Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 98
g)
2
2
1
,
2
1
x
yy
x
==
+
h) 2
3,0
yxy
x
=++=
i) 2
yxxyx
=+=+
k) 22,4
yxyx
=+=-
Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
22
,
yxxy
==-
b) 2
50,30
yxxy
+-=+-=
c) 2
20,0
yyxxy
-+=+=
d) 2
21,1
yxyx
=+=-
e) 2
2,,0,3
yxyxyy
====
f) 2
(1),sin
yxxy
=+=p
g) 222
6,16
yxxy
=+=
h) 232
(4),4
yxyx
=-=
i) 3
10,10
xyxy
-+=+-=
k) 222
8,2
xyyx
+==
Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
.;0;1;2.
x
yxeyxx
===-=
b) 2
.ln;0;1;.
yxxyxxe
====
c)
;;1.
xx
yeyex
-
===
d) 2
5;0;0;3.
x
yyxyx
-
====-
e) 5
(1);;1.
x
yxyex
=+==
f) 1
ln,0,,
yxyxxe
e
====
g) 2
sincos,0,0,yxxyxx
=+===p
h)
sin;;0;2.
yxxyxxx
=+===p
i) 2
sin;;0;.
yxxyxx
=+=p==p
k) 2
sinsin1,0,0,
2
yxxyxx
p
=++===
Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
2
1
():
2
Cyx
x
=+ , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
b)
221
():,0
2
xx
Cyy
x
++
==
+, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
c) 32
():243,0
Cyxxxy
=-+-=
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) 3
():32,1
Cyxxx
=-+=-
và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) 2
():2
Cyxx
=-
và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
a) sin,0,0,
4
yxyxx
p
====
b) 32
1
,0,0,3
3
yxxyxx
=-===
c) 66
sincos,0,0,
2
yxxyxx
p
=+===
d) yxyx
,0,4
===
e) 3
1,0,1,1
yxyxx
=-==-=
f) 2,
yxyx
==
g)
23
,
48
xx
yy== h) 2
4,2
yxxyx
=-+=+
i) sin,cos,,
42
yxyxxx
====
pp
k) 22
(2)9,0
xyy
-+==
l) 22
46,26
yxxyxx
=-+=--+
m)
ln,0,2
yxyx
===
Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 99
a) 2
,1,4
xyy
y
===
b) 2
,4
yxy
==
c) ,0,
x
yexye
===
d) 2
,1,2
yxyy
===
Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy
a) 2
(2),4
yxy
=-=
b) 22
,4,4
yxyxy
===
c) 2
1
,0,0,1
1
yyxx
x
====
+
d) 2
2,0
yxxy
=-=
e)
.ln,0,1,
yxxyxxe
====
f) 2
(0),310,1
yxxyxy
=>=-+=
g) 2,
yxyx
== h)
( )
22
– 4 1
xy
+=
i) 1
4
9
22
=+ yx k)
1,2,0,0
yxyyx
=-===
l) 2
0,2,0
xyyx
-===
m) 23
,0,1
yxyx
===
Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng
Trang 100
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ò-
2
0
2dxxx b)
5
3
(22)
xxdx
-
+--
ò c)
3
2
1
21
xxdx
-+
ò
d)
2
2
1
1
2
x
dx
x
-
æö
-
ç÷
+
èø
ò e)
37
84
2
12
x
dx
xx+-
ò f)
1
2
0
252
dx
xx
++
ò
g)
1
2
0
(1)
xdx
x+
ò h)
0
2
1
24
dx
xx
-
++
ò i)
232
2
0
249
4
xxx
dx
x
+++
+
ò
k)
13
2
0
1
x
dx
x+
ò l)
1
2
01
xdx
x
+
ò m)
1
3
0
(1)
xdx
x+
ò
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ò-+
2
111 dx
x
x b)
4
1
2
54
dx
x
-
++
ò c)
0
1
1
xxdx
-
+
ò
d)
10
5
21
dx
xx
--
ò e)
3
1
3
313
x
dx
xx
-
-
+++
ò f)
2
122
xdx
xx
++-
ò
g)
24
5
0
1
x
dx
x+
ò h)
9
3
1
1
xxdx
-
ò i) x
dx
x
7
3
3
0
1
31
+
+
ò
k)
3
32
0
1
xxdx
+
ò l)
1
32
0
3
xxdx
+
ò m)
1
32
0
1
xxdx
-
ò
o)
1
52
0
1
xxdx
-
ò p)
12
2
3
0(1)
xx
dx
x
+
+
ò q)
353
2
0
2
1
xx
dx
x
+
+
ò
r)
2
22
0
4
xxdx
-
ò s) t)
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
/4 2
0
12sin
1sin2
x
dx
x
p
-
+
ò b)
/2
0
sin2sin
13cos
xx
dx
x
p+
+
ò c)
/2
0
sin2cos
1cos
xx
dx
x
p
+
ò
d)
/2
22
0
sin2
cos4sin
x
dx
xx
p
+
ò e)
/2
0
sinsin2sin3
xxxdx
p
ò f)
/2
5
0
cos
xdx
p
ò
g)
/2
44
0
cos2(sincos)
xxxdx
p
+
ò h)
/3
2
/4
tan
cos1cos
x
dx
xx
p
p+
ò i) 2
0
sin
1cos
xx
dx
x
p
+
ò
k)
/4
2
0
tan
xxdx
p
ò l)
/2
0
sin2
cos1
x
dx
x
p
+
ò m)
/2
0
sin
13cos
x
dx
x
p
+
ò
o)
/2 2004
20042004
0
sin
sincos
x
dx
xx
p
+
ò p)
/2 3
0
4sin
1cos
x
dx
x
p
+
ò q)
/2
0
cos3
sin1
x
dx
x
p
+
ò
IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân
Trang 101
r)
/3 2
2
0
sin
sin2cos
xxdx
xx
p
ò s)
/2
22
0
sin
sin2coscos
2
xdx
x
xx
p
+
ò t)
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a)
3
2
0
ln(5)
xxdx
+
ò b) ò-
3
2
2)ln( dxxx c)
1
2
0
(2) x
xedx
-
ò
d)
/2
sin
0
(cos)cos
x
exxdx
p
+
ò e)
ln5
ln3
23
xx
dx
ee
-
+-
ò f) 22
1
ln
e
xxdx
ò
g)
3
1
1ln
ex
xdx
x
+
ò h)
1
2
0
(1) x
xedx
+
ò i)
1
01
x
dx
e
+
ò
k)
22
2
0(2)
x
xe
dx
x+
ò l)
1
22
0
(421) x
xxedx
--
ò m)
2
2
1
ln(1)
x
dx
x
+
ò
o)
/2
3
0
sin5
x
exdx
p
ò p) 2
1
ln
e
x
dx
x
ò q)
1
2
0
ln(1)
xxdx
+
ò
r)
1
32ln
12ln
ex
dx
xx
-
+
ò s) ò+
e
dx
x
xx
1
ln.ln31 t)
32
1
ln
ln1
ex
dx
xx+
ò
Baøi 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) yxxyxx
3
32,0,0,1
=-+===-
b) 4
,0,2,1
2
yyxx
x
===-=
-
c) 42
19
2,0
44
yxxy
=-++=
d)
,2,1
x
yeyx
===
e) 11
1,0,2,4
21
yxyxx
x
=-+===
- f) 22
2,4
yxxyxx
=-=-+
g) 21
,0,0
1
x
yyx
x
+
===
+ h)
2
,0
1
xx
yy
x
-+
==
+
m)
232
,,0,1
1
xx
ytieämcaänxieânxx
x
+-
===
+
n)
22,0,
1
xx
yytieáptuyeánveõtöøgoáctoaïñoä
x
+-
==
+
o) 32
331
yxxx
=+++
, tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
p) 3
1
3
4
yxx
=-
, tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x =
23
.
Baøi 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
a)
,0,3;
yxyxOx
=== b)
ln,0,1,;
yxxyxxeOx
====
c)
,0,1;
x
yxeyxOx
=== d) 22
4,2;
yxyxOx
=-=+
e) 2
4,0;
yxxOy
=-= f)
,0,1;
y
xyexyOy
===
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.
transitung_tv@yahoo.com
Số phức Trần Sĩ Tùng
Trang 102
1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: C
· Số phức (dạng đại số) :
zabi
=+
(a, b
R
Î
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau: '
’’(,,',')
'
aa
abiabiababR
bb
ì
=
+=+ÛÎ
í
=
î
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
Î
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi
(;)
uab
=
r
trong mp(Oxy) (mp phức)
3. Cộng và trừ số phức:
·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+++=+++ ·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+-+=-+-
· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
·
u
r
biểu diễn z,
'
u
r
biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và
'
uu
-
rr
biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
·
(
)
(
)
(
)
(
)
abiabiaabbabbai
'' '–'''
++=++
·
()()
kabikakbikR
+=+Î
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
zabi
=-
·
11
22
;'';.'.';
zz
zzzzzzzzzz
zz
æö
=±=±==
ç÷
èø ;
22
.
zzab
=+
· z là số thực Û
zz
=
; z là số ảo Û
zz
=-
6. Môđun của số phức : z = a + bi
· 22
zabzzOM
=+==
uuuur
·
0,,00
zzCzz
³"Î=Û=
·
.'.'
zzzz
= ·
'
'
zz
z
z
= ·
'''
zzzzzz
-£±£+
7. Chia hai số phức:
· 1
2
1
zz
z
-= (z
¹
0) · 1
2
''.'.
'
.
zzzzz
zz
zzz
z
-
=== ·
''
z
wzwz
z
=Û=
I. SỐ PHỨC
CH
ƯƠ
NG IV
SỐ PHỨC