwell qua he M2=J*M1; k=double(solve(tan(2*deta)+tan(2*alpha)*a*tan(deta))); l=length(k); m=1; for n=1:l end
delta(n,1)=acos(tan(2*alpha)/tan(2*deta(n,1)));
M1=[double(cos(deta(n,1)))
double(sin(deta(n,1))*exp(i*delta(n,1)))];
M2=J*M1; T=solve(M2(1,1)); j=length(T); for n=1:j
if T(n,1)~=pi/2&&T(n,1)~=0
delta2=double(real(T(n,1)))*180/pi
end
end
l=length(deta); for n=1:l end for n=1:l end
