Tài liệu ôn toán - Chuyên đề đại số tổ hợp

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

104
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - chuyên đề đại số tổ hợp', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Chuyên đề đại số tổ hợp

H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T CHUYÊN ð ð I S T HP I/ LÝ THUY T CƠ B N 1) Quy t c c ng: Có n1 cách ch n ñ i tư ng A1. n2 cách ch n ñ i tư ng A2. A1 ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách ch n m t trong các ñ i tư ng A1, A2. 2) Quy t c nhân: Có n1 cách ch n ñ i tư ng A1. ng v i m i cách ch n A1, có n2 cách ch n ñ i tư ng A2. ⇒ Có n1.n2 cách ch n dãy ñ i tư ng A1, A2. 3) Hoán v : − M i cách s p th t n ph n t g i là m t hoán v c a n ph n t . − S hoán v : Pn = n!. 4) Ch nh h p: − M i cách l y ra k ph n t t n ph n t (0 < k ≤ n) và s p th t c a chúng g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t . n! − S các ch nh h p: A k = (n − k)! n 5) T h p: − M i cách l y ra k ph n t t n ph n t (0 ≤ k ≤ n) g i là m t t h p ch p k c a n ph n t . n! − S các t h p: Ck = k!(n − k)! n Ck = Cn −k − Hai tính ch t n n Ck −1 + Ck −1 = Cn k n −1 n 6) Nh th c Newton n (a + b)n = ∑ C k a n − k b k n k =0 = C0 a n + C1 a n −1b + ... + Cn b n n n n − S h ng t ng quát (S h ng th k + 1): Tk +1 = Cn a n −k b k k − ð c bi t: (1 + x) n = C0 + xC1n + x 2C 2 + ... + x n Cn n n n 1 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T II / M T S VÍ D 1. Bài toán ñ m. 1.1 ð m các s t nhiênñư c thành l p. Ví d 1. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên g m 5 ch s sao cho a) Các ch s ñ u khác nhau. b) Ch s ñ u tiên là 3. c)Các ch s khác nhau và không t n cùng b ng ch s 4. Gi i a) M i s có 5 ch s khác nhau ñư c thành l p tương ng v i m t ch nh h p ch p 5 c a 7 ph n t ⇒ Có A 5 = 2520 s 7 b) G i s c n thi t l p là abcde Ch s ñàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách ch n b, c, d, e ñ u có 7 cách ch n ⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 s . c) G i s c n thi t l p là abcde Ch s cu i cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách ch n (tr s 4) a có 6 cách ch n b có 5 cách ch n c có 4 cách ch n d có 3 cách ch n ⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 s . Ví d 2.(ðH An ninh 97) T b y ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành l p ñư c bao nhiêu s ch n có 5 ch s khác nhau Gi i Gói s c n thi t l p là abcde Xét hai trư ng h p + Trư ng h p 1: Ch n e = 0 ⇒ e có 1 cách ch n Khi ñó a có 6 cách ch n b có 5 cách ch n c có 4 cách ch n d có 3 cách ch n ⇒ Có 6.5.4.3 = 360 s . + Trư ng h p 2: Ch n e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách ch n Khi ñó a có 5 cách ch n tr s 0 và e b có 5 cách ch n c có 4 cách ch n d có 3 cách ch n 2 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T ⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 s V y có 360 + 900 = 1260 s Ví d 3. T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c bao nhiêu s có 4 ch s sao cho s t o thành g m các ch s khác nhau và nh t thi t có ch s 5. Gi i Cách 1: Thành l p s có 3 ch s khác nhau và không có m t ch s 5 ⇒ Có A 3 = 120 s 6 V i m i s v a thành l p có 4 v trí ñ xen s 5 t o thành s có 4 ch s khác nhau và có m t ch s 5. ⇒ Có 120.4 = 480 s . Cách 2: − S c n tìm có 1 trong b n d ng 5bcd, a5bc, ab5d, abc5 − M i d ng có 120 s ⇒ có 480 s Ví d 4: Có bao nhiêu s t nhiên g m 2008 ch s sao cho t ng các ch s b ng 3. Gi i Xét các trư ng h p + Trư ngh p 1: S t o thành g m 1 ch s 3 và 2007 ch s 0 ⇒ Ch có 1 s 3000…000 (2007 ch s 0) + Trư ng h p 2: S t o thành g m 1 ch s 1, 1 ch s 2 và 2006 ch s 0 Ch n ch s ñ u tiên có 2 cách ch n s 1 ho c 2 Ch s còn l i có 2007 v trí ñ ñ t, còn các v trí khác ñ t s 0 ⇒ Có 2.2007 = 4014 s + Trư ng h p 3: S t o thành g m 3 ch s 1 và 2005 ch s 0 Ch n ch s ñ u tiên là 1 Ch n 2 trong 2007 v trí ñ ñ t ch s 1 ⇒ có C2 = 2007.1003 = 2013021 2007 V y có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 s Ví d 5(ðHQG TPHCM 2001) Có bao nhiêu s t nhiên g m b y ch s bi t r ng ch s 2 có m t ñúng hai l n, ch s ba có m t ñúng ba l n, các ch s còn l i có m t không quá m t l n. Gi i + Coi m t dãy g m 7 ch s tương ng v i m t s g m 7 ch s (K c b t ñ u b ng 0). Khi ñó ta thành l p s b ng cách x p các ch s vào 7 v trí 2 Ch n 2 trong 7 v trí ñ x p ch s 2: có C7 cách Ch n 3 trong 5 v trí còn l i ñ x p ch s 3: có C3 cách 5 3 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 2 Ch n 2 trong 8 ch s 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ñ ñ t vào 2 v trí còn l i có A8 cách ⇒ Có C7 . C3 . A8 = 11 760 cách. 2 2 5 + C n ph i lo i các trư ng h p ch s 0 ñ ng ñ u. L p lu n tương t cho 6 v trí ⇒ có C6 . C3 . A1 = 420 s 2 4 7 V y có 11 760 − 420 = 11 340 s . 1.2 ð m s phương án. Ví d 6: (ðH Thái nguyên 99) M t l p h c có 25 nam và 15 n . C n ch n m t nhóm g m ba h c sinh. H i có bao nhiêu cách: a) Ch n 3 h c sinh b t kì. b) Ch n 3 h c sinh g m 2 nam và m t n . c) Ch n 3 h c sinh trong ñó có ít nh t 1 nam. Gi i a) M i cách ch n là m t t h p ch p3 c a 40 ⇒ S cách ch n là: C3 = 9880 cách. 40 b) Ch n 1 nam có C25 = 25 cách 1 Ch n 2 n có C15 = 105 cách 2 ⇒ Có 25.105 = 2625 cách ch n c) Ch n 3 h c sinh b t kì có 9880 cách Ch n 3 h c sinh n có C15 = 455 cách 3 ⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách ch n có ít nh t 1 nam. Ví d 7: (ðHSP Quy Nhơn 97) Cho hai ñư ng th ng song song a và b. Trên a l y 17 ñi m phân bi t, trên b l y 20 ñi m phân bi t. Tính s tam giác có các ñ nh là 3 trong s 37 ñi m ñã ch n trên. Gi i Cách 1 M i tam giác ñư c hình thành b i ba ñi m không th ng hàng S b ba ñi m t 37 ñi m trên là: C 3 37 S b ba ñi m th ng hàng trên a là: C 3 17 S b ba ñi m th ng hàng trên b là: C 3 20 V y s tam giác t o thành là: C 3 − C 3 − C 3 = 11 340 tam giác 37 17 20 Cách 2: 4 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T M i tam giác ñư c t o thành b i m t ñi m trên ñư ng th ng này và hai ñi m trên ñư ng th ng kia. Xét 2 trư ng h p + TH1: Tam giác t o thành b i 1 ñi m trên a và 2 ñi m trên b: có 17.C2 20 2 + TH2: Tam giác t o thành b i 2 ñi m trên a và 1 ñi m trên b: có 20.C17 ⇒ S tam giác là: 17.C2 + 20.C17 = 11 340 2 20 Ví d 8: (ðH C nh sát nhân dân) Cho tam giác ABC. Xét b g m 4 ñư ng th ng song song v i AB, 5 ñư ng th ng song song v i BC và 6 ñư ng th ng song song v i CA trong ñó không có ba ñư ng th ng nào ñ ng quy. H i các ñư ng th ng trên t o ñư c bao nhiêu tam giác và bao nhiêu t giác (không k hình bình hành). Gi i a) M i tam giác ñư c t o thành b i ba ñư ng th ng thu c ba nhóm khác nhau ⇒ S tam giác là 4.5.6 = 120 b) M i hình thang không ph i hình bình hành ñư c t o thành b i hai ñư ng th ng thu c nhóm này và m t ñư ng th ng thu c m i nhóm còn l i ⇒ S hình thang là C2 .C1 .C1 + C1 .C5 .C1 + C1 .C1 .C6 = 720 hình thang 2 2 4 5 6 4 6 4 5 2. Gi i phương trình, b t phương trình và h ñ i s t h p Ví d 1: (CðSP TPHCM99) Tìm k th a mãn: Ck + Ck +2 = 2Ck +1 14 14 14 Gi i k ∈ N ðK   k ≤ 12 Phương trình tương ñương v i 14! 14! 2.14! + = k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)! 1 1 2 ⇔ + = (14 − k)(13 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k) ⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k) ⇔ k2 − 12k + 32 = 0 ⇔ k = 4, k = 8 (Th a mãn) V y phương trình có nghi m: k = 4, k = 8 Ví d 2: (ðH Hàng h i 99) 5 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T Cn −3 1 n −1 Gi i b t phương trình: 4 > 14P A n +1 3 Gi i ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương Cn −3 n −1 > 1 ⇔ 14.P .Cn −3 > A 4 ⇔14.3! ( n − 1)! > n + 1 .n. n − 1 . n − 2 ( ) ( )( ) 3 n −1 n +1 ( n − 3)!2! A4 14P n +1 3 ⇔ n 2 + n − 42 < 0 ⇔ ( n − 6 ) .( n + 7 ) < 0 ⇔ −7 < n < 6 K t h p v i ðk n≥ 3 ñư c t p nghi m c a b t phương trình là: {3, 4, 5}. Ví d 3: (ðHBK HN2001) 2.A y + 5.C y = 90  x x Gi i h phương trình:  y − 2.C y = 80 5.A x  x Gi i ðK: x, y ∈ N*, y ≤ x 2.u + 5.v = 90 u = 20 ⇔ v = C x ⇒ u, v ∈N ta có h  * ð t u = Ax , y y 5.u − 2.v = 80  v = 10  x!  (x − y)! = 20 y! = 2 y = 2 A y = 20  ⇔  x! x  ⇔ ⇔  x! Thay vào ta có  y   (x − y)! = 20  (x − 2)! = 20 C x = 10 x!  = 10     y!(x − y)!   x (x − 1) = 20  x = 5, x = −4 ⇔ ⇔ y = 2 y = 2 x = 5 K t h p ñi u ki n ⇒ H phương trình có nghi m  y = 2 3) Xác ñ nh m t s h ng c a khai tri n Newuton. Ví d 1: (ðH Kinh t qu c dân, 1997) 6 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 12  1 Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n Newton c a  x +  x  Gi i k 1 12 − k 12 − 2k S h ng t ng quát Tk +1 = C .x   = C12 .x k k . 12 x S h ng không ch a x tương ng v i 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6. 12.11.10.9.8.7 ðáp s :s h ng không ch a x ph i tìm là: C6 .x 0 = = 924 12 1.2.3.4.5.6 Ví d 2:(ðH và Cð, kh i A, 2003). n 1  Tìm h s c a s h ng ch a x trong khai tri n nh th c Niutơn c a  + x5  , 8 3  x  bi t r ng Cn +1 − Cn = 7 ( n + 3) n +4 n +3 Gi i (n + 4)! (n + 3)! Ta có Cn +1 − Cn = 7 ( n + 3) ⇔ − = 7(n + 3) n +4 n +3 (n + 1)!.3! (n)!.3! ⇔ (n + 4)(n + 3)(n + 2) − (n + 3)(n + 2)(n + 1) = 42(n + 3) ⇔ (n + 4)(n + 2) − (n + 2)(n + 1) = 42 ⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12 12−k 5k −36+3k k k . 1   5  = Ck .x 2 =C   S h ng t ng quát T x . k +1 12  x3   12    S h ng ch a x8 tương ng v i 5k − 36 + 3k = 8 ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8. 2 ðáp s :H s c a s h ng ch a x8 ph i tìm là: C8 = 495 12 7 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T Ví d 3: Khai tri n ña th c: P(x) = (1 + 2x ) thành d ng : P ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x + ... + a12 x12 12 Tìm max ( a1 , a 2 ,..., a12 ) Gi i k = Ck .( 2x ) = Ck .2k.x k . S h ng t ng quát T k +1 12 12 = Ck +1.2k +1 . Gi s ak < ak + 1 ⇔ Xét hai h s liên ti p a = Ck .2k và a k +1 12 12 k 23 Ck .2k < Ck +1.2k +1 ⇔ 12! 12! .2 ⇔ k < a9 > … > a12. V y h s l n nh t là: a 8 = C8 28 = 126720 12 4) Tính t ng ho c ch ng minh ñ ng th c. Ví d 1 : Ch ng minh r ng ∀ n, k ∈ N* và n ≥ k ≥ 1 thì: kC k = nCk −1 n −1 n Gi i Th t v y ∀ n, k ∈ N và n ≥ k ≥ 1 ta có: * n(n − 1)! n! kC k = k = k!(n − k)! (k − 1)!(n − k)! n (n − 1)! = nCnk−−11 (ñpcm) =n (k − 1)!(n − k)! Lưu ý :(ðây là m t k t qu có nhi u ng d ng trong các bài t p ch ng minh ñ ng th c t h p khi chưa có công c ñ o hàm và tích phân) Ví d 2 : (ðH Qu c gia Hà N i, kh i D, 1997) Tính t ng S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 6 7 8 9 10 11 Gi i Do C11 = C11 ,C11 = C11 ,... nên 6 5 7 4 S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 + C11 → 2S = C11 + C11 + C11 + ...C11 + C11 (1) 5 4 3 2 1 0 0 1 2 10 11 n Áp d ng khai tri n Niu tơn ( x + 1) = ∑ Ck .x k v i x = 1, n = 11 ñư c n n k =0 11 = ∑ C11 = C11 + C11 + C11 + ... + C10 + C11 (2) (1 + 1) 11 k 0 1 2 11 11 k =0 T (1), (2) suy ra 2S = 211 → S = 210 = 1024. 8 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T ðáp s : S = 210 = 1024 Ví d 3 : (ðH Bách Khoa Hà N i, 1999) Cho n là s t nhiên l n hơn 2, tính t ng : S = C1 − 2.C2 + 3.C3 − 4.C4 + ... + (−1)n −1.n.Cn n n n n n Gi i Cách 1: (S d ng k t qu ví d 1) Áp d ng k t qu ví d 1 ta có: C1 = n.C0 n −1 n −2.Cn = −n.C1 2 n −1 ... (−1)n −1 n.Cn = (−1)n −1 n.Cn −1 n n −1 C ng theo v các ñ ng th c trên ta ñư c S = C1 − 2.C2 + 3.C3 − 4.C4 + ... + (−1)n −1.n.Cn n n n n n = n(C0 −1 − C1 −1 + C2 −1 − C3 −1 +, ,, + (−1) n −1 C n −1 ) n −1 n n n n = n(1 − 1) n −1 = 0 Cách 2: (S d ng ñ o hàm) Xét khai tri n (1 + x) n = C0 + xC1 + x 2C2 + ... + x n Cn n n n n n −1 n −1 n ⇒ n.(1 + x) = Cn + 2xCn + ... + nx Cn 1 2 Ch n x = − 1 ⇒ n.(1 − 1) n −1 = C1 − 2Cn + ... + (−1) n .nCn 2 n n V y: S=0 Ví d 4: (ðHDL Duy Tân, kh i A, 2001) 1 1 1 1 1 Tính t ng sau : S = .C0 + .C1n + C2 + C3 + ... + Cn n +1 n n n n 1 2 3 4 Gi i Cách 1( S d ng k t qu ví d 1) Âp d ng k t qu ví d 1 ta có: 1 1 kC k = nCk −1 ⇔ (k + 1)C k +1 = (n + 1)C k ⇔ C k +1 Ck = n −1 n +1 n +1 k +1 n +1 n n n Thay k = 0, 1, 2 … , n ta có 9 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 10 11 Cn = Cn +1 n +1 1 11 1 Cn = C2 +1 n n +1 2 12 1 Cn = C3 +1 n n +1 3 1 1 C n +1 Cn = ... n +1 n +1 n +1 n 1 1213 1 ⇒ S = .C0 + .Cn + Cn + Cn + ... + 1 n Cn n +1 n 1 2 3 4 1 (C1 +1 + C 2 +1 + C3 +1 + ... + Cn +1 ) = n1 + n +1 n n n 1 (2 n +1 − 1) = n +1 1 V y S= (2n +1 − 1) n +1 Cách 2:(S d ng tích phân) Xét khai tri n (1 + x) n = C0 + xC1 + x 2C2 + x 3C3 + ... + x n Cn n n n n n 1 1 ⇒ ∫ (1 + x) dx = ∫ (C0 + xC1 + x 2C 2 + x 3C3 + ... + x n Cn )dx n n n n n n 0 0 Ta có: (1 + x) n +1 2n +1 − 1 1 ∫ (1 + x) dx == n + 1 1 = n n +1 0 0 n +1 2 − 1 1 0 n 1 1 1 ⇒ =  x.Cn + .x 2C1n + x 3C2 + x 4C3 + ... + x n +1Cn  1 n +1 n +1 n n 1 2 3 4  0 1 1 1 1 = .C0 + .C1 + C2 + C3 + ... + Cn n +1 n n n n n 1 2 3 4 1 V y V y S= (2n +1 − 1) n +1 Ví d 5: Ch ng minh ñ ng th c sau: 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 37 − 27 .C + .C + C + C + C + C + C = 1 6 2 6 3 6 4 6 5 66676 7 Gi i Xét khai tri n (2 + x)6 = 26 C0 + 25 xC1 + 24 x 2C6 + 23 x 3C3 + 22 x 4C6 + 2x 5C5 + x 6C6 2 4 6 6 6 6 6 10 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 1 1 ⇒ ∫ (2 + x) dx = ∫ (26 C0 + 25 xC1 + 24 x 2C6 + 23 x 3C3 + 22 x 4C6 + 2x 5C5 + x 6C6 )dx 6 2 4 6 6 6 6 6 0 0 1 1 ⇔ (2 + x)7 = 0 7 x2 1 3 4 5 x6 5 x7 6 1 4x 3x 2x (2 C x + 2 C6 + 2 C6 + 2 C6 + 2 C6 + 2 C6 + C6 ) 6 0 5 2 3 4 6 0 2 3 4 5 6 7 37 − 27 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 ⇔ = .C + .C + C + C + C + C + C 1 6 2 6 3 6 4 6 5 66676 7 26 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 37 − 27 .C + .C + C + C + C + C + C = Vy (ñpcm) 1 6 2 6 3 6 4 6 5 66676 7 11 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T BÀI TÂP T L ƯY N : 1) Có bao nhiêu cách s p x p 5 ngư i khách g m 3 nam và 2 n ng i vào m t hàng 8 gh n u: a) h ng i ch nào cũng ñư c? b) h ng i k nhau? c) 3 nam ng i k nhau, 2 n ng i k nhau và gi a hai nhóm này có ít nh t m t gh tr ng? 2) Có bao nhiêu cách s p x p ch ng i cho 5 ngư i khách a) vào 5 gh x p thành m t dãy. b) vào 5 gh chung quanh m t bàn tròn, n u không có s phân bi t gi a các gh này. 3) Mư i ngư i mu n ch p nh chung. H mu n ch p nhi u nh khác nhau b ng cách ñ i ch ñ ng l n nhau. Cho r ng m i l n ñ i ch và ch p nh m t 1 phút, h i c n bao lâu ñ có th ch p t t c các nh khác nhau? 4) Có bao nhiêu s t nhiên g m ba ch s khác nhau và khác 0 bi t r ng t ng ba ch s này b ng 8? 5) M t dãy 5 gh dành cho 3 nam sinh và 2 n sinh. Có bao nhiêu cách s p x p ch ng i n u: a) h ng i ch nào cũng ñư c. b) nam sinh ng i k nhau, n sinh ng i k nhau. c) ch có n sinh ng i k nhau. 6) Có bao nhiêu s t nhiên g m ba ch s khác nhau bi t r ng t ng ba ch s này b ng 12? M t phòng khách có 3 ch có th ñ t tranh, nh ho c tư ng. Ch nhà mu n trang trí b ng cách x p ñ t 4 b c tranh khác nhau vào m t ch , 3 t m nh khác nhau vào ch th hai và 2 pho tư ng khác nhau vào ch còn l i. H i có bao nhiêu cách trang trí phòng khách? 7) Ta mu n m i 6 ngư i ng i vào m t dãy 6 gh . Có bao nhiêu cách s p x p ch ng i n u: a) Có 3 ngư i trong b n h mu n ng i k nhau? b) Có 2 ngư i trong b n h không mu n ng i k nhau? c) Có 3 ngư i trong b n h không mu n ng i k nhau ñôi m t? 8) M t bàn dài có 12 gh , m i bên 6 gh . Ngư i ta mu n x p ch ng i cho 12 ngư i khách g m 6 nam và 6 n . H i có bao nhiêu cách s p x p ch ng i n u: a) h ng i ch nào cũng ñư c ? b) nam ng i m t bên, n ng i m t bên ? c) nam n ng i ñ i di n nhau ? d) nam n ng i xen k và ñ i di n nhau ? 9) Cho các s 0,1,2,3,4,5,6. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 4 ch s khác nhau ñư c l y t các s ñã cho, sao cho: a) S ñó ch n b) S ñó chia h t cho 5 c) Luôn có m t ch s 1 và 3 12 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 10) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6,7. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 5 ch s khác nhau ñư c l y t các ch s ñã cho sao cho các s l luôn ñ ng li n nhau. 11) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6 a) Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 9 ch s ñư c l y t các s ñã cho sao cho s 3 có m t 3 l n, các s khác có m t ñúng 1 l n. b) Có th l p ñư c bao nhiêu s có 5 ch s ñư c l y t các s ñã cho sao cho s 3 có m t 1 l n, các s khác có m t m t vài l n. 12) Cho các s : 0,1,2,3,4,5. Có th l p ñư c bao nhiêu s t 4 s khác nhau ñư c l y t các s ñã cho. Sao cho: a) Luôn có m t ch s 5. b) S ñó chia h t cho 3. c) Không b t ñ u t ch s 3. 13) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6. Có th l p ñư c bao nhiêu s có 6 ch s ñư c l y t các s ñã cho sao cho: a) S ñ u và s cu i gi ng nhau, các s gi a khác nhau. b) 2 ch s ñ u và 2 ch s cu i gi ng nhau. 14) Cho các s : 0,1,2,3,4,5,6,7 a) Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 10 ch s sao cho s 0 có m t 2 l n, s 3 có m t 2 l n. Các s khác có m t m t l n. b) Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 6 ch s sao cho s 2 có m t 2 l n, các s khác có m t m t vài l n. 15) Cho các s : 0,1,2,3,4,5. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 5 ch s sao cho các s ch n không ñ ng li n nhau. 16) M t nhóm ngư i thành l p m t công ty. H mu n ch n m t ban ñi u hành g m m t giám ñ c,m t phó giám ñ c và m t th qũy. Có 10 ngư i h i ñ ñi u ki n ñ ñư c ch n. H i có bao nhiêu cách ch n ban ñi u hành? 17) Hu n luy n viên m t ñ i bóng mu n ch n 5 c u th ñ ñá qu luân lưu 11m. Có bao nhiêu cách ch n n u: a) C 11 c u th có kh năng như nhau? ( K c th môn) b) Có 3 c u th b ch n thương và nh t thi t ph i b trí c u th A ñá qu s 1 và c u th B ñá qu s 4? 18) M t ngư i mu n x p ñ t m t s pho tư ng vào m t dãy 6 ch tr ng trên m t k trang trí. Có bao nhiêu cách s p x p n u: a) Ngư i ñó có 6 pho tư ng khác nhau? b) Ngư i ñó có 4 pho tư ng khác nhau? c) Ngư i ñó có 8 pho tư ng khác nhau? 19) V i năm s 1,2,3,4,5 có th l p ñư c bao nhiêu s g m 6 ch s trong ñó s 1 có m t hai l n các s còn l i m i s có m t ñúng m t l n? 20) Có bao nhiêu s t nhiên g m 6 ch s khác nhau bi t r ng: a) các s này chia h t cho 5? b) trong các s này ph i có m t ba ch s 0,1,2 ? 32) V i sáu s 2,3,5,6,7,8, ta mu n thành l p nh ng s g m b n ch s khác nhau. 13 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T a) Có bao nhiêu s nh hơn 5000 ? b) Có bao nhiêu s ch n nh hơn 7000 ? 21) M t l p h c có 30 h c sinh. Trong ñó có 12 n , c n thành l p m t t công tác g m 8 ngư i. Có bao nhiêu cách l p sao cho trong t có ñúng 2 n . 22) Trong không gian cho m t t p h p g m 9 ñi m trong ñó không có 4 ñi m nào ñ ng ph ng. H i có th l p ñư c bao nhiêu hình t di n v i ñ nh thu c t p h p ñã cho. 23) M t b ñ thi có 15 câu h i. M i thí sinh ph i rút ra 4 câu (4 câu rút ra là “ ñ thi ” c a thí sinh này). a) Có bao nhiêu ñ thi khác nhau? ( Hai ñ thi ñư c coi là khác nhau n u có ít nh t m t câu khác nhau. ) b) Tham gia kỳ thi có 2736 thí sinh. Ch ng t r ng có ít nh t 3 thí sinh g p cùng m t ñ thi. 24) M t t tr c g m 9 nam sinh và 3 n sinh. Giáo viên tr c mu n ch n 4 h c sinh ñ tr c thư vi n. Có bao nhiêu cách ch n n u: a) Ch n h c sinh nào cũng ñư c? b) Có ñúng m t n sinh ñư c ch n? c) Có ít nh t m t n sinh ñư c ch n? 25) M t h n ñư ng th ng song song c t m t h m ñư ng th ng song song. H i có bao nhiêu hình bình hành ñư c t o thành. 26) Cho t p X = {a, b, c, d }. Có bao nhiêu t p con c a X a) Không ch a ph n t a? b) Ch a ph n t a? 27) M t bình ñ ng 5 viên bi xanh, 3 viên bi ñ , chúng ch khác nhau v màu. L y ra hai viên. a) Có bao nhiêu k t qu khác nhau? b) Có bao nhiêu cách l y ra ñư c 2 viên bi xanh?, hai viên bi ñ ? Hai viên bi khác màu? 28) Giáo viên hư ng d n lao ñ ng mu n chia 9 h c sinh ra làm 3 nhóm g m 4, 3, và 2 h c sinh. Có bao nhiêu cách chia? 29) Cho m t ña giác l i có n ñ nh ( n ≥ 4 ). a) Tính s ñư ng chéo c a ña giác này; b) Bi t r ng ba ñư ng chéo không cùng ñi qua m t ñ nh thì không ñ ng quy, hãy tính s các giao ñi m ( không ph i là ñ nh ) c a các ñư ng chéo y. 30) M t t tr c g m 8 nam sinh và 6 n sinh. Giáo viên tr c mu n ch n m t nhóm 5 h c sinh. Có bao nhiêu cách ch n n u nhóm này ph i có ít nh t m t n sinh? 31) Giám ñ c m t công ty mu n ch n m t nhóm 5 ngư i vào h i ñ ng tư v n. Trong công ty có 12 ngư i h i ñ ñi u ki n ñ ñư c ch n, trong ñó có hai c p v ch ng. H i có bao nhiêu cách ch n n u: a) H i ñ ng này có ñúng m t c p v ch ng? b) H i ñ ng này không th g m c v l n ch ng ( n u có )? 14 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 32) Tính s ñư ng chéo c a m t ña giác l i có n c nh. Tìm ña giác có s c nh b ng s ñư ng chéo. Cho ña giác ñ u A1 A2 ... A2 n (n ≥ 2, n ∈ Z ) n i ti p ñư ng tròn (O). 33) (ðH-B-2002) Bi t r ng s tam giác có các ñ nh là 3 trong 2n ñi m A1 , A2 ,..., A2 n nhi u g p 20 l n s hình ch nh t có các ñ nh là 4 trong 2n ñi m A1 , A2 ,..., A2 n , tìm n?. 34) (ðH-B-2004) Trong m t môn h c, th y giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i khó, 10 câu h i trung bình, 15 câu h i d . T 30 câu h i ñó có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra, m i ñ g m 5 câu h i khác nhau, sao cho trong m i ñ nh t thi t ph i có ñ 3 lo i câu h i ( khó, trung bình, d ) và s câu h i d không ít hơn 2?. 35) (ðH-B-2005) M t ñ i thanh niên tình nguy n có 15 ngư i g m 12 nam và 3 n . H i có bao nhiêu cách phân công ñ i thanh niên tình nguy n ñó v giúp ñ 3 t nh mi n núi, sao cho m i t nh có 4 nam và 1 n ?. 36) Ch ng minh r ng: Cnk + 2Cnk −1 + Cnk −2 = Cnk+ 2 ( 2 ≤ k ≤ n ) . 37) Ch ng minh r ng: Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 ( 3 ≤ k ≤ n ) . a) Ch ng minh : Cnk + Cnk +1 = Cnk++11. 38) b) Ch ng minh r ng v i 4 ≤ k ≤ n thì: Cn + 4.Cn −1 + 6.Cn − 2 + 4.Cnk −3 + Cn − 4 = Cnk+ 4 . k k k k 39) Gi i phương trình: 3.Cx2+1 − 2. Ax2 = x. 40) Gi i phương trình: b) C x2+1. Ax2 − 4 x 3 = ( A2 x ) . a) Ax3+1 + Cxx+11 = 14 ( x + 1) ; 2 − 1 41) Gi i b t phương trình: Ax4+1 5 a) C x4−1 − C x3−1 − Ax2−2 < 0. > 14.P3 . b) − Cxx−13 4 42) Gi i b t phương trình: C xx+−12 − C xx+−11 ≤ 2000. +1 43) Ch ng minh: Ckk + Ckk+1 + Ckk+ 2 + ... + Ckk+ m−1 = Ckk+ m . 44) Cho m ≤ k ≤ n. Ch ng minh: CmCnk + CmCnk −1 + CmCnk −2 + ... + Cm Cnk −m = Cm +n . 0 1 2 m k 45) Ch ng minh r ng: Cn0 − Cn + Cn2 − ... + ( −1) Cnk + ... + ( −1) Cnn = 0. k n 1 n −1  2n − 2  46) a) Ch ng minh: C .C .C ...C ≤  0 1 2 n .   n −1  n n n n b. Ch ng minh: C2nn + k .C2nn −k ≤ ( C2nn ) . 2 47) a) Ch ng minh: 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + ... + n. ( n − 1) .Cnn = n. ( n − 1) .2n− 2. 15 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T b) Ch ng minh: ( Cn0 ) + ( Cn ) + ... + ( Cnn ) = C2nn . 2 2 2 1 6  lg x +1 12  1 + x  có s h ng th 4 b ng 200. 48) Tìm x ñ trong khai tri n:  x   17 1  49) Trong khai tri n  3 2 + 4 x3  . Tìm s h ng không ch a x c a khai tri n. x  50) (ðH-D-2004) Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c 7  1 Newton c a  3 x + 4  v i x > 0.  x 51) Khi khai tri n và rút g n các ñơn th c ñ ng d ng t bi u th c: (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + ... + (1 + x ) . Ta ñư c m t ña th c: 5 6 7 11 P( x ) = A0 + A1.x + A2 .x 2 + ... + A11.x11. Tính A7 =?. 52) Khi khai tri n và rút g n các ñơn th c ñ ng d ng t bi u th c (1 + x 2 − x 3 ) . Ta 9 ñư c m t ña th c: Px = A0 + A1 x 2 + A2 x 2 + ... . Tính A7 . Tìm h s c a x8 trong khai tri n c a bi u th c: 53) (ðH-A-2004) 1 + x 2 (1 − x )  . 8   54) Tìm h s c a x3 trong khai tri n c a bi u th c: P( x ) = (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) . 2 3 4 5 7 1  55) Trong khai tri n:  3 2 + x  .Tìm s h ng ch a x 2 c a khai tri n ñó. x    Tìm h s c a s h ng ch a x8 trong khai tri n nh th c 56) (ðH-A-2003) n Newton c a:  3 + x5  , bi t r ng: Cnn+ 4 − Cnn+3 = 7(n + 3) ( n là s nguyên dương, x 1 +1   x  > 0 ). V i n là s nguyên dương, g i a3n −3 là h s c a x3n −3 trong 57) (ðH-D-2003) khai tri n thành ña th c c a ( x 2 + 1) ( x + 2 ) . Tìm n ñ a3n −3 = 26n. n n Tìm h s c a s h ng ch a x 26 trong khai tri n nh th c 58) (ðH-A-2006) n Newton c a:  4 + x 7  , bi t r ng: C2 n +1 + C22n +1 + C23n+1 + ... + C2nn+1 = 220 − 1. ( n là s 1 1   x  nguyên dương, x > 0 ). 21 a  b + 59) Trong khai tri n:  3  . Tìm s h ng có s mũ c a a và b như nhau.   3 b a   16 T Toán Trương THPT Lương Tài
H P - Phương Xuân Tr nh http://ebook.here.vn CHUYÊN ð : ð I S T 60) Tìm giá tr l n nh t trong các giá tr : Cn0 , Cn , Cn2 ,..., Cnn . 1 61) Tìm h s có giá tr l n nh t c a khai tri n: ( a + b ) , bi t r ng t ng các h s n b ng 4096. Cho khai tri n: (1 + 2 x ) = a0 + a1 x + ... + an x n . Trong ñó n ∈ N * và n 62) (ðH-A-2008) a a1 các h s a0 , a1,....., an th a mãn h th c: a0 + + ... + n = 4096 . Tìm s l n nh t trong 2n 2 các s : a0 , a1 ,..., an . 63) (ðH-A-2002) Cho khai tri n nh th c: n −1 n −1 n n n −x  −3x    −x   −x  − x −1 x −1 x −1  x2 1  0  1  n 2  + ... + Cn −1  2 2   2 3  + Cnn  2 3  ( n là s 2 + 2 3  = Cn  2 2  + C n  2 2                 nguyên dương ). Bi t r ng trong khai tri n ñó Cn = 5Cn và s h ng th tư b ng 20n, 3 1 tìm n và x. 64) (ðH-A-2005) Tìm s nguyên dương n sao cho: + 3.2 C2 n +1 − 4.23 C24n +1 + ... + ( 2n + 1) .2 2 n C2 n +1 = 2005. 2 n +1 − 2.2C 1 2 23 C 2 n +1 2 n +1 65) (ðH-B-2003) Cho n là s nguyên dương. Tính t ng: 2n +1 − 1 n 2 −1 1 2 −1 2 2 3 Cn + Cn + Cn + ... + 0 Cn . n +1 2 3 66) (ðH-D-2002) Tìm s nguyên dương n sao cho: C + 2C + 4C + ... + 2 Cn = 243. 0 1 2 n n n n n An4+1 + 3 An 3 Tính giá tr c a bi u th c: M = 67) (ðH-D-2005) , bi t r ng: ( n + 1)! Cn2+1 + 2Cn + 2 + 2Cn +3 + Cn + 4 = 149 2 2 2 ( n là s nguyên dương ). 17 T Toán Trương THPT Lương Tài