Tài liệu Các dạng toán về đạo hàm thường gặp sau đây bao gồm hai phần lý thuyết và bài tập thực hành nhằm giúp các bạn nắm bắt được những kiến thức về cách tính đạo hàm theo định nghĩa; cách viết phương trình tiếp tuyến của đường cong; tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân; đạo hàm cấp cao; dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn; tính các tổng có chứa tổ hợp.
CÁC D NG TOÁN V Đ O HÀM TH
NG G P
NG G P :
A. CÁC D NG TOÁN TH
1. Tìm đ o hàm theo đ nh nghĩa
ể
ạ
ị
Đ tìm đ o hàm theo đ nh nghĩa ta có 2 cách sau :
1.1.Ph
ng pháp :
(cid:0) Cách 1 : Theo quy t cắ
)
)
( + D f x
( f x
xD
ướ
ộ ố
ố
o B
c 1 :
Cho x m t s gia
và tìm s gia
tìm
.
- yD D = y x
ậ ỉ ố L p t s
D
D y x
ướ
ớ ạ
o B
c 2 :
Tìm gi
i h n
D
D (cid:0) D lim x 0 y x
)
)
( f x
( f x 0
(
)
ụ
ứ
.
(cid:0) Cách 2 : Áp d ng công th c:
- = f ' x 0 (cid:0) - x lim x x 0 x 0
ủ
ạ
ố
ị
ạ
ể
ỉ
Ví d 1.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau theo đ nh nghĩa t
i các đi m đã ch ra:
)
)
( f x
3 2
( f x
a)
t
i ạ 0
;
b)
t
- = - = x + x 1 x = 2 x = . i ạ 0 1 x 2 + x 1 2
ủ
ạ
ố
ị
ạ
Ví d 2.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau theo đ nh nghĩa t
ỉ ể i các đi m đã ch
ra:
3
khi
)
)
( f x
( f x
3 3
a)
t
i ạ 0
;
b)
t
i ạ 0
khi
ủ
ạ
ố
ị
Ví d 3.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau theo đ nh nghĩa :
3
(cid:0) - (cid:0) x x 2 2 = = (cid:0) x = 3 x + 4 x = . 2 - (cid:0) x x < x 10 16 2
)
( f x
2 3
a)
b)
.
;
= = - = - y x + x 2 y x + 22 x 1
1.3.Bài t p áp d ng :
ủ
ạ
ố
ị
ạ
ể
ỉ
i các đi m đã ch ra :
Bài 1.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau theo đ nh nghĩa t
2
)
)
( f x
2 3
( f x
a)
t
i ạ 0
b)
t
i ạ 0 1
;
= - = - x + x x = 1 3 x x 2 x = ;
2
)
)
( f x
( f x
c)
t
i ạ 0
d)
t
;
;
i ạ 0 x
ự ồ ạ ạ
ụ
ủ
ạ
ố
i đ o hàm và tính đ o hàm c a các hàm s sau
Bài 2.Xét tính liên t c và s t n t
đây trên ﾡ .
2
p - x 3 = = = x = x 4 cos 4 + 2 3 x + x 2
2
khi
khi
)
)
( f x
( f x
a)
; b)
;
khi
khi
5
(cid:0) - x 4 3 (cid:0) + (cid:0) > (cid:0) (cid:0) x a 2 0 x 1 = (cid:0) = (cid:0) - x + x 1 + 3 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x bx x > x 0 - (cid:0) (cid:0) x x 3 5 1
)
( f x
2 3
)
( f x
c)
; d)
.
ủ
ạ
ố
ị
Bài 3.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau theo đ nh nghĩa :
3
3
= - = + x x 2 x
)
)
( f x
( f x
a)
;
b)
;
= - x + x + 23 x 2 1 x=
)
)
( f x
( f x
c)
;
d)
;
- = = + x x x 1 1 1 sin
ủ
ạ
ố
ị
Bài 4.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau theo đ nh nghĩa :
khi
3
)
)
( f x
( f x
24 x
a)
;
b)
;
khi
2
4
+ > (cid:0) x x cos 0 = - = (cid:0) x x + (cid:0) (cid:0) sin x x 2 1 0
)
)
( f x
( 3 tan 2
( f x
c)
;
d)
) + . 1
3
= = + x x x 3
) C y :
ế
ệ ố
có h s góc âm ?
ế ủ ( Bài 5.Có bao nhiêu ti p tuy n c a
.
= + 2 - - x x x 3 6 5
ủ
ạ
ố
Ví d 4.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
4
3
2
a) = y
;
b) =
.
31 + x 3
ủ
ạ
ố
Ví d 5.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
2
- - - - 2 5 2 x x ( 2)(1 ) y x x
a)
;
b)
;
c)
.
2
2 3 3 + x 1
ứ ổ
ứ
Ví d 6.ụ
Ch ng minh các công th c t ng quát sau
- 1 x x = = = y y y - - + 2 1 x 1 3 x x 1 + - x - + x x
2
2
ố
1
a)
;
(
ằ b c là h ng s ) . 1
2
2
a b a c b c + + x x 2 (cid:0) + + a b 1 1 bx c a c 1 1 b c 1 1 , , , , a b c a , 1 ax 2 + + + + b x 1 c 1 � � � a x � 1 � = � � �
a x 1 b x 1 c 1
2
2
b)
;
(
ằ b là h ng s ) . 1
ố
2
(
)
b c + + (cid:0) 2 . a a x . 1 a b x 1 + ax , , , a b 1 1 a b c a , 1
� � � � + � bx c = � �+ a x b � 1 1 + a x b 1 1
ủ
ạ
ố
Ví d 7.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
2
4 1)
a) = y
;
b)
; c) =
.
2
2 5)
2 1) 3 1)
ủ
ạ
ố
Ví d 8.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
3
)
(
+ ( x = y y ( x + + x - - ( 1 + 2 x x ( x
;
; c)
a) = y
22 x
b) = y
.
ủ
ạ
ố
Ví d 9.ụ
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
+2 - - = + - 2 ( 2) 3 + 5 x x x y 1 1 2 x
=
y
x
x 2 sin 3 cos 5
a)
; b)
; c)
.
2 + + x x sin cos x 1 tan 3 = = y y 2 - - x x sin cos x 1 tan 3
ố ứ ạ
ố ồ
ế
ể
ặ
ọ
Chú ý : Khi g p các hàm s ph c t p n u có th ta hãy rút g n hàm s r i
ặ
ệ
ố ớ
ứ
ạ hãy đi tính đ o hàm , đ c bi
ố ố t là đ i v i các hàm s có ch a các hàm s
ượ
l
ng giác.
ủ
ạ
ố
(cid:0)
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
2
a)
; b)
;
2
3
= + = + y x (sin x cos ) y x x tan cot
= + +
5 tan 2
3 tan 2 x
c) = y
d)
y x tan tan2 x x ;
3
� � . 2 3 1 5
)
( f x
= = - y x + + 2 x mx 2 5
Cho hàm s : ố
. Tìm m đ : ể
1 3
(
)
(
)
(
)
;
b)
a)
(cid:0) (cid:0) > (cid:0) " (cid:0) " f x x x f x 0 , 0; 0 +� � ; ﾡ
(
)
(
)
(
(
)
;
d)
c)
) � � . ; 2
3
(cid:0) (cid:0) < " (cid:0) " - � x f x x f x 0 , 0; 2 0 ,
)
(
) +
( f x
= + 2 - - x x 4 + m x m 5 1
Cho hàm s : ố
. Tìm m đ : ể
m 3 m 2
(
)
)
( x(cid:0)
a)
;
b)
ấ
(cid:0) < " (cid:0) f x x f 0 , 0 ﾡ = có hai nghi m cùng d u. ệ
ạ
ố
ủ Bài 6.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
(cid:0)
2
1
3
2
4
5
4
3
=
+
y
x
x
x
+ 2 x
x
4
5
a)
; b)
;
3
2
2
4
2
1 1 - - - = - - y + x x x 0,5 3 4
5
c)
;
d)
;
3 + 3
2
3
x x x = - - = - - y x y x x x + 34 x 2 3 4 2
ố
e)
( ,
ằ a b c là h ng s ) .
ạ
ố
ủ Bài 7.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
5
= + + + - , y c x b b 2 x a a 2 x
=
(
) 1
y
x
x
(2
3)(
x 2 )
a)
;
b)
;
c)
;
= = + - - - - y x x + x y x (2 1)(3 2) 1 � 1 � x � � � �
;
e)
;
f)
d)
2
- x 2 1 = = y y - - 3 x 2 5 x 1
;
x + - x 1 = y - x 1
5
=
=
y
y
= + - x 1
y
g)
;
h)
;
k)
5 2
+ x 4 +
x
x 3 + + x
x
2 + ; i) 1
1
x
22 x 2
1
2
=
y
.
2
x x
+ + x - + x
1 1
ạ
ố
ủ Bài 8.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
3
2
2
=
=
- -
y
y
x
x
(2
3
+ x 6
1)
a)
;
b)
2
5
1 - + x
x
(
1)
2
2
=
- -
=
y
x
y
x
- + x
x
+ + 2 x
(
3 1) (
1)
c)
;
d)
1 x
� � �
2 � ; � �
-
2
2
2
=
=
e)
f)
;
;
y
x
x
y
x
x
+ 1 2
+ - 1
1
3
- -
=
+
+
h)
;
;
3 3
g) y
x
x
x
= - y + x x 1
= + = y x x + 2 1 y
i)
k)
.
;
2 -� � x 3 2 1 � �+� � x 3
ạ
ố
ủ Bài 9.Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
3
3
+
x
x
sin
x
x
sin
cos
=
+
=
y
y
a)
b)
;
;
+
x
x
sin
x
x
sin
cos
=
y
x
x
x
4sin cos 5 .sin 6
c)
d)
;
;
+
(cid:0) (cid:0) y (cid:0) x 2sin x 2sin2 x cos 2 x cos 2
x
x
x
x
x
sin 2
cos 2
sin
cos
=
=
y
y
e)
f)
;
;
-
x
x
x
x
x
sin 2
cos 2
cos
sin
+
x
1
- -
=
y
tan
g)
;
h)
;
2
2
x
+ 1 tan
2
=
=
+
y
i)
k)
;
;
y
x
cot
1
2
= - y x x tan 3 cot 3
x
1 tan
4
4
-
=
+
3)
y
x
x
cos
sin
l)
m)
;
;
3
3
(cid:0) (cid:0) y x x (sin cos
)
( sin cos3
n)
o)
;
;
2
2
5
2
= (cid:0) y x y x x sin 2 cos 2
(
)
p)
q)
;
2 -� � x 3 � �+� � x 2
= = y x y sin cos3 cot � cos � � � � � cos � � � . � � �
a) Cho hàm s ố (cid:0) xf
. Tính
.
Bài 10.
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cos (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f f f f ;0' ' ; ' ; ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 2 x x sin 1
ứ
b) Cho hàm s ố
. Ch ng minh:
p p cos - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f 3 y xf x 2 (cid:0) 3 4 � � � � = f 3 ' � � � � � � � � x 1 sin
ủ
ạ
ố
Tìm đ o hàm c a các hàm s sau :
Bài 11.
4
4
6
6
= + -
x x + x x y
cos
a)
;
4
2
4
2
cos
(
(
)
) + 3
b)
;
8
8
6
6
4
= - - y x x x x cos 2cos sin 2sin 3
) +
)
( 3 sin
( 4 cos
c)
;
4
4
= - - x x x + x y x cos 2sin 6sin
d)
;
6
+ - = y - sin + x 3cos + 6 x 1 4 x x cos x 3cos sin 1
)
2
2
2
e)
f)
;
+ x tan = + + - y x x x cos cos cos = y p 2 � � 3 � � + � � p 2 � � 3 � � ; � � p� �- x ( . 1 sin � � 4 2 � � x sin
g)
;
h)
= + + + (cid:0) = y x 2 2 2 2cos , y + + + + + + x x x x sin cos sin 2 cos 2 x sin 3 x cos3 x sin 4 x cos 4 � x � � p � � � . 0 ; � � � 2 � � �
ứ
Cho hàm s ố
ch ng minh :
Bài 12.
(cid:0) y x x sin
(
)
(
)
a)
;
- - - xy y + x x x = y 2 ' sin 2cos 0
b)
.
4
4
6
6
- = x x tan x y ' cos
ứ
Cho các hàm s : ố
,
. Ch ng minh :
Bài 13.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf x x xg x x sin cos sin cos
.
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xf xg '3 '2 0
ứ
2 yx .
a) Cho hàm s ố
. Ch ng minh :
.
Bài 14.
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 12 ' y x 1 x
ứ
b) Cho hàm s ố
. Ch ng minh :
ả
ươ
Gi
i ph
ng trình
= y x cot 2 y y+ ' 2 2 0 + = .
t : ế
Bài 15.
2
y = bi ' 0
a)
; b)
;
= - = + y x x sin 2 2 cos y x x cos sin
(
)1 sin 2
c)
; d)
.
3
+ + = = - - y x x x y m + x x mx 3sin 2 4 cos 2 10 2cos 2
(
) 1
Cho hàm s ố
. Tìm m đ :ể
Bài 16.
ệ
ệ
a)
+ 2 = - - y + m x mx x 2 4 1 3
t ;
y = có hai nghi m phân bi ' 0
ể ế ượ
ươ
ị ứ
ủ
b)
t đ
c thành bình ph
ng c a nh th c ;
'y có th vi
c)
(cid:0) " (cid:0) y x ' 0 , ﾡ ;
(
)
d)
;
" (cid:0) y x < ' 0 , 1 ; 2
e)
.
y " > x > ' 0 , 0
(
) 1
ị
Cho hàm s ố
. Xác đ nh
Bài 17.
= - + 3 - - y mx m + 2 x mx 3 m đ :ể 1 3
a)
ệ
ệ
b)
(cid:0) " (cid:0) y x ' 0 , ﾡ .
t cùng âm ;
x+
ệ
ệ
ề
ệ
ỏ
c)
y = có hai nghi m phân bi ' 0
t th a mãn đi u ki n :
= . 3
2 x 1
2 2
y = có hai nghi m phân bi ' 0
(
)
ị
ể
ố
Cho hàm s ố
. Xác đ nh
x"
.
Bài 18.
3
- mx 2 (cid:0) = y (cid:0) ' 0, 1 ; + (cid:0) y m đ hàm s có + 2 6 x + x 2
ị ủ
ể
ố
Tìm các giá tr c a tham s
ố m đ hàm s :
Bài 19.
= + + y x + 23 x mx m
ằ
ạ
ộ
ộ
có
trên m t đo n có đ dài b ng 1 .
4
2
y (cid:0) ' 0
(
(
( ) 10 1
) la� tham so�
) + 29 x
ị
ể
Cho hàm s ố
. Xác đ nh
ố m đ hàm s
Bài 20.
+ - = y mx m m
ệ
có
ệ có 3 nghi m phân bi
t .
y = ' 0
t ph
ng trình ti p tuy n c a đ
ng cong
2. Vi
2.1.Ph
ng pháp :
)
)
( f x
) :C y
( M x 0
= ; y 0
ế
ế ủ ồ ị ( Ti p tuy n c a đ th
i ạ t
, có
(cid:0) Khi bi
t ti p đi m :
=
(
y
f
x
y
'
) ( .
) - + x 0
x 0
0
ươ
ph
ng trình là :
( 1 ) .
)
( f x
) :C y
=
ế
ế
có
(cid:0) Khi bi
t h s góc c a ti p tuy n
)
(
)
( M x 0 0
ể
ế
ệ ố h s góc là
là ti p đi m
(1)
� k= ; 'f y 0 x 0 k thì ta g i ọ
)
0
( f x 0
ả
ươ
Gi
i ph
ng trình (1) tìm
0x suy ra
= y
) +
( k x
0
ươ
ế
ế
ả
ạ
Ph
ng trình ti p tuy n ph i tìm có d ng :
Chú ý :
= - y y x 0
)
)
(
)
( C(cid:0)
ệ ố
ế ạ
ế
( M x 0
ủ H s góc c a ti p tuy n t
i
là
Trong đó (cid:0) là
ề ươ
ữ
ụ
ủ
ế
ế
góc gi a chi u d
ng c a tr c hoành và ti p tuy n .
ườ
ệ ố
ủ
ẳ
ằ
ớ
Hai đ
ng th ng song song v i nhau thì h s góc c a chúng b ng nhau .
= a k (cid:0)= f tan y 0, x 0
ườ
ệ ố
ủ
ế
ẳ
ằ
Hai đ
ng th ng vuông góc n u tích h s góc c a chúng b ng
.
(
1
1
1-
(cid:0) Bi
t ti p tuy n đi qua đi m
) A x y : ;
)
)
( f x
( M x 0 0
ế
ươ
ế ủ
ế
Vi
t ph
ng trình ti p tuy n c a
t
i ạ
:
= y ; y 0
(
)
(
) +
(
) 1
0
= - y f x y ' . x 0 x 0
)
(
)
(
) +
)
(
)
( A x y 1 1
( f x 0
ế
ế
Vì ti p tuy n đi qua
ả
ươ
ế
ươ
ế
Gi
i ph
ng trình(*) tìm
0x th vào (1) suy ra ph
ế ng trình ti p tuy n .
= - � f ; ' . * y 1 x 0 x 1 x 0
3
2
(
)
( f x
) C y :
ườ
ế
ươ
= = - x x 3
Cho đ
ng cong
. Vi
t ph
ế ủ ế ng trình ti p tuy n c a
(
ườ
)C trong các tr
ợ ng h p sau :
)
ạ
ể
a) T i đi m
;
- M 2
ạ
( 0 1 ; ộ ( ể b) T i đi m thu c
;
ể
ạ
ớ ụ
ủ ( c) T i giao đi m c a
x = - 1
)
)C và có hoành đ ộ 0 )C v i tr c hoành . ( A -
ế ế
ế
ể
d) Bi
t ti p tuy n đi qua đi m
.
- 1 ; 4
(
) C y :
ườ
+ =
Cho đ
ng cong
ế
ế
ươ
ế ế
ớ ườ
ế
- 1 x
a) Vi
t ph
)C bi
t ti p tuy n song song v i đ
ng
x 3 1 ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a
(
) :
th ng ẳ
;
ế
ươ
ế
ế ế
ớ ườ
ế
b) Vi
t ph
ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a
)C bi
t ti p tuy n vuông góc v i đ
ng
- - d x y 4 = 21 0
(
) : 2
th ng ẳ
;
ế
ươ
ế
ế ế
ớ ườ
c) Vi
t ph
ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a
)C bi
ế ạ t ti p tuy n t o v i đ
ẳ ng th ng :
D + x - = y 2 9 0
ộ
m t góc
030 .
3
- x + = y 5 0 2
(
)
23 x
ấ ả
ế
= + - y x + x C 9 5
Cho hàm s ố
. Trong t
t c các ti p tuy n c a đ th
ế ủ ồ ị
(
ệ ố
ế
ế
ỏ
)C , hãy tìm ti p tuy n có h s góc nh nh t.
ấ
(
) 1
ế
ươ
ế ủ ồ ị
ế
= y
Cho hàm s ố
. Vi
t ph
ng trình ti p tuy n c a đ th hàm
ế ế
ắ ụ
ầ ượ ạ
ụ
ế
ố s (1), bi
t ti p tuy n đó c t tr c hoành, tr c tung l n l
t t
ể i hai đi m phân
bi
t ệ A, B và tam giác OAB cân t
ạ ố ọ ộ O.
i g c t a đ
(Kh i Aố
– 2009) .
x x 2 + 2 + 3
)
(
23 x
- = - + 3 x C y 2
Cho hàm s ố
)C mà qua đó
ỉ ộ ế
ế
ộ
ộ ồ ị( ể . Tìm các đi m thu c đ th )C . ớ ồ ị ( c m t và ch m t ti p tuy n v i đ th
ẻ ượ k đ
ễ
ệ
ọ
ệ ư (H c vi n Công ngh B u chính Vi n thông,
1999)
2
ế ạ
ứ
ế
= -
Cho (
)C là đ th c a hàm s ố ồ ị ủ
. Ch ng minh ti p tuy n t
i
ạ
ố ọ ộ
ể
ộ
ể
ấ
ộ
ề i m t đi m cách đ u g c t a đ và
x x 6
ủ ( m t đi m b t kì c a
ể
ế
ti p đi m .
y )C c t tr c tung t ắ ụ
2.3.Bài t p áp d ng:
2
) C y :
ế
ươ
ế
Cho hàm s ố (
. Vi
t ph
ớ ( ng trình ti p v i
)C :
Bài 21.
ể
ạ
ộ 0
a) T i đi m có hoành đ
= - x + x 2 3
x = ; 2
ế ế
ớ ườ
ế
b) Bi
t ti p tuy n song song v i đ
ẳ ng th ng :
;
- = x y- 4 9 0
ớ ườ
c) Vuông góc v i đ
ẳ ng th ng :
;
(
)
- x 2 y+ 4 = 2011 0
ế ế
ế
ể
d) Bi
t ti p tuy n đi qua đi m
.
A 1 ; 0
(
)
Cho hàm s : ố
.
Bài 22.
+ = y C - x 3 1
( M -
) 1 ; 1
ế
ế
ươ
ể i đi m
a) Vi
t ph
ớ ụ
ế
ươ
ế b) V t ph
ớ ụ
ạ
ế
ế
ươ
ủ ( ể i giao đi m c a ủ ( ể i giao đi m c a
; )C v i tr c hoành; )C v i tr c tung ;
c) Vi
t ph
ớ ườ
ế ế
ế
ế
ươ
)C t ạ )C t ạ )C t )C b t ti p tuy n song song v i đ ế
ng
-
d) Vi
t ph
(
1 x ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a
) : 4
th ng ẳ
;
ế
ươ
ế
ế ế
ớ ườ
ế
e) Vi
t ph
ế ủ ( ng trình ti p tuy n c a
)C bi
t ti p tuy n vuông góc v i đ
ng
x d y- + = 1 0
(
) : 4
th ng ẳ
.
3
D + - = x y 8 0
(
)
23 x
Cho hàm s : ố
Bài 23.
= - y x C
(
)
ế
ươ
ế
t ph
a) Vi
ế ủ ồ ị ( ng trình ti p tuy n c a đ th
.
ứ
ế
ằ
)C t ạ ủ ồ ị ( ế b) Ch ng minh r ng các ti p tuy n khác c a đ th
ể i đi m )C không đi qua I .
2
- I 1 ; 2
(
)
ươ
ế
ế
Cho hàm s ố
.Tìm ph
ớ ( ng trình ti p tuy n v i
)C :
Bài 24.
ể
ạ
a) T i đi m có hoành đ
ộ 0
= - - y x x C 1
(
1 x = ; 2
) :
ớ ườ
b) Song song v i đ
ẳ ng th ng :
3
2
d x y+ 2 = . 0
(
(
) 1
) 1
ố ự
Cho hàm s ố
, m là tham s th c .
Bài 25.
ế ủ ồ ị ủ
ể ế
ố
ạ
ể
Tìm các giá tr c a
ị ủ m đ ti p tuy n c a đ th c a hàm s (1) t
i đi m có hoành
= + + + + y x m x mx 3 1
(
)
x = -
1
đ ộ
đi qua đi m ể
.
ự ị (D b A
1 2008)
A 1 ; 2
(
) 1
ủ
ụ
ệ
ạ
ở
Cho hàm s ố
. Tính di n tích c a tam giác t o b i các tr c
Bài 26.
)
( M -
= y + x 3 + x 1 1
ế ủ ồ ị ủ
ế
ố
ạ
ọ ộ t a đ và ti p tuy n c a đ th c a hàm s (1) t
ể i đi m
.
(D b Dự ị
1 2008)
2 ; 5
(
)
33 x
ế
ươ
ế
Cho hàm s ố
. Vi
t ph
ế ủ ồ ị ( ng trình ti p tuy n c a đ th
)C
Bài 27.
(
= + y C 4
) : 3
ế ế
ớ ườ
bi
ế ạ t ti p tuy n t o v i đ
ẳ ng th ng
góc
030 .
3
y d x- + = 6 0
(
)
ấ ả
ế
Cho hàm s ố
. Trong t
ế ủ ồ t c các ti p tuy n c a đ
ệ ố
ế
ế
ớ
Bài 28. th ị (
)C , hãy tìm ti p tuy n có h s góc l n nh t. ấ
= - - - y x x C + 23 x 9 5
(
)
)
(
)
( M C(cid:0)
Cho hàm s ố
. G i ọ
. Tìm đi m ể
sao cho ti p ế
Bài 29.
ớ ườ
)C t
i ạ M vuông góc v i đ
ẳ ng th ng
- = I 1 ; 2 y C - x 2 x 1 1
ế ủ ( tuy n c a
ự ị (D b B
2 2003)
IM .
)
(
)
( M C(cid:0)
ế ế
(*) Cho hàm s ố
. Tìm đi m ể
, bi
ế ủ ( t ti p tuy n c a
)C t
iạ
Bài 30.
ệ
ằ
ắ
= y C x 2 + x 1
ụ ọ ộ ạ ,A B và tam giác OAB có di n tích b ng
i
.
ố
(Kh i D 2007)
M c t hai tr c t a đ t 1 2
)
(
)
)C
ế
ươ
(*) Cho hàm s : ố
. Vi
t ph
ế ( ế ng trình ti p tuy n
c a ủ (
Bài 31.
x D = y C - x 1
)
(
)
(
)
ườ
ạ
ắ
ộ
2
sao cho (
và hai đ
ng
(D b Dự ị
2 2007)
= D x d y : 1 ; : d 1 = c t nhau t o thành m t tam giác cân. 1
(
)
( A -
) 1; 1
ứ
ể
ẻ ượ
Cho hàm s ố
ằ . Ch ng minh r ng qua đi m
k đ
c
Bài 32.
ế
ế
ế
ớ
ế ớ ( hai ti p tuy n v i
)C và hai ti p tuy n đó vuông góc v i nhau.
3
C y = + x 1 + x 1
)
( x C
ể ẻ ượ
(*) Cho hàm s ố
. Qua đi m ể
có th k đ
c
Bài 33.
ế
ế
ấ
ế
ươ
ế ấ
= + 2 - A x y x 2 3 4 4 � � ; � � 9 3 � �
ồ ị ( ế m y ti p tuy n đ n đ th
t ph
ế ng trình các ti p tuy n y .
2
1 3 )C . Vi
)
ứ
ằ
(*) Cho hàm s ố
. G i ọ ( I -
.Ch ng minh r ng không
Bài 34.
ế
ủ ( ế có ti p tuy n nào c a
+ + x 2 = 1 ; 0 y C ( ) x 2 + 1
ự ị (D b B
2 2005).
x )C đi qua đi m ể I .
(
)
22 x
ụ
ể
ộ
(*) Cho hàm s ố
t c các đi m thu c tr c tung
. Tìm t
Bài 35.
ừ
ể ẻ ượ
ế
sao cho t
đó có th k đ
ấ ả ớ ồ ị ( ế c ba ti p tuy n v i đ th
)C .
= - + 4 - y x C 1
3. Tìm vi phân c a hàm s và tính g n đúng nh vi phân
3.1.Ph
ng pháp :
ứ
ị
D aự theo đ nh nghĩa và công th c sau :
)
)
(
( f x
( x(cid:0)
) .
ạ
ượ ọ
(cid:0) Cho hàm s ố
có đ o hàm
thì tích
đ
c g i là vi phân
(cid:0) = D y f f x x
)
( f x
ố ủ c a hàm s
.
= y
)
(
)
(
( df x
) x dx .
Kí hi u : ệ
hay
(cid:0) (cid:0) = (cid:0)= f x f dy D = x . y dx .
)
) +
(
( f x 0
( f x 0
) x 0 .
(cid:0) + D (cid:0) D (cid:0) x f x
ủ
ố
Tìm vi phân c a các hàm s sau :
2
3
=
+
(
)
y
x
x
x
) ( 1 2
3
a)
;
b)
.
2 3 x
ủ
ố
- x 5 - = y - + x 1
Tìm vi phân c a các hàm s sau :
3
=
y
x
x
tan
2 cot 3
a)
;
b)
.
1 2
ữ ố ậ
ế
ấ
ầ
ả
ị
x - = + y sin x x x sin
Tính g n đúng các giá tr sau (l y 4 ch s th p phân trong k t qu ) :
0
0
a) 8,99
b)
;
c)
;
cos 46 tan 59 45' .
3.3.Bài t p áp d ng:
ủ
ố
Tìm vi phân c a các hàm s sau :
Bài 36.
=
y
x
x
(
2 32 )
a)
;
b)
;
2
2
2
+ x 2 = - y - 3 + x x 5 5
+
x
1
=
c)
;
d)
;
y
� � �
� � �
x
+ x 1 cos 2 = y - x 1 cos 2
=
+
y
x sin(cos )
x cos(sin )
3cot (2
e)
;
f)
.
3
3
p = + y x ) 4
Cho hàm s ố
.
Bài 37.
- = y x x x cos sin + x 1 sin .cos
ứ
ứ
ẳ
Ch ng minh đ ng th c :
.
ữ ố ậ
ế
ầ
ấ
ả
ị
Tính g n đúng các giá tr sau (l y 4 ch s th p phân trong k t qu ) :
Bài 38.
0
- = x dx y dy . cos 2 . 0
a) 4,02
;
b)
;
c) 3 7,97 .
tan 44 30'
4. Đ o hàm c p cao
4.1.Ph
ng pháp :
ự
ị (cid:0) D a theo các đ nh nghĩa sau :
(
)
)
ạ
ấ
Đ o hàm c p 2 :
( = � �� � f x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x
(
(
n
n
1
) (
)
) (
)
(
)
ấ
ạ
Đ o hàm c p cao :
.
(cid:0) Chú ý :
ủ
ứ
ể
ấ
ạ
ạ
ộ
ố
Đ tìm công th c tính đ o hàm c p
ấ n c a m t hàm s ta tìm đ o hàm c p 1 ,
ứ
ứ
ứ
ự
ạ
2 , 3 … sau đó d đoán công th c tính đ o hàm c p
ấ n và ch ng minh công th c
ươ
ạ
ằ đó b ng ph
ng pháp quy n p .
(cid:0) - = γ ﾡ f x x n n , , 2 � f � � � � �
ủ
ấ
ạ
ố
ỉ
Tìm đ o hàm các c p đã ch ra c a các hàm s sau :
4
2
3 +
a) = y
. Tìm
;
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - ,y y 7 x x 5 x + 4 x 1 4 2 3
(
) 4
b)
. Tìm
;
c) = y
ệ ứ
ố ượ
ứ
ớ
- (cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - y (cid:0)y . , , y y y 3 x x . Tìm 3 + 3 4 x x
Ch ng minh các h th c sau v i các hàm s đ
ỉ c ch ra:
2
;
khi
a) 3 y y
2
(cid:0) (cid:0) + = = - x x 2
) =
khi
2 x y
b)
.
(cid:0) (cid:0) + 2 - 1 0 ( y ) ( x y y = y x 2 + 1 0 x .tan
*
ứ
ứ
ằ
(cid:0) ﾡ
ạ Ch ng minh b ng quy n p các công th c sau đúng
:
)
)
n
n
n
n"
) (
) (
a) (
;
b) (
n
= = sin sin cos cos ax a ax p� n +� ax 2 � � � � p� n +� ax 2 � � ; � �
) 1
c)
.
1
n
( ) n � = � 1 �+� � ax b �
( (
n a n ) +
- !
ủ
ố
+ ax b
ạ Tìm các đ o hàm c p
ấ n c a các hàm s sau :
x
5
=
y
a)
;
b)
.
+ 2 3 x + x 1
ủ
ố
+ - = y - x x 4 2 1 1
ạ Tìm các đ o hàm c p
ấ n c a các hàm s sau :
4
4
=
y
x
x
x
8sin .cos3 .cos 4
a)
;
b)
.
ế ượ
ủ
ộ
ố
ạ
ế
ổ
ấ n c a m t hàm s , n u đ
c ta hãy bi n đ i
(cid:0) Chú ý : Khi tìm đ o hàm c p
ủ
ạ
ộ
ố
ố
ổ
hàm s đã cho thành t ng c a các hàm s có m t trong các d ng :
= + y x x sin cos
ứ ở
ụ
ồ
ụ
r i áp d ng các công th c
ự ví d trên , d đoán ra công
ứ ạ
ủ
ứ
ố
ạ ằ
ạ
th c đ o hàm c p
ấ n c a hàm s đã cho và ch ng minh l
i b ng quy n p
ế ầ (n u c n) .
; sin ; cos ax ax 1 + ax b
4.3.Bài t p áp d ng:
ủ
ấ
ạ
ố
ỉ Tìm đ o hàm các c p đã ch ra c a các hàm s sau :
Bài 39.
=
=
y
x
x .cos 3
y
x
2 sin 2
a)
tìm y(cid:0)
b)
tìm y(cid:0)
;
2
+
+
x
1
3
=
+
=
(
y
y
)5y (
)4y (
x
2
) 5 1
c)
tìm
d)
tìm
.
;
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ;
x
x 2
-
ứ
ứ
ẳ
Ch ng minh các đ ng th c sau :
Bài 40.
a)
n u ế
;
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy y x xy y x x 2 ' sin " 0 sin
b)
n u ế
;
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 218 1 y 0" y x cos 2 3
c)
n u ế
;
[
]4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y " 0 y (cid:0) x x sin 1 x sin cos x cos
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + = - y
d)
n u ế
;
y xy y 2 4 40
(cid:0) "1 y
e)
n u ế
;
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y '2 2 y (cid:0) x x 3 4
n u ế
;
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 2 x yyx ' 0 y x 1 x
)
- ﾡ y .4".1 )2 k (cid:0)
x
y
xy
= 2 k y
1
+ "
'
0
f) g) (
n u ế
, (
.
ủ
ạ
ố
Tìm đ o hàm c p
ấ n c a các hàm s sau :
Bài 41.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) y x x 12 (cid:0)
a)
;
b)
;
2
- 3 = = y y - - x 2 + x 1 2 x x 2
c)
;
2
2
+ x = y - 2 + x x 2 1
d)
;
d)
;
e)
2
6
6
- x 4 5 3 = = y x x x 8sin .sin 2 .sin 3 y - x + x + x 2 3 1
;
(
)
n
2
n
= + x y x sin cos
( = -
) n 2 1 3
ứ
f) Cho
. Ch ng minh
.
= y x cos3 y y
i h n
5. Dùng đ nh nghĩa đ o hàm tìm gi
5.1.Ph
ng pháp :
)
(
)
( f x
(
)
ể ử ụ
ủ ạ
ị
Ta có th s d ng đ nh nghĩa c a đ o hàm :
ớ ạ
ằ
ạ
ế
ớ ạ ầ
ể đ tính các gi
ị i h n có d ng vô đ nh . B ng cách vi
t gi
i h n c n tìm thành
- f 0 = f ' x 0 (cid:0) - lim x x 0 x x 0
)
(
)
ủ
ạ
ạ d ng :
ạ , sau đó tính đ o hàm c a hàm
( ) f x t
ể i đi m
ồ 0x r i áp
( f x x
ả ủ
ế
ạ
ị
ớ ạ
ụ d ng đ nh nghĩa đ o hàm suy ra k t qu c a gi
i h n .
- 0 (cid:0) - lim x x 0 f x 0
ớ ạ
Tìm các gi
i h n sau :
3
a)
;
b)
3
3
2
(cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) lim x 0 41 x
x
5
7
.
2
lim x 1
x
x 1
ớ ạ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Tìm các gi
i h n sau :
n
x n
1
a)
;
b)
.
n 2
lim x 1
nx x
(
)1
ớ ạ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) + + - x x x n (cid:0) (cid:0) (cid:0) - lim 1 x L2 + 1 x
Tìm các gi
i h n sau :
(cid:0)
x
sin
4
a)
;
.
b)
4
lim (cid:0) x
x
sin2
1
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x tan x tan.2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0)
5.3.Bài t p áp d ng:
ớ ạ
Tìm các gi
i h n sau :
Bài 42.
3
a)
b)
;
;
2
- - x x + - 8 3 3 2 (cid:0) (cid:0) lim x 1 lim x 1 x + - - x x x 2 3 1
3
1
2
sin
x
x
x
3 3 4
+ 24
2 8 2
3
;
d)
;
2
c) (cid:0)
lim x 0
lim x 2
+ + x 1 + -
+ - x x
4
4 2
x 3
x
n
3
- - - (cid:0) - -
x
1
e)
f)
;
;
m
4
lim x 1
x
1
ớ ạ
Tìm các gi
i h n sau :
Bài 43.
3
2
p
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) lim x 0 - (cid:0) x x + 1 2 + 1 3 1 1
x
x
x
2
1
a x
) tan
, (
a
0)
a)
;
b)
;
lim( a x
lim x 0
x
1 sin
2
a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
c)
;
d)
;
lim x 1
x tan(
x 23 x )1
3
+
- (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) lim x 0 (cid:0) cos3 x x cos5 x .sin 2
x
cos 3
x
1
e)
;
f)
+ +
lim x 0
lim p x
1 sin 3 x
x 1 sin 3
x
x
cos sin
2
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ 2
x
x
1
tan
1
sin
x
x
2
1
g)
h)
;
;
3
lim x 0
lim x 0
x
4 x
+ - 1 1 cos
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) -
2 +
i)
.
+ - + + 3 46 x 2 x x 3 x + 4 19 2 (cid:0) lim 1 x - 1 x
h p
6.1.Ph
ng pháp :
ạ ố ổ ợ
ị ứ
ụ
ể
ổ
ầ Trong ph n đ i s t
h p khi áp d ng nh th c Newton đ tính các t ng có
ứ ổ ợ
ứ
ả
ế
ệ ấ
ụ
ạ
ch a các công th c t
h p đôi khi ta ph i bi
t áp d ng khéo léo vi c l y đ o
ấ ủ
ế
ẽ
ượ ổ
hàm các c p c a các v ta s tính đ
ầ c t ng c n tính .
ổ Tính các t ng sau :
n
2
1
1 n
2 C 2 n
3 n
a)
;
- + + +L C + 5 3 5 5n nC n = S C 1
n
n
2
(
( n n
) n 1 .
) 1 .
2 n
3 n
n n
b)
.
2
- - = + 3 + - - - L S C C C 2.1. 2 3.2. 2
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 n C .
1 n
2 n
3 n
n n
3
c)
;
d)
= + + + +L S C C C
(
)
0 n
1 n
2 n
n C n
4
.
= + + + + + S C 2 C 5 C 8 ..... 2 n 3
6.3.Bài t p áp d ng:
ọ
ổ
Rút g n các t ng sau :
Bài 44.
=
+
+
+
+ 1
L
C
n
C
nC
C 2
(
1)
a)
;
1 n
2 n
n n
n n
S 1
- -
1
=
+
+
+
+
S
C
nC
n
C
C 2
C 3
+ + ...
(
1)
b)
;
0 n
1 n
2 n
n n
n n
2
-
(
)
0 n
1 n
2 n
n n
3
c)
.
ọ
ổ
(*) Rút g n các t ng sau :
Bài 45.
= + + + + + S C C 2 C 5 C 8 ..... 2 n 3
.
0 100
1 100
99 100
100 100
99 1 � � � � 2 � �
100 1 � � + � � 2 � �
198 1 � � + � � 2 � �
199 1 � � � � 2 � �
= - - LL C C C C a) 100 101 199 200 S 1
18 2
2
2 20
3 20
20 20
b)
.
= - +L S C C C 2.1. 3.2. + 17 2 380.
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 2009 .
3
1 2009
3 2009
2009 2009
c)
.
= - - +L S C C C C + 2 2009
0 n
2 n
4
2010 2010
d)
.
= - - S C C 3 C 7 + ..... 4023 + 1 C 5 n
3 n
(
)
ẳ
ỏ
ổ
ố Cho s nguyên
. Tính t ng :
Bài 46.
ứ ( n th a mãn đ ng th c
)
n
= (cid:0) n 35, 3 - - n + 3 A C n ) ( n 1 2
(
2 2 .
2 3 .
) 1
2 n C .
2 n
n n
.
ự ị (D b B
1 – 2008) .
ứ
ằ
ươ
Ch ng minh r ng v i
ố ớ n là s nguyên d
ng , ta luôn có :
Bài 47.
= - + -L S C + 3 C n
1
(
(
n n C .2 .
) n 1 1 .2 .
) n 2 2 .2 .
n n 2 .3
n n
(D b Dự ị
1 – 2008) .
ố
ươ
Tìm s nguyên d
ng
n sao cho :
Bài 48.
- - - - + - - + L n C n C 2. + 1 n + 2 C n = n 1 n
(
)
2 3.2
3 4.2 C
1 + 2 1 n
3 + 2 1 n
+ = 2 1 n + 2 1 n
k
(
nC là số
ổ ợ
ầ ử
t
h p ch p
ậ k c a ủ n ph n t
) .
ﾡﾡﾡﾡﾡ
- - 2.2 2011 C C C + + 2 n ... 2 1 .2 n C + 2 + 2 1 n + 4 + 2 1 n
