03/04/2017
1
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM
MỘT BIẾN
CHƯƠNG 2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm tại một điểm
•Định nghĩa: Đạo hàm của hàm f tại điểm a, ký hiệu
f’(a) là:
(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).
•Chú ý: đặt h=x-a, ta có:
' lim
x a
f x f a
f a
x a
0
' lim
h
f a h f a
f a
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm đạo hàm của hàm:
tại a=2 theo định nghĩa.
Ta xét giới hạn sau:
Vậy:
2
8 9
f x x x
22
0 0
2 8 2 9 3 4
lim lim 4
h h
h h h h
h h
' 2 4
f
0
2 2
lim
h
f h f
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm phải – trái
•Đạo hàm trái của f(x) tại a là:
•Đạo hàm phải của f(x) tại a là:
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h
0
' lim lim
x a h
f x f a f a h f a
f a
x a h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Định lý
•Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và
chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và
hai đạo hàm này bằng nhau.
•Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm
số liên tục tại a. Chiều ngược lại có thể không
đúng.
' ' '
' lim
x a
f a L f x f a
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Cho hàm số:
Tìm
Ta có:
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0.
1/
, 0
0 , 0
x
e x
f x x
' 0 ; ' 0
f f
1/
1/
0 0
0 0
0 0 0
' 0 lim lim lim 0
0 0 0
' 0 lim lim
h
u
h
u
h h
h h
f h f e u
fh h e
f h f e
f
h h
03/04/2017
2
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số đạo hàm
•Với a cố định ta có:
•Thay a bằng x ta có:
•Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu
giới hạn tồn tại hữu hạn. Như vậy giá trị của f’(x) phụ
thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm
theo x và gọi là đạo hàm của hàm f.
0
' lim
h
f a h f a
f a
h
0
' lim
h
f x h f x
f x
h
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số đạo hàm
•Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).
•Ký hiệu:
•Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho
f’(x) tồn tại. Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).
'; '; ; ;
df dy d
f y f x
dx dx dx
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 1
•Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x
2
.
•Ta có:
•Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc
TXĐ.
•Vậy đạo hàm của hàm số:
22
0 0
lim lim 2
h h
f x h f x x h x
x
h h
' 2y x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ 2
•Tìm đạo hàm của hàm:
•Ta có:
•Vậy:
•Chú ý: tập xác định của hàm f(x) là: [0; )
0 0
1
' lim lim
2
h h
f x h f x x h x
f x
h h x
1
' . D : 0;
2
f x TX
x
f x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Qui tắc tính đạo hàm 1
•Cho u, v là hai hàm theo x. Khi đó đạo hàm theo x của
các hàm sau là:
•Đạo hàm dạng:u
v
•Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số:
2
. ' ' ' . ' . '
' . . '
. . ' '. . ' .
i u v u v ii ku k u
u u v u v
iii u v u v u v iv v
v
'
'. ln .
v v
u
u u v u v
u
v
y u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Qui tắc tính đạo hàm 2
•Đạo hàm của hàm hợp:
•Ví dụ: Hàm là hàm hợp của 2 hàm:
Vậy:
0
.
x g x
y f g x y f g
ln cosy x
ln ; cosf x x g x x
1
. . sin tan
cos
x g x
y f g x x
x
03/04/2017
3
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức tính đạo hàm 1
1
2
2
1. 0 2. .
3.
1
4. ln
5. sin cos
6. cos sin
1
7. tan cos
1
8. cot
sin
x x
C x x
e e
xx
x x
x x
xx
x
x
Đạo hàm hàm hợp
2
2
3. . '
1
4. ln . '
5. sin '. cos
6. cos sin
1
7. tan . '
cos
1
8. cot . '
s
' .
in
u u
e e u
u u
u
u u u
u u
u u
u
u
u
u
u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức tính đạo hàm 2
2
2
2
2
9. . ln
1
10. log . ln 1
11. arcsin
1
1
12. arccos
1
1
13. arctan 1
1
14. arc cot
1
x x
a
a a a
xx a
x
x
x
x
x
x
x
x
Đạo hàm hàm hợp
9.
10. log
11. arcsin
12. arccos
13. arctan
14. arc cot
u
a
a
u
u
u
u
u
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm f’(x) biết:
•Ta có:
3
ln
1 cos
x
e
f x
x
1
ln 1 cos
3
1 sin 1 sin
' 1 1
3 1 cos 3 1 cos
y x x
x x
y
x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tìm f’(x) biết:
•Ta có:
•Vậy:
2
34 7
1
. sin
x
f x y
x x
2
2
4
ln ln 1 ln 7 ln sin
3
' 2 4 7 cos
3 sin
1
y x x x
y x x
y x x
x
2
2
34 7
2 4 7 cos
' .
1
. si
s
n
3 in
1
x
x
x
y
x x
x
x
x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm số cho bởi tham số
•Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:
•Khi đó hàm số đã cho gọi là hàm cho bởi phương trình
tham số.
•Ví dụ: Cho hàm
Đặt: ta có dạng tham số sau:
x x t
y y t
ln x
y
x
t
x e
t
t
x e
t
y
e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Công thức đạo hàm tham số
•Cho hàm y=f(x) dạng tham số:
•Khi đó:
•Ví dụ:
x x t
y y t
/
/
t
x
t
y
dy dy dt
y
dx dx dt x
2 2
1
1
1 1 ln
t
t
tt
t
xt t
x e
t
ye
t
t x
e
y
e e x
ln
t
t
x e
x
y
t
xy
e
03/04/2017
4
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm của hàm ngược
•Hàm số có hàm ngược là:
•Khi đó:
•Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany
1
x f y
1 1
y x
x y
x y
y x
2 2
1 1 1
1 tan 1
x
y
yx
y x
y f x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm của hàm ngược
•Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny
•Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy
2 2
1 1 1 1
cos 1 sin 1
2 2
x
y
yx y
y x
do y
2 2
1 1 1 1
sin 1 cos 1
0
x
y
yx y
y x
do y
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Hàm ẩn
•Hàm y=f(x) với x(a;b) là hàm ẩn cho bởi phương
trình F(x,y)=0 nếu thay y=f(x) vào ta được đẳng
thức đúng.
•Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b).
•Ví dụ: Phương trình:
xác định hai hàm ẩn:
2 2
, 1
F x y x y
2
1
1 , 1;1
y x x
2
2
1 , 1;1
y x x
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn
•Cho phương trình: F(x;y)=0
•Để tính: y’
x
•B1. Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x.
Chú ý y là hàm theo x.
•B2. Giải phương trình tìm y’.
•B3. Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình.
Ví dụ: Cho phương trình:
Tính đạo hàm của y theo x.
3 2
ln 0
y
x y x e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn
•B1. Lấy đạo hàm theo x
•B2. Giải tìm y’
3 2
ln 0
y
x
x y x e
2 2
2 2
2
2
* 3 2 . . 0
3 2 . 1 0
3 2 .
'
'
'
1
'
y y
y y
y
y
x y xy e x ye
x y xy e x
y y
ye
x y xy e
y
x ye
y
2 2
'
3 . . 0 *
'2 .
y y
x x e x
y
ye
y
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm hàm ẩn
•B3. Tính y’(0).
•Ta có:
•Thay x=0 và y(0)=1 vào ta có:
3 2
ln 0
0 ln 0 1 0
y
x y x e
x y y y
2
2
3 2 .
'
1
y
y
x y xy e
y
x ye
1
1
1 10 03. . 2. . .
' 0 0
. 10.1
e
y
e
03/04/2017
5
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao
•Cho f là hàm khả vi. Đạo hàm (nếu có) của f’ gọi
là đạo hàm cấp 2 của hàm số f(x).
•Ký hiệu:
•Đạo hàm cấp 3 của hàm f là đạo hàm của đạo
hàm cấp 2.
2
2
d df d f
f f dx dx
dx
2 3
2 3
d d f d f
f f dx
dx dx

Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao
•Đạo hàm cấp n của hàm f là đạo hàm của đạo
hàm cấp (n-1).
•Ví dụ: Cho hàm:
Tìm đạo hàm cấp n của hàm số.
Giải:
1
1
1
n n
n n
n n
d d f d f
f f dx
dx dx
.
x
f x x e
. . . 1
x x x x x
f x x e x e e x e x e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao
•Ta có:
•Tương tự:
•Tổng quát:
1 1 2
x x x x
f x x e e x e x e
4
3 ; 4
x x
f x x e f x x e

n
x
f x x n e
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Đạo hàm cấp cao thường gặp
1
1
) 1 ... 1
1 1
) 1 !
) .
1 !
) ln 1
) sin . sin 2
) cos . cos 2
n
n
n
n
n
n
ax n ax
n n
n
nn
nn
i x a n x a
ii n
x a x a
iii e a e
n
iv x x
v ax a ax n
vi ax a ax n
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Chú ý
1
) 1 ... 1 .
1 !
) ln 1 .
) sin . sin 2
) cos . cos 2
n
nn
nn
n
nn
nn
n
i ax b n ax b
n
iv ax b
ax b
v ax b a ax b n
vi ax b a ax b n
a
a
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến
Ví dụ
•Tính đạo hàm cấp n của:
2
1 1
) )
3 2
1
a f x b g x x x
x x