Các cách tiếp cận của khái niệm phân số trong lịch sử và sách giáo khoa Toán ở tiểu học

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 34 năm 2012<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> CÁC CÁCH TIẾP CẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÂN SỐ<br /> TRONG LỊCH SỬ VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Ở TIỂU HỌC<br /> DƯƠNG HỮU TÒNG*<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Lịch sử mang lại những cách tiếp cận khác nhau cho một khái niệm toán học. Các<br /> nhà lí luận dạy học, tác giả sách giáo khoa lựa chọn các cách tiếp cận phù hợp với trình<br /> độ nhận thức và đặc điểm của học sinh. Do đó, một khái niệm toán học trong sách giáo<br /> khoa có thể được tiếp cận không tương đồng như trong lịch sử. Trong bài báo này, các<br /> cách tiếp cận của khái niệm phân số trong lịch sử và sách giáo khoa Toán ở tiểu học sẽ<br /> được làm rõ.<br /> Từ khóa: cách tiếp cận, phân số, lịch sử toán, khái niệm toán.<br /> ABSTRACT<br /> The approaches to fractional concept in history and mathematics textbooks<br /> in primary school<br /> History brought different approaches to a mathematical concept. Learning theorists,<br /> textbook authors chose the approaches in accordance with pupils’cognitive levels and<br /> characteristics. Therefore, a mathematical concept in the textbook could not be<br /> approached as the same in the history. In this article, the approaches to fractional concept<br /> in history and mathematics textbooks in primary school are clarified.<br /> Keywords: approach, fractions, mathematical history, mathematics concept.<br /> <br /> 1. Đặt vấn đề Nghiên cứu các tài liệu lịch sử,<br /> Một trong những khái niệm toán chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ<br /> học mà học sinh (HS) tiểu học thường thống số từ số tự nhiên sang số biểu diễn<br /> gặp khó khăn trong nhận thức là khái bởi phân số được tiến hành theo hai cách:<br /> niệm phân số. Phân số có vị trí, vai trò xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và<br /> quan trọng trong các mạch kiến thức toán xuất phát từ nội bộ toán học. Thứ nhất,<br /> ở tiểu học, đồng thời nó là cơ sở để mở phân số ra đời để giải quyết các vấn đề<br /> rộng các loại số khác: hỗn số, số thập thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp<br /> phân, số hữu tỉ,… Do đó, nhiệm vụ đặt ra cả những đại lượng không chứa đựng một<br /> đối với giáo viên (GV) tiểu học là phải số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu<br /> làm sao cho HS có những hiểu biết đúng chia những vật ra nhiều phần bằng nhau.<br /> đắn về khái niệm phân số, đặc biệt là Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số<br /> hình thành khái niệm ban đầu về phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để<br /> một cách chính xác. cho phép chia các số nguyên cho một số<br /> 2. Các cách tiếp cận khái niệm phân khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc<br /> số trong lịch sử các phương trình dạng b × x = a (b khác<br /> *<br /> 0) luôn luôn có nghiệm. Trong quá trình<br /> NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM<br /> <br /> <br /> 68<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> mở rộng như trên, phân số được tiếp cận mC và B = nC với m, n là các số nguyên<br /> theo 4 cách như sau: và n ≠ 0 . Euclide không xem đại lượng C<br /> 2.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần như là một số, nhưng như là “một phần<br /> của cái toàn thể hay các phần của một số” (Klein, 1968).<br /> Cách tiếp cận này có liên quan đến 2.3. Cách tiếp cận dựa trên phép chia<br /> bài toán: “Tìm ra một số phần của một Cách tiếp cận này nảy sinh trong<br /> đối tượng được chia thành các phần bằng lúc người ta đi tìm nghiệm cho phương<br /> nhau”. Trong lịch sử, khái niệm về đại trình b × x = a với a, b là các số nguyên, b<br /> lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khác 0. Cụ thể, nó được tìm thấy trong<br /> khi “phân số” đã được quan niệm như định nghĩa thông thường của một trường,<br /> “không chia được và không chia hết” được hình thành đầu tiên bởi Galois vào<br /> (Klein, 1968). Một đại lượng phân số đầu thế kỉ XIX và được thiết lập cụ thể<br /> không được xem như là một số trong bởi Dedekind vào năm 1871 (Baumgart,<br /> nhiều thế kỉ; đúng hơn, nó đã được sử 1966). Chúng tôi gọi đây là cách tiếp cận<br /> dụng như một đơn vị mới biểu diễn cho dựa trên phép chia vì nhu cầu phải có<br /> một phần hoặc các phần của một số cho a<br /> phân số là kết quả của sự cần thiết để<br /> đến khi Stevin (1548-1620) tuyên bố rằng b<br /> đại lượng này là một con số bằng cách có một tập hợp số trong đó phép chia là<br /> định nghĩa phân số như là “một phần của đóng kín (tức là tồn tại phần tử nghịch<br /> các bộ phận của cái toàn thể” (Klein, đảo và thỏa mãn các tiên đề của trường)<br /> 1968). nhằm giải quyết các vấn đề đại số.<br /> 2.2. Cách tiếp cận dựa trên đo lường 2.4. Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết<br /> Người ta tìm thấy các phân số từ tập hợp<br /> các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải Theo cách tiếp cận này, người ta<br /> quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo lường định nghĩa các phân số như là tập hợp các<br /> chung đối với hai đại lượng. Trong lịch cặp số nguyên có thứ tự. Cụ thể, các nhà<br /> sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và toán học tiếp cận như sau:<br /> tỉ lệ là “tính có thể so sánh được” được Lấy tập hợp S gồm các cặp số<br /> định nghĩa bởi nhà toán học Hi Lạp, nguyên có thứ tự (a, b), với b khác 0.<br /> Euclide (thế kỉ III, trước công nguyên) Phân chia tập S thành các tập hợp con với<br /> như sau: “Những độ lớn được cho là có quy tắc: hai cặp (a, b) và (c, d) nằm trong<br /> thể so sánh được với nhau nếu được đo a<br /> cùng một tập hợp con nếu tỉ số bằng<br /> lường bởi cùng đơn vị đo, và chúng b<br /> không thể so sánh được nếu chúng không c<br /> có đơn vị đo lường chung” (Heath, với tỉ số ; tức là, nếu và chỉ nếu<br /> d<br /> 1956). ad = bc (Childs, 1995). Cách tiếp cận<br /> Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B này có thể được tìm thấy trong thế kỉ<br /> (khác 0) là hai số có thể so sánh được với XIX và thế kỉ XX. Bằng sự nỗ lực để<br /> nhau nếu tồn tại đại lượng C sao cho A = phát triển một nền tảng toán học chặt chẽ,<br /> <br /> <br /> 69<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 34 năm 2012<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> một số nhà toán học chuyển sang số học Chương trình Toán 2 giới thiệu các<br /> như là nguồn gốc cho nền tảng như vậy. 1 1 1 1<br /> phân số: , , , . Trong khi đó,<br /> Vào cuối thế kỉ XIX, Cantor phát triển lí 2 3 4 5<br /> thuyết tập hợp, mà cuối cùng dẫn đến SGK Toán 3 cho HS làm quen với các<br /> việc hình thành các định nghĩa lí thuyết 1<br /> phân số đơn vị với n ≤ 10 .<br /> tập hợp về số hữu tỉ. Điều này rất rõ ràng n<br /> trong phong trào “toán học mới” của Trong bài “Phép chia”, các tác giả<br /> những năm 60, dựa vào tác phẩm của SGK Toán 2 trình bày khái niệm “phần<br /> Bourbaki. bằng nhau” của một đơn vị.<br /> 3. Các cách tiếp cận khái niệm phân   <br /> số trong sách giáo khoa lớp 2, lớp 3 và   <br /> lớp 4 6 ô chia thành 2 phần bằng nhau,<br /> Dạy học phân số ở tiểu học nhằm mỗi phần có 3 ô. Ở đây, người ta chỉ<br /> cung cấp cho học sinh một loại số mới, ngầm ẩn giới thiệu về khái niệm “phần<br /> biểu diễn được thương đúng của hai số tự bằng nhau” chứ không giới thiệu trực tiếp<br /> nhiên, cũng nhằm đáp ứng nhu cầu biểu về phân số. SGK cũng đưa thêm nhiều<br /> diễn chính xác các số đo đại lượng trong bài tập theo kiểu tiếp cận so sánh số<br /> đời sống thực tiễn. Phân số được chính lượng của một bộ phận của tập so với<br /> thức đưa vào giảng dạy một cách tương toàn tập hợp đó. Chính vì lẽ đó, chúng ta<br /> đối đầy đủ ở chương trình Toán lớp 4. có thể gọi tên cách tiếp cận này là “tiếp<br /> Dạy học phân số trong Toán 4 là sự tiếp cận kiểu tập hợp”.<br /> nối mạch kiến thức về phân số ở lớp 2 và Lớp 3 mang lại cho HS cách tiếp<br /> lớp 3, đồng thời làm cơ sở vững chắc để cận phân số đơn vị theo diện tích của một<br /> dạy học về phân số thập phân, hỗn số ở số hình cơ bản như hình vuông, hình chữ<br /> lớp 5. Từ đó, SGK hệ thống hóa và hoàn nhật. Các hình này được chia thành các<br /> chỉnh toàn bộ nội dung dạy học phân số ở phần bằng nhau, người ta tác động đến<br /> tiểu học, chuẩn bị cho dạy học số thập một số phần nào đó, từ đó làm nảy sinh<br /> phân. khái niệm phân số. Chẳng hạn, một bài<br /> 3.1. Cách tiếp cận phân số ở lớp 2 và tập được đưa ra trong SGK Toán 3 như<br /> lớp 3 sau:<br /> <br /> 1<br /> 4 Đã tô vào hình nào?<br /> 6<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1 Hình 2 Hình 3<br /> <br /> 70<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Tóm lại, SGK Toán 2 và 3 chỉ đề chúng tôi có thể phát biểu như sau: Phân<br /> cập đến các phân số đơn vị. Tuy nhiên, số là cặp số thứ tự (a, b) trong đó a, b là<br /> các tác giả không nêu tên phân số mà chỉ các số tự nhiên và b ≠ 0 , b chỉ số phần<br /> đề cập một cách ẩn tàng thông qua khái bằng nhau mà đơn vị trọn vẹn được chia<br /> niệm “phần bằng nhau”. Phân số được ra và a chỉ số phần bằng nhau đã lấy.<br /> xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải Định nghĩa này được cụ thể như sau:<br /> quyết dạng toán “Tìm một trong các phần 1<br /> 1 chia cho b, ta được (một phần<br /> bằng nhau của một số”. b<br /> 3.2. Cách tiếp cận phân số trong SGK b của đơn vị).<br /> Toán 4 1<br /> Tiếp đến, lấy a lần số hạng , tức<br /> a) Cách hình thành khái niệm phân b<br /> số trong SGK 1 1 1 a<br /> + + ... + =<br /> SGK Toán 4 hình thành khái niệm b 4 b244 b b<br /> 14 3<br /> phân số như sau:<br /> Chia hình tròn thành 6 phần bằng a số hạng<br /> nhau, tô màu vào 5 phần. Ta nói: Đã tô Thêm vào đó, SGK còn nêu lên<br /> màu vào năm phần sáu hình tròn. cách viết mẫu số, tử số và điều kiện của<br /> 5 mẫu số thông qua nhận xét sau: “Mỗi<br /> Ta viết: , đọc là năm phần sáu. phân số có tử số và mẫu số”. Tử số là số<br /> 6<br /> tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là<br /> 5 5 số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch<br /> Ta gọi là phân số. Phân số có tử số<br /> 6 6 ngang”.<br /> là 5, mẫu số là 6. Ngoài ra, SGK Toán 4 còn tiếp cận<br /> Mẫu số là số tự nhiên viết dưới dấu phân số như là kết quả của phép chia của<br /> gạch ngang. Mẫu số cho biết hình tròn hai số tự nhiên mà số chia khác 0 thông<br /> được chia thành 6 phần bằng nhau. Tử số qua bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ<br /> là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Tử số TỰ NHIÊN”:<br /> cho biết 5 phần bằng nhau đã được tô “Có 3 cái bánh, chia đều cho 4 em.<br /> màu. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần của cái<br /> SGK giới thiệu khái niệm phân số 3<br /> qua việc chia cái toàn thể thành b phần bánh”. SGK trình bày: 3: 4 = .<br /> 4<br /> bằng nhau. Sau đó, lấy a phần trong tổng<br /> Hoặc “Có 5 cái bánh, chia đều cho<br /> a 4 em. Hỏi mỗi em được bao nhiêu phần<br /> số b phần đó. Như vậy, có được phân số .<br /> b 5<br /> Cách trình bày này phù hợp với của cái bánh”. SGK trình bày: 5 : 4 = .<br /> 4<br /> cách tiếp cận dựa trên số phần của cái Đến đây, ta thấy được cách giới<br /> toàn thể trong lịch sử của phân số. SGK thiệu phân số có sự phối hợp của 2 cách<br /> không đưa ra định nghĩa chính thức của mà đã được đề cập trước đó: xuất phát từ<br /> phân số theo cách tiếp cận này. Ở đây,<br /> <br /> <br /> 71<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 34 năm 2012<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> nhu cầu thực tế và nhu cầu của nội bộ phân số bằng nhau. Kiến thức này rất cần<br /> toán học. thiết cho việc học quy đồng mẫu số các<br /> Nhu cầu thực tế ở chỗ: SGK đưa ra phân số, so sánh hai phân số, làm tính với<br /> tình huống như trên có từ thực tiễn cuộc các phân số. Phân số bằng nhau được tác<br /> sống. Đó là kết quả của những phép chia giả giới thiệu qua mô hình trực quan:<br /> không hết. Chứng tỏ, trong thực tế có Chia hai băng giấy bằng nhau.<br /> những tình huống cho phép làm nảy sinh Băng giấy thứ nhất được chia thành 4<br /> khái niệm số mới – phân số. phần, lấy 3 phần. Băng giấy thứ hai được<br /> Nhu cầu nội bộ toán học ở chỗ: chia thành 8 phần, lấy 6 phần nhau.<br /> Khái niệm phân số ra đời cho phép thực<br /> hiện mọi phép chia thông qua nhận xét<br /> sau trong SGK: “Thương của phép chia<br /> số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có 3 6<br /> thể viết thành một phân số, tử số là số bị Ta được = , với nhận xét rằng:<br /> 4 8<br /> chia và mẫu số là số chia”. Ngầm ẩn sau<br /> 3× 2 6 6:2 3<br /> đó, phân số ra đời còn có một ý nghĩa = ; = . Rút ra kết luận:<br /> 4× 2 8 8 : 2 4<br /> khác. Nó cho phép mọi phương trình đại<br /> 3 6<br /> số dạng b × x = a ( b ≠ 0 ) luôn có = .<br /> 4 8<br /> nghiệm. Vậy phân số là thương của phép<br /> Bài “Phân số bằng nhau” đánh dấu<br /> chia một số tự nhiên a cho số tự nhiên b,<br /> cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết<br /> b ≠ 0 . Trên tập hợp số mới (Q*) phép<br /> tập hợp (đã được đề cập trong phần lịch<br /> chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b,<br /> sử) một cách không tường minh.<br /> b ≠ 0 luôn luôn thực hiện được (đóng kín<br /> Chúng tôi nhận thấy SGK chưa đề<br /> đối với phép chia) và tập hợp Q* chứa<br /> cập cách tiếp cận bên dưới đây mà được<br /> một bộ phận đẳng cấu với N.<br /> nhắc đến rất nhiều khi dạy học số tự<br /> Hơn nữa, cách tiếp cận phân số dựa<br /> nhiên.<br /> trên phép chia tỏ ra hiệu quả hơn cách<br /> Viết tiếp phân số thích hợp vào chỗ<br /> tiếp trước đó vì giới thiệu thêm phân số<br /> chấm:<br /> không thực sự (phân số tử số lớn hơn<br /> mẫu số).<br /> Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu lên 1 2<br /> 0 ..... .....<br /> mối quan hệ của một phần tử của tập N 10 10<br /> với tập số Q*: “Mọi số tự nhiên có thể Cách tiếp cận này có thể được gọi<br /> viết thành một phân số có tử số là số tự là cách tiếp cận tia số. Nó có hiệu quả<br /> nhiên đó và có mẫu số bằng 1”. Mối trong các bài tập so sánh các phân số.<br /> quan hệ này sẽ tỏ ra rất hữu dụng khi Ngoài ra, nó cho thấy tập hợp Q* là tập<br /> thực các phép tính sau này. hợp số trù mật, khác với tập hợp số rời<br /> Tiếp đó, cần dạy HS tính chất cơ rạc N, tức trên [ 0, 1] không tồn tại số tự<br /> bản của phân số, SGK trình bày chủ đề: nhiên nào nhưng có rất nhiều phân số.<br /> <br /> 72<br /> Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Dương Hữu Tòng<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Ngoài ra, SGK còn đề xuất thêm giải quyết các tình huống. Trong khi đó,<br /> cách tiếp cận tỉ số qua bài “Giới thiệu tỉ ở lớp 4 phân số được nghiên cứu như là<br /> số”: một “đối tượng” tường minh. HS chính<br /> “Một đội xe có 5 xe tải và 7 xe thức được tìm hiểu nó qua cách hình<br /> khách. thành khái niệm, nghiên cứu các tính chất<br /> Ta nói: Tỉ số của số xe tải và số xe cơ bản, các phép tính. Từ đó, phân số trở<br /> 5 thành “công cụ tường minh” để giải<br /> khách là 5:7 hay .<br /> 7 quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan.<br /> Tỉ số của số xe khách và số xe tải là 4. Kết luận<br /> 7 Những kết quả của việc phân tích ở<br /> 7:5 hay .”<br /> 5 trên cho thấy các tác giả SGK đã có sự<br /> Giống như cách tiếp cận dựa trên chọn lựa đối với các cách tiếp cận khái<br /> phép chia, cách tiếp cận tỉ số cho phép niệm phân số. Phân số được tiếp cận trên<br /> giới thiệu cả hai loại phân số: phân số tư tưởng số phần/cái toàn thể, theo phép<br /> thực sự và phân số không thực sự. Tuy chia hai số tự nhiên, tia số, tỉ số,… SGK<br /> nhiên, đôi khi nó dẫn đến hiểu nhầm của cũng chuyển tải được sự cần thiết phải có<br /> HS không phân biệt được phân số và tỉ phân số: xuất phát từ nhu cầu thực tế<br /> số. cuộc sống và nhu cầu của nội bộ toán<br /> Nhận xét: học. Các cách tiếp cận khái niệm phân số<br /> Phân số được nghiên cứu ở lớp 2, trong lịch sử đã soi sáng được các cách<br /> lớp 3 ở góc độ ẩn tàng. Khi đó nó chỉ tiếp của đối tượng này trong SGK Toán ở<br /> được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để tiểu học.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Vũ Quốc Chung (chủ biên) (2007), Phương pháp dạy học Toán ở tiểu học, Nxb Giáo<br /> dục, Nxb Đại học Sư phạm.<br /> 2. Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung (2004), Giáo<br /> trình Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, Nxb Đại học Sư phạm.<br /> 3. Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 2, 3, 4, Nxb Giáo dục, (SGK hiện hành).<br /> 4. Đỗ Đình Hoan (2006), Toán 2, 3, 4, Nxb Giáo dục, (SGV hiện hành).<br /> 5. Nguyễn Thanh Hưng (2008), Phương pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, Nxb Giáo dục.<br /> 6. Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, Nxb Giáo dục.<br /> 7. Đào Tam, Phạm Thanh Thông, Hoàng Bá Thịnh, Thực hành phương pháp dạy học<br /> Toán ở tiểu học, Nxb Đà Nẵng.<br /> 8. Phạm Đình Thực (2003), Phương pháp dạy học Toán bậc tiểu học, Nxb Đại học Sư phạm.<br /> (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 14-9-2011; ngày chấp nhận đăng: 04-10-2011)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 73<br />