CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Cho A(-1,7) , B(-1,1) , C(7,5).Tìm điểm D để ABCD là hình bình hành
Giải
ABCD là hình bình hành
D
ACB
D
ACB
x
xxx
AD BC
y
yyy
−=−
⎧
⇔=⇔
⎨−=−
⎩
JJJG JJJG
ĐS : D(7,11)
Ví dụ 2 : Cho như VD1 . Tìm điểm E đối xứng của C qua B
Giải :
E đối xứng của C qua B
⇔ C là trung điểm của đoạn BE
22
22
BE C E CB
BE C E CB
x
xx xxx
y
yy yyy
+= = −
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
+= = −
⎩⎩
14 1 15
10 1 9
EE
EE
xx
yy
=+ =
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
=− =
⎩⎩
Được E(15,9)
Ví dụ 3 : Cho A(-2,-3) , B(4,-1) , C(2,1) , D(-1, 0)
a) Chứng minh rằng ABCD là hình thang
b) Tìm giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Giải
a) Ta có
62
31
2
(,)
(,)
AB
CD
AB CD
=
=− −
⇒=−
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
Dễ dàng chứng minh A, B , C không thẳng hàng
b) Gọi I(x,y) = AC BD∩
Ta có : , : cuøng phöông
, : cuøng phöông
AI AC
BI BD
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
JJG JJJG
JJJG JJJG (1)
Với 23(,)AI x y
=
++
JJG
44(,)AC =
JJJG
41(,)BI x y=− +
JJG
51(,)BD =−
JJJG
Hệ (1) 42430
510
()()
()
xy
xy
+− +=
⎧
⇔⎨++=
⎩
484120
510
44 4
51
44 4
420 4
44 4
24 8
2
3
1
3
xy
xy
xy
xy
xy
xy
xy
y
x
y
+− − =
⎧
⇔⎨++=
⎩
−=
⎧
⇔⎨+=−
⎩
−=
⎧
⇔⎨−− =
⎩
+=
⎧
⇔⎨−=
⎩
⎧=
⎪
⎪
⇔⎨
⎪=−
⎪
⎩
Đáp số I( 21
33
;
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
BÀI TẬP CƠ BẢN HOẶC CÓ HƯỚNG DẪN
1. Xét tính chất của tam giác ABC , với :
a) A(-2,2) , B(2,-2), C(6,6)
b) A(0,4) , B(-2,8) , C(-6,1)
Hướng dẫn : Tính 222
,,AB BC CA ⇒Kết luận
2. Cho ABCΔ với trung điểm các cạnh AB, BC ,CA lần lượt là M(1,4) ,
11
22
,N⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
, 73
22
,P⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
. Tìm :
a) Tọa độ các đỉnh A, B,C
b) Tọa độ trực tâm của ABC
Δ
c) Trọng tâm của ABCΔ
d) Tâm đường tròn ngọai tiếp của
A
BC
Δ
Hướng dẫn
a) BNPM là hình bình hành BN MP
BN MP
xxx
NB PM yy y y
−=−
⎧
⇔= ⇔
⎨
−
=−
⎩
J
JJG JJJJG
17
13
22
13 2
4
22
BB
B
B
xx
y
y
⎧=− −
⎪
=
−
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
=
⎩
⎪=− + −
⎪
⎩
Các đỉnh A, C tìm tương tự , hoặc dùng công thức trung điểm
b) Gọi H là trực tâm 0
0
,
,
AH BC
BH AC
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
J
JJJG JJJG
JJJG JJJG
Giải hệ được H
c) Gọi G là trọng tâm : 0GA GB GC
+
+=
J
JJG JJJG JJJG G
Giải phương trình , được G
d) Gọi I là tâm đường (ABC) :
I
AIB
I
BIC
=
⎧
⎨=
⎩
Thay công thức tính độ dài IA, IB ,IC được hệ , giải hệ ta được I .
3) ,,
x
yz∀. Chứng minh rằng :
222222
x
xy y x xz z y yz z+++ ++≥ ++
Huớng dẫn :
đpcm
22
22
22
33
22 22
yy zz
x
xyyzz
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
⇔++ +++ ≥++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
Đặt 3
22
,
yy
ux
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
G22
uxxyy⇔= ++
J
JG
22
3
22
,
zz
vx vxzxz
⎛⎞
=−− ⇒ = + +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
J
G
G
22
13
22
(),()uv yz yz uv y yzz
⎛⎞
+= − + ⇒ + = + +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
GG GG
Do
uvuv+≥+→
JJGJG GG đpcm
4 ) Với mọi x, y, z . Chứng minh rằng :
222222
3
x
xy y y yz z z zx x x y z+++ +++ ++≥ ++
Hướng dẫn :
Đặt 33 3
22 22 22
,; ,; ,
yy zz xx
ux vy wz
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=+ =+ =+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
GGJG
dùng bất đẳng thức uvwuvw++ ≥++
JJGJGJJG
G
GJG
được đpcm
5 ) Cho các số x, y, z thỏa mãn :
22
22
3
16
xxyy
yyzz
⎧
+
+=
⎪
⎨
+
+=
⎪
⎩
Chứng minh rằng xy + yz + zx 8
≤
Hướng dẫn
Đặt
222
3
22
,:
xx
uyuxxyy
⎛⎞
+=++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
JJG
G
222
3
22
,:
zz
vy vyyzz
⎛⎞
=+ =++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
JG
G
()
33
22 22
.xz xz
u v xy yz xy yz xz
⎛⎞
=+++=++
⎜⎟
⎝⎠
GG
do
..uv u v≤⇒
JJGJG
GG
đpcm
6 ) Cho phương trình : 22
11
x
xxxm+++ −+=
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẩn :
Trong mặt phẳng Oxy , đặt M(x, O )
13 3
22 2
1
, ; B ,
2
A⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
22
112MA MB x x x x AB⇒+= +++−+≥=
⇒ phương trinh có nghiệm 2m
⇔
≥
7 ) Trong mặt phẳng Oxy cho A(1,2) , B(3, - 4)
a) Tìm điểm M trên Ox sao cho MA + MB nhỏ nhất
b ) Tìm điểm N trên Oy sao cho NA + NB nhỏ nhất
Hướng dẫn :
a) MA + MB AB≥
min
()MA MB AB⇒+ =⇔ M là giao điểm của Ox và đọan AB
b) Lấy 112(,)A− đối xứng của A qua Oy
Ta có NA + NB = 11
NA NB A B
+
≥
1min
()NA NB A B⇒+ =⇔ N là giao điểm của Oy và đọan 1
AB
8 ) Cho A(1,1 ) . Hãy tìm điểm
B
Ox
∈
và điểm COy
∈
sao cho ABC
Δ
đều
Hướng dẫn :
Cách 1 : ABC AB BC CAΔ⇔==
Với B(b, 0 ) 222 2
11 11 1() ()bbcc⇔− +=++=+−
C(0,c) 222
11
11
()
bc
bbc
⎧−=−
⎪
⇔⎨−+=+
⎪
⎩
Giải hệ được b và c
Cách 2 : Đặt AB = BC = CA = m (cạnh của tam giác đều )
(Ox, )
A
B
JJJG
=
α
được 11
12
cos cos ( )
sin - sin ( )
BA
BA
xxm bm
yym m
αα
αα
−= −=
⎧⎧
⇔
⎨⎨
−= =
⎩
⎩
TH1 :
()
2
2
,AB AC k
π
π
=+
JJJG JJJG
2
(, )(, )( , )Ox AC Ox AB AB AC k
π
⇒=++
JJJG JJJG JJJG JJJG
()
2
3
,Ox AC k
π
α
π
=++
JJJG
3
cos
CA
xxm
π
α
⎛⎞
⇒−= +
⎜⎟
⎝⎠
Và 3
sin
CA
yym
π
α
⎛⎞
−= +
⎜⎟
⎝⎠
Hay -1 = 3
2(cos sin )
m
α
α
− (3)
Và C-1 = 3
2(cos sin )
m
α
α
+ (4)
Từ (1), (2) ,(3), (4) được
113
2
1
1131
2
?( )
()
b
cb
⎧−= −+
⎪
⎪
⎨
⎪
⎡
⎤
−= −+ −
⎣
⎦
⎪
⎩
Giải được b và c
TH2: 2
3
(, )
A
BAC k
π
π
=− +
JJJG JJJG
Giải tương tự
9 ) Cho A(1, 2) , B(-3, 1)
Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng nhìn đọan AB dưới góc vuông .
Hướng dẫn :
Đề bài 0. (1)MA MB MA MB⇔⊥⇔ =
JJJG JJJG
Với M(x, y ) : 12
31
(, )
(,)
M
Axy
M
Bxy
=− −
=−− −
JJJG
JJJG
(1) 22
13 21 0
2340
()( )( )()xx yy
xy xy
⇔− −−+− − =
⇔++−−=
Vậy tập hợp những điểm M trong mặt phẳng là đường có phương trình
22
2340xy xy++−−=
10 ) Cho
A
BCΔ cân tạo A với B(1,0) ; C(-1,0) , A lưu động
a) Tìm tập hợp đỉnh A
b) Tìm tập hợp giao điểm của đường trung tuyến qua B và đường cao qua C
Hướng dẫn
a ) Có CA – AB 2 2 22 22
11 0() ()CA AB x y x y x⇔ = ⇔−+=++⇔=
Tập hợp các điểm A là đường thẳng x = 0 (trục tung )