Bài tập giải tích 12 - Tích Phân

Chia sẻ: Phan Thiên Ân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

344
lượt xem 97
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Bài tập giải tích 12 - Tích Phân biên soạn bởi giáo viên Nguyễn Tất Thu giúp các bạn học sinh học và ôn thi tốt môn toán chuẩn bị cho các kỳ thi tuyển sinh sắp đến

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải tích 12 - Tích Phân

Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 TÍCH PHÂN 1. ð nh nghĩa: Cho hàm s y=f(x) liên t c trên K; a,b là hai ph n t b t kì thu c K, F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên K. Hi u s F(b)-F(a) g i là tích phân c a c a f(x) b ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) b t a ñ n b và ñư c kí hi u: a 2. Các tính ch t c a tích phân: a (1) ∫ f ( x )dx = 0 a a b (2) ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx b a b b (3) ∫ k . f ( x )dx = k .∫ f ( x )dx a a b b b (4) ∫ [f ( x ) ± g( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx a a a b c b (5) ∫ f(x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx a a c b (6) Neáu f ( x ) ≥ 0 treân [a;b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ 0 a b b (7) Neáu f ( x ) ≥ g( x ) treân [a;b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a a b (8) m ≤ f ( x ) ≤ M treân [a;b] ⇒ m(b - a) ≤ ∫ f ( x ) ≤ M (b − a) a t (9) t bieán thieân treân [a;b] ⇒ G(t ) = ∫ f ( x )dx laø moät nguyeân haøm cuûa f (t ) vaø G(a) = 0 a 3. Các ví d : b *Chú ý: ð tính tích phân I = ∫ f ( x)dx ta phân tích f ( x) = k1 f1 ( x) + ... + km f m ( x) a Trong ñó các hàm fi ( x) có trong b ng nguyên hàm. Bài 1: Tính các tích phân sau Trang 1
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 π 1 2 3 2 3 2 1) ∫ ( x x + 2 x + 1)dx 2) ∫ (2sin x + 3cos x - )dx 3) ∫|x − 1| dx cos2 x 0 0 −2 π π 2 2 2 2 x 2 x + x 3 x − 3x + 1 π 2 4) ∫ sin (2 x − )dx 5) ∫ sin 2 x.sin3x 6) ∫ dx x2 4 π 0 1 - 2 π π 1 3 4 cos2 x dx 4 7) ∫ cos 2 xdx 8) 9) ∫ sin2 2 x ∫ dx x +1 + x π 0 0 6 π 1 2 3 2 x 4 12) ∫ |x2 − x | dx 10) ∫ 11) ∫ tg xdx dx x +1 π 0 0 4 a'x + b' Chú ý: ð tính I = ∫ (b 2 − 4ac ≥ 0) ta làm như sau dx ax 2 + bx + c b2 TH1: N u b 2 − 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có s phân tích ax 2 + bx + c = a ( x + ) 2a b ba ' ba ' a '( x + ) + b '− b '− 2a dx = a ' dx dx 2a ∫ b + a2a ∫ ⇒I =∫ b b a x+ a( x + )2 ( x + )2 2a 2a 2a TH2: N u b − 4ac > 0 ⇒ ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) . Ta xác ñ nh A,B sao cho 2 2 A + B = a' a ' x + b ' = A( x − x1 ) + B ( x − x2 ) ⇔   Ax1 + Bx2 = −b ' 1 A( x − x1 ) + B( x − x2 ) 1 A B I= ∫ dx = ∫ ( + )dx . ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x2 x − x1 a Bài 2: Tính các tích phân sau 1 5 1 1 2 x4 x3 4 x + 11 dx 1) 2) 3) 4) ∫ x 2 − 5x + 6 ∫ x 2 − 1 dx ∫ x 2 + 5x + 6 dx ∫ x 2 + 2 x + 1 dx 4 0 0 0 Trang 2
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 1 2 3 2 x 2 + 3x + 2 x3 + 3x + 2 x2 + 2x + 3 5) I = ∫ 6) I = ∫ 7) I = ∫ dx dx dx x2 − x − 2 2 x3 − x 0 x + 3x + 2 0 2 π 2 cos x Bài 3: Tính I = ∫ dx sin x + 2cos x 0 2 1 Ta xác ñ nh A,B sao cho: cos x = A(sin x + 2cos x) + B (cos x − 2sin x) ⇒ A = , B = 5 5 π π π − ln 2 2 2 1 cos x - 2sin x 2 1 ⇒ I = ∫( + )dx = ( x + ln | sin x + 2cos x |) = 2 5 5 sin x + 2cos x 0 5 5 5 0 b Chú ý: *ð ch ng minh BðT có d ng q ≤ ∫ f ( x)dx ≤ p . Ta ch ng minh m ≤ f ( x) ≤ M a b ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ) , khi ñó m(b − a ) = q; M (b − a ) = p a ð ch ng minh m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] ta có th ñánh giá tr c ti p ho c ta kh o sát hàm f(x) trên [a;b] v i chú ý: N u f(x) lt trên [a;b] thì min f ( x) ≤ f ( x) ≤ Max f ( x) [ a; b ] [ a; b ] b b ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx ta c/m f ( x) ≥ g ( x) ∀x ∈ [a; b] * ð ch ng minh BðT có d ng a a Bài 4: Ch ng minh các BðT sau 1 1 2 2 2 3 dx 2 1) 4≤ 4 + x dx ≤ 2 5 2) 3) 1 ≤ ∫ 2 x dx ≤ 4 ≤∫ ≤ ∫ 9 −1 8 + x 3 7 −1 0 π π π 2 3 3 sin x 2 2 2 1 2 4) 4 ≤ ∫ e x − x dx ≤ 2e2 5) ∫ sin2 xdx ≤ 2 ∫ cos xdx 6) ≤∫ dx ≤ 4 πx 2 e0 0 0 6 π π π 6 2 2 π π π dx 9 xdx + ∫ sin8 xdx ≤ 7) 8) ∫ cos ≤ ∫ 9 + 4sin2 x ≤ 36 60 2 0 0 0 π π 1 4 4 2 2 9) ∫ | a sin x + b cos x | dx ≤ a + b 10) ∫ sin xdx ≤ ∫ cos xdx 0 0 0 Trang 3
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I. Phương pháp ñ i bi n s d ng 1 b Gi s c n tính I = ∫ f ( x )dx ta th c hi n các bư c sau a B1: ð t x = u(t ) (v i u(t) là hàm có ñ o hàm liên t c trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñ nh trên [α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñ nh α , β β β B2: Thay vào ta có: I = ∫ f (u(t )).u '(t )dt = ∫ g(t )dt = G(t ) α = G( β ) − G (α ) β α α M t s d ng thư ng dùng phương pháp ñ i bi n s dang 1 a a2 − b2 x 2 ta thư ng ñ t x = sin t * Hàm s dư i d u tích phân ch a b a * Hàm s dư i d u tích phân ch a b2 x 2 − a2 ta thư ng ñ t x = b sin t a * Hàm s dư i d u tích phân ch a a2 + b2 x 2 ta thư ng ñ t x = tgt b a * Hàm s dư i d u tích phân ch a x (a − bx ) ta thư ng ñ t x = sin 2 t b Ví d 1: Tính các tích phân sau 1 1) I = ∫ x 1 − x 2 dx 0 π HD: ð t x = sin t ⇒ dx = cos t.dt . ð i c n : V i x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2 π π π 2 2 2 1 I = ∫ sin t 1 − sin t .cos t.dt = ∫ cos t.sin tdt = − ∫ cos2 t.d (cos t ) = 2 2 3 0 0 0 1 2 2 x 2) I = ∫ sin t HD: ð t x = dx 3 4 − 3x 2 0 1 x 3) I = ∫ HD: ð t x − 1 = 2sin t dx 2 3 - 2x - x 0 2 x2 − 1 1 ∫ 4) I = HD: ð t x = x sin t 1 Trang 4
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 3 x +1 2 5) I = ∫ HD: ð t x = 2sin 2 t dx 1 x(2 − x) Ví d 2: Tính các tích phân sau 1 dx 1) I = ∫ 2 01+ x π ð t x = tgt ⇒ dx = (1 + tg2 t )dt . ð i c n x = 0 ⇒ t = 0 ; x = 1 ⇒ t = 4 π π (1 + tg2 t )dt 4 4 π I= = ∫ dt = ∫ 1 + tg2 t 4 0 0 1 3 dx 1 2) I = ∫0 HD: ð t x + = tgt x2 + x + 1 22 0 dx ∫ (x 3) I = HD: ð t x+1=tgt + 2 x + 2)2 2 −1 23 x 2 x 2 + 4 HD: ð t x=2tgt 4) I = ∫ 2 b * Chú ý: Tích phân I = ∫ f ( x)dx ch ph thu c vào f, a và b không ph thu c vào bi n, a b b b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( y)dy = ∫ f (t )dt = .... nghĩa là a a a Ví d 3: Tính các tích phân sau π sin 4 x 2 1) I = ∫ 4 dx sin x + cos4 x 0 π π π − t ⇒ dx = −dt . ð i c n x = 0 ⇒ t = ;x= ⇒t =0 ð t x= 2 2 2 π π π sin 4 ( − t) 4 cos4 x 0 2 2 cos t 2 I = −∫ dt = ∫ sin4 t + cos4 t dt = ∫ sin 4 x + cos4 x dx π π 4 4 sin ( − t ) + cos ( − t) π 0 0 2 2 2 π π π 4 4 2 2 2 sin x cos x π π ⇒ 2I = ∫ sin4 x + cos4 x dx + ∫ sin4 x + cos4 x dx = ∫ dx = 2 ⇒ I = 4 . 0 0 0 Trang 5
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 π 4 π π π 2) I = ∫ ln(1 + tgx )dx ð t x = − t ⇒ dx = −dt ð i c n x = 0 ⇒ t = ;x= ⇒t =0 4 4 4 0 π π π 0 4 4 4 1 − tgt π I = − ∫ ln[1 + tg( − t )]dt = ∫ ln(1 + )dt = ∫ [ln 2 − ln(1 + tgt )]dt = ln 2. ∫ dt − I 4 1 + tgt π 0 0 0 4 π ln 2 π .ln 2 ⇒ 2I = . ⇒I = 4 8 Ví d 4: Ch ng minh các công th c sau π π 2 2 π ∫ sin xdx = ∫ cos xdx n n HD: ð t x = −t. 1) 2 0 0 a a f ( x )dx . Cmr: a) I = 2 ∫ f ( x )dx n u f(x) là hàm s ch n 2) Cho I = ∫ 0 −a b) I = 0 n u f(x) là hàm s l f (x) 1b b dx = ∫ f ( x )dx . 3) Cmr n u f(x) là hàm s ch n thì ∫ x 20 −b a + 1 2 2 x2 + 1 Áp d ng: Tính I = ∫ dx . 2x + 1 −2 π ππ ∫ xf (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx (HD: ð t x = π − t ). 4) Cmr 0 0 π x sin x Áp d ng: Tính I = ∫ dx . 4 + sin2 x 0 Bài t p: Tính các tích phân sau 2 1 x2 2 a 1)I = ∫ x 2 a2 − x 2 2) I = ∫ x 3 1 − x 2 dx 3) I = ∫ dx 2 1− x 0 0 0 1 3a 1 x2 2 dx 2 2 2 4) I = x + a dx 5)I = ∫ 6) I = ∫ ∫ x 2 2x − x2 x−x 1 0 0 4 p 0 1 1 x2 dx x 7) I = 8) I = ∫ dx 9)I = ∫ ∫ dx 2 3 p+2 1 + x3 ( x + x + 1) 01+ x 1 0 − 2 Trang 6
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 π 3 π 4 x sin x sin n 2 x 2 10) I = ∫ 11) I = ∫ 3 x - x dx 12) I = ∫ sinn 2 x + cosn 2 x dx dx 2 0 9 + 4 cos x 9 0 4 π 1 2 3 2 4 1-x 1+x cos2006 x.sin2007 x.dx 13) I= ∫ dx 14) I= ∫ 15) I= ∫ x2 x 1 π 1 − 2 4 16) Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a mãn f ( x ) + f (− x ) = 2 − 2cos2 x . Tính π 2 f ( x )dx I= ∫ π − 2 1 17) Tính tích phân sau: I = ∫ [ln( x + x 2 + 1)]3 dx −1 b 1 ∫ f ( x)dx = (b − a)∫ f (a + (b − a) x)dx 18) Cho f là hàm liên t c trên [a;b]. Cmr: a 0 II. Phương pháp ñ i bi n s lo i 2 b ð tính tích phân I = ∫ f ( x)dx , n u f(x)=g(u(x)).u’(x), ta có th th c hi n phép ñ i bi n a như sau B1: ð t t = u ( x) ⇒ dt = u '( x)dx . ð i c n x = a ⇒ t = u (a ), x = b ⇒ t = u (b) u (b ) ∫ B2: Thay vào ta có I = g (t )dt = G (t ) b a u (a) Ví d 1: Tính các tích phân sau 1 1) I = ∫ (2 x − 1)10 dx 0 dt . ð i c n x = 0 ⇒ t = −1; x = 1 ⇒ t = 1 ð t t = 2 x − 1 ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = 2 1 1 t11 1 10 1 I = ∫ t dt = . = 1 −1 2 −1 2 11 11 Trang 7
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 1 dx 2) I = ∫ 1 x 3x + 1 3 t2 − 1 2 1 ð t t = 3x + 1 ⇒ x = → dx = tdt . ð i c n x = ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 2 3 3 3 2 2 2 t −1 2 −1 2 tdt dt 1 1 1 ∫ =2∫ ∫ ( t − 1 − t + 1)dt = ln | t + 1 | | I= = = ln − ln 2 2 +1 t −1 t −1 2 2 2 3 2 2 2 2 t 3 β *D ng t ng quát: I = ∫ f ( ax+b)dx . ð t t = ax+b α 7 x3 141 ∫ dx . HD: ð t t = 1 + x 2 ðS: I = 3) I = 1 + x2 20 3 0 1 xdx 1 4) I = ∫ HD: ð t t = 2 x + 1 ⇒ I = (2 x + 1)5 54 0 π π 2 2 5) I = ∫ sin xdx Ta có: I = ∫ (1 − cos 2 x) 2 sin xdx . ð t t = sin x ⇒ dt = cos xdx 5 0 0 π 1 1 8 ⇒ t = 1 ⇒ I = ∫ (1 − t ) dt = ∫ (1 − 2t 2 + t 4 )dt = ð i c n x = 0 ⇒ t = 0; x = 22 2 15 0 0 *Chú ý: T ví d trên ta th y khi g p tích phân có d ng I = ∫ sin n xdx + N u n ch n thì ta h b c + N u n l ta ñ t t=sinx π 2 dt 6) I = ∫ e 2 sin x cos xdx ð t t = 2 sin x ⇒ dt = 2cos xdx ⇒ cos xdx = 2 0 π 2 1 1 21 ð i c n x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 2 ⇒ I = ∫ et dt = et |0 = (e2 − 1) 2 20 2 2 e2 dx ln x ∫ x(ln x + 1) dx ð t t = ln x ⇒ dt = . ð i c n x = e ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = 2 7) I = x e 2 2 t 1 2 I =∫ dt = ∫ (1 − )dt = (t − ln(1 + t )) |1 = 1 + ln 2 t +1 t +1 3 1 1 Trang 8
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 Ví d 2: Tính các tích phân sau π 4 dt 1) I = ∫ tg 4 xdx ð t t = tgx ⇒ dt = (1 + tg 2 x)dx ⇒ dx = 1 + t2 0 π 3π − 8 ð i c n x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 ðS: I = 4 12 Chú ý:* Bài toán trên ta có th gi i cách khác như sau π π π π π 3π − 8 4 4 4 4 I = ∫ (tg 4 x − 1 + 1)dx = ∫ (tg 2 x − 1)(tg 2 x + 1)dx + ∫ dx = ∫ (tg 2 x − 1)d (tgx) + = 4 12 0 0 0 0 b b * Khi g p tích phân I = ∫ f (tgx)dx ( I = ∫ f (cot gx)dx) ta ñ t t = tgx (t = cot gx) a a dt dt = dx (− = dx) ⇒ 1 + t2 1 + t2 π sin 3 x − sinx 23 2) I = ∫ cotgx.dx sin 3 x π 3 π π 2 2 1 1 1 Ta có I = ∫ 3 1 − dx = ∫ 3 cot g 2 x .cot gx. .cot gx. dx 2 2 sin 2 x sin x sin x π π 3 3 π π 1 dx .ð ic n x= ⇒t = ; x= ⇒t =0 ð t t = cotgx ⇒ dt = − 2 3 2 3 sin x 1 1 1 35 8 3 93 3 3 ∫ ∫ I= t .tdt = = t 3 |0 3 = 32 t 3 dt 8 8 0 0 1+ 5 x2 + 1 2 ∫ 3) I = dx x4 − x2 + 1 1 1+ 5 1+ 5 1 1 1+ 1+ π 2 2 x2 x2 1 ∫ ∫ I= dx = dx . ðăt t = x − (ðS: I = ) 1 1 4 x x2 + −1 ( x − )2 + 1 1 1 x2 x Trang 9
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 Chú ý: Chúng ta c n lưu ý ñ n các k t qu sau : k2 k k k ( x ± )' = 1 ∓ 2 và x 2 + 2 = ( x ± ) 2 ∓ 2k x x x x ln 2 1 − ex ∫ 1 + e x dx 4) I = 0 dt . ð i c n x = 0 ⇒ t = 2; x = ln 2 ⇒ t = 3 ð t t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx ⇒ dx = t −1 3 2−t 8 I =∫ dt = ln . t (t − 1) 9 2 β dt *Chú ý: Khi g p I = ∫ f (ae x + b)dx ta ñ t t = ae x + b ⇒ dx = t −b α π 2 sin x.cos x 6) I = ∫ (a, b ≠ 0; a ≠ b) dx a sin x + b cos x 2 2 0 (a − b)sin x cos x ð t t = a sin 2 x + b cos 2 x ⇒ dt = dx a sin x + b cos x 2 2 π ð i c n x = 0 ⇒ t = b; x = ⇒t = a 2 a 1 1 ∫ dt = ⇒I = a−b a+ b b a dx 7) I = ∫ x2 + a2 0 Bài này ngoài cách ñ t x= a.tgt ta có th th c hi n phép ñ t như sau x t dt dx ð t t = x + x 2 + a 2 ⇒ dt = (1 + )dx = dx ⇒ = x2 + a2 x2 + a2 x2 + a2 t ð i c n x = 0 ⇒ t = a; x = a ⇒ t = (1 + 2)a (1+ 2 ) a dt = ln t |(1+ ∫ I= = ln(1 + 2) 2 )a a t a dx *Chú ý: N u I = ∫ ta ñ t t = x + x 2 − a 2 x2 − a2 Bài t p Trang 10
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 π π 1 − 2sin 2 x sin x − cos x 4 2 1) I = ∫ 10) I = ∫ dx ( ðH Kh i B-2003) dx 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x π 0 4 2 x 2) I = ∫ 9 dx (ðH Kh i A-2004) 1+ x −1 11) I = ∫ x 3 x − 1dx 1 e 1 1 + 3ln x ln x 3) I = ∫ 1 dx x7 12) I = ∫ x dx 1 x +1 4 (ðH Kh i B-2004) 0 π π sin 2 x + sin x 2 4) I = ∫ dx 4 dx 1 + 3cos x 13) I = ∫ 0 cos 4 x (ðH Kh i A-2005) 0 π π 4 sin 2 x 2 sin 2 x.cos x 14) I = ∫ 5) I = ∫ x dx 1 + cos x cos6 x 0 0 e3 (ðH Kh i B-2005) dx ∫2 x ln x.ln(ln x) 15) I = π 2 e 6) I = ∫ (esin x + cos x)cos xdx 0 ln 3 ex ∫ 16) I = (ðH Kh i D-2005) dx π (e + 2) e + 1 x x 0 2 sin 2 x 7) I = ∫ dx cos x + 4sin x 2 1 x2 + 1 x2 − 1 2 2 0 18) I = ∫ 17) I = ∫ dx dx 1 x +1 0 x +1 (ðH Kh i A-2006) 4 4 ln 2 dx ∫ 8) I = + 2e− x − 3 π x ln 3 e 2 cosx 18) I = ∫ (ðH Kh i B-2006) dx π 2+cos2x 0 4 cos 2 x 9) I = ∫ dx 0 (sin x + cos x + 2) 3 Trang 11
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 III. Phương pháp t ng ph n Cho hai hàm s u và v liên t c trên [a;b] và có ñ o hàm liên t c trên [a;b]. Khi ñó b b ∫ udv = uv − ∫ vdu (1) b a a a b ð tính tích phân I = ∫ f ( x)dx b ng phương pháp t ng ph n ta làm như sau a B1: Ch n u,v sao cho f(x)dx=udv (chú ý: dv=v’(x)dx). Tính v và du b B2: Thay vào công th c (1) và tính ∫ vdu a b C n ph i l a ch n u và v h p lí sao cho ta d dàng tìm ñư c v và tích phân ∫ vdu d tính a b hơn ∫ udv . Ta thư ng g p các d ng sau a b sin x  sin x  D ng 1 : I = ∫ P( x)  dx ta ñ t u = P ( x), dv =   dx  cos x  cos x  a u = P ( x) b  D ng 2 : I = ∫ P ( x)eax + b dx ñ t  ax + b dv = e  dx a u = ln(mx + n) b D ng 3 : I = ∫ P ( x)ln(mx + n)dx ñ t  dv = P( x)dx a   s inx  s inx  u= u= b b  sin x  x     D ng 4 : I = ∫  cosx  ñ tính ∫ vdu ta ñ t  cosx   e dx ð t  a cos x    dv = e dx dv = e dx a x x * Chú ý : Có nhi u bài tuy không thu c nh ng d ng trên nhưng ta v n s d ng phương pháp t ng ph n, sau ñây là m t s ví d Bài 1 : Tính các tích phân sau : π 2 0 2 2 x +1 1) I = ∫ x sin 2 xdx 2) I = ∫ ( x − 2)e ∫ (2 x 3) I = + x + 1)ln( x + 2)dx 2 dx −1 0 0 π π 1 2 2 4) I = ∫ cos x.e dx 5) I = ∫ sin x.ln(1 + sin x)dx 6) I = ∫ x ln( x 2 + 1)dx 2x 0 0 0 Trang 12
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 Gi i : du = dx u = x  ⇒ 1) ð t  1 dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x  2 π π π π1 π 12 1 + ∫ cos 2 xdx = + sin 2 x ⇒ I = − x.cos 2 x = 2 2 0 0 2 20 44 4 du = dx u = x − 2   ⇒ 2) ð t  1 2 x +1 2 x +1 v = 2 e dv = e   2 5e − e3 1 1 1 ⇒ I = ( x − 2)e2 x +1 − ∫ e2 x +1dx = e − e2 x +1 = 2 2 0 0 2 20 4 4  1 du = x + 2 dx u = ln( x + 2)   ⇒ 3) ð t  dv = (2 x + x + 1)dx v = 2 x3 + 1 x 2 + x 2    3 2 0 1 4 x3 + 3x 2 + 6 x 2 1 −∫ ⇒ I = ( x3 + x 2 + x)ln( x + 2) dx = 0 −1 x+2 3 2 6 −1 0 1 32 14 5 16 119 = − ∫ (4 x 2 − 5 x + 16 − )dx = − ( x3 − x 2 + 16 x − 32ln( x + 2)) = ln 2 − 0 −1 x+2 6 −1 63 2 3 396 π du = − sin x π u = cos x 12   1 11 + ∫ sin x.e2 x dx = − + J 1 2 x ⇒ I = cos x.e 2x ⇒ 2 4) ð t :  dv = e dx v = e 0 2x 2 20 22   2 π du = cos xdx u = sin x 2   Tính J = ∫ sin x.e dx : ð t  2x ⇒ 1 2x dv = e2 x dx v = e    0 2 π π 2 12 1 2x 1 1 J = e sin x | − ∫ cos x.e2 x dx = eπ − I 2 0 20 2 2 π −2 π −2 1 11 1 5 ⇒ I = − + ( eπ − I ) ⇒ I = ⇒I = 2 22 2 4 4 5 Trang 13
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12  cos x u = ln(1 + sin x) du = dx 1 + sin x ⇒ 5) ð t  dv = sin xdx v = − cos x  π π π π 2 2 2 cos x +∫ dx = ∫ (1 − sin x)dx = − 1 I = − cos x.ln(1 + sin x) 2 1 + sin x 0 2 0 0  2x du = 2 dx  u = ln( x 2 + 1)  1 3  x + 1 ⇒ I = 1 x 2 ln( x 2 + 1) |1 − x dx 0∫2 ⇒ 6) ð t  dv = xdx 0 x +1  2 v = 1 x 2    2 1 1 x 1 1 1 1 I = ln 2 − ∫ ( x − 2 )dx = ln 2 − ( x 2 − ln( x 2 + 1)) |1 = ln 2 − 0 x +1 2 2 2 2 2 0 Bài 2 : Tính các tích phân sau π a 1 3 x sin x 1) I = ∫ x + a dx 2) I = ∫ 3) I = ∫ ln( x + 1 + x 2 )dx 2 2 dx cos 2 x 0 0 0 π a 2 xdx 4) I = ∫ 5) I = ∫ x 2 x 2 + a 2 dx 2 sin x π 0 6 Gi i : a a a x2 + a2 x2 dx 1) Ta có : I = ∫ dx = ∫ ∫ dx + a = M + a2 N 2 x2 + a2 x2 + a2 x2 + a2 0 0 0 a x2 Tính M = ∫ dx ? x +a2 2 0 u = x du = dx  a  ⇒ M = x x + a |0 − ∫ x 2 + a 2 dx 2 2a ⇒ ðt x dv = dx v = x 2 + a 2   x +a 0 2 2  ⇒ M = a2 2 − I a dx Tính N = ∫ ? ð t t = x + x 2 + a 2 ⇒ N = ln( x + x 2 + a 2 ) |0 = ln(1 + 2) a x2 + a2 0 Trang 14
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 2 + ln(1 + 2) 2 V y I = a 2 2 − I + a 2 ln(1 + 2) ⇒ I = a 2 π u = x du = dx π 2π x 3 3 dx   |0 − ∫ 1 ⇒I = = −J ⇒ 2) ð t  sin x dv = dx v = cos x cos x 3   cos 2 x  0 cos x π π π 3 3 13 cos xdx d (sin x) 1 1 Ta có J = ∫ =∫ = ∫( + )d (sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 2 0 1 − sin x 1 + sin x 0 1 − sin 2 x 0 π 2π 1 1 + sin x 3 J = ln | | |0 = ln(2 + 3) ⇒ I = − ln(2 + 3) 2 1 - sin x 3 3) ð t  dx u = ln( x + x 2 + a 2 ) du = 1  xdx 0∫ 2 ⇒ I = x ln( x + x 2 + a 2 ) |1 − ⇒ x +a  2 dv = dx 0 x +a 2 2 v = x   I = ln(1 + 1 + a 2 ) − x 2 + a 2 |1 = ln(1 + 1 + a 2 ) + a − 1 + a 2 0 π u = x π du = dx 2  ⇒ I = − x cot gx |π ∫ 2 + cot gxdx dx ⇒  4) ð t :  dv = 2 v = − cot gx  6π  sin x 6 π 3π 3π I= + ln | sin x | |π = + ln 2 2 6 6 6 du = dx u = x   ⇒ 1 2 5) ð t :  dv = x x 2 + a 2 dx v = ( x + a ) x + a 2 2 2    3 3 3 a a a2 a2 1 a1 1 1 I = x( x 2 + a 2 ) 2 |0 − ∫ x 2 x 2 + a 2 dx − ∫ x + a dx = a (2a 2 ) 2 − I − 2 2 J 3 30 3 3 3 3 0 2 + ln(1 + 2) 2 7 2 − ln(1 + 2) 4 Theo câu 1 J = a ⇒I = a 2 8 Bài t p : Tính các tích phân sau Trang 15
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 π π e 1) I = ∫ x sin xdx 2) I = ∫ x ln xdx 3) I = ∫ x.cos 2 xdx 2 2 0 1 0 π e e 2 ln x 4) I = ∫ e sin x 5) I = ∫ ( x ln x) dx ∫ 6) I = x 2 2 dx (1 + x) 2 0 1 1/ e π π π 2 2 2 −x 7) I = ∫ e 8) I = ∫ (e sin x + 2cos x)cos xdx 9) I = ∫ ( x 2 + 1)sin xdx 2x sin 2 xdx 0 0 0 2 e 1 ln( x + 2) x ln xdx 10) I = ∫ 11) I = ∫ cos(ln x)dx 12) I = ∫ dx x +1 1 ( x + 1) 2 2 1 0 e3 0 1 x2 ln(ln x) 13) I = ∫ ∫ x ln 15) I = ∫ 14) I = 1 − xdx dx dx x +1 x 2 −1 2 0 e Trang 16
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 DI N TÍCH HÌNH PH NG TH TÍCH V T TRÒN XOAY 1. Di n tích hình ph ng Cho f(x) và g(x) là hai hàm s liên t c trên [a;b]. Di n tích hình ph ng gi i h n b i ñ th các hàm s y = f ( x), y = g ( x) và b i các ñư ng th ng x=a,x=b ñư c tính b i công b th c: S = ∫ | f ( x) - g ( x) | dx a Chú ý: * N u bài toán ch cho hình ph ng gi i h n b i ñ th hai hàm s y=f(x) và y=g(x) thì ta ñi gi i phương trình HðGð f(x)=g(x) ta tìm ñư c các nghi m xn ∫ | f ( x) − g ( x) | dx x1 < x2 < ... < xn . Khi ñó di n tích hình ph ng là: S = x1 *Khi tính di n tích ta nên v ñ th c a các hàm s mà bài toán cho. 2. Th tích v t tròn xoay a) Cho hình ph ng gi i h n b i các ñư ng y=f(x), x=a, x=b và y=0 quay quanh tr c Ox b b thì th tích vât th tròn xoay là: V = π ∫ y dx = π ∫ f 2 ( x)dx 2 a a b) Cho hình ph ng gi i h n b i các ñư ng x=g(y), y=a, y=b và x=0 quay quanh tr c Oy b b thì th tích vât th tròn xoay là: V = π ∫ x dy = π ∫ g 2 ( y )dy 2 a a Ví d 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng sau: 1) y = x , y = 2 − x và y=0 2) y = x, y = x + sin 2 x, x = 0, x = π 3) y = x3 , y = 2 x 2 4) y = x 2 + 3 x, y = − x x2 5) y = 4 − x , y = − 2 3 6) ðư ng tròn tâm O, bán kính R x2 y2 7) Hình Elíp 2 + 2 = 1 a b 8) Parabol (P): y = 2 x và ñư ng tròn x 2 + y 2 = 8 2 9) ( P) : y 2 = 2 x ; (C ) : 27 y 2 = 8( x − 1)3 10) y =| x 2 − 4 x + 3 |, y = x + 3 (ðH Kh i A-2002) Trang 17
Gv: Nguy n T t Thu Bài t p Gi i Tích 12 x2 x2 11) y = 4 − , y= (ðH Kh i B-2002) 4 42 5 12) ( P) : y = 4 x − x 2 và các ti p tuy n ñ qua A( ;6) c a (P) 2 Ví d 2: Cho ( P) : y = x . G i A,B là hai ñi m di ñ ng trên (P) sao cho AB=2. Tìm A,B 2 sao cho di n tích c a ph n gi i h n b i (P) và cát tuy n AB l n nh t? Ví d 3: Xét hình ph ng (H) b ch n phía dư i b i Parabol (P): y=x2 và phía trên b i ñương th ng ñi qua A(1;4) có h s góc k. Tìm k ñ (H) có di n tích l n nh t?. Ví d 4: Tính th tích c a kh i tròn xoay t o nên do ta quay hình (H) quanh tr c Ox, v i (H) là hình gi i h n b i các ñư ng 1) y = x 2 − 2 x, y = 0 2) y = 4 − x 2 , y = 2 + x 2 π 3) y = x cos x + sin 2 x , y = 0, x = 0, x = 2 4) y = xe x , y = 0, x = 0, x = 1 5) y = x 2 − 4 x + 6, y = − x 2 − 2 x + 6 6) ( x − a ) 2 + y 2 = b2 (a > b) x2 y2 + =1 7) 2 2 a b Ví d 5: Tính th tích c a kh i tròn xoay t o nên do ta quay (H) quanh tr c Oy, v i (H) là hình gi i h n b i các ñư ng 1) y = x , y = 2 − x, y = 0 2) y = ( x − 2)2 , y = 4 3) ( x − 2)2 + y 2 = 1 4) y 2 = x, x = y 2 Trang 18