TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----
BAØI TAÄP
OÂN THI TOÁT NGHIEÄP THPT & ÑAÏI HOÏC
Naêm 2010
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 1
1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Î I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Î I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Î I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Î I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
¢
. Tìm các điểm mà tại đó y
¢
= 0 hoặc y
¢
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
¢
(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) 2
245
yxx
=-++
b)
2
5
44
x
yx
=+-
c) 2
43
yxx
d) 32
22
yxxx
=-+-
e)
2
(4)(1)
yxx
=--
f) 32
341
yxxx
=-+-
g) 42
1
21
4
yxx
=--
h) 42
23
yxx
=--+
i) 42
11
2
1010
yxx
=+-
k)
21
5
x
yx
-
=
+
l)
1
2
x
y
x
-
=
-
m)
1
11
y
x
=-
-
n)
2
226
2
xx
yx
++
=+ o)
1
31
yx
x
=-+-
-
p)
2
4159
3
xx
yx
-+
=
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ V
Ẽ ĐỒ THỊ CỦA H
ÀM S
Ố
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 2
Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) 432
6831
yxxx
=-+--
b)
2
2
1
4
x
y
x
-
=
-
c)
2
2
1
1
xx
y
xx
-+
=
++
d)
2
21
x
y
x
-
= e) 2
32
x
y
xx
=
-+
f) 322
yxx
=++-
g) 213
yxx
=---
h)
2
2
yxx
=- i)
2
2
yxx
=-
k) sin2
22
yxx
æö
=-<<
ç÷
èø
pp
l) sin2
22
yxxx
æö
=--<<
ç÷
èø
pp
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)
Cho hàm số
(,)
yfxm
=
, m là tham số, có tập xác định D.
·
Hàm số f đồng biến trên D
Û
y
¢
³
0,
"
x
Î
D.
·
Hàm số f nghịch biến trên D
Û
y
¢
£
0,
"
x
Î
D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y
¢
= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
yaxbxc
2
'
=++
thì:
·
0
0
'0, 0
0
ab
c
yxR a
é
ì
==
í
ê³
î
³"ÎÛ
ê
ì
>
ê
í
ê£
î
ë
D
·
0
0
'0, 0
0
ab
c
yxR a
é
ì
==
í
ê£
î
£"ÎÛ
ê
ì
<
ê
í
ê£
î
ë
D
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai 2
()
gxaxbxc
=++
:
·
Nếu
D
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
·
Nếu
D
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
-)
·
Nếu
D
> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1
, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai 2
()
gxaxbxc
=++
với số 0:
·
12
0
00
0
xxP
S
ì
>
ï
<<Û>
í
ï
<
î
D
·
12
0
00
0
xxP
S
ì
>
ï
<<Û>
í
ï
>
î
D
·
12
00
xxP
<<Û<
5) Để hàm số 32
yaxbxcxd
=+++
có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
·
Tính y
¢
.
·
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
0
0
a
ì
¹
í
>
î
D
(1)
·
Biến đổi 12
xxd
-=
thành
22
1212
()4
xxxxd
+-=
(2)
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 3
·
Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
·
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập
xác định) của nó:
a) 3
513
yxx
=++
b)
32
391
3
x
yxx
=-++
c)
21
2
x
yx
-
=
+
d)
2
23
1
xx
yx
+-
=+ e)
3sin(31)
yxx
=-+
f)
2
21
xmx
yxm
--
=-
Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:
a)
5cot(1)
yxx
=-+-
b)
cos
yxx
=-
c)
sincos22
yxxx
=--
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác
định) của nó:
a) 32
3(2)
yxmxmxm
=-++-
b)
32
21
32
xmx
yx
=--+
c)
xm
y
xm
+
=
-
d)
4
mx
y
xm
+
=
+
e)
2
21
xmx
yxm
--
=- f)
22
23
2
xmxm
yxm
-+
=-
Baøi 4. Tìm m để hàm số:
a) 32
3
yxxmxm
=+++
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b) 32
11
231
32
yxmxmxm
=-+-+
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c) 32
1
(1)(3)4
3
yxmxmx
=-+-++-
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
Baøi 5. Tìm m để hàm số:
a)
32
(1)(1)1
3
x
ymxmx
=++-++
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
b) 32
3(21)(125)2
yxmxmx
=-++++
đồng biến trên khoảng (2; +¥).
c) mx
ym
xm
2
4
(2)
+
=¹±
+
đồng biến trên khoảng (1; +¥).
d)
xm
y
xm
+
=
-
đồng biến trong khoảng (–1; +¥).
e)
22
23
2
xmxm
yxm
-+
=- đồng biến trên khoảng (1; +¥).
f)
2
23
21
xxm
yx
--+
=+ nghịch biến trên khoảng 1;
2
æö
-+¥
ç÷
èø
.
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 4
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
·
Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
³
,
£
). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác
định do đề bài chỉ định.
·
Xét dấu f
¢
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
·
Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
¢
(x) thì ta đặt h(x) = f
¢
(x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h
¢
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).
Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin,0
6
x
xxxvôùix
-<<>
b) 21
sintan,0
332
xxxvôùix
+><<
p
c) tan,0
2
xxvôùix
<<<
p
d) sintan2,0
2
xxxvôùix
+><<
p
Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tan ,0
tan2
aa
vôùiab
bb
<<<<
p
b) sinsin,0
2
aabbvôùiab
-<-<<<
p
c) tantan,0
2
aabbvôùiab
-<-<<<
p
Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 2
sin,0
2
x
xvôùix
><<
p
p
b)
335
sin,0
66120
xxx
xxxvôùix
-<<-+>
c) xxxvôùixsincos1,0
2
p
+><<
Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1,0
x
exvôùix
>+>
b)
ln(1),0
xxvôùix
+<>
c) 1
ln(1)ln,0
1
xxvôùix
x
+->>
+ d)
(
)
22
1ln11
xxxx
+++³+
Baøi 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 0
tan551,4
> b) 0
17
sin20
320
<< c)
23
log3log4
>
HD: a)
000
tan55tan(4510)
=+. Xét hàm số 1
() 1
x
fx
x
+
=
-
.
b) Xét hàm số
3
()34
fxxx
=- .
f(x) đồng biến trong khoảng
11
;
22
æö
-
ç÷
èø
và 0
17
,sin20,
320
Î
11
;
22
æö
-
ç÷
èø
.
c) Xét hàm số
()log(1)
x
fxx
=+
với x > 1.