zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Tài liệu ôn toán - Hàm sinh - trường thpt chuyên Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Báo xấu

116
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - hàm sinh - trường thpt chuyên vĩnh phúc', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Hàm sinh - trường thpt chuyên Vĩnh Phúc

ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Hàm sinh Kim Đình Sơn, 12A1,THPT Chuyên Vĩnh Phúc 1 Giới thiệu Xét dãy số( ) và hàm số ( )= + + +⋯+ +⋯ Khi đó ( ) đươcj gọi là hàm sinh cho dãy ( ) , ta nói hàm ( ) mang đầy đủ thông tin về dãy ( ) ∈ .Hệ số của chính là số hạng của dãy.Nếu biết đặc điểm của hàm ( ) ta hoàn toàn có thể biết mọ i số hạng của dãy một cách tổng quát. Ví dụ dãy số thỏa mãn phương + + = 0 ta có hàm sinh cho dãy thỏa mãn trình sai phân ( ( )− )+ ( ( )− )+ ( )=0 − Hay +( ) + ( )= 1+ + , là hai nghiệm của phương trình đặc trưng + + = 0 khi đó Nếu ∞ +( ) + ( )= = + = ( + ) (1 − )(1 − ) (1 − ) (1 − ) + ≥ 0. Trong đó , Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy là : xác định , theo và . , ≥ 0) với = 1 và = + ,∀ ≥ VÍ DỤ 1.Tìm công thức tổng quát cho dãy ( 1. Giải Xét ( ) = ∑∝ , khi đó ∞ ∞ ∞ 1 ( )= + ( + ) = + = + () 1− Suy ra ∞ 1 1 − ( )= = − = (1 − )(1 − ) − 1− 1− − 1
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh = ,∀ . Do đó VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng số ∞ − = = 0, = 1 và = + , ∀ ≥ 1. Đặt Giải Dãy thỏa mãn ∞ − = Xét hàm sinh ( ) = ∑∝ , khi đó ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − − 1 ( )= ( + 1) = = = 1− − =0= , =1= Để ý rằng hàm sinh cho dãy cũng chính bằng và = , ∀ .Ta có điều cần chứng minh. .Suy ra . VÍ DỤ 3. ( ℎ ) Chứng minh rằng − 2 +1 2 = − 2 2 Các phép toán trên hàm sinh ( )là hàm sinh bởi dãy số đó. Khi đó hàm sinh cho dãy , …và , , … là Cho dãy ∑∞ = ∑∞ = ( ). Ta có pháp nhân. Tiếp theo, giả sử hai dãy { } à{ } có hai hàm sinh lần lượt là A(x) và B(x). Khi đó ∞( + ) = ∑∞ + ∑∞ dãy { + } có hàm sinh là ∑ = ( )+ ( ), ta có phép cộng. Nếu thêm đằng trước dãy , bằng số 0 thì ta có hàm sinh co dãy 0,0, … ,0, , , … chính là ∑∞ = ( ), ta có phép nhân. 2
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Bây giờ ta xét hàm ( ) = ( ) ∙ ( ) = ∑∞ ∑ =∑ , đặt . Ta có hàm sinh cho dãy { } chính là hàm G(x). Ta gọi quy tắc này là “phép xoắn” hay quy tắc “xoắn”(ta có hai dãy { } à{ } ghép cặp từng số hạng như kiểu .) VÍ DỤ 4 Chứng minh rằng số cách chèn dấu ∗ vào tích của n+1 nhân tử là số 1 2 +1 Giải. Ta nhận thấy số cách chèn dấu ∗ vào giữa tích + 1 nhân tử là − nhân tử còn và giữa lại là . Do đó = Xét hàm sinh ∞ ∞ ( )= =1+ Khi đó ( ) − 1 = ∑∞ = ∑∞ ∑ , theo quy tắc xoắn ta có ( ) − 1 = ( ) Suy ra 1 − √1 − 4 ( )= 2 Ta có 1 ∞ −2 √1 − 4 = ( 1 − 4 ) = (−4 ) 11 1 1 ∞ 2∙ 2−1 −2 … 2− +1 . 2 = (−4 ) ! ∞ ∞ (2 − 2)! 1 2 =1−2 = ( − 1)! ( − 1)! +1 Vậy ta có điều phải chứng minh 3
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ,, VÍ DỤ 5. Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọ i số nguyên dương + = − (Công thức ) VÍ DỤ 6. Cho dãy { } =1 à + + ⋯+ = 1. Tìm công xác định bởi thức tổng quát cho 3 Xây dựng hàm sinh Để biết thông tin về một dãy số ta xét hàm sinh cho dãy số đó. Đối với các bài toán đòi hỏ i công thức tường minh cho số hạng của dãy hoặc chứng minh đẳng thức về dãy tức là ta chỉ cần “nắm bắt về một thông tin “( quan trọng) về dãy, khi đó ta chỉ cần xét hàm sinh cho một biến. Vậy thế nào là “thông tin”? Ta sẽ gán cho mỗ i một thông tin ứng với một biến. Ví dụ, với một phần tử của dãy ta có hai lựa chọn là hoặc được chọn hoặc là nó không được chọn, do đó + = 1 + như vậy ta có hàm sinh cho dãy gồm phần tử biểu diễn hàm sinh cho là được chọn là (1 + ) . Ở đây thông tin là sự xuất hiện của phần tử trong dãy. VÍ DỤ 7( 2003) Có bao nhiêu số có chữ số từ tập hợp {2,3,7,9} và chia hết cho 3? Giải Ta có một số chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Như vậy yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm số các số có chữ số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Ta có mỗ i chữ số của số thỏa mãn có giả trị là một trong các số 2,3,7 ℎ ặ 9. Do đó + + + . Xét hàm sinh 1 hàm sinh cho mỗ i chữ số sẽ là ℱ( ) = ( )= + + + + + + ⋯+ chữ số từ {2,3,7,9} mà có tổng các chữ số là . Trong đó là số các số có / Xác định = = 1), ta có là nghiệm nguyên thủy bậc ba của Unity ( phương trình ≠1 à 1+ + = ( − 1)/( − 1) = 0. Khi đó ℱ (1) = + + + + +⋯ ℱ( ) = + + + + +⋯ ℱ( ) = + + + + +⋯ Khi đó 4
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = 3 + (1 + + ) + (1 + + ) +3 +⋯ = 3( + + + ⋯ ) = 3 Vậy ta có các số cần tính là 1 ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = 3 1 1 = ((1 + 1 + 1 + 1) + ( + 1 + + 1) + ( + 1 + + 1) ) = (4 + 2) 3 3 _________________________________ 1 Nói thêm về hàm sinh.Như ở phần 1 đã giới thiệu, khi ta cần biết chính xác công thức của dãy, thông thường ta chỉ tính được hệ số hoặc giá trị của hàm sinh tại điểm nào đó (như thế là quá đủ).Cũng vậy ta đưa số các đại lượng cần tính về việc tính hệ số của hàm sinh. Tuy nhiên đố i vớ i ví dụ 7 lại khác. Đại lượng cần tính lại là tổng của vài số hạng nào đó của dãy, do đó loại hàm sinh ta cần xét là dãy các số mũ trong hàm sinh. Như vậy, ta có hai lọai hàm sinh thường gặp( ứng với một biến –một thông tin) loại thứ hai là ( )= + + +⋯ Trong đó dãy ( ) là dãy hữu hạn hoặc vô hạn ∈ , , … , , , , … , , với ≥ 2 thỏa mãn VÍ DỤ 8. Cho các số nguyên dương phân biệt + |1 ≤ < ≤ = + |1 ≤ < ≤ . Chứng minh rằng là một lũy thừa của 2 Giải Xét hai hàm sinh ( )= + + + ⋯+ Và ( )= + + +⋯+ ( ) =∑ + 2∑ à ( ) =∑ +2∑ . Vậ y Suy ra ta có ()− ( )= ( ) − ( ) Hay ( ) − ( ) = ( )− ( ). Mặt khác (1) = (1) = nên ta có thể viết ( ) − ( ) = ( − 1) ( ), (1) ≠ 0 Dođó( − 1) () ( )+ ( ) = ( − 1) ( ),i.e, () ( ) + ( ) = ( + 1) ( ) 5
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh = 1, ta có 2 = 2 hay =2 Với . Vậ y là một lũy thừa của 2 Ngoài ra, việc xây dựng hàm sinh không chỉ dựa trên một biến (vì một biến chỉ cho ta một thông tin duy nhất!). Đối với những bài toán đòi hỏ i nhiều thông tin ta cần xét hàm sinh vớ i nhiều biến hơn. Nhưng trước khi đến với các ví dụ đo ta hãy xét bốn định lý cơ bản sau 4 Định lý Trong ví dụ 7, ta đã thấy một phương pháp giải các bài toán dạng này có sự kết hợp với số phức để tính (như một bài báo của thầy Đặng Hùng Thắng trên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ: “dùng cái ảo đếm cái thực”). / = ĐỊNH LÝ 1 Xác định với là một số nguyên dương. Khi đó mọ i đa thức ℱ( ) = + + +⋯ > ℱ . Ta có tổng Trong đó được xác định là nếu 1 ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ ( ) + + +⋯= n ( ) Chứng minh Ta xét chứng minh dựa vào các tổng =1+ +⋯+ .Nếu chia hết ( ) = 1 nên = . Trong trường hợp khác ta có ≠ 1 và = = 0. Ta có , khi đó ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ ( )= + + +⋯ = ( + + + ⋯) Định lý được chứng minh. 1995 6) Cho là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con của tập VÍ DỤ 9 ( {1,2,3, … } thỏa mãn có đúng phần tử và (i) Tổng tất cả các phần tử của chia hết cho (ii) Giải Bài toán trên có hai thông tin cần biết: số các phần tử của tập hợp và tổng các phần tử của tập hợp. Đến đây ta có hai hướng giải như sau Hướng 1 Rõ ràng với mỗ i , 1 ≤ ≤ 2 ta không thể góp vào nó với hàm + =1+ vì tích 1+ Không thể hiện được tập có đúng p phần tử. Vì thế ta phải xét hàm sinh 6
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( , ) = (1 + )(1 + ) … (1 + )= , , của {1,2,3, … } thỏa mãn (i)| | = 2 − và (ii) ( ) = Trong đó là số các tập con . , / =∑ = Vì vậy ta cần tính . Đặt là nghiệm nguyên thủy của Unity và | , ={ , = 1} ,…, , Ta sẽ tính tổng ∑ ∑ ( , ) theo hai cách ∈ ∈ Đầu tiên ta có ∑ ( , ) = ( , 1) + ∑ ( , ) = ( , 1) + ∑ , .Ta có ∈ ∈ \{ } ( , 1) = ( + 1) . Mặt khác với mọ i ta có {1,2, … , } = {1 ⋅ , 2 ⋅ , … , ∙ }. ≢0 Do đó + = + Hay + = + Xét ( ) = ( − )( − )…( − )= (− ) = (−1) ( + )( + )…( + − 1, ta có ) = −( + 1) suy ra ( , ) = ( + 1) + ( − 1)( + 1) ∈ ( , )= [ ( + 1) + ( − 1)( + 1) ] = ( + 1) + ( − 1) ( + 1) ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ 2 2 + 4 ( − 1) = + 4 ( − 1) = ∈ ∈ 2 2 + 4 ( − 1) = + 4 ( − 1) = 2+ ,, ∈ 2 ( †) = +4 −2 Bây giờ ta tính ∑ ∑ ( , ) theo cách khác. Để ý rằng ∈ ∈ 7
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh 0ế ∤ = 1ế | ∈ Do đó ( , )= = = ∙ , , , , ∈ ∈ ∈ ∈ , ∈ , ∈ ∈ | = ∙ = ∙ ∙ , , , , ∈ | | ∙ ( + 2) ( = 0) ( ††) = ℎô íℎ ℎợ =0 à ườ Từ (†) và (††) suy ra 1 2 = −2 +2 Hướng 2 Từ giả thiết ta thấy đại lượng cần tính gồm “the side and the sum” của các tập con. Vì vậy hàm sinh có dạng ( , )= , , Trong đó , là số các tập con k phần tử của {1,2, … ,2 } với tổng các phần tử là n. Khi đó ta . + ⋯ Để t ìm d ạng tổng quát cho ( , ) t a cần xác đ ịnh mỗ i t ập con = ,+ cần tính gồm k phần tử và có tổng các phần tử là n. Với mỗi 1 ≤ ≤ 2 ta có m được chọn thì m cũng sẽ thuộc vào một tập con, ngược lại m không được chọn thì m cũng không thuộc vào tập con đó + =1+ .Do đó hàm sinh cho m là . Suy ra ( , ) = (1 + )(1 + )(1 + ) … (1 + ) / = Đặt Khi đó theo định lý 1 1 [ (1, ) + ( , ) + ⋯ + ( , )] = ( ⋆) , , | Ta tính ( , ), với 0 ≤ ≤ − 1. Xét = 0, (1, ) = (1 + ) . Với 1 ≤ ≤ − 1. Ta có gcd( , ) = 1 nên {1,2, … , } = {1 ⋅ , 2 ⋅ , … , ∙ } ( ) Suy ra 8
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( , ) = (1 + )(1 + )(1 + ) … (1 + ) = (1 + )(1 + )(1 + ) … (1 + ) = (1 + )(1 + )(1 + ) … (1 + ) = (1 + ) Vậy 1 ((1 + ) + ( − 1)(1 + )) = , , | Ta cần tính 1 1 2 =[ ] ((1 + ) + ( − 1)(1 + ) )= + 2( − 1) = , | Đó là đáp số cần tính VÍ DỤ 10 Cho là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương không chia hết cho . Tìm số các , ,…, gồm − 1 số tự nhiên không lớn hơn − 1 sao cho tổng + 2 + ⋯ + bộ ( − 1) ≡0( ). Đáp số là ( − 1)/ + VÍ DỤ 11 ( ℎ 1999)Với tập , xác đinh ( ) là tổng các phần tử thuộc = ( nếu thì ( ) = | | = 0 ). Gọi = {1,2, … ,1999} và = 0,1,2,3, … ,6 xác định ={ | ( )≡ ∈ , 7} tính | |. Với mỗ i Trước khi đến với ví dụ 12 ta xét định lý sau ĐỊNH LÝ 2 Đạo hàm của hàm số ℋ( ) = ∏ ( ) ( trong đó ( ) là các hàm khả vi vớ i biến ) là ′( ) () = ℋ( ) ∙ ℋ () = 2 ta áp dụng quy tắc tính Định lý này có thể chứng minh đơn giản bằng quy nạp theo , với đạo hàm của hàm tích hai hàm số. Bây giờ ta xét bài toansau đây 1989) Cho một phân hoạch của ≥ 1 là một số nguyên, nghĩa là n có VÍ DỤ 12 ( thể biểu diễn thành tổng của một hoặc nhiều số nguyên dương nhưng biểu diễn tong phải theo 9
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh một thứ tự không giảm (ví dụ = 4 khi đó phân hoạch là 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2, à 4 ). Với mỗ i phân hoach xác định ( ) là sso các số 1 xuất hiện trong và ( ) xác định là số các số nguyên dương phân biệt xuất hiện trong (ví dụ = 13 và là phân hoạch 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 5, khi đó ( ) = 2 và ( ) = 3 ). Chứng minh rằng với mỗ i cố định , ta có ( )= () à â à â ạ ủ ạ ủ Giải Đặt ∑ à ( )= và ∑ à â ạ ủ ( )= . Xét ( ) = ∑ và â ạ ủ ℬ( ) = ∑ ta sẽ chứng minh rằng ( ) = ℬ( ), từ đó suy ra = ,∀ . Với ≥ 2 hàm sinh cho là 1 + + + ⋯ Với = 1, nếu 1 được chọn lần thì ứng với ta có , tuy nhiên để biết thêm về số lần 1 xuất hiện trong ta gán thêm biến , nếu 1 được chọn lần thì cũng xuất hiện lần trong , do đó hàm sinh cho = 1 là 1 + + + ⋯ Xét ℱ( , ) = = (1 + + ⋯ )(1 + + ⋯ )(1 + + ⋯)… + + + , , à số lần 1 xuất hiên trong phân Trong đó ta dùng biến cho tổng của mỗ i phân hoach và hoạch, , là số các phân hoạch của có số 1. Chú ý rằng nếu 1 xuất hiện lần thì ta có , lần số 1 xuất hiện trong các phân hoạch của . Do đó = + + +⋯= , , , , Do đó ( )= = , Ta có ℱ = , , = 1, ta có Khi đó chọn 10
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ℱ () = = , , Mà 1 ℱ( , ) = (1 − )(1 − )(1 − )… Do đó 1 ( )= ( ⋆) 1− 1− Ta cũng thiết lập hàm ℬ ( ) một cách tương tự. Xét ( , )= , , = (1 + + ⋯ )(1 + + ⋯ )(1 + + ⋯)… + + + = 1+ 1− Trong đó , là số các phân hoạch của với phần tử phân biệt . Biến biểu diễn cho tổng các phần tử trong phân hoạch và biến là số lần xuất hiện của phần tử nào đó trong phân hoạch. Tương tự ta suy ra ℬ( ) = = , Ta có () =(,) () ( )=1+ ( )= ,⟶ Với vậy ta có () = () Suy ra ℬ( ) = = ( , 1) = ( ⋆⋆) (1 − ) (1 − )… 1− 11
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Từ (⋆) à (⋆⋆) suy ra ( ) = ℬ( ), do đó = ,∀ . CHÚ Ý Bài toán có thể giải bằng cách sử dụng nguyên lý và ta có một lời giải khá gọn! , > 1. Khi đó ĐỊNH LÝ 3 Giả sử là các số nguyên dương , −1 ế | = −1 ế ∤ Tiếp mtheo ta có đinh lý sau mà ở lời giải 1 của ví dụ 9 và 11 đã sử dung( Thực chất là hệ quả của định lý 3) / = , ĐỊNH LÝ 4 Nếu là một số nguyên tố khi đó | ế = 0 ∤ ế VI DỤ 14 Cho số nguyên dương và , trong đo + 2 chia hêt cho . Tính số các bộ bốn số nguyên dương ( , , , ) sao cho tổng + + + chia hết cho và 1 ≤ , , , ≤ ( sử dụng định lý 1 và 3) VÍ DỤ 15 Cho là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương không vượt quá − 1. Tìm số tập con phân tử của {1,2, … , }, sao cho ttongr các phần tử của mỗ i tập con đó đều chia hết cho 5 Các bài toán áp dụng 1998) Cho ( ) ∈ ℕ, là số tự nhiên,là một dãy số không giảm Bài toán 1( ℎ sao cho mọ i số tự nhiên đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng + 2 + 4 với , , không nhất thiết phân biệt. Bài toán 2( 1996) Xác định ( kèm chứng minh) tập con của tập các sô nguyên vớ i tính chất sau: mọ i số nguyên có đúng một nghiệm của phương trình + 2 = với , ∈ là số nguyên dương, đặt Bài toán 3 Cho 12
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( )= (1 + ) (1 − ) Chứng minh rằng [ ] ( ) = 0 với mọ i số nguyên dương Bài toán 4 Tính tổng + ⋯ + (−1) − 0 1 Bài toán 5 Chứng minh rằng 2 −2 (−1) =0 −1 Bài toán 6 ( đồng nhất thức Euler). Đặt ( )= (1 − ) Khi đó 3 ± (−1) , = ế [ ] ( )= 2 0 ℎợ ℎá ươ Bài toán 7( ℎ 1996) Cho số nguyên dương . Tìm số các đa thức ( ) với hệ số thuộc tập {0,1,2,3} thỏa mãn (2) = Bài toán 8( 1957) Gọi ( ) là số các cách biểu diễn n thành tổng gồ m 1 và 2, xếp theo thứ tự. Ví dụ 4= 1+1+2 = 1+2+1 = 2+1+1= 2+2= 1+1+1+1 ( ta có (4) = 5). Gọi ( ) là số các cách biểu diễn thành tổng các số nguyên lớn hơn 1. Ví (6) = 5. Chứng minh rằng ( ) = dụ 6 = 4 + 2 = 2 + 4 = 3 + 3 = 2 + 2 + 2 ta có ( + 2). Bài toán 9( ℎ 2007) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho tập S= {1,2, … , } có thể tô màu đỏ và xanh thỏa mãn tính chất sau: tập chứa đúng 2007 bộ có thứ tự ( , , ) sao cho , , cùng màu (i) + + chia hết cho (ii) 13
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh ( đáp số là 69 và 84 ) Bài toán 10( 2008) Cho tập = {1,2, . . ,2008} được tô bởi ba màu xanh, đỏ và vàng. Gọi là số các bộ ba ( , , ) ∈ sao cho , , cùng màu và 2008 ℎ ℎế + + .Gọi là tập các bộ ba ( , , ) ∈ sao cho , , đôi một khác màu và 2008 ℎ ℎế + + . Chứng minh rằng 2 > ≠ ∅, = {0} à ∗ Bài toán 11 Gọi , , … , , , … là các tập thỏa mãn = { + 1| ∈ }, = ⋃− ⋂ , với mọ i số nguyên dương . Xác định tất cả các sô = {0}. nguyên dương để là lũy thừa của 2, đẻ chứng minh bài này trước hết ta hay giải quyết hai bổ đề sau ( đáp số : ( )= ( )=1 ( ) thỏa mãn phương trình BỔ ĐỀ 1 Nghiệm của dãy hàm và ( )= ( )+ ( ) với mọ i là −1− ( )= à ℎẵ , ∀ 0 < < ộ BỔ ĐỀ 2 Số tự nhiên là lũy thừa của 2 nếu và chỉ nếu ( ) = ,ℎ 2 =2 ớ .) _________________________________________________________________________________________________________ 14
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh LỜI KẾT Hàm sinh không những chỉ có ứng dụng trong các bài toán đếm hay chứng minh của tổ hợp mà nó còn có nhiều ứng dụng khác trong các bài toán thống kê, xác suất, trong lĩnh vực tin học, …Qua các ví dụ trên ta có thể thấy dường như chúng không thể giải được nếu như không có hàm sinh. Từ đó ta mới thấy được ý nghĩa và tầm quan trọng của hàm sinh trong các bài toán tổ hợp Xuân Canh Dần 2010, 16 tháng 2 năm 2010 Kim Đình Sơn, 12A1, THPT Chuyên Vĩnh Phúc 15
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh Tài Liệu Tham Khảo [1] A path to Combinatirics for Undergraduates, Counting Strategies, Andreescu,T.; Feng. Z. , Bikhauser, 2004 [2] Chuyên đề chọn lọc,Tổ hợp và toán rời rạc, NXBGD 2008 [3] Hàm sinh, Trần Nam Dũng, nguồn http://forum.mathscope.org [4] Hàm sinh và áp dụng ( topic), Biến phức và áp dụng, Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên) [5] Multivariate Generating Function and Other Tidbits, Zachary R Abel, Mathematical Reflections, vol 2, 2006 [6] Shortlisted IMO 2007/ IMO Group, www://imomath.com [7] Putnam and Beyond, Andreescu,T [8] 102 Problems in Algebrafrom the Trainingof the USA IMO Team, Andreescu,T.; Feng. Z. , Bikhauser, 2002 16
ℳừng xuân Canh Dần 2010 ⋇franciscokison⋇ Hàm sinh 17

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.