zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Bài tập giải tích Toán lớp 12: Phần 1

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:35

Báo xấu

72
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu gồm các bài tập giải tích theo chương trình học quanh các chủ đề: Tính đạo hàm, đồ thị hàm số, giải bất phương trình, phương trình tiếp tuyến, vi phân hàm số, tính đơn điệu của hàm số,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải tích Toán lớp 12: Phần 1

Giáo trình Giải tích 12 Trang 1 Soạn cho lớp LTĐH I. ĐẠO HÀM 1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số: |x | a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = tại x0 = 0. x 1 2) Cho hàm số y = f(x) = x3 3x2+1, có đồ thị (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Cho (C) : y = f(x) = x4 x2. a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm có hoành độ bằng 2 . 2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 3. Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007 1 4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10. 24 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2 2x 3 đi qua M1(5;3). 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3; 1). 4 6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x 2+ đi qua A(0;3). x 1 x 1 7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= đi qua H(1;1). x 1 8) Tìm đạo hàm các hàm số x3 2x ax2 bx c a) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) b) y = 2 c) y = x x 1 px q 9) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 b) y = sin2 (cos 3x) 3 c) y = ln x d) y = esinx e) y = e4x + 5 f) y = ax2 2x 1 (0
Giáo trình Giải tích 12 Trang 2 Soạn cho lớp LTĐH a) y = lnx b) y = e Kx c) y = sin x d) y = cos x e) y = ln (x2 + x – 2 ) 13) Chứng minh rằng : 5 a) Với y= 3 + ( x 0), ta có xy’ + y = 3 x b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0 c) Với y = ( x +1 ) ex ta có : y’ – y = ex d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0 1 e) Với y = ln ta có xy’ + 1 = ey 1 x 14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm: sin3 x cos3 x a) Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: y’' = y 1 sinx. cosx x b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg = 0 2 c) Cho y = e4x+2e x. Chứng minh rằng : y’’’ 13y’ 12y = 0 x 3 d) Cho y = . Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y 1)y’’ x 4 1 e) Cho y = cotg3x cotgx x 3 7 . Chứng minh rằng: y’ = cotg4x 3 cos2 x 15) Cho f(x) = . Chứng minh rằng : f ( ) 3f '( ) 3 1 sin2 x 4 4 x2 ' 1 1 16) Cho f(x) = x.e 2 . Chứng minh rằng : 2f ( ) 3f ( ) 2 2 17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) = (x2+2x 3)ex c) f(x) = sinx.ex d) f(x) = 3 sinx cosx x 1 3 2 18) Giải bất phương trình f (x)
Giáo trình Giải tích 12 Trang 3 Soạn cho lớp LTĐH 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782. II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 3 23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5. x 24) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x3 3x2+1. b) y = f(x) = 2x2 x4. x 3 x2 4x 4 c) y = f(x) = . d) y = f(x) = . x 2 1 x e) y = f(x) = x+2sinx trên ( ; ). f) y = f(x) = xlnx. g) y = f(x) = 3 x2 (x 5) . h) y= f(x) = x3 3x2. x2 3x 3 i) y f(x) . j) y= f(x) = x4 2x2. x 1 k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2 ]. 25) Cho hàm số y = f(x) = x3 3(m+1)x2+3(m+1)x+1. Định m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. Kq:1 m 0 4 b) Nghịch biến trên khoảng ( 1;0). Kq: m 3 1 c) Đồng biến trên khoảng (2;+ ). Kq: m 3 mx 1 26) Định m Z để hàm số y = f(x) = đồng biến trên các khoảng xác định của x m nó. Kq: m = 0 mx 6x 2 2 27) Định m để hàm số y = f(x) = nghịch biến trên nửa khoảng [1;+ ). x 2 14 Kq: m 5 28) Chứng minh rằng : ex 1 x , x > 0. 29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : x2 x 1 a) y = x3 3x2+3x+2. b) y . x 1 x 1 c) y . 2x 1 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 4 Soạn cho lớp LTĐH x3 30) Tìm m để hàm số y m 1 x2 m 7 x : 3 a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+ ) x2 2mx m 2 31) Tìm m để hàm số : y luôn đồng biến trên từng khoảng xác x m định của nó. 2x2 (1 m)x m 1 32) Tìm m để hàm số : y luôn đồng biến trên khoảng (1;+ ). x m Kq: m 3 2 2 33) Tìm m để hàm số y = x2.(m x) m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m 3 34) Chứng minh rằng : x2 a) ln(x+1) 0. b) cosx >1 , với x > 0 . 2 II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: 3 ln x a) y = x3. b) y = 3x + + 5. c) y = x.e x. d) y = . x x 36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: ex a) y = sin2x với x [0; ] b) y = x2lnx. c) y = . x 37) Xác định tham số m để hàm số y=x3 3mx2+(m2 1)x+2 đạt cực đại tại x=2. ( Đề thi TNTHPT 2004 2005) Kết quả : m=11 38) Định m để hàm số y = f(x) = x3 3x2+3mx+3m+4 a.Không có cực trị. Kết quả : m 1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m
Giáo trình Giải tích 12 Trang 5 Soạn cho lớp LTĐH x2 m(m2 1)x m4 1 40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = luôn có cực trị. x m 1 3 2 2 41) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m m+1)x+1. Có giá trị nào của m để hàm số 3 đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không 1 3 2 42) Cho hàm số y = f(x) = x mx +(m+2)x 1. Xác định m để hàm số: 3 a) Có cực trị. Kết quả: m < 1 V m > 2 b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+ ). Kết quả: m > 2 c) Có cực trị trong khoảng (0;+ ). Kết quả: m < 2 V m > 2 43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4+2mx2 2m+1. Hd và kq : y’= 4x(x2 m)  m 0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= m và 1 cực tiểu x = 0 x2 x m 44) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = có hai điểm cực trị nằm x 1 1 khác phía so với Ox. Kết quả : m > 4 45) Định m để hàm số y = f(x) = x3 6x2+3(m+2)x m 6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị 17 cùng dấu. Kết quả :
Giáo trình Giải tích 12 Trang 6 Soạn cho lớp LTĐH 1 3 50) Cho hàm số : f(x)= x mx2+(m 2) x 1. Định m để hàm số đạt cực đại tại x2, 3 cực tiểu tại x1 mà x1
Giáo trình Giải tích 12 Trang 7 Soạn cho lớp LTĐH Max y f (1) 4 Min y f (0) 1 Kết quả: 1 [ ;1] ; [ 1;1] 2 2 64) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x42x2+3. Kết quả: Min R y=f( 1)=2; Không có Max R y b) y = x4+4x2+5. Kết quả: Min R y=f(0)=5; Không có Max R y 2 2 sinx 1 7 Max c) y . Kết quả: Min y= ; R y=1 cosx 2 R 3 x2 3x 3 1 d) y . Kết quả: Min y= ; Max y=3 x2 x 1 R 3 R 3x 1 9 65) Cho hàm số y . Chứng minh rằng : y 1 x2 x 2 7 x2 cos 2x cos 66) Cho hàm số y 0; . Chứng minh rằng : 1 y x2 2x cos 1 1 Hướng dẫn:y’=0 2sin2 . x2 2sin2 =0 x= 1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận 1 y 1. 67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất : 1 y =f(x)= lg2x + 2 lg x 2 Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; + ) . Đặt t= lg2x, t 0, hàm số 1 y=g(t)=t+ xác định trên [0; + ), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 t 2 t= 3 [0; + ) V t= 1 [0; + ) hàm số y=g(t) đồng biến trên 1 1 [0;+ ) Min [ 0; ) g(t) = g(0) = Min ( 0; ) f(x) = f(1) = 2 2 4 3 68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx sin x trên đoạn [0; ] 3 (Đề thi TNTH PT 2003 2004) Kết quả: Max f(x)=f( /4)= f(3 /4)= 2 2 ; Min f(x)=f(0)=f( )=0 [ 0; ] [0; ] 3 IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số : x2 x 4 a) y = f(x) = x4 6x2+1 b) y = f(x) = x 70) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3 3(m 1)x2+m2x 3 nhận I(1; 1) làm điểm uốn. Kết quả: m = 2 . 71) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x 6mx + 3 4 2 a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 8 Soạn cho lớp LTĐH b) Không có điểm uốn. Kết quả: m 0 2x 1 72) Chứng minh rằng đồ thị (C): y có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết x2 x 1 phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kết quả: 1 1 (C) có 3 điểm uốn A( 2; 1), B( ;0), C(1;1). AB AC A, B, C thẳng hàng. 2 2 yC yA 2 Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc k nên có xC xA 3 2 2 1 phương trình : y = k(xxC)+yC = (x1)+1 y= x + . 3 3 3 73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x2 3x+2 Kết quả: Lõm trên các khoảng ( ;1) và (2; + ). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0) 74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3+bx2+cx+d (a 0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (C m):y = x3 3mx2+2m(m 4)x+9m2 m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng). Hướng dẫn và kết quả: a) Cho y = 0 ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng b b 2x2= x1+x3 3x2 = x1+x2+x3 = x2 = . Vậy điểm uốn I(x2;0) Ox. a 3a b) Tìm I(m;m2 m). Điều kiện cần : I Ox m2 m = 0 m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : x2 x 4 a) y=x3 3x2+2. b) y . x 2 76) Chứng minh rằng đồ thị của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: x 1 1 a) y . b) y = x + . x 2 x 77) Tìm tham số để: a) (Cm) : y=x3 3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1; 2) làm điểm uốn. c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m 2 . 78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3 3x2 9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11. 79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) : y=x3 3x2 9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 9 Soạn cho lớp LTĐH Hướng dẫn và kết quả : Lập phương trình hoành độ giao điểm : ax+b = x3 3x2 9x+1 f(x) = x3 3x2 (a+9)x+1 b = 0.(1) Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là I(1; a b 10) Ox a b 10 = 0 a+b = 10. Điều kiện đủ : a+b = 10 f(x) = (x 1).g(x) = 0 với g 2 b 0 g(x) = x2 2x+b 1. YCBT b
Giáo trình Giải tích 12 Trang 10 Soạn cho lớp LTĐH x 2 87)Tìm trên đồ thị (C):y = điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai x 1 tiệm cận là nhỏ nhất. x2 3x 1 88) Lấy một điểm bất kỳ M (C):y = f(x) = . Chứng minh rằng tích các x 2 9 khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d1.d2= . 2 VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x33x+1 b) y = 3x2x3 c) y = x3+3x 4 d) y = (1x)3 x 4 1 e) y = x2 f) y = x4+x22. 2 2 g) y=2x2 x41 h) y=x41 x 1 2x i) y = j) y = x 1 x 2 x2 4 k) y = l) y = x 1 x 1 x 2 (x 2)2 1 m) y = n) y = x 2 1 x x 2 VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị: x2 6x 3 2m 3 a) (C): y = và d: y = x m. Hd: Lý luận x= 2 x 2 8 m x 1 b) (H): y và d: y= 2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành x 1 độ giao điểm. 91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2 2 B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2 (m 2) = 0 1 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= x+3 và 4 tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= x3+3x2 4x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x 3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 94) Dùng đồ thị (C): y = x3 3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 3x2 9x+1 m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x2 2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 11 Soạn cho lớp LTĐH c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. x 1 96) Cho hàm số y , có đồ thi (H). x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H). b) Cho đường thẳng d: y= 2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3 3x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x4−4x3−2x2+12x−1. a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả: a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= 4 10 ⇒ y=0 và x =1 4 10 . x 3 99) Chứng minh rằng (C): y = có hai trục đối xứng. x 1 Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I( 1;1). Suy luận có hai đường phân giác y= x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). x 2 100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = . Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy x 2 suy ra đồ thị của các hàm số: x 2 x 2 a) (C1): y = f1(x) = b) (C2): y = f2(x) = x 2 x 2 x 2 x 2 c) (C3): y = f3(x) = d) (C4): |y| = f4(x) = x 2 x 2 x 2 x 2 e) (C5): y = f5(x) = x 2 f) (C6): |y| = f6(x) = x 2 101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3 3x2+2. b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3 3x2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3 3x2 +1 m = 0. 102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2 1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Xác định phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đoán đường thẳng cố định: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x 1 y=0, phương trình này có = (x)2 1.(x2+x 1 y)=0 x+1+y=0 y= x 1 là đường thẳng cố định. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 12 Soạn cho lớp LTĐH Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm= x2 x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 m= x, thay trở lại (2):y=x 1 là đường thẳng cố định. 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x 1 là: x2+(2m+1)x+m2 1=x 1 x2+2mx+m2=0 (x+m)2=0 x= m (nghiệm kép) Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x 1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định. d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m: x2+(2m+1)x+m2 1= ax+b x2+(2m+1 a) x+m2 b 1=0 có nghiệm kép với m =(2m+1 a) 2 4.1(m2 b 1)=0 với m 4(a 1)m+(a 1)2+4b+4=0 với m a 1 0 a 1 . (a-1)2 4b 4 0 b 1 Vậy d:y=x 1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc. (3m 1)x m2 m 103) Chứng tỏ rằng (Cm): y= (1), m 0 luôn tiếp xúc với hai x m đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó. 1. Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m: m2+(y 1 3x)m+(y 1)x=0 (2), đặt t=y 1 ta có phương trình: m2+(t 3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có =0 (t 3x)2 4tx=0 t2 10xt+9x2=0 t=9xV t=x. Thay t=y 1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm) 2. Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải) d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: (3m 1)x m2 m 9x 1 x m m (3x+m)2=0 x= 4m 2 3 9 (x m)2 m Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= (m 0). 3 Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m 0). 104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3 3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định. Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3; 23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định. 105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2 m luôn tiếp xúc với một parabol cố định. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 13 Soạn cho lớp LTĐH 1 2 3 1 Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= x x là parabol 4 2 4 cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1 2m. VIII.TÍCH PHÂN 2 x x 3 106) Cho f(x)= , tìm A, B và C sao cho: (x 1)3 A B C f(x)= . Kq: A= 1; B=3 và C=1 (x 1)3 (x 1)2 x 1 x2 x 3 2) Từ đó tính dx (x 1)3 x3 x 2 107) Tính dx (x 2)3 (2x 3)dx 108) Tính 2 x 3x 2 3x2dx 109) Tính x3 1 110) Tìm A, B , C để sinx cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx 2sinx) +C 1 3 8 Kq: A= ; B= và C= 5 5 5 111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả x 1 x 1 a) y= 2 x( 1) +C c) y= tgx cotgx+C x 3 sin2 x. cos2 x x cos2x sinx+cosx+C b) y=2 sin2 x sinx+C d) y= 2 cosx sinx 112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3 x2+2x 1 biết rằng F(0) = 4. x 4 x3 Kết quả: F(x) = +x2 x+4 4 3 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nxx , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết quả: F(x) = x. l nxx+C x 1 A B 114) Tìm A và B sao cho với mọi x 1 và x 2 , ta có: 2 x 3x 2 x 2 x 1 x 1 Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) x2 3x 2 3 x 2 Kết quả: A=3; B= 2. F(x) = 3 l n x 2 2 l n x 1 + C= l n +C (x 1) 2 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 14 Soạn cho lớp LTĐH 115) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) cotgx.dx l n sinx +C d) 1 dx l n l n x +C x. ln x b) cotg x.dx 2 cotgx x+C 1 2 cosx 3 e) e 2 cosx 3 .sinxdx e +C 1 3 2 c) sin x. cosxdx 2 sin x+C dx 3 x f) sinx l n tg2 +C 116) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 2 x2 2 1 a) dx 3 3 2cotg2 x 11 3 15 1 2x 2 e) dx cos2 x 3 3 x2 4x 12 4 b) dx 1 x 4 1 sin3 x 3 2 2 2 f) dx 4 sin2 x 2 c) | x 2 1| dx 6 2 4 4 2 1 d) tg2 xdx g) sin2 x cosxdx 4 3 0 0 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 dx ln2 2 a) g) 2 sinx ln2 x 1 dx 3 01 3cosx 0 2 dx 1 b) 3 1 (2x 1)2 2 cos3 x 1 h) .dx 2 1 4x 2 sin2 x c) dx 2ln3 6 0 x x 12 ln 2 2 sinx cosx ln( 3 +1) 4 i) .dx d) tgxdx sinx cosx 3 0 1 ln 2 e dx x 5 0 ln j) (2x 1) x 2 x 1.dx e) 4 0 ex 3 0 1 e 2 ln2 x 2 k) dx 3 f) cos3 x.dx 3 1 x 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 15 Soạn cho lớp LTĐH Giáo trình Giải tích 12 Trang 16 Soạn cho lớp LTĐH 118) Chứng minh rằng: 3 11 4 dx a) b) 54 2 ( x 7 11 x )dx 108 4 3 2sin2 x 2 7 4 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả 4 1 a) sin2x.dx 0 2 e 1 ln x 2 b) dx (2 2 1) x 3 1 3 3 1 c) sin xdx cos x 2 2 0 4 3 8 d) tg4 xdx 0 12 2 4 dx e) 3 sin 4 x 4 1 3 3 f) 1 xdx 4 0 1 1 (2 2 1) g) x x 1 dx 2 3 0 1 dx h) 2 3 3 0 x x 1 1 2( e 1 2) e x dx k) 0 1 ex 2 3 l) sinx 3 cosxdx 4 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 16 Soạn cho lớp LTĐH 120) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả 2 dx m) Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq: 2x x 2 1 12 3 9 n) 9 x 2 dx 3 2 1 dx o) 0 4 x2 6 1 2 2 p) x 1 x dx x=sint. Kq: 16 0 3 1 q) x2 1 dx 3 ln(2 3) 2 0 1 1 x2 3 3 r) dx 1 x2 3 2 2e TS+ex ex.Kq:l n 1 dx s) e 1 01 ex 2 dx 1 t) 0 1 cosx 1 u) sinxdx 3 0 cos x 2 v) 2 sinx 4 dx 01 cos2 x 1 e ln4 x 5 w) dx 1 x 121) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả 1 e 2x e2 1 c) ln xdx 1 a) xe dx 0 4 1 4 2 b) ( x 1) cos xdx d) xdx 2 ln 2 0 2 cos 2 x 4 0 Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 17 Soạn cho lớp LTĐH 1 2 1 2 e) x sin x.cos xdx h) x ln(1 x )dx ln2 8 0 2 0 cos x e2 1 i) (e x )sin xdx e e2 e f) (lnx)2 dx 0 1 1 g) ln(1 x )dx 2 ln2 2+ 2 e2 1 2 j) e x sin xdx 0 2 0 122) Chứng minh rằng: 2 2 a) f (sinx)dx f (cosx)dx Hd: x= t 0 0 2 b b b) f (x)dx f (b x)dx Hd: x=b t 0 0 a 2 1a c) x3f (x2 )dx xf(x)dx (a>0) Hd: t=x2 0 20 2 2 d) f (tgx)dx f (cotgx)dx Hd: x= t 0 0 2 2 x.sinx e) xf(sinx)dx f (sinx)dx . Áp dụng, tính: dx 0 0 01 cos2 x Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t. Lần 2, để tính f (sinx)dx ta đặt x= +s và kết 2 2 x.sinx sinx 2 quả bài 118a). Tính dx = dx , đặ t t=cosx, kq: 0 1 cos2 x 0 1 cos2 x 4 123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [ a;a] (a>0) a a thì: f (x)dx 2 f (x)dx. Hd: t= x a 0 124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [ a;a] (a>0) a thì: f (x)dx 0. Hd: t= x a 8 125) Chứng minh rằng: x sin xdx 0 . Áp dụng bài 124). 6 7 8 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 18 Soạn cho lớp LTĐH 1 1 126) Chứng minh rằng: e dx 2 e dx. Áp dụng bài 123). cosx cosx 1 0 x x 127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: f (t)dt f (t)dt. Hd: t= x a a a 128) Chứng minh rằng sinx.f (cosx)dx 0 . Áp dụng bài 124) a a a 129) Chứng minh rằng cosx.f (x )dx 2 cosx.f (x )dx . Áp dụng bài 123). 2 2 a 0 1 1 130) Chứng minh rằng x (1 x) dx xn (1 x)m dx . Hd:x=1 t m n 0 0 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả 2 a) ln(x x2 1)dx Hs lẻ: 0 2 2 x sinx (1 3) b) dx 6 1 cosx 6 2 15 ln 2 lnx c) dx 256 64 1 x 5 ln 2 e d) x.e dx x ln 2 0 e 2(e 1) e) | ln x | dx e 1 e e ln 1 x 3 2 f) dx 0 x 2 1 2 6 g) 6 1- cosx.sinxdx 7 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 19 Soạn cho lớp LTĐH Tích phaân Keát quaû ln 3 e dx x 2 1 h) 0 (ex 1)3 0 3 4 k) x(e2x 3 x 1)dx 4e2 7 1 4 x 1 l) dx ( ln 2) 0 1 cos2x 4 2 m) 1 2sin x dx 4 2 ln 2 0 1 sin2x 2 3 1 5 dx ln n) 4 3 5 x x2 4 2 1 3 2 15 o) x 1- x dx 0 ln 5 e2x 20 p) dx 3 ln 2 ex 1 2 1 q) | x - x |dx 2 0 1 1 u=x2, dv=?. x2 2 r) x e dx 3 0 1 2 (e 3) e x2 1 4 s) .lnxdx l x 1 132) Cho In = x e .dx(n N) n x 0 a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In 1 (n≥1) 1 b) Áp dụng tính I3 = x e .dx . 3 x Kết quả: 6 2e 0 4 133) Cho In = tgn x.dx (n N ) 0 a) Chứng minh rằng In > In+1. Hd: In>In+1, x (0; ) 4 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều
Giáo trình Giải tích 12 Trang 20 Soạn cho lớp LTĐH 4 1 1 Hướng dẫn: In+2 = tgn x( 1).dx In + In+2= . 0 cos x 2 n 1 134) Tính In = cos x. cosnx.dx(nỴ N ) n 0 u cosn x 1 1 Hướng dẫn: đặt , tìm được In= In 1=…= n 1 I1= n . dv cosnx.dx 2 2 2 2 135) Tính In = cosn x.dx (nỴ N ) 0 u cosn 1 x n 1 Hướng dẫn: đặt , tìm được In= In 2. dv cosx.dx n Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....(n 1) n=2k ( n chẵn): In= . 2.4...n 2 2.4....(n 1) n=2k+1 ( n lẻ): In= 3.5...n 2 136) Cho In = sinn x.dx (nỴ N ) 0 n 1 a) Chứng minh rằng In+2 = In. n 2 b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng. c) Tính In. Hướng dẫn: u sinn 1 x a) Đặt dv sinx.dx b) Chứng minh f(n+1)=f(n) f(n)=…=f(0)= 2 c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3....(2k 1) n=2k ( n chẵn): I2k= . 2.4...2k 2 2.4...2k n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= 3.5...(2k 1) 1 137)a) Tính I0 = (2x 1).e .dx , x x2 Kết quả: a= 0 0 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.