PHÒNG GD & ĐT HUYỆN ......................
TRƯỜNG THCS ..........
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ:
ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHIA HẾT
Thời lượng: 30 tiết (lớp 6, 7)
Người thực hiện: ......................
Chức vụ: Giáo viên.
Đơn vị:.................................
1
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn chuyên đề:
Như chúng ta đã biết toán học là một môn khoa học cơ bản, toán học xuất hiện ngay
trong đời sống hàng ngày, tác dụng của toán học rất rộng lớn, từ những việc nhỏ như việc
tính tiền đi mua hàng, hay những việc lớn như để thiết kế nên những ngôi nhà cao tầng, các
công trình xây dựng ... tất cả đều phải dựa vào toán học.
Ngay từ khi học bậc học Mầm non các em đã được là quen với các con số 1, 2,
3,...Đến khi học lên Tiểu học và Trung học cơ sở thì bộ môn Toán được xác định là môn
công cụ, rất quan trọng đối với mỗi học sinh.
Trong chương trình Toán bậc THCS, cụ thể là ở các lớp 6 và 7 thì số học là nội dung
kiến thức vô cùng quan trọng bởi đây sẽ là nền tảng giúp các em có thể khám phá nhiều nội
dung khác của Toán học.
Trong nhiều năm làm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bản thân tôi nhận
thấy để việc học những nội dung phần Số học được tốt, cụ thể là các chuyên đề chia hết, tìm
chữ số tận cùng hay chuyên đề số chính phương, ... được tốt hơn thì việc ứng dụng Đồng dư
thức một cách hợp lý sẽ cho chúng ta những lời giải hay và ngắn gọn, học sinh rất dễ nắm
bắt kiến thức. Nhưng nội dung này lại không được đề cập trong chương trình môn Toán
THCS. Chính vì những lý do trên mà tôi mạnh dạn giới thiệu tới các đồng nghiệp chuyên đề
“ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng toán số học”. Với mục đích giúp các em
học sinh có thêm một cách tiếp cận mới đối với một số dạng toán cơ bản.
II. Mục đích, phạm vi, đối tượng của chuyên đề:
1. Mục đích của chuyên đề:
- Giới thiệu tới các em HS các khái niệm, tính chất của đồng dư thức.
- Rèn kỹ năng giải các bài toán có liên quan đến đồng dư thức. Từ đó áp dụng vào quá
trình học tập, nghiên cứu nhằm đạt kết quả cao trong các kỳ thi HSG.
2. Phạm vi nghiên cứu chuyên đề:
- Chương trình môn Toán cấp THCS
3. Đối tượng của chuyên đề:
- Áp dụng cho học sinh khá, giỏi cấp THCS.
2
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận.
Số học là một nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Toán ở
cấp THCS. Từ những phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn giản giữa các số đến
các bài toán đòi hỏi tư duy cao hơn như là dạng toán cấu tạo số, các bài toán về
số nguyên tố, số chính phương, các bài toán chia hết,…thường dành cho đối
tượng là học sinh khá, giỏi và một nội dung kiến thức có thể giúp chúng ta tìm
ra lời giải một số dạng toán trên chính là sử dụng những kiến thức về Đồng dư
thức. Đây là nội dung không được đề cập trong chương trình chính khóa nhưng
lại rất cần thiết trong việc Bồi dưỡng HSG, nên đòi hỏi giáo viên phải tìm hiểu
nghiên cứu và tìm ra những nội dung cần thiết để giúp học sinh tiếp thu và vận
dụng một cách phù hợp trong suốt quá trình học. Từ đó áp dụng vào giải các
dạng toán có liên quan đồng thời phát triển tư duy toán học. Để rồi vận dụng
vào các môn học khác cũng như trong đời sống hàng ngày.
II. Cơ sở thực tiễn
Qua thực tế giảng dạy và chủ yếu là bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán ở
các lớp 6, 7 và 8 trong trường THCS, tôi nhận thấy nhiều học sinh còn lúng túng
về cách tìm lời giải khi gặp phải những bài toán về chia hết, tìm chữ số tận
cùng, số chính phương, …mặc dù đó không phải là những bài toán quá khó,
hay như những bài toán nếu áp dụng kiến thức của Đồng dư thức vào thì cho ta
lời giải rất hay và ngắn gọn, hoặc có những bài toán khi ta áp dụng kiến thức
của lớp 8 thì mới giải được, nhưng khi sử dụng Đồng dư thức vào giải thì mới
phù hợp với khả năng tư duy của học sinh lớp 6 và lớp 7. Từ cơ sở lý luận và cơ
sở thục tiễn như vậy mà tôi đã chọn chuyên đề:
“ Ứng dụng Đồng dư thức vào giải một số dạng toán số học”.
III. NỘI DUNG .
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa:
- Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c 0) mà có cùng số dư thì
ta nói a đồng dư với b theo môđun c; kí hiệu là a b (mod c).
- Như vậy: a b (mod c)
a – b chia hết cho c.
3
- Hệ thức có dạng: a b (mod c) gọi là một đồng dư thức, a gọi là vế
trái của đồng dư thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun.
1.2. Một số tính chất:
Với a; b; c; d; m; … là các số nguyên dương (Z+), ta luôn có:
1.2.1. Tính chất 1:
+ a a (mod m).
+ a b (mod m) b a (mod m).
+ a b (mod m) và b c (mod m) thì a c(mod m).
1.2.2. Tính chất 2:
Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì:
+ a c b d (mod m).
+ ac bc (mod m).( c>0)
+ ac bd (mod m).
+ an bn (mod m).
+ (a+b)n bn (mod a).
+ an +bn ( a+b) (mod m).( n là số lẻ)
+ Nếu d là một ước chung của a; b; m thì:
a
d
b
d
(mod
m
d
);
1.2.3. Tính chất 3:
+ Nếu a b (mod m) và c Z+ thì ac bc (mod mc).
1.3. Một số kiến thức liên quan:
Trong khi làm bài tập sử dụng đồng dư thức, ta nên chú ý tới các tính chất
hay
dùng sau đây:
+ Với mọi a, b Z+ (a b) và n là số tự nhiên: an – bn
M
a – b.
+ Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có một và chỉ một số chia
hết cho n.
+ Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n 1) đem chia cho n thì phải có
hai số khi chia cho n có cùng số dư; (Theo nguyên lí Đirichlet).
+ Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số dư khi chia A cho 10m.
4
2. ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC VÀO GIẢI TOÁN.
2.1 DẠNG 1: CHỨNG MINH CHIA HẾT.
Bài 1: Chứng minh rằng: A = 7.52n +12.6n chia hết cho 19
Lời giải
Cách 1: Thêm bớt 7.6n, ta được
A = 7.25n - 7.6n +19.6n
= 7.(25n - 6n) +19.6n
Vậy A
M
19
Ta có: A = 7.25n +12.6n
Vì 25n 6n (mod19).
=> A 7.6n +12.6n (mod19)
=> A 19.6n (mod19)
=> A 0 (mod19)
Đối với một số bài toán lớp 8 nếu ta sử dụng đến hằng đẳng thức:
n n
a b a b− −M
với
( )
n N
n n
a b a b+ +M
với (
n N
; n lẻ)
thì ta có thể giải được một cách dễ dàng, tuy nhiên với học sinh lớp 6 thì chưa
thể sử dụng những hằng đẳng thức đó. Vì vậy, ta có thể sử dụng Đồng dư thức
để có được lời giải phù hợp với trình độ của học sinh lớp 6.
Bài 2: ( Sách Phát triển toán 8 tập 1).Chứng minh rằng:
a) A = 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.
b)
1962 1964 1966
1961 1963 1965 2B= + + +
chia hết cho 7.
Lời giải
Cách 1:
a) Ta có
Mà
( )
( )
2222 2222
5555 4 5555 4− −M
( )
2222 2222
5555 4 7 − M
Tương tự:
( )
5555 5555
2222 4 7+M
( ) ( ) ( )
1111 1111
5555 2222 5 2 5 2 5555 2222
4 4 4 4 4 4 4 4 7− = − − −M M
Vậy A = 22225555 + 55552222 chia hết cho 7.
5