Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo “Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây". Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2022-2023 - Trường THPT Đào Sơn Tây

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY  TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2022 - 2023 (HỌC KÌ II) Họ và tên: ....................................... Lớp: ............................................... Tài liệu lưu hành nội bộ 1
2
CHƯƠNG IV GIỚI HẠN CHƯƠNG IV GIỚI HẠN I. Giới hạn của dãy số CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 CHƯƠNG IV lim = 0 ; lim = 0 (k  + ) lim n = + lim nk = + (k  + ) n→+ n n→+ n k GIỚI HẠN lim qn = + (q  1) n lim q = 0 ( q  1) ; lim C = C 2. Định lí: n→+ n→+ 2. Định lí : 1 a) Nếu lim un = + thì lim =0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un • lim (un + vn) = a + b un • lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim =0 vn • lim (un.vn) = a.b u c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 a • lim n = (nếu b  0) u + neáu a.vn  0 vn b thì lim n =  vn − neáu a.vn  0 b) Nếu un  0, n và lim un= a d) Nếu lim un = +, lim vn = a thì a  0 và lim un = a + neáu a  0 thì lim(un.vn) =  c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 − neáu a  0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un = a * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  u1 S = u1 + u1q + u1q + … = 2 1− q ( q  1) dạng vô định. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: • Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 1+ 2 1+ − 3 n +1 n =1 n + n − 3n n VD: a) lim = lim b) lim = lim =1 2n + 3 3 2 1 − 2n 1 2+ −2 n n  4 1  c) lim(n2 − 4n + 1) = lim n2  1 − +  = +  n n2  • Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức ( a − b )( a + b ) = a − b; ( 3 a − 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a − b 21
VD: lim ( ) n2 − 3n − n = lim ( n2 − 3n − n )( n2 − 3n + n ) = lim −3n =− 3 ( n2 − 3n + n ) n2 − 3n + n 2 • Dùng định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 VD: sin n sin n 1 1 sin n a) Tính lim .Vì 0   và lim = 0 nên lim =0 n n n n n 3sin n − 4 cos n b) Tính lim .Vì 3sin n − 4 cos n  (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 5 2 2n + 1 3sin n − 4 cos n 5 nên 0   . 2 2 2n + 1 2n + 1 5 3sin n − 4 cos n Mà lim = 0 nên lim =0 2 2n + 1 2 n2 + 1 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: • Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. • Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. • Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. Baøi 1: Tính các giới hạn sau: 2 n2 − n + 3 2n + 1 3n3 + 2n2 + n a) lim b) lim c) lim 3n2 + 2n + 1 n3 + 4n2 + 3 n3 + 4 n4 n2 + 1 2 n 4 + n2 − 3 d) lim e) lim f) lim (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) 2n4 + n + 1 3n3 − 2n2 + 1 Baøi 2: Tính các giới hạn sau: 1 + 3n 4.3n + 7n+1 4 n+1 + 6 n+2 a) lim b) lim c) lim 4 + 3n 2.5n + 7n 5n + 8n 2 n + 5n+1 1 + 2.3n − 7n 1 − 2.3n + 6 n d) lim e) lim f) lim 1 + 5n 5n + 2.7n 2 n (3n+1 − 5) Baøi 3: Tính các giới hạn sau: 3 4 n2 + 1 + 2 n − 1 n2 + 3 − n − 4 n2 + 1 − n6 a) lim b) lim c) lim n2 + 4 n + 1 + n n2 + 2 + n n 4 + 1 + n2 4 n2 + 1 + 2 n (2n n + 1)( n + 3) n2 − 4 n − 4 n2 + 1 d) lim e) lim f) lim n2 + 4 n + 1 + n (n + 1)(n + 2) 3n2 + 1 + n Baøi 4: Tính các giới hạn sau:  1 1 1   1 1 1  a) lim  + + ... +  b) lim  + + ... +   1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1)   1.3 2.4 n(n + 2)  22
 1  1   1   1 1 1  c) lim  1 −  1 −  ...  1 −  d) lim  + + ... +   22  32   n2   1.2 2.3 n(n + 1)  1 + 2 + ... + n 1 + 2 + 22 + ... + 2 n e) lim f) lim n2 + 3n 1 + 3 + 32 + ... + 3n Baøi 5: Tính các giới hạn sau: a) lim ( n2 + 2n − n − 1) b) lim ( n2 + n − n2 + 2 ) c) lim ( 3 2n − n3 + n − 1) d) lim (1 + n2 − n4 + 3n + 1 ) e) lim ( n2 − n − n ) 1 f) lim n2 + 2 − n2 + 4 3 4 n2 + 1 − 2 n − 1 n2 + 1 − n6 n2 − 4 n − 4 n2 + 1 g) lim h) lim i) lim n2 + 4 n + 1 − n n 4 + 1 − n2 3n2 + 1 − n Baøi 6: Tính các giới hạn sau: 2 cos n2 (−1)n sin(3n + n2 ) 2 − 2n cos n a) lim b) lim c) lim n2 + 1 3n − 1 3n + 1 3sin 6 n + 5 cos2 (n + 1) 3sin 2 (n3 + 2) + n2 3n2 − 2n + 2 d) lim e) lim f) lim n2 + 1 2 − 3n2 n(3 cos n + 2)  1  1   1  Baøi 7: Cho dãy số (un) với un =  1 −  1 −  ...  1 −  , với  n  2.  2  3   n2  2 2 a) Rút gọn un. b) Tìm lim un. 1 1 1 Baøi 8: a) Chứng minh: = − (n  N*). n n + 1 + (n + 1) n n n +1 1 1 1 b) Rút gọn: un = + + ... + . 1 2 +2 1 2 3 +3 2 n n + 1 + ( n + 1) n c) Tìm lim un. u1 = 1  Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1 .  un +1 = un + ( n  1)  2n a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. u = 0; u2 = 1 Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1 2un+2 = un+1 + un , (n  1) 1 a) Chứng minh rằng: un+1 = − un + 1 , n  1. 2 2 b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. 3 II. Giới hạn của hàm số 23
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số) lim x k = + ; x → x0 x → x0 x →+ 2. Định lí: + neáu k chaün a) Nếu lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M lim x k =  x → x0 x → x0 x →−  − neáu k leû c thì: lim  f ( x ) + g( x ) = L + M lim c = c ; lim =0 x → x0 x → x →xk lim  f ( x ) − g( x ) = L − M 1 1 x → x0 = − ; lim− lim+ = + x →0 x x →0 x lim  f ( x ).g( x ) = L.M x → x0 1 1 lim− = lim+ = + f ( x) L x →0 x x →0 x lim = (nếu M  0) 2. Định lí: x → x0 g( x ) M Nếu lim f ( x ) = L  0 và lim g( x ) =  thì: b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 + neáu L vaø lim g( x ) cuøng daáu thì L  0 và lim f ( x) = L  x → x0 x → x0 lim f ( x )g( x ) =  x → x0 − neáu L vaø xlim → x0 g( x ) traùi daáu c) Nếu lim f ( x ) = L thì lim f ( x ) = L  x → x0 x → x0 3. Giới hạn một bên: 0 neáu lim g( x ) =  lim f ( x ) = L   f ( x )  x → x0 x → x0 lim = + neáu lim g( x ) = 0 vaø L.g( x )  0 x → x0 g( x )  x → x0  − neáu xlim → x0 g( x ) = 0 vaø L.g( x )  0  * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0  định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử 0  dạng vô định. Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 1. Dạng 0 P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x → x0 Q( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. x3 − 8 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2 x + 4 12 VD: lim = lim = lim = =3 x →2 x 2 − 4 x →2 ( x − 2)( x + 2) x →2 x+2 4 P( x ) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x → x0 Q( x ) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 2− 4−x ( 2 − 4 − x )( 2 + 4 − x ) 1 1 VD: lim = lim = lim = x →0 x x →0 x (2 + 4 − x ) x →0 2 + 4 − x 4 P( x ) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc x → x0 Q( x ) m u( x ) − n v( x ) vôùi m u( x Giả sử: P(x) = 0) = n v( x0 ) = a . 24
Ta phân tích P(x) = ( m u( x) − a) + ( a − n v( x) ) . 3 x +1 − 1− x  3 x +1 −1 1− 1− x  VD: lim = lim  +  x →0 x x →0  x x   1 1  1 1 5 = lim  + = + = x →0  3 ( x + 1) 2 3 + x + 1 + 1 1 + 1 − x  3 2 6    P( x ) 2. Dạng :L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.  x → Q( x ) – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 5 3 2 2+ − 2 x + 5x − 3 x x2 VD: a) lim = lim =2 x →+ x 2 + 6 x + 3 x →+ 6 3 1+ + x x2 3 2− 2x − 3 x b) lim = lim = −1 x →− 2 x +1 − x x →− 1 − 1+ −1 x2 3. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. ( ( 1 + x − x )( 1 + x + x ) 1 VD: lim 1 + x − x ) = lim = lim =0 x →+ x →+ 1+ x + x x →+ 1+ x + x 4. Dạng 0.: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. x x − 2. x 0. 2 VD: lim+ ( x − 2) = lim = =0 x →2 2 x −4 x →2 + x+2 2 Baøi 1: Tìm các giới hạn sau:   2 3 2 sin  x −  1+ x + x + x 3x + 1 − x  4 a) lim b) lim c) lim x →0 1+ x x →−1 x −1 x→  x 2 x −1 x2 − x + 1 x2 − 2x + 3 d) lim e) lim f) lim x →−1 x4 + x − 3 x →2 x −1 x →1 x +1 3 x +8 −3 3x2 − 4 − 3x − 2 1 g) lim h) lim i) lim x 2 sin x →1 x −2 x →2 x +1 x →0 2 Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: x3 − x2 − x + 1 x4 −1 x5 + 1 a) lim b) lim c) lim x →1 x2 − 3x + 2 x →1 x3 − 2 x2 + 1 x →−1 x3 + 1 x3 − 5x 2 + 3x + 9 x − 5x 5 + 4 x 6 xm −1 d) lim e) lim f) lim x →3 x 4 − 8x2 − 9 x →1 (1 − x )2 x →1 xn −1 25
(1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3 x ) − 1 x + x 2 + ... + x n − n x 4 − 16 g) lim h) lim i) lim x →0 x x →1 x −1 x →−2 x3 + 2 x2 Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: 4x +1 − 3 3 x −1 1 + x2 − 1 a) lim b) lim . c) lim x →2 x2 − 4 x →1 3 4x + 4 − 2 x →0 x x +2 −2 2 x + 2 − 3x + 1 x2 + 1 −1 d) lim e) lim f) lim x →2 x +7 −3 x →1 x −1 x →0 x 2 + 16 − 4 1+ x −1 x + 3 − 2x x + 9 + x + 16 − 7 g) lim h) lim i) lim x →0 3 1 +x −1 x →−3 x 2 + 3x x →0 x Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: 1+ x − 3 1+ x 3 8 x + 11 − x + 7 2 1+ x − 3 8 − x a) lim b) lim c) lim x →0 x x →2 x2 − 3x + 2 x →0 x 3 1+ 4x − 3 1+ 6x 3 8 x + 11 − x + 7 5 − x3 − x2 + 7 d) lim e) lim f) lim x →0 x2 x →2 2 x2 − 5x + 2 x →1 x2 − 1 1 + 4x . 1 + 6x −1 1 + 2 x .3 1 + 4 x − 1 3 x +1 − 1− x g) lim h) lim i) lim x →0 x x →0 x x →0 x Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: x2 + 1 2 x2 − x + 1 2 x2 + 1 a) lim b) lim c) lim x →+ 2 x2 − x + 1 x → x −2 x →+ x3 − 3x2 + 2 x2 + 2 x + 3 + 4 x + 1 4 x2 − 2 x + 1 + 2 − x x x +1 d) lim e) lim f) lim x → 4 x2 + 1 + 2 − x x → 9 x2 − 3x + 2 x x →+ x2 + x + 1 (2 x − 1) x 2 − 3 x2 + 2 x + 3x x 2 − 5x + 2 g) lim h) lim i) lim x →− x − 5x2 x →+ 4 x2 + 1 − x + 2 x →− 2 x + 1 Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: a) lim  x 2 + x − x  b) lim  2 x − 1 − 4 x 2 − 4 x − 3  x →+   x →+     c) lim  x 2 + 1 − x 3 − 1  3 d) lim  x + x + x − x  x →+   x →+   e) lim ( 3 2x −1 − 3 2x +1) f) lim ( 3 3x3 − 1 + x2 + 2 ) x →+ x →−  1 3   1 1  g) lim  −  h) lim  +  x →1  1 − x 1 − x 3  x →2  x 2 − 3 x + 2 x 2 − 5 x + 6  Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: x − 15 x − 15 1 + 3x − 2 x2 a) lim+ b) lim− c) lim+ x →2 x − 2 x →2 x −2 x →3 x −3 x2 − 4 2−x 2−x d) lim+ e) lim f) lim x →2 x −2 2 x − 5x + 2 x →2 + 2 x →2 − 2 2 x − 5x + 2 Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 26
 1+ x −1  3 khi x  0  9 − x2  a) f ( x) =  1 + x − 1 taïi x = 0 b) f ( x ) =  x − 3 khi x  3 taïi x = 3 3 khi x  0  1 − x khi x  3  2  x2 − 2 x  x2 − 3x + 2  khi x  2  khi x  1  3 2 c) f ( x) =  8 − x taïi x = 2 d) f ( x ) =  x − 1 taïi x = 1 4 x  x − 16 − khi x  2 khi x  1  x − 2  2 Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::  x3 − 1  1 3  khi x  1  − khi x  1 a) f ( x) =  x − 1 taïi x = 1 b) f ( x ) =  x − 1 x 3 − 1 taïi x = 1 mx + 2 khi x  1 m x − 3mx + 3 khi x  1 2 2  x + m khi x  0   x + 3m khi x  −1 c) f ( x ) =  x 2 + 100 x + 3 taïi x = 0 d) f ( x ) =  2 taïi x = −1  khi x  0  x + x + m + 3 khi x  − 1 x +3 III. Hàm số liên tục 27
1. Hàm số liên tục tại một điểm:y = f(x) liên tục tại x0  lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 • Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2: Tính lim f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x ) , lim − f ( x ) ) x → x0 x → x0 x → x0 B3: So sánh lim f ( x ) với f(x0) và rút ra kết luận. x → x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f ( x ) = f (a), lim f ( x ) = f (b) x →a + x →b − 4. • Hàm số đa thức liên tục trên R. • Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f ( x) • Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. g( x ) 6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b). Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x ) . Khi đó với mọi T  a;b  a;b  (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T. Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:  x +3 −2 x +3  khi x  1  khi x  1 taïi x = −1 a) f ( x ) =  x − 1 b) f ( x ) =  x − 1 taïi x = 1 −1 khi x = 1 1 khi x = 1  4  2 − 7 x + 5x2 − x3  x −5  khi x  2  khi x  5 c) f ( x) =  x2 − 3x + 2 taïi x = 2 d) f ( x ) =  2 x − 1 − 3 taïi x = 5 1 khi x = 2 ( x − 5)2 + 3 khi x  5    x −1 1 − cos x khi x  0  khi x  1 e) f ( x) =  taïi x = 0 f) f ( x ) =  2 − x − 1 taïi x = 1  x +1 khi x  0 −2 x khi x  1  Baøi 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:  2 khi x  1 a) f ( x) =  x taïi x = 1  2 mx − 3 khi x  1  x3 − x2 + 2 x − 2  khi x  1 b) f ( x ) =  x −1 taïi x = 1 3 x + m khi x = 1 28
m khi x = 0  2 x − x −6 c) f ( x) =  khi x  0, x  3 taïi x = 0 vaø x = 3  x ( x − 3) n khi x = 3  x2 − x − 2  khi x  2 d) f ( x) =  x − 2 taïi x = 2 m khi x = 2 Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:  x3 + x + 2  3 khi x  −1  x 2 − 3x + 4 khi x  2  a) f ( x) =  x + 1 b) f ( x ) = 5 khi x = 2 4 khi x = −1 2 x + 1 khi x  2  3  x2 − 4  x2 − 2  khi x  −2  khi x  2 c) f ( x) =  x + 2 d) f ( x ) =  x − 2 −4 khi x = −2 2 2 khi x = 2  Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:  x2 − x − 2 x2 + x khi x  1  khi x  2  a) f ( x ) =  x − 2 b) f ( x ) = 2 khi x = 1 m khi x = 2  mx + 1 khi x  1  x3 − x2 + 2 x − 2  khi x  1 x2 khi x  1 c) f ( x ) =  x −1 d) f ( x ) =  3 x + m khi x = 1 2 mx − 3 khi x  1 Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x 3 − 3 x + 1 = 0 b) x 3 + 6 x 2 + 9 x + 1 = 0 c) 2 x + 6 3 1 − x = 3 Baøi 6: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) x 5 − 3x + 3 = 0 b) x 5 + x − 1 = 0 c) x 4 + x3 − 3x 2 + x + 1 = 0 Baøi 7: Chứng minh rằng phương trình: x 5 − 5x 3 + 4 x − 1 = 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2). Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: a) m( x − 1)3 ( x − 2) + 2 x − 3 = 0 b) x 4 + mx 2 − 2mx − 2 = 0 c) a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = 0 d) (1 − m2 )( x + 1)3 + x 2 − x − 3 = 0 e) cos x + m cos2 x = 0 f) m(2 cos x − 2) = 2sin 5 x + 1 Baøi 9: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: a) ax 2 + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b) ax 2 + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0 c) x 3 + ax 2 + bx + c = 0  1 Baøi 10: Chứng minh rằng phương trình: ax 2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm x   0;  với a  0  3 và 2a + 6b + 19c = 0. 29
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 1 + 2 + 3 + ... + n  n + 2 sin n  n 2 + 2n a) lim b) lim  +  c) lim 3n3  n + 1 2n  3n 2 + n + 1 n2 + 2 n 25n+1 + 3 (−1)n + 4.3n d) lim e) lim f) lim 2n2 + 3n − 1 35n+2 + 1 (−1)n+1 − 2.3n g) lim ( n2 − 3n − n2 + 1 ) g) lim ( 3 n3 + 3n2 − n ) ( h) lim 1+ n2 − n4 + n ) l) lim ( ) 2 cos n2 n 3 i) lim k) lim n2 − 2 − n3 + 2n 2 n +1 2 3n + 1 − n − 1 2 Bài 2. Tìm các giới hạn sau: x2 − 5x + 6 8x2 − 1 x3 − 4 x2 + 4 x − 3 a) lim b) lim c) lim x →3 x 2 − 8 x + 15 x→ 1 6 x2 − 5x + 1 x →3 x2 − 3x 2 2 x 4 − 5x3 + 3x2 + 1 x3 − 3x + 2 x3 − 2 x2 − 4 x + 8 d) lim e) lim f) lim x →1 3 x 4 − 8x3 + 6 x2 − 1 x →1 x 4 − 4x + 3 x →2 x 4 − 8 x 2 + 16 x3 − 2 x − 1 x+2 ( x + 2)2 − 1 g) lim h) lim i) lim x →1 x 5 − 2x −1 x →−2 2 x 2 + 5x + 2 x →−1 x2 − 1 Bài 3. Tìm các giới hạn sau: x −2 1 + x2 − 1 x +8 −3 a) lim b) lim c) lim x →2 3 − x+7 x →0 x x →1 x 2 + 2x − 3 1+ 2x − 3 2x + 7 − 3 x2 + 1 −1 d) lim e) lim f) lim x →4 x −2 x →1 x +3 −2 x →0 4 − x 2 + 16 3 3 x + 7 − 5 − x2 1+ x − 3 1− x 3 4x − 2 g) lim h) lim i) lim x →1 x −1 x →0 x x →2 x −2 3 3 x −1 1 + x2 − 1 x +2 + x +7 −5 k) lim l) lim m) lim x →0 x −1 x →0 x 2 x →2 x −2 Bài 4. Tìm các giới hạn sau: 2 x 2 − 3x + 2 x −1 3x3 − 4 x + 1 a) lim b) lim c) lim x →−2 + x+2 x →1−x 2 + 3x − 4 x →−1+ x +1 2 x2 − 5x + 2 3x + 4 x+ x d) lim− e) lim+ f) lim+ x →2 ( x − 2) 2 x →3 3 − x x →0 x− x 2 8 + 2x − 2 2 x + 5x − 3 x g) lim + h) lim − i) lim+ ( x − 2 ) 2 2 x →−2 x+2 x →−3 ( x − 3) x →2 x −4 Bài 5. Tìm các giới hạn sau: 2 x3 − 3x 2 + 4 x − 1 x2 + x − 1 (2 x − 3)2 (4 x + 7)3 a) lim b) lim c) lim x →− x 4 − 5x3 + 2 x2 − x + 3 x →+ 2 x 2 + x +1 x →+ (3 x 3 + 1)(10 x 2 + 9) d) lim 2 x 4 − x3 + x 4 2 e) lim ( x2 + 1 + x ) f) lim ( x + x 2 − x + 1) x →+ 3x + 2 x − 7 x →− x →− 30
g) lim x2 + 1 − x h) lim ( x2 − x + 3 + x ) i) lim 5x + 3 1 − x x → − 5 + 2x x →− x →− 1− x k) lim x2 + 2 x + 3x l) lim ( ) x 2 + x − 2 x 2 − 1 m) lim ( x2 + 2 x + x ) x →− 2 x →− x →− 4x +1 − x + 2 Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số: 1 − cos x 1 − x khi x  3  khi x  0  2 a) f ( x ) =  x 2 − 2 x − 3 trên R b) f ( x ) =  sin x tại x = 0  2 x − 6 khi x  3  1 khi x = 0  4  12 − 6 x   khi x  2 x2 khi x  0 tại x = 0 c) f ( x ) =  x 2 − 7 x + 10 trên R d) f ( x ) =  2 khi x = 2 1 − x khi x  0  Bài 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R: 2a 2 1 khi x 1  x2 −1  khi x  1 a) f ( x) 3 x x 2 2x 2 b) f ( x ) =  x − 1 khi x 1  x + a khi x = 1 x 1  x2 + x − 2  x2 − 4 x + 3  khi x  −2  khi x  1 c) f ( x) =  x + 2 d) f ( x ) =  x − 1 a khi x = −2 ax + 2 khi x  1 Bài 8. Chứng minh rằng phương trình: a) x 3 + 6 x 2 + 9 x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. b) m( x − 1)3 ( x 2 − 4) + x 4 − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. c) (m2 + 1) x 4 – x 3 –1 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng ( −1; 2 ) với mọi m. d) x3 + mx 2 − 1 = 0 luôn có 1 nghiệm dương. e) x 4 − 3x 2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). a b c Bài 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: + + = 0 . Chứng minh rằng m + 2 m +1 m phương trình: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).  m +1  c2 HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c  0. Với c  0 thì f (0). f  =− 0 m+2 m(m + 2) 31
CHƯƠNG V ĐẠO HÀM 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b): f ( x ) − f ( x0 ) y f '( x0 ) = lim = lim (x = x → x0 x − x0  x →0  x x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm • Ý nghĩa hình học: + f (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; f ( x0 ) ) . + Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; y0 ) là: y – y0 = f (x0).(x – x0) • Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm • (C) = 0 (x) = 1 n N  (xn) = n.xn–1   ( x ) = 1 n 1  2 x  u  uv − vu • (u  v) = u  v (uv) = uv + vu   = (v  0) v v2  1  v (ku) = ku   =− 2 v v • Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yu thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y x = yu.u x 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x sin u( x ) • lim = 1; lim = 1 (với lim u( x ) = 0 ) x →0 x x → x0 u( x ) x → x0 • (sinx) = cosx (cosx) = – sinx ( tan x )  = 1 cos2 x ( cot x )  = − 1 sin2 x 5. Vi phân • dy = df ( x ) = f ( x ). x • f ( x0 +  x )  f ( x0 ) + f ( x0 ). x 6. Đạo hàm cấp cao  • f ''( x ) =  f '( x ) ; f '''( x ) =  f ''( x ) ; f ( n) ( x ) =  f ( n−1) ( x ) (n  N, n  4) • Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f(t0). 32
VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0). y B2: Tính lim .  x →0  x Baøi 11: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y = f ( x ) = 2 x 2 − x + 2 tại x0 = 1 b) y = f ( x ) = 3 − 2 x tại x0 = –3 2x +1 c) y = f ( x ) = tại x0 = 2 x −1  d) y = f ( x ) = sin x tại x0 = 6 3 e) y = f ( x ) = x tại x0 = 1 x2 + x + 1 f) y = f ( x ) = tại x0 = 0 x −1 Baøi 12: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 b) f ( x ) = x 3 − 2 x c) f ( x ) = x + 1, ( x  − 1) 1 1 d) f ( x ) = e) f ( x ) = sin x f) f ( x ) = 2x − 3 cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 a) y = 2 x 4 − x 3 + 2 x − 5 3 3 2 b) y = − x + x x. x 2 3 c) y = ( x 3 − 2)(1 − x 2 ) d) y = ( x 2 − 1)( x 2 − 4)( x 2 − 9) e) y = ( x 2 + 3 x )(2 − x )  1  f) y = ( x + 1)  − 1  x  3 2x +1 1 + x − x2 g) y = h) y = i) y = 2x +1 1 − 3x 1 − x + x2 x2 − 3x + 3 2 x2 − 4 x + 1 2 x2 k) y = l) y = m) y = x −1 x −3 x2 − 2 x − 3 Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 33
a) y = ( x 2 + x + 1)4 b) y = (1 − 2 x 2 )5 c) y = ( x 3 − 2 x 2 + 1)11 4 1 d) y = ( x 2 − 2 x)5 e) y = ( 3 − 2 x 2 ) f) y= ( x 2 − 2 x + 5)2 3 ( x + 1)2  2x +1  3  3 g) y = h) y =   i) y =  2 − 2  ( x − 1)3  x −1   x  Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2 x 2 − 5 x + 2 b) y = x3 − x + 2 c) y = x+ x 3 d) y = ( x − 2) x 2 + 3 e) y = ( x − 2)3 f) y = (1 + 1 − 2 x ) x3 4x +1 4 + x2 g) y = h) y = i) y = x −1 x2 + 2 x Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2  sin x  a) y =   b) y = x.cos x c) y = sin3 (2 x + 1)  1 + cos x  d) y = cot 2 x e) y = sin 2 + x 2 f) y = sin x + 2 x g) y = (2 + sin 2 2 x )3 h) y = sin ( cos2 x tan 2 x ) i) y = 2sin 2 4 x − 3cos3 5 x  x +1 2 1 k) y = cos2   l) y = tan 2 x + tan3 2 x + tan 5 2 x  x −1  3 5   Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx )' = n sin n−1 x.cos(n + 1) x b) (sin n x.sin nx )' = n.sin n−1 x.sin(n + 1) x c) (cosn x.sin nx )' = n.cosn−1 x.cos(n + 1) x d) (cosn x.cos nx )' = − n.cosn−1 x.sin(n + 1) x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0)  (C ) là: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) (*) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: f ( x0 ) = k (ý nghĩa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f ( x0 ). + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)). + Phương trình tiếp tuyến (d): y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) (d) qua A ( x1, y1 )  y1 − y0 = f '( x0 ) ( x1 − x0 ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f ( x0 ) và f '( x0 ). + Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). 4. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó: 1 + (d )  ()  kd = a + ( d ) ⊥ (  )  kd = − a 34
Baøi 1: Cho hàm số (C): y = f ( x ) = x 2 − 2 x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1. b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. 2 − x + x2 Baøi 2: Cho hàm số y = f ( x ) = (C). x −1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. 3x + 1 Baøi 3: Cho hàm số y = f ( x ) = (C). 1− x a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 d: y = x + 100 . 2 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – 5 = 0. Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x 3 − 3 x 2 . a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I. Baøi 5: Cho hàm số (C): y = 1 − x − x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1 a) Tại điểm có hoành độ x0 = . 2 b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0. VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao / 1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y ( n) = y ( n−1)( ) 2. Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. • Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. Baøi 10: Cho hàm số f ( x ) = 3( x + 1) cos x .   a) Tính f '( x ), f ''( x ) b) Tính f ''( ), f ''   , f ''(1) 2 Baøi 11: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: x −3 a) y = cos x , y ''' b) y = 5 x 4 − 2 x 3 + 5 x 2 − 4 x + 7, y '' c) y = , y '' x+4 d) y = 2 x − x 2 , y '' e) y = x sin x, y '' f) y = x tan x, y '' 35
1 g) y = ( x 2 + 1)3 , y '' h) y = x 6 − 4 x 3 + 4, y(4) i) y = , y(5) 1− x Baøi 12: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: (n)  1  (−1)n n!  n.   n.  a)   = b) (sin x )( n) = sin  x +  c) (cos x )( n) = cos  x +  1+ x  (1 + x )n+1  2   2  Baøi 13: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 x a) y = b) y = c) y = x+2 2 x − 3x + 2 2 x −1 1− x d) y = e) y = sin2 x f) y = sin 4 x + cos4 x 1+ x Baøi 14: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:  y = x sin x  2 a)  b)  y = 2 x − x  xy ''− 2( y '− sin x ) + xy = 0 3  y y ''+ 1 = 0  x −3  y = x tan x y = c)  2 2 2 d)  x+4  x y ''− 2( x + y )(1 + y ) = 0 2 y2 = ( y − 1) y '' sin u( x ) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim x → x0 u( x ) Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức sin u( x ) lim = 1 (với lim u( x ) = 0 ) x → x0 u( x ) x → x0 Baøi 1: Tính các giới hạn sau: sin 3 x 1 − cos x tan 2 x cos x − sin x a) lim b) lim c) lim d) lim x →0 sin 2 x x →0 x2 x →0 sin 5 x  cos 2 x x→ 4   sin  x −  1 + sin x − cos x 1 − sin x    6 e) lim f) lim g) lim  − x  tan x h) lim x →0 1 − sin x − cos x  2 2   3 x→   x→ x→ − cos x 2  − x 2 6 2 2  VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Baøi 1: Giải phương trình f '( x ) = 0 với: a) f ( x ) = 3cos x − 4sin x + 5 x b) f ( x ) = cos x + 3 sin x + 2 x − 1 cos 4 x cos 6 x c) f ( x ) = sin 2 x + 2 cos x d) f ( x ) = sin x − − 4 6 3 + x e) f ( x ) = 1 − sin( + x ) + 2 cos f) f ( x ) = sin 3 x − 3 cos3 x + 3(cos x − 3 sin x ) 2 Baøi 2: Giải phương trình f '( x ) = g( x ) với: 36
 4  3 a)  f ( x ) = sin 3 x b)  f ( x ) = sin 2 x  g( x ) = sin 6 x  g( x ) = 4 cos 2 x − 5sin 4 x  2 x  2 2 x  f ( x ) = 4 x cos 2  f ( x ) = 2 x cos c)  2 d)   g( x ) = x − x 2 sin x  g( x ) = 8 cos x − 3 − 2 x sin x  2 Baøi 3: Giải bất phương trình f '( x )  g '( x ) với: a) f ( x ) = x 3 + x − 2, g( x ) = 3 x 2 + x + 2 b) f ( x) = x 2 − 2 x − 8, g ( x) = x x2 2 c) f ( x ) = 2 x 3 − x 2 + 3, g( x ) = x 3 + − 3 d) f ( x ) = , g( x ) = x − x 3 2 x Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R: mx 3 a) f '( x )  0 vôùi f ( x ) = − 3 x 2 + mx − 5 3 mx 3 mx 2 b) f '( x )  0 vôùi f ( x ) = − + (m + 1) x − 15 3 2 Baøi 5: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + mx − 3. Tìm m để: a) f '( x) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. b) f '( x)  0 với mọi x. mx3 mx 2 Baøi 6: Cho hàm số f ( x) = − + − (3 − m) x + 2. Tìm m để: 3 2 a) f '( x)  0 với mọi x. b) f '( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. c) Trong trường hợp f '( x) = 0 có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. 37
BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x 3 ( x 2 − 4) b) y = ( x + 3)( x − 1) c) y = x 6 − 2 x + 2 1 + 9x d) y = x (2 x 2 − 1) e) y = (2 x 2 + 1)(4 x 3 − 2 x ) f) y = x +1 x 2 − 3x + 2 1 g) y = h) y = i) y = (3 − 2 x 2 )2 2x − 3 2 x − 2x Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x 4 − 3 x 2 + 7 b) y = 1 − x 2 c) y = x 2 − 3 x − 2 1+ x x x −3 d) y = e) y = f) y = 1− x 1 − x2 x Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: sin x x a) y = sin( x 3 − x + 2) b) y = tan (cos x ) c) y = + x sin x sin x + cos x d) y = e) y = x cot( x 2 − 1) f) y = cos2 ( x 2 + 2 x + 2) sin x − cos x g) y = cos 2 x h) y = cot 3 1 + x 2 i) y = tan2 (3 x 2 + 4 x ) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với: a) (C ) : y = x 3 − 3 x 2 + 2 tại điểm M(−1, −2). x2 + 4 x + 5 b) (C ) : y = tại điểm có hoành độ x0 = 0. x+2 1 c) (C ) : y = 2 x + 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = . 3 Bài 5: Cho hàm số y = x 3 − 5 x 2 + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = −3 x + 1. 1 b) Vuông góc với đường thẳng y = x − 4. 7 c) Đi qua điểm A(0;2) . cos x     Bài 6: a) Cho hàm số f ( x ) = . Tính giá trị của f '   + f '   . cos 2 x 6 3 1 b) Cho hai hàm số f ( x ) = sin 4 x + cos4 x và g( x ) = cos 4 x. So sánh f '( x ) và g '( x ) . 4 Bài 7: Tìm m để f  ( x )  0, x  R , với: 1 a) f ( x ) = x 3 + (m − 1) x 2 + 2 x + 1. b) f ( x ) = sin x − m sin 2 x − sin 3 x + 2mx 3 Bài 8: Chứng minh rằng f  ( x )  0 , x  R , với: 2 9 a) f ( x ) = 2 x + sin x. b) f ( x ) = x − x 6 + 2 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1. 3 38