intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 7

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
134
lượt xem 35
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - bài tập giải tích lớp 12 - phần 7', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - phần 7

  1. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng II. TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: b ò f ( x )dx . F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là a b ò f ( x )dx = F( b) - F (a) a · Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: b b b ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a) a a a · Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng b S = ò f ( x )dx x = a, x = b là: a 2. Tính chất của tích phân a b a b b f ( x )dx = 0 f ( x )dx = - ò f ( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const) ò ò · · a a b a a b b b b c b ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ò · · a a a a a c b ò f ( x )dx ³ 0 · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì a b b ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì a a 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số u( b ) b f [u( x )] .u '( x )dx = f (u)du ò ò u( a ) a trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b Î K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì: b b b ò udv = uv - ò vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. b b – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv . a a Trang 84
  2. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b ò f ( x )dx = F( b) - F (a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 3 æ ö 2 2 x -1 b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx ò (x ò + 2 x + 1)dx 3 a) c) dx x 1è ø x2 1 1 (x ) 2 e 2 -1 11 x æ ö +4 4 + x 2 ÷ dx ò dx f) ò ç x + + ò d) e) dx x x2 2 x2 +2 -1 x 1è ø -2 2 2 ò( ) ò(x + x ) 4 ò( x + 1) ( x - x + 1) dx 2 x + 3 x dx x + 23 x - 4 4 x dx g) h) i) 1 1 1 2 8æ ö 2 x2 - 2 x e 2 x + 5 - 7x 1 m) ò ç 4 x - dx dx ÷dx ò ò k) l) ç ÷ x x3 3 3 x2 1è ø 1 1 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 2 5 2 dx x x + 1dx dx ò ò ò a) b) c) x +2 + x -2 2 x +2 1 2 0 4 2 2 3x2 x x 2 + 9.dx dx dx òx ò ò3 d) e) f) 2 3 1+ x 1+ x 0 0 0 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p p p 2 6 æ pö ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx a) ò sin ç 2 x + ÷ dx ò (2sin x + 3 cos x + x )dx b) c) 6ø è p 0 0 3 p p p 4 3 4 tan x .dx 2 2 ò 3tan ò (2 cot x + 5) dx ò x dx d) e) f) 2 cos x p p 0 4 6 p p p 2 2 2 1 - cos x dx 2 x .cos2 xdx ò sin ò 1 + sin x ò 1 + cos x dx i) g) h) 0 0 0 æp ö p p p sin ç - x ÷ 3 4 2 è4 ø dx (tan x - cot x )2 dx 4 ò cos ò x dx ò k) l) m) æp ö p 0 sin ç + x ÷ -p - è4 ø 6 2 Baøi 4. Tính các tích phân sau: 1x 2 1 2x e - e- x ( x + 1).dx -4 e dx dx ò ò ò a) b) c) 2 x -x ex + 2 1 x + x ln x 0e +e 0 Trang 85
  3. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng ln 2 2 1x æ e- x ö ex e x e) ò e ç 1 - dx ÷dx dx ò ò d) f) xø x x è e +1 02 0 1 p e 4 x 2 1 + ln x e cos x .sin xdx òe dx dx ò ò g) h) i) x x 0 1 1 1 1 e ln x 1 2 x ò x dx ò xe dx dx ò k) l) m) x 0 1+ e 1 0 VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính ò g( x )dx . a u(b ) b Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thì ò g( x )dx = ò f (u)du u(a ) a b ò f ( x )dx . Dạng 2: Giả sử ta cần tính a Đặt x = x(t) (t Î K) và a, b Î K thoả mãn a = x(a), b = x(b) b b b ( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) ) f ( x )dx = ò f [ x(t )] x '(t )dt = ò g(t )dt ò thì a a a Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến p p x = a sin t , - £t£ a2 - x 2 2 2 x = a cos t , 0£t £p hoặc a2 + x 2 p p x = a tan t ,
  4. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân ln 3 e x dx e e 2 + ln x dx 1 + 3 ln x ln x ò ò ò k) l) m) dx 2x x ( e x + 1)3 0 1 1 p p p 3 2 2 6 sin 2 x cos x. sin x sin 2 x ò ò ò 2 sin n) dx o) dx p) dx 1 + sin 2 x x + cos 2 x 2 cos x + 4 sin x2 2 0 0 0 Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 1 1 2 2 x 2 dx dx ò ò òx 4 - x 2 dx 2 a) b) c) 1- x 4-x 2 2 0 0 1 3 1 1 dx dx xdx òx ò (x òx d) e) f) +3 + 1)( x 2 + 2) + x2 +1 2 2 4 0 0 0 0 dx 2 1 x -12 dx ò ò ò g) h) i) dx (1 + x ) x3 x2 + 2 x + 2 25 -1 1 0 2 2 2 x2 3 2 dx 2 x - x 2 dx dx òx ò ò k) l) m) 2 2 x x -1 1- x 0 2 0 VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b x ò P( x ).e dx ò P( x ).cos xdx ò P( x ).sin xdx ò P( x ). ln xdx a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx cos xdx sin xdx dv P(x)dx e x dx Baøi 1. Tính các tích phân sau: p p 2p 4 2 ò x sin 2 xdx ò ( x + sin òx 2 2 a) b) x) cos xdx c) cos xdx 0 0 0 p2 p 4 3 1 2 ò ( x - 2)e x co s ò x tan ò x dx xdx 2x d) e) f) dx p 0 0 4 ln 2 e 3 ò xe dx ò x ln xdx i) ò ln( x 2 - x)dx x g) h) 0 1 2 p p e 2 2 k) ò e 3 x sin 5 xdx ò e sin 2 xdx m) ò ln 3 xdx cos x l) 0 0 1 e e 0 ln x ò òx ò x (e + 3 x + 1)dx 3 ln 2 xdx 2x o) p) dx q) 2 1x -1 1 e Trang 87
  5. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 2 2 x 2 - x dx 2 ò x - 2 dx + 2 x - 3 dx òx ò a) b) c) 0 0 0 3 5 3 ò ( x + 2 - x - 2 ) dx x 2 - 1 dx x ò2 - 4 dx ò d) e) f) -3 -2 0 4 1 3 x 2 - 6 x + 9dx ò 4 - x dx ò ò x 3 - 4 x 2 + 4 x dx g) h) i) 1 -1 0 Baøi 2. Tính các tích phân sau: p p 2 2p ò 1 - sin 2 x .dx sin x dx ò ò 1 - cos 2 x dx a) b) c) p 0 0 - 2 2p p p 1 - sin xdx 1 + cos xdx 1 + cos 2 xdx ò ò ò d) e) f) 0 0 -p p p 2p 3 3 tan 2 x + cot 2 x - 2 dx cos x cos x - cos3 xdx i) 1 + sin xdx ò ò ò g) h) p p 0 - 6 2 VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 3 1 3 x 3 dx dx dx b) ò 2 c) ò 2 a) ò x - 5x + 6 x + 2x + 1 1 x+ x 3 0 0 1 3 4 x 2 dx x dx ò (1 + 2 x )3 dx ò (1 - x )9 òx d) e) f) (1 + x) 2 0 2 1 (4 x + 11)dx 1 x3 + x + 1 4 1 dx òx ò x( x - 1) ò x + 1 dx g) h) i) + 5x + 6 2 0 2 0 0 3 1 2 x3 - 6 x 2 + 9 x + 9 3 x2 + 3x + 3 x2 dx dx dx ò ò ò k) l) m) x2 - 3x + 2 x3 - 3x + 2 3 0 (3 x + 1) -1 2 Baøi 2. Tính các tích phân sau: (3x ) 2 3 2 +2 x3 + 2x 2 + 4 x + 9 2 dx ò x 2 - 2x + 2 ò ò a) b) dx c) dx x +1 x2 + 4 2 0 0 0 1 1 1 x3 + x + 1 1 x dx dx dx ò ò2 ò d) e) f) 2 2 4 0 ( x + 2) ( x + 3) x +1 0 1+ x 0 Trang 88
  6. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân 2 2 3 1 - x 2008 x4 1 dx dx dx ò ò ò g) h) i) x (1 + x 4 ) x (1 + x 2008 ) 2 - 1)2 2 (x 1 1 2 2 1 1 - x2 2 - x4 1 dx dx dx ò ò ò k) l) m) 4 + x2 x4 x2 1 1+ 0 1+ 0 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 2 7 10 2 1+ x dx x +1 3 ò dx ò ò a) b) dx c) 1- x 3x + 1 x - 2 x -1 3 5 0 0 6 dx 1 2 4x - 3 x d) ò ò 1+ ò e) f) dx dx 0 2+ 3x + 1 x -1 2 2x +1+ 4x +1 1 1 1 2 x3 x4 dx ò ò x+ ò g) h) i) dx dx x +1 + x x2 +1 x5 + 1 0 0 0 3 x5 + x3 22 1 ò ò x x + 1dx dx ò x x 2 + 1dx 3 2 k) l) m) 2 1+ x 0 0 0 2 23 2 3 dx dx dx ò ò ò n) o) p) x x2 + 4 x x2 - 1 x x3 + 1 1 5 2 Baøi 2. Tính các tích phân sau: 1 1 3 x2 + 1 dx 2 2 1 + x dx a) ò x dx ò ò b) c) (1 + x 2 )3 x2 x2 + 1 0 0 1 2 3 1 2 3 2 1 + x 2 dx x + 2008dx 10 - x dx e) ò x ò ò d) f) 1 0 0 1 2 1 x 3 dx dx dx ò ò ò g) h) i) x + x2 + 1 x 2 + 2008 x + x2 + 1 -1 1 + 1 0 2 5 2 2 2 4 2 dx x dx 12 x - 4 x 2 - 8dx ò ò ò k) l) m) (1 - x 2 )3 1 - x2 0 1 0 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p p p 2 2 2 cos xdx cos xdx cos x - cos2 xdx ò sin x ò ò a) b) c) 7 + cos 2 x 2 + cos2 x 0 0 0 p p p 2 2 3 sin 2 x + sin x cos xdx 6 1 - cos3 x sin x cos5 xdx ò ò ò dx d) e) f) 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 0 0 0 Trang 89
  7. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng p p p 3 2 sin 2 x + sin x 2 cos xdx tan x ò ò dx dx ò g) h) i) 1 + 3cos x 2 2 1 + cos x cos x 1 + cos x 0 p 0 4 Baøi 4. Tính các tích phân sau: e ln 3 ln 2 e2 x dx 1 + 3ln x ln x dx dx ò ò ò a) b) c) x ex + 1 ex + 1 1 0 0 ln 3 0 ln 2 ln 2 x e x dx x (e2 x + 3 x + 1)dx dx ò ò ò d) e) f) x ln x + 1 (e x + 1)3 ln 2 -1 0 ln 2 ln 3 1 ex ex e x - 1dx dx dx ò ò ò g) h) i) (e x + 1) e x - 1 e x + e- x 0 0 0 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác. Baøi 1. Tính các tích phân sau: p p p 4 4 a) ò sin 2 x. cos xdx ò tan xdx c) ò sin 2 xdx b) 0 0 0 p p p 2 2 3 3 2 d) ò sin xdx ò (sin x + cos x )dx ò cos 3 xdx 3 e) f) 0 0 0 p p p 2 2 2 2 x cos4 xdx 4 x cos5 xdx h) ò sin 2 x cos 3 xdx ò sin ò sin g) i) 0 0 0 p p p 2 1 2 2 sin x sin 2 x cos x ò 1 + 3 cos x dx ò ò cos x + 1 dx k) l) m) dx 1 + cos x 0 0 0 p p p 3 2 3 3 dx dx cos x ò 1 + cos x dx ò sin 4 x.cos x ò sin x.cos3 x n) o) p) p 0 p 6 4 p p p 3 2 4 3 sin x 3 4 ò tan ò tan ò dx xdx xdx q) r) s) 2 1 + cos x 0 0 0 Baøi 2. Tính các tích phân sau: p p p 1 + sin 2 x + cos 2 x 2 2 3 tan x ò ò ò cos x 1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx a) b) dx c) dx sin x + cos x 1 + cos 2 x p p 0 6 4 p p 2 p ò (1 + sin x ) sin 2 xdx 2 4 x + cos 4 x )dx 3 ò ò cos 2 x(sin (tan x + e sin x cos x )dx 2 d) e) f) 4 0 0 0 Trang 90
  8. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân p p p 3 3 4 3 1 sin x ò sin x. ln(cos x )dx ò (tan2 x + 1)2 .cos5 x dx ò dx g) h) i) 2 2 p sin x + 9 cos x 0 0 - 3 Baøi 3. Tính các tích phân sau: p p p 2 2 2 1 cos x dx ò sin x dx ò 2 - cos x ò 2 - cos x dx a) b) c) p 0 0 3 p p p 2 2 2 cos x 1 sin x ò 1 + cos x dx ò 2 + sin x dx ò 2 + sin x dx d) e) f) 0 0 0 p p p 2 2 4 sin x - cos x + 1 dx 1 ò sin x + cos x + 1 dx ò dx ò g) h) i) sin x + 2 cos x + 3 æ pö p 0 cos x cos ç x + ÷ 0 - 4ø è 2 p p p 2 3 3 dx dx (1 - sin x ) cos x ò (1 + sin x)(2 - cos2 x ) dx ò ò k) l) m) æ pö æ pö 0 sin x cos ç x + ÷ sin x sin ç x + ÷ p p 4ø 6ø è è 4 6 Baøi 4. Tính các tích phân sau: p p p 2 4 3 xdx x a) ò (2 x - 1) cos xdx ò 1 + cos 2 x ò cos b) c) dx 2 x 0 0 0 p p p 2 2 2 3 2 2 x +1 ò sin cos xdx ò sin 2 x.e òx xdx dx d) e) f) 0 0 0 p p 2 3 2 ln(sin x ) 2 g) ò cos(ln x )dx ò (2 x - 1) cos ò dx xdx h) i) 2 cos x p 1 0 6 p p p 4 2x 2 x tan 2 xdx 2 ò e sin xdx ò x sin x cos ò xdx k) l) m) 0 0 0 p p p 2 4 4 dx sin 2 x sin x cos3 xdx ò cos ò ln(1 + tan x )dx òe n) o) p) 4 x 0 0 0 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. Baøi 1. Tính các tích phân sau: 1 1 1 ln 2 e x dx dx a) ò ò dx ò b) c) x 1+ ex e +5 x +4 0e 0 0 Trang 91
  9. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng ln 8 ln 8 ln 2 1- ex ex ò ò e x + 1.e 2 x dx ò d) e) f) dx dx 1+ ex ex +1 ln 3 ln 3 0 2 2 2x 1 e- x 1 e dx dx dx ò ò ò g) h) i) -x x -x 1 1- e 0 e +1 +1 0e 1 -2 x e ln 3 ln x 1 e dx dx dx ò ò ò k) l) m) x(ln 2 x + 1) -x +1 0e x e +1 1 0 Baøi 2. Tính các tích phân sau: p 2 1 2 a) ò e x sin xdx ò xe dx ò xe -x 2x b) c) dx 0 0 0 p e 1 + ln 2 x 1 2 ò x ln (1 + x )dx d) ò (e + cos x ) cos xdx dx ò x e) f) x 1 0 0 2 e3 e ln x + ln(ln x ) ln(ln x ) e æ ln x ö h) ò ç dx dx ò ò + ln 2 x ÷ dx g) i) ç ÷ x x 1 è x ln x + 1 ø e2 e p 2 1 3 ln(sin x ) ln x ln( x + 1) ò dx dx dx ò ò k) l) m) 2 2 cos x x +1 x p 1 0 6 VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ a f ( x )dx = 0 ò · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì -a a a f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx ò · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì 0 -a Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: 0 æ ö a a 0 a Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx ç J = ò f ( x )dx; K = ò f ( x )dx ÷ ç ÷ è ø 0 -a -a 0 -a 0 f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x. Bước 2: Tính tích phân J = ò -a ÞI=J+K=0 – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: a a f ( x) ò x dx = ò f ( x )dx (với a Î R+ và a > 0) -a a + 1 0 Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên. 0 æ f ( x) ö a a 0 a f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) dx; K = ò I= ò dx = ò dx + ò dx çJ = ò dx ÷ ç ax + 1 ÷ ax + 1 ax +1 ax + 1 ax +1 è ø 0 0 -a -a -a Để tính J ta cũng đặt: t = –x. Trang 92
  10. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân p p 2 2 é pù Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì ò f (sin x )dx = ò f (cos x )dx ë 2û 0 0 p t= -x Để chứng minh tính chất này ta đặt: 2 Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x ) thì đặt: t = a + b – x Đặc biệt, nếu a + b = p t=p–x thì đặt nếu a + b = 2p t = 2p – x thì đặt Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: ìF ( x ) + G( x ) = A( x ) + C1 (*) í F ( x ) - G ( x ) = B( x ) + C î 2 1 [ A( x ) + B( x )] + C là nguyên hàm của f(x). Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x ) = 2 Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1): 1 p p ( ) 7 5 3 4 2 2 x - x + x - x +1 æ1- x ö cos x ln x + 1 + x 2 dx c) ò cos x.ln ç 1 + x ÷dx ò ò dx a) b) cos 4 x è ø 1 p p - - - 4 2 2 ò ln ( x + ) dx 1 1 1 x 4 + sin x x dx 2 1+ x dx ò ò d) e) f) 4 - x2 +1 x2 +1 -1 x -1 -1 p p p sin 5 x 2 2 2 x + cos x xdx ò ò ò dx dx i) g) h) 2 4 - sin 2 x 1 + cos x 4 - sin x p p p - - - 2 2 2 Baøi 2. Tính các tích phân sau (dạng 2): 1 1 x4 1 1 - x2 dx ò x dx dx ò ò a) b) c) + 1)( x 2 + 1) x 1+ 2x -1 2 + 1 -1 (e -1 1 p sin 2 x dx 3 x2 +1 ò31 + 2 x dx dx ò ò d) e) f) 2 x x 3 +1 -1 (4 + 1)( x + 1) -p - p p p sin 6 x + cos6 x 2 x 2 sin 2 x 2 4 sin x sin 3 x cos 5 x ò ò ò dx dx dx g) h) i) 1 + ex 6x + 1 1+ 2x p p p - - - 2 4 2 Baøi 3. Tính các tích phân sau (dạng 3): p p p 7 n 2 2 2 cos x sin x sin x a) ò ò sin7 x + cos7 x dx ò dx (n Î N*) dx b) c) cos n x + sin n x sin x + cos x 0 0 0 Trang 93
  11. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng p p p 2009 4 sin 4 x 2 2 2 sin cos x x ò sin2009 x + cos2009 x ò cos4 x + sin 4 x ò cos4 x + sin 4 x dx dx dx d) e) f) 0 0 0 Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4): p p p 2 x.sin x x + cos x æ 1 + sin x ö ò ln ç 1 + cos x ÷dx dx dx ò ò a) b) c) 2 4 - sin 2 x è ø 0 4 - cos x 0 0 p 2p p 4 x .cos3 xdx 3 ò ln(1 + tan x )dx ò x.sin xdx ò d) e) f) 0 0 0 p p p x sin x x sin x x ò 1 + sin x dx ò 2 + cos x dx dx ò g) h) i) 2 0 1 + cos x 0 0 p p p 4 x sin x 4 ò sin 4 x ln(1 + tan x )dx ò x sin x cos dx xdx ò k) l) m) 2 0 9 + 4 cos x 0 0 Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5): p p p 2 2 2 sin x cos x sin x ò sin x - cos x dx ò sin x - cos x dx ò sin x + cos x dx a) b) c) 0 0 0 p p p sin 4 x cos 4 x 2 2 2 cos x ò ò sin 4 x + cos4 x ò sin 4 x + cos4 x dx dx dx f) d) e) sin x + cos x 0 0 0 p p p 6 6 2 2 2 sin x cos x 2 ò 2sin x.sin 2 xdx ò sin6 x + cos6 x dx ò sin6 x + cos6 x dx g) h) i) 0 0 0 p 1 1 ex e- x 2 2 ò 2 cos x.sin 2 xdx dx dx ò ò k) l) m) x -x x -x -1 e - e -1 e - e 0 1 1 ex e- x dx dx ò ò n) o) x -x x -x -1 e + e -1 e + e VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x , n)dx (n Î N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta a thường gặp một số yêu cầu sau: · Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n). · Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. · Tính một giá trị I n cụ thể nào đó. 0 Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau: Trang 94
  12. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân p 2 ì n -1 · Đặt íu = sin x a) I n = ò sin n xdx îdv = sin x.dx 0 p 2 ì n -1 · Đặt íu = cos x b) I n = ò cos n xdx îdv = cos x.dx 0 p 4 · Phân tích: tan n x = tan n-2 x ( tan 2 x + 1) - tan n -2 x c) I n = ò tan n xdx 0 p 2 ì n · Đặt íu = x n cos x.dx òx d) I n = îdv = cos x.dx 0 p 2 ì n · Đặt íu = x n sin x.dx òx Jn = îdv = sin x.dx 0 1 ìu = x n ï e) I n = ò x n e x dx · Đặt í x ïdv = e .dx î 0 e ì n · Đặt íu = ln x f) I n = ò ln n x.dx îdv = dx 1 1 ì 2n Đặt íu = sin t g) I n = ò (1 - x 2 )n dx · Đặt x = cos t ® îdv = sin t.dt 0 1 1 + x2 x2 1 dx h) I n = ò · Phân tích = - x 2 )n (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n (1 + x 2 )n 0 (1 + ìu = x 1 x2 ï x Tính J n = ò dx . Đặt í dv = dx 2n 0 (1 + x ) ï (1 + x 2 )n î 1 ìu = x n ï i) I n = ò x n 1 - x .dx · Đặt í ïdv = 1 - x .dx î 0 p 4 1 cos x 1 dx ò cosn x dx k) I n = ® Đặt t = · Phân tích = cos n+1 x cosn +1 x cos n x 0 Trang 95
  13. Nguyên hàm – Tích phân Trần Sĩ Tùng III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. Diện tích hình phẳng · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) dx là: (1) a · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b. b S = ò f ( x ) - g( x ) dx là: (2) a Chú ý: b b f ( x ) dx = ò f ( x )dx ò · Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: a a · Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b c d b f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx ò a a c d c d b ò f ( x )dx + ò f ( x )dx + ò f ( x )dx = a c d (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d. d S = ò g( y) - h( y) dy c 2. Thể tích vật thể · Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a £ x £ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b]. b V = ò S( x )dx Thể tích của B là: a · Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: Trang 96
  14. Trần Sĩ Tùng Nguyên hàm – Tích phân b V = p ò f 2 ( x )dx a Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d V = p ò g2 ( y )dy là: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: ln x 1 a) y = x 2 - 4 x - 5, y = 0, x = -2, x = 4 , y = 0, x = , x = e b) y = x e 1 + ln x ln x , y = 0, x = 1, x = e c) y = , y = 0, x = e, x = 1 d) y = x 2x 1 f) y = x 3 , y = 0, x = -2, x = 1 e) y = ln x, y = 0, x = , x = e e 1 1 x , y = 0, x = 0, x = h) y = lg x , y = 0, x = , x = 10 g) y = 10 2 1- x4 Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: -3 x - 1 , y = 0, x = 0 b) y = x , y = 2 - x , y = 0 a) y = x -1 c) y = e x , y = 2, x = 1 d) y = x , x + y - 2 = 0, y = 0 e) y = 2 x 2 , y = x 2 - 2 x - 1, y = 2 f) y = x 2 - 4 x + 5, y = -2 x + 4, y = 4 x - 11 x2 27 g) y = x 2 , y = h) y = 2 x 2 , y = x 2 - 4 x - 4, y = 8 , y= 27 x i) y 2 = 2 x, 2 x + 2 y + 1 = 0, y = 0 k) y = - x 2 + 6 x - 5, y = - x 2 + 4 x - 3, y = 3 x - 15 Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 a) y = x, y = , y = 0, x = e b) y = sin x - 2 cos x , y = 3, x = 0, x = p x c) y = 5 x -2 , y = 0, y = 3 - x, x = 0 d) y = 2 x 2 - 2 x , y = x 2 + 3 x - 6, x = 0, x = 4 f) y = x 2 - 2 x + 2, y = x 2 + 4 x + 5, y = 1 e) y = x, y = 0, y = 4 - x 1 , y = e- x , x = 1 g) y = x , y = 2 - x , y = 0 h) y = -2 x e Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y = 4 - x 2 , y = x 2 - 2 x b) y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 x2 12 1 1 x , y = - x2 + 3 ,y = c) y = d) y = 4 2 2 1+ x2 e) y = x , y = 2 - x 2 f) y = x 2 - 2 x, y = - x 2 + 4 x Trang 97
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2