Ớ
Ứ
Ụ
Ị
Ị
L P CÁC BÀI TOÁN NG D NG Đ NH LÝ GIÁ TR TRUNG BÌNH ON A CLASS OF PROBLEMS SOLVABLE BY USING MEAN- VALUE THEOREMS
ng Đ i h c S ph m, Đ i h c Đà N ng
ạ ọ
ẵ
ườ
ạ ọ ư ạ
LÊ HOÀNG TRÍ Tr LÊ HOÀNH PHÒ HV Cao h c khoá 2004-2007 ọ
ị
ị
ề
ộ
ọ
ng xuyên khai thác trong các kỳ thi Olympic Toán đ a ph
ị
ươ ộ
ỏ
ườ ộ ọ ả
ạ ọ ự ồ ạ
ấ ị
ế
ệ
ệ
i nghi m và các tính ch t đ nh l ả
ầ ượ
i tích toán h c, và đ c ượ ả ọ ố ế ở ấ ( c p ng, qu c gia và qu c t ố ra là m t công c r t hi u l c trong vi c ệ ụ ấ ng c a nghi m c a ủ ượ ư ả
ng trình khác nhau. Trong bài báo này ta l n l ị
ươ ụ
ụ
ề
ả
ị
TÓM T TẮ Các đ nh lý v giá tr trung bình đóng m t vai trò quan tr ng trong gi th đ h c sinh THPT ho c sinh viên Đ i h c). Chúng t ặ ệ ự i các bài toán liên quan đ n s t n t gi ủ t kh o sát các bài toán nh nhi u d ng ph ề ạ th nh ng d ng các đ nh lý v giá tr trung bình trong ba lĩnh v c: liên t c, kh vi và kh ự ờ ứ ế tích.
ABSTRACT Theorems of the so-called mean-value kind play an important role in mathematical analysis and are frequently exploited in regional, national and international olympiads (of high-school or university level). They are the most powerful tool in solving problems concerning the existence and quantitative property of solutions to various equations. In this paper, we investigate some kinds of problems using such theorems in the three subjects: continuity, differentiability and integrability.
ươ ử ụ 1. Ph ị ng pháp s d ng hàm s liên t c ụ ố ố ụ ế ể ạ ấ ộ
s f là m t hàm liên t c trên [a;b] và f(a) = A, f(b) = B. Lúc đó n u C là ụ ế ị ộ m t s b t kỳ n m gi a A và B thì có ít nh t m t đi m c ả ử ữ ấ ộ ể N u f là m t hàm liên t c trên [a;b] thì f nh n m i giá tr trung gian gi a giá N u hàm s f liên t c trên đo n [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì có ít nh t m t đi m Đ nh lý 1.1 c ˛ (a;b) đ f(x) = 0. ể Gi Đ nh lý 1.2 ằ ộ ố ấ Đ nh lý 1.3 ế ˛ (a;b) đ f(c) = C. ể ậ ữ ọ ị ị tr nh nh t m và giá tr l n nh t M c a nó trên đo n đó. ấ ấ ạ ỏ ị ộ ị ớ ụ ủ Các bài toán áp d ng:ụ
x3 - x + 1 = 0 có 3 nghi m phân bi ệ ệ ổ t. Tính t ng ệ
ứ ủ t Nam)
Bài toán 1: Ch ng minh ph ng trình: ươ các lu th a b c 8 c a 3 nghi m đó. ỹ ừ ậ (Olympic Vi ệ Gi R. i:ả Xét hàm s : ố y = f(x)= x3 - x + 1 thì f liên t c trên D = ụ
1 2 Ta có: f(-2)= -5 < 0; f(0)= 1 >0; f( <0 và f(1)= 1 >0 )= 1- 3 3
ng trình cho có 3 nghi m phân bi t ệ ệ x1, x2, x3.
3
3
2
3
2
8
x1 + x2 + x3 = 0; x1x2 + x2x3 + x3x1 = -1; x1x2x3 = -1
ix - xi + 1 = 0 (cid:222) ix = - ix - 5 ix =
ix = xi - 1 ix + xi - 1 nên:
ix = 2 2
ix - 3xi + 2
nên ph ươ Theo đ nh lý Viet: ị Ta có: (cid:222)
3
3
3
ix 8 = 2(cid:229)
ix 2 - 3(cid:229)
ix + 6
= 1i
= 1i
= 1i
3
3
3
Do đó: T = (cid:229)
i xx
j
ix )2 - 2
ix + 6 =10.
= 1i
= 1i
, ji i
= 1 j
(cid:229) = 2[((cid:229) ] - 3(cid:229) „
ng trình: ậ ươ
Bài toán 2: Ch ng minh t p nghi m c a b t ph 2 ệ 70 ứ 1 + ‡ ++ ... - - - x 1 2 70
70
ợ ờ ộ ủ ấ 5 4 ổ
= 1
k
x x là h p các kho ng r i nhau và có t ng đ dài là 1988. ả (Olympic Qu c t ) ố ế 1 70 2 k + = - - ++ ... (cid:229) Gi i:ả Ta có: - - - - 5 4 x k 5 4 x 1 x 2 x 70
kj
kj x (
- - - - k ( x j ) 4 k ( x j 5) ( x j ) (cid:229) (cid:229) (cid:213) (cid:213) (cid:213) „ „ = = - - - 5 4 j ) 4 ( x j ) (cid:213) (cid:213)
= v i qui c k, j = ớ ướ . 701, xf )( )( xg
Rõ ràng g(x) = 0 có 70 nghi m x = 1,2,..., 70 ệ < )( xf 0 , f(70) > 0 nên cũng có Và f liên t c trên và ụ fi R, f(k).f(k+1) < 0 v i ớ k = 691,
đ 70 nghi m xen k là: ệ ủ ẽ
‡ ng trình: 0 là: ủ ấ ươ ệ T ng đ dài các kho ng nghi m c a b t ph ả ổ ộ lim +¥ x 1 < x1 < 2 < x2 <... < x69 < 70 < x70 )( xf )( xg
S = (x1 - 1) + (x2 - 2) +... + (x70 - 70)
- 5 và h s c a x = (x1 + x2 +... + x70) - (1 + 2 +... + 70) ệ ố ứ ể ậ ấ ệ ố ủ 69 là:
Đ ý đa th c f có b c 70, h s cao nh t là 9(1 + 2 +... + 70) +++ - ... ( 219 ) 70 . - (1 + 2 +... + 70) = = 1988. Do đó: S = -
4 5 ả ề . 70 71 2 ệ
ọ x, y phân bi ệ
[a;b], v i ớ a
0
5 Bài toán 3: Cho hàm s ố f: [a;b] fi | f(x) - f(y) | < | x - y|, v i m i Ch ng minh r ng ph ằ (Olympic sinh viên) Gi ụ = xg ( ) [a;b]. xg )( Do đó t n t i x ồ ạ 0 thu c ộ [a;b] sao cho: i:ả Xét hàm s ố g(x) =| f(x) - x | thì g liên t c trên min [ ] bax˛ ,
g(x0) = 0. Th t v y, gi (*) ả ử g(x0) „ 0, do đó f(x0) „ x0 s ậ ậ
ẽ ứ ừ ấ ẳ
Ta s ch ng minh T b t đ ng th c đã cho thì có: ứ | f(f(x0)) - f(x0) | < | f(x0) - x0|
ớ
Suy ra g(f(x0)) < g(x0): mâu thu n v i (*) ẫ V y ậ g(x0) = 0 nghĩa là f(x0) = x0. ng trình Gi s ph ả ử ươ f(x) = x còn có nghi m ệ x1 „ x0, x1 thu c ộ [a;b] thì có ngay:
thi ế ẫ ng trình | f(x1) - f(x0) | = | x1 - x0|: mâu thu n v i gi ả V y ph ộ ậ ớ f(x) = x có duy nh t m t nghi m thu c ấ t. ệ ươ ộ [a;b].
ng pháp s d ng phép tính vi phân ươ ử ụ Cho f là m t hàm liên t c trên [a;b] và kh vi trên (a;b). ả N uế ộ ụ
f(x)=0 có 1 nghi m c a ph ủ ệ ả ữ i c ệ
ể ươ Cho j và y là liên t c trên [a;b] và kh vi trên (a;b). Lúc ng trình f '(x)=0. ươ ả ụ ế ị i c ồ ạ ˛ (a;b) đ : [ể y (b)-y (a)]j '(c) = [j (b)-j (a)]y '(c) Cho f là m t hàm liên t c trên [a;b] và kh vi trên ụ ả ộ ị ị ồ ạ ˛ (a;b) đ : f(b) - f(a) = (b - a ) f '(c) ể
(0;+(cid:181) ) và không ph i là hàm ụ ạ ả ng trình: ố ự 0 < a < b. Ch ng minh ph ươ ứ - 2. Ph Đ nh lý 2.1 (Đ nh lý ROLLE) ị ị ồ ạ ˛ (a;b) đ f ' (c) = 0 có f(a) = f(b) thì t n t ng trình ủ ph K t qu : gi a 2 nghi m c a Đ nh lý 2.2 (Đ nh lý CAUCHY) ị đó t n t Đ nh lý 2.3 (Đ nh lý LAGRANGE) (a;b). Lúc đó t n t i c Các bài toán áp d ng:ụ Bài toán 4: Cho hàm s ố f liên t c và có đ o hàm trên h ng.Cho 2 s th c ằ )( baf )( abf = - xf )(' x )( xf - ab
ộ ấ ộ (a;b).
có ít nh t m t nghi m thu c ệ (Olympic sinh viên ) Gi i:ả
2
= = )( xg )( xh ; [a;b] Xét 2 hàm s : ố thì g, h kh vi trên ả 1 x - - )( xf x xf )( xf = = ; xh )(' xg )(' . Ta có: 1 2 x
i Theo đ nh lý Cauchy thì t n t x )(' x ồ ạ x0 ˛ (a;b) sao cho: ị
[h(b)-h(a)]g'(x0) = [g(b)-g(a)]h'(x0)
0
2
0 x 0 fxba )(
0
0
0 2
0 abf )( 2
0
0
0
0
- - (' x ) xf ( ) fx 0 = - - ( ) ( ) hay . 1 2 1 b 1 a bf )( b af )( a x - - - ( (' x ) xf ( )) baf )( -= Do đó . bax abx - )( baf )( abf = - (' x ) ( xf ) Suy ra . fx 0 - ab - )( baf )( abf = - )( xf xf )(' x V y ph ng trình: ậ ươ - ab
ấ ộ ộ (a;b).
có ít nh t m t nghi m thu c ng trình: Bài toán 5: Cho ph ệ ươ
t. ệ
2 > 2na0a2.
(n - 1) a1 ứ
R i:ả Đ t ặ f(x) = a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an, thì f kh vi vô h n trên ả ạ
a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an = 0, a0 „ 0 có n nghi m phân bi ệ Ch ng minh: (Olympic Nga) Gi Vì f(x) có n nghi m phân bi t nên theo đ nh lý Rolle thì: ệ ệ ị
f '(x) có n - 1 nghi m phân bi t ệ f "(x) có n - 2 nghi m phân bi t,... ệ ệ ệ
(cid:222) f(n-2) (x) = t. a0x2 + (n - 1)! a1x + (n - 2)! a2 có 2 nghi m phân bi ệ ệ n! 2
Do đó: D > 0 nên: ((n - 1)! a1)2 - 2n! a0(n - 2)! a2 > 0 V y:ậ
2 > 2na0.a2. ả
[0;1] và tho mãn: ả
t i 2 s phân bi ệ a;b thu c ộ (0;1) sao cho f '(a).f '(b) = 1. ố ứ
i:ả Xét hàm s ố g(x)= f(x) +x - 1 thì g kh vi trên
[0;1] i s c thu c ồ ạ ố ộ (0;1) sao cho g(c) =0.
f trên các đo n [0;c] và [c;1] thì: ụ ị ạ - )0( = af )(' i ồ ạ a˛ (0;c) sao cho: t n t - - (n - 1)a1 Bài toán 6: Cho hàm s ố f kh vi trên f(0)=0 ; f(1) = 1. Ch ng minh t n t ồ ạ (Olympic Hoa kỳ) Gi ả Ta có: g(0)= - 1 < 0 và g(1)= 1 >0 nên t n t Do đó f(c) + c -1 =0 hay f(c) = 1- c. Áp d ng đ nh lý Lagrange cho cf )( c f = bf )(' và t n t i , ồ ạ b˛ (c;1) sao cho: - - - = = = 1 bfaf )(' ). (' . nên: - - f 0 )1( 1 cf )( c cf )( c 1( c 1( cc ) ) c cf 1)( c
1 t V y t n t i 2 s phân bi ậ ồ ạ ố ệ a;b thu c ộ (0;1) sao cho f '(a).f '(b) = 1.
ng pháp s d ng phép tính tích phân Cho f là m t hàm kh tích trên [a;b] và m,M t ử ụ ộ ả ươ ứ ng ng là giá tr nh nh t, giá ị ấ ỏ [m;M] sao cho: ồ ạ m˛ i ấ ủ 3. Ph ươ Đ nh lý 3.1: ị tr l n nh t c a f trên [a;b]. Lúc đó t n t ị ớ b = m - xf )( dx ab ( ) (cid:242)
[a;b] sao cho: Cho f là m t hàm liên t c trên [a;b]. Lúc đó t n t ụ ộ ồ ạ x˛ i
a Đ nh lý 3.2: ị b
= - xf )( dx xfab ( ) )( . (cid:242)
s ả ử f liên t c trên đo n ụ ạ [0;1] tho đi u ki n: ả ề ệ
ồ ạ b ˛ [0;1] sao cho, ho c ặ f(b) = f(b-a) ho cặ f(b) = f(b+a-1) ứ
c hàm tu n hoàn chu kỳ T = 1, do f(0) = f(1) = 0 nên ầ ể ượ R. f trên R đ đ ệ f, liên t c trên ụ ớ R ụ
a Các bài toán áp d ng:ụ Bài toán 7: Cho a ˛ (0;1). Gi f(0) = f(1) = 0. Ch ng minh t n t i (Olympic sinh viên) i:ả Ta m r ng hàm Gi ở ộ hàm m i, v n kí hi u ẫ Xét hàm s : ố g(x)= f(x+a) - f(x) thì g liên t c trên Khi đó:
1
1
1
0
0
0 + 1
a
1
= - xg )( dx + dxaxf ) ( xf )( dx (cid:242) (cid:242) (cid:242)
= = - + dxaxf ) ( dxxf )( 0 (cid:242) (cid:242)
a 0 Mà theo đ nh lý 3.2 thì t n t 1
i ị ồ ạ c˛ [0;1] sao cho:
= = - dxxg )( cg )()01( cg )( nên g(c)=0 (cid:242)
0 do đó 0= f(c+a) - f(c) nên 0 =f(c+a) -f(c) = f(c+a+n) -f(c) v i n nguyên. V y, n u Còn n u ế c+a >1 thì ch n ọ b = c˛ [0;1]
p
2/
ớ ế c+a ˛ [0;1] thì ch n ọ b = c+a ˛ [0;1] ậ
0
p
p
2/
2/
p < xf )( dx 1 Bài toán 8: Gi s [0; ] và tho mãn: f(0) > 0, . ả ử f liên t c trên ụ ả (cid:242) 2 p Ch ng minh r ng ph ng trình (0; ) ứ ằ ươ f(x) = sinx có ít nh t m t nghi m trong kho ng ộ ệ ấ ả 2 (Olympic sinh viên) p Gi [0; ]. i:ả Xét F(x) =f(x) -sinx thì F liên t c trên ụ 2
0
0
p
p
2/
< - dxxf )( 1 hay xf )( dx < 01 Khi đó: (cid:242) (cid:242)
<
[
=
]
2/ xF )(
0
0
- xf )( sin x dx 0 dx Suy ra: (cid:242) (cid:242)
p Do đó t n t ồ ạ c˛ [0; i ] đ ể F(c) <0 2 p mà F(0)=f(0) >0 nên t n t ồ ạ c0 ˛ (0; i ) đ ể F(c0) = 0 t c là ứ F(x) = 0 có nghi m.ệ 2 p (0; ) V y ậ f(x) = sinx có ít nh t m t nghi m trong kho ng ệ ấ ả ộ 2
TÀI LI U THAM KH O Ả Ệ
ạ ọ ẵ
i toán PTTH toàn qu c Các bài thi h c sinh gi ả ọ ỏ ố , Nxb Giáo d c, Hà N i, 2000. ụ ộ
[1] Lê Hoàng Trí, Giáo trình Giái tích hàm nâng cao, Đ i h c Đà N ng, 2006. [2] Lê H i Châu, [3] Lê Hoành Phò, Chuyên kh o Đa th c [4] Lê Hoành Phò, Nguy n Sinh Nguyên, Nguy n Văn Nho,
ạ ọ ả ứ , Nxb Đ i h c Qu c gia Tp H Chí Minh, 2003. ố ồ
ể Tuy n t p các bài d tuy n ự ể ậ , Olympic toán h c qu c t ễ ọ ễ ố ế Nxb Giáo d c, Hà N i, 2003. ụ ộ
[5] Nguy n Văn M u, Lê Ng c Lăng, Ph m Th Long, Nguy n Minh Tu n, Olympic Toán sinh viên toàn qu cố , Nxb Giáo d c, Hà N i, 2006.
[6] Yaglom I.M, Chentsop N.N, Shklyarsky D.O, Selected Problems and Theorems in Elementary
ễ ế ậ ạ ọ ấ Các đ thi ề ễ ộ ụ
Mathematic, Mir Publishers, Moscow, 1979.
