Các định lý và định đề về cơ học lượng tử - Lý Lê

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

255
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong những phần trước, chúng ta đã áp dụng cơ học lượng tử để khảo sát những hệ hóa học đơn giản như hạt chuyển động trong hộp, sự dao động và sự quay của phân tử hai nguyên tử , nguyên tử hydro và giố ng hydro. Trong phần này, chúng ta sẽ tóm tắt những định lí và định đề về cơ học lượng tử

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các định lý và định đề về cơ học lượng tử - Lý Lê

Các đ nh lí và đ nh đ c a cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 8 tháng 12 năm 2009 Tóm t t n i dung Trong nh ng ph n trư c, chúng ta đã áp d ng cơ h c lư ng t đ kh o sát nh ng h hóa h c h c đơn gi n như h t chuy n đ ng trong h p, s dao đ ng và s quay c a phân t hai nguyên t , nguyên t hydro và gi ng hydro. Trong ph n này, chúng ta s tóm t t nh ng đ nh lí và đ nh đ đã đư c đ c p trư c đó. Đây là cơ s đ phát tri n cơ h c lư ng t xa hơn nh m gi i quy t nh ng h hóa h c ph c t p thư ng g p trong th c t . 1 Kí hi u bra − ket Tích vô hư ng c a hai hàm s ϕm (x) và ϕn (x) đư c xác đ nh như sau +∞ ϕ∗ (x)ϕn (x)dx m (1) −∞ Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (x, y, z), tích vô hư ng c a hai hàm ϕm (x, y, z) và ϕn (x, y, z) là +∞ ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz m (2) −∞ Đ i v i nh ng hàm c a các t a đ (r, θ, ϕ), tích vô hư ng c a hai hàm ϕm (r, θ, ϕ) và ϕn (r, θ, ϕ) là 2π π +∞ ϕ∗ (r, θ, ϕ)ϕn (r, θ, ϕ)r2 sin θdrdθdϕ m (3) 0 0 −∞ M t cách t ng quát, chúng ta s d ng dτ đ ch tích phân toàn ph n c a t t c nh ng t a đ trong h đang xét và vi t tích vô hư ng c a hai hàm ϕm , ϕn dư i d ng ϕ∗ ϕn dτ m (4) 1
Đơn gi n hơn, ta s d ng các kí hi u ket và bra cho các tích phân. Theo đó, tích phân hàm ψi đư c g i là ket và kí hi u như sau ψi dτ = ψi = i (5) ∗ Tích phân c a hàm liên h p ph c ψj đư c g i là bra ∗ ψj dτ = ψj = j (6) Ví d : ∗ ψj (x)ψi (x)dx = ψj ψi = j i ϕ∗ (x, y, z)ϕn (x, y, z)dxdydz = m ϕm ϕn = m n Chúng ta có ∗ ϕ∗ ϕn dτ m = (ϕ∗ )∗ (ϕn )∗ dτ = m ϕ∗ ϕm dτ n (7) Do đó ∗ ∗ ϕm ϕn = ϕn ϕm hay mn = nm (8) Đ t bi t ∗ ∗ ϕm ϕm = ϕm ϕm hay mm = mm (9) ∗ Vì tích phân ϕm ϕm = ϕm ϕm nên tích vô hư ng ϕm ϕm là m t k t qu th c. Tương t , ta có ϕm cϕn = c ϕn ϕm ; cϕm ϕn = c∗ ϕn ϕm (10) V i c là h ng s b t kì. Trong kí hi u bra - ket ψm ψn hàm đư c vi t trư c là hàm liên h p ph c c a ψm . N u các đ c hàm ψi c a toán t A tuân theo phương trình ψi ψj = 0 v i m i giá tr i = j (11) thì ta nói các hàm ψi là m t b tr c giao (orthogonal). Hơn n a, n u tích vô hư ng c a ψi v i chính nó b ng đơn v thì ψi đư c g i là đã chu n hóa. 2
M t b nh ng hàm v a tr c giao v i nhau v a chu n hóa đư c g i là b hàm tr c chu n (orthonormal) ψi ψj = δij (12) v i δij đư c g i là Kronecker delta; nó b ng 1 khi i = j và b ng zero khi i = j. 0 n ui=j δij = (13) 1 n ui=j Khi gi i quy t nh ng bài toán liên quan đ n h nhi u electron, ta thư ng g p nh ng tích phân c a m t toán t n m gi a hai hàm fm và fn như sau ∗ fm Afn dτ (14) Có r t nhi u kí hi u đư c dùng đ ch tích phân ki u sandwich như trên. Sau đây là m t s ví d ∗ fm Afn dτ = fm A fn = m A n = Amn (15) Tích phân này còn đư c g i là ph n t ma tr n c a toán t A. 2 Toán t Hermitian 2.1 Đ nh nghĩa Toán t tuy n tính A đư c g i là toán t Hermitian n u có tính ch t sau ∗ fm Afn dτ = fn (Afm )∗ dτ (16) Trong đó fm và fn là nh ng hàm hoàn h o tùy ý. Lưu ý, phương trình trên không có nghĩa là fm Afn = fn (Afm )∗ ∗ S d ng kí hi u ket và bra, ta vi t l i (16) như sau ∗ fm A fn = fn A fm = Afm fn (17) hay ∗ mAn = nAm = Am n (18) d Ví d : Xét hai toán t đ o hàm b c nh t và toán t đ o hàm b c dx d2 hai , v i hai hàm f (x) và g(x) là nh ng hàm th c, xác đ nh trong kho ng dx2 0 ≤ x ≤ 1 và th a mãn đi u ki n biên là f (0) = f (1) = 0. 3
Vì f (x) là hàm th c nên f ∗ (x) = f (x), ta có 1 1 d f ∗ (x) g(x)dx = f (x)g (x)dx 0 dx 0 Áp d ng công th c tính tích phân t ng ph n, đ t u = f (x) dv = g (x)dx Ta có du = f (x)dx v = g(x) Do đó 1 1 1 f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − g(x)f (x)dx 0 0 0 1 = − g(x)f (x)dx 0 1 d = − g ∗ (x) f (x)dx 0 dx Ta th y 1 1 d d f ∗ (x) g(x)dx = − g ∗ (x) f (x)dx (19) 0 dx 0 dx d Như v y, toán t không ph i toán t Hermitian, mà là anti-Hermitian. dx Ti p theo, chúng ta xét 1 1 d2 f ∗ (x) g(x)dx = f (x)g (x)dx 0 dx2 0 Đ t u = f (x) dv = g (x)dx Ta có du = f (x)dx v = g (x) Do đó 1 1 1 f (x)g (x)dx = f (x)g (x) − f (x)g (x)dx 0 0 0 1 = − f (x)g (x)dx 0 Đ t f (x) = h(x) và áp d ng k t qu t (19) 1 1 f (x)g (x)dx = − g(x)f (x)dx 0 0 4
Ta có 1 1 1 f (x)g (x)dx = h(x)g (x)dx = − g(x)h (x)dx 0 0 0 v i h (x) = f (x), nên 1 1 1 f (x)g (x)dx = − g(x)h (x)dx = − g(x)f (x)dx 0 0 0 Do đó 1 1 1 f (x)g (x)dx = − f (x)g (x)dx = g(x)f (x)dx 0 0 0 hay 1 1 d2 d2 f ∗ (x) g(x)dx = g ∗ (x) f (x)dx 0 dx2 0 dx2 d2 Như v y, trong đi u ki n đã xét thì là toán t Hermitian. dx2 2.2 Tính Hermitian c a các toán t trong cơ h c lư ng t N u A là toán t tuy n tính mô t thu c tính v t lí A. Giá tr trung bình thu đư c khi th c hi n phép đo A đư c tính như sau A = Ψ∗ AΨdτ (20) v i Ψ là hàm tr ng thái c a h . Giá tr trung bình c a m t thu c tính v t lí ph i là m t s th c; do đó, ta có ∗ A = A (21) hay ∗ Ψ∗ AΨdτ = Ψ∗ AΨdτ = Ψ(AΨ)∗ dτ (22) Phương trình trên có th bi u di n b ng kí hi u ket - bra ∗ ΨAΨ = ΨAΨ (23) Như v y, n u A là toán t tuy n tính mô t thu c tính v t lí thì nó là toán t Hermitian. d Ví d : Chúng ta ch ng minh toán t px = −i là toán t Hermitian; dx nghĩa là ch ng minh ∞ ∞ ∗ ∗ ψi (x)px ψj (x)dx = ψj (x) px ψi (x) dx (24) −∞ −∞ 5
Ta có ∞ ∞ ∗ ∗ d ψi (x)px ψj (x)dx = ψi (x) − i ψj (x) dx −∞ −∞ dx ∞ ∗ = ψi (x)(−i )ψj (x)dx −∞ Đ t ∗ u = ψi (x) dv = −i ψj (x)dx Ta có ∗ du = (ψi (x)) dx; v = −i ψj (x) ∞ ∞ ∗ ∗ ψi (x)(−i )ψj (x)dx = ψi (x)(−i )ψj (x) −∞ −∞ ∞ ∗ − (−i )ψj (x)(ψi (x)) dx −∞ ∞ ∗ = 0+ ψj (x)(i )(ψi (x)) dx −∞ ∞ ∗ dψi (x) = ψj (x) − i dx −∞ dx ∞ ∗ = ψj (x) px ψi (x) dx −∞ Vì ψ(x) là nh ng hàm mô t tr ng thái c a h nên chúng b tri t tiêu khi x = ±∞, do đó ta có ∞ ∗ ψi (x)(−i )ψj (x) =0 −∞ Như v y, ta có ∞ ∞ ∗ ∗ ψi (x)px ψj (x)dx = ψj (x) px ψi (x) dx −∞ −∞ Đây chính là đi u c n ch ng minh. 3 Các đ nh lí v toán t Hermitian 3.1 Đ nh lí 1 Vì phép đo m t thu c tính v t lí A đư c mô t b i toán t Hermitian A ph i cho k t qu dương nên đ c tr c a toán t Hermitian ph i là s th c. Th t v y, chúng ta xét phương trình đ c tr Aψi = αi ψi 6
Trong đó A là toán t Hermitian; ψi là đ c hàm c a A v i αi là đ c tr ∗ tương ng. Nhân hai v phương trình v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ∗ ∗ ∗ ψi Aψi dτ = ψi αψi dτ = αi ψi ψi dτ = αi |ψi |2 dτ Vì A là toán t Hermitian nên ∗ ψi Aψi dτ = ψi (Aψi )∗ dτ = ψ(αi ψ)∗ dτ = αi ∗ ∗ ψi ψi dτ = α∗ |ψi |2 dτ Như v y ∗ ∗ ψi Aψi dτ = αi |ψi |2 dτ = αi |ψi |2 dτ Suy ra ∗ (αi − αi ) |ψi |2 dτ = 0 (25) ∗ ∗ Vì |ψi |2 dτ không th b ng zero t i m i đi m nên αi − αi = 0 hay αi = αi . Nghĩa là, đ c tr αi là s th c. Chúng ta cũng có th s d ng kí hi u ket - bra đ ch ng minh. Ta có ψi A ψi = ψi αi ψi = αi ψi ψi M t khác, ta có ∗ ψi ψi = ψi ψi = ψi ψi Do đó ∗ ∗ ψi A ψi = α∗ ψi ψi ∗ = αi ψi ψi Vì A là toán t Hermitian nên ∗ ψi A ψi = ψi A ψi ∗ αi ψi ψi = αi ψi ψi Suy ra ∗ αi = αi Phương trình đúng khi αi là s th c. Tóm l i, các đ c tr c a toán t Hermitian là s th c. 7
3.2 Đ nh lí 2 Chúng ta đã ch ng minh r ng n u ψi và ψj là hai hàm sóng mô t hai tr ng thái khác nhau c a h t trong h p thì chúng tr c giao v i nhau ψi ψj = 0 Sau đây ta ch ng minh m t đ nh lí t ng quát v s tr c giao đó là các đ c hàm không suy bi n (nondegenerate eigenfunctions) c a m t toán t Hermitian thì tr c giao v i nhau. G i ψ1 và ψ2 là nh ng đ c hàm c a toán t Hermitian A v i nh ng đ c tr α1 và α2 khác nhau. Ta có Aψ1 = α1 ψ1 ; Aψ2 = α2 ψ2 (26) ∗ Nhân Aψ1 v i ψ2 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ψ2 A ψ1 = ψ2 α1 ψ1 = α1 ψ2 ψ1 (27) M t khác, vì A là toán t Hermitian nên ∗ ∗ ∗ ψ2 A ψ1 = ψ1 A ψ2 = α2 ψ1 ψ2 Do đ c tr α2 là s th c nên ∗ ∗ ψ2 A ψ1 = α2 ψ1 ψ2 = α2 ψ2 ψ1 (28) T (27) và (28), ta có α2 ψ1 ψ2 = α1 ψ1 ψ2 (α2 − α1 ) ψ2 ψ1 = 0 vì α1 và α2 khác nhau nên ψ2 ψ1 = 0 (29) Đây chính là đi u chúng ta c n ch ng minh. Trong trư ng h p đ c tr suy bi n, nghĩa là α2 = α1 , và do đó (α2 − α1 ) ψ2 ψ1 b ng zero dù ψ1 và ψ2 không tr c giao v i nhau. Tuy nhiên, ta v n có th xây d ng đư c ít nh t m t đ c hàm m i t ψ1 và ψ2 v i cùng đ c tr và 8
tr c giao v i ψ1 và ψ2 . Th t v y, g i ψ1 và ψ2 là nh ng đ c hàm đ c l p c a toán t Hermitian A v i cùng đ c tr α Aψ1 = αψ1 ; Aψ2 = αψ2 Chúng ta s t h p tuy n tính ψ1 và ψ2 thành hàm φ2 có d ng φ2 = ψ2 + cψ1 (30) Ta th y φ2 cũng là m t đ c hàm c a A v i đ c tr α Aφ2 = A(ψ2 + cψ1 ) = Aψ2 + cAψ1 = α(ψ2 + cψ1 ) = αφ2 Đ φ2 tr c giao v i ψ1 thì h ng s c ph i đư c ch n sao cho ∗ ψ1 φ2 dτ = 0 ∗ ∗ ∗ ψ1 (ψ2 + cψ1 )dτ = ψ1 ψ2 + c ψ1 ψ1 = 0 ∗ ψ1 ψ2 ψ1 ψ2 ⇒c=− ∗ =− = − ψ1 ψ2 (31) ψ1 ψ1 ψ1 ψ1 Phương pháp này còn đư c g i là phép chu n hóa tr c giao Schmidt (Schmidt orthogonalization procedure) và có th đư c m r ng đ xây d ng các đ c hàm đ c l p tuy n tính tr c giao v i nhau khi đ c tr suy bi n b c n. 4 Đ c hàm đ ng th i 4.1 Đ nh lí 3 N u hàm tr ng thái ψ là m t đ c hàm đ ng th i c a hai toán t A và B v i các đ c tr là α và β thì phép đo thu c tính v t lí A cho k t qu là α và phép đo thu c tính v t lí B cho k t qu là β. Như v y, hai tính ch t A và B đ u có nh ng giá tr xác đ nh khi ψ là m t đ c hàm đ ng th i c a A và B. Khi hai toán t tuy n tính có chung m t b đ c hàm thì chúng s giao hoán v i nhau. Sau đây, chúng ta ch ng minh đ nh lí này. G i ψ1 , ψ2 , . . . , ψn là các đ c hàm chung c a hai toán t A và B Aψi = αi ψi Bψi = βi ψi v i i = 1, 2, . . . , n. Ta c n ph i ch ng minh [A, B] = 0 hay (AB − B A)f = 0 (32) trong đó, f là m t hàm tùy ý có cùng đi u ki n biên v i ψi . 9
Chúng ta b t đ u b ng cách khai tri n f theo ψi như sau f = a1 ψ1 + a2 ψ2 + · · · = ai ψi (33) i Ta có (B A − AB)f = (B A − AB) ai ψi i Vì A và B đ u là nh ng toán t tuy n tính nên (B A − AB) ai ψi = ai (B A − AB)ψi = ai (B Aψi − ABψi ) i i i = ai (Bαi ψi − Aβi ψi ) = ai (αi Bψi − βi Aψi ) i i = ai (αi βi ψi − βi αi ψi ) i = 0 T đó, ta có [A, B]f = (B A − AB) ai ψi = 0 (34) i Đây là đi u ta c n ch ng minh. Như v y, A và B s giao hoán v i nhau n u chúng có chung m t b các đ c hàm hoàn ch nh. 4.2 Đ nh lí 4 Sau đây, chúng ta s ch ng minh đi u ngư c l i v i đ nh lí 3. Nghĩa là, n u hai toán t Hermitian A và B giao hoán v i nhau, chúng ta có th xây d ng m t t p h p các đ c hàm hoàn ch nh chung cho chúng. G i ψi và αi là đ c hàm và đ c tr c a A Aψi = αi ψi T đó, ta có B Aψi = B(αi ψi ) Vì A và B giao hoán v i nhau và vì B là toán t tuy n tính nên A(Bψi ) = αi (Bψi ) (35) Đi u này có nghĩa hàm Bψi là m t đ c hàm c a A v i đ c tr αi . Đ n đây, có hai kh năng: các đ c tr αi c a A có th suy bi n ho c cũng có th không suy bi n. N u αi không suy bi n, nó là đ c tr c a m t hàm đ c l p ψi , nên hàm Bψi t l v i ψi Bψi = βi ψi 10
v i βi là đ c tr c a B. Như v y, rõ ràng ψi là đ c hàm chung c a hai toán t hoán v A và B. Trong trư ng h p các đ c tr αi suy bi n, chúng ta v n có th xây d ng đư c các đ c hàm m i c a B, đ ng th i chúng cũng là các đ c hàm c a A, b ng cách t h p tuy n tính các hàm ψi . Đ đơn gi n, chúng ta xét trư ng h p đ c tr αi suy bi n b c hai. G i ψi1 và ψi2 là hai đ c hàm đ c l p c a A v i đ c tr αi ; ψi là hàm t h p tuy n tính c a hai hàm này ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 (36) Chúng ta c n ph i xác đ nh các h s c1 và c2 sao cho Bψi = βi ψi nghĩa là c1 Bψi1 + c2 Bψi2 = βi (c1 ψi1 + c2 ψi2 ) (37) Nhân hai v phương trình trên v i ∗ ψi1 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ψi1 (c1 Bψi1 + c2 Bψi2 ) = ψi1 βi (c1 ψi1 + c2 ψi2 ) c1 ψi1 B ψi1 + c2 ψi1 B ψi2 = βi c1 ψi1 ψi1 + βi c2 ψi1 ψi2 (38) Vì ψi1 và ψi2 chu n hóa và tr c giao v i nhau nên (38) tr thành c1 (B11 − βi ) + c2 B12 = 0 (39) v i B11 = ψi1 B ψi1 B12 = ψi1 B ψi2 ∗ Tương t , nhân hai v phương trình (37) v i ψi2 r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c c1 B21 + c2 (B22 − βi ) = 0 (40) v i B21 = ψi2 B ψi1 B22 = ψi2 B ψi2 T (39) và (40), ta có h phương trình c1 (B11 − βi ) + c2 B12 = 0 c1 B21 + c2 (B22 − βi ) = 0 H phương trình trên có nghi m không t m thư ng (non-trivial) khi đ nh th c sau b tri t tiêu (B11 − βi ) B12 =0 B21 (B22 − βi ) 11
Khai tri n đ nh th c trên ta đư c phương trình b c hai sau 2 βi − (B11 + B22 )βi + B11 B22 − B12 B21 = 0 (1) (2) Phương trình b c hai này có hai nghi m βi và βi nên tương ng s có (1) (1) (2) (2) (1) (2) hai b c1 , c2 và c1 , c2 . Vì v y, có hai hàm riêng bi t ψi và ψi (1) (1) (1) ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 (2) (2) (2) ψi = c1 ψi1 + c2 ψi2 đ u th a mãn phương trình (1) (1) (1) Bψi = βi ψi (2) (2) (2) Bψi = βi ψi Do đó, chúng là nh ng đ c hàm đ ng th i c a các toán t hoán v A và B. Như v y, khi A và B giao hoán v i nhau, chúng ta s xây d ng đư c các đ c hàm chung cho chúng. 4.3 Đ nh lí 5 Đ nh lí này còn đư c g i là đ nh lí tr c giao m r ng, đư c phát bi u như sau N u ψi và ψj là các đ c hàm c a toán t Hermitian A v i các đ c tr khác nhau, nghĩa là Aψi = αi ψi Aψj = αj ψj (αi = αj ) và n u B là toán t tuy n tính giao hoán v i A thì ta có ψi B ψj = 0 (41) Sau đây, chúng ta s ch ng minh đ nh lí này. Ta có [A, B] = 0 hay ABψj = B Aψj = Bαj ψj = αj Bψj (42) ∗ Nhân αj Bψj v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c αj ψi B ψj = αj ψi Bψj (43) Vì A và B giao hoán v i nhau nên chúng s có chung nh ng đ c hàm, theo đ nh lí 4. Do đó, n u ψj là đ c hàm c a A thì nó cũng s là đ c hàm c a B. G i βj là đ c tr c a B, ta có Bψj = βj ψj (44) 12
T (43) và (44) ta đư c αj ψi B ψj = αj ψi βj ψj = αj βj ψi ψj = 0 (45) vì các đ c hàm ψi và ψj là nh ng đ c hàm c a toán t Hermtian v i các đ c tr khác nhau nên tr c giao v i nhau, theo đ nh lí 2. 5 Phép đo và nh ng tr ng thái ch ng ch t G i ψ là hàm sóng mô t tr ng thái c a h , A là toán t mô t thu c tính v t lí A. N u ψ là đ c hàm c a A v i đ c tr k Aψ = kψ thì đi u này có nghĩa là khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A, ta luôn thu đư c k t qu là k. Ví d , hàm sóng c a h t trong h p m t chi u như sau 2 nπx ψ(x) = sin( ) l l 2 d2 T =− là toán t mô t đ ng năng c a h t. Ta có 2m dx2 2 d2 2 nπx Tψ = − sin( ) 2m dx2 l l n 2π2 2 2 nπx = sin( ) 2ml2 l l n2 π 2 2 = ψ 2ml2 Như v y, khi ta đo đ ng năng c a h t trong h p m t chi u trong đi u ki n như trên thì k t qu thu đư c n2 π 2 2 n 2 h2 T = = 2ml2 8ml2 Cũng có trư ng h p ψ không ph i là đ c hàm c a A Aψ = constant · ψ d 2 nπx Ví d , ta xét px = −i và ψ(x) = sin( ) dx l l d 2 nπx nπ 2 nπx −i sin( ) = −i cos( ) dx l l l l l 13
Ta th y px ψ = constant · ψ Như v y, ψ(x) không ph i là đ c hàm c a toán t đ ng lư ng px . Do đó, khi th c hi n m i phép đo px , ta s thu đư c m t giá tr ng u nhiên. Tuy ψ(x) không ph i là đ c hàm c a px nhưng nó v n có th đư c t o nên b ng cách t h p tuy n tính nh ng đ c hàm c a px (xem l i bài toán h t trong h p m t chi u) √ iαx −iαx 2mE ψ1 (x) = c1 e và ψ2 (x) = c2 e (α = ) T đó, ta có nh n xét r ng cho dù hàm tr ng thái ψ không ph i là đ c hàm c a toán t A mô t thu c tính v t lí A ta v n có th bi u di n ψ dư i d ng t h p tuy n tính các đ c hàm c th c a A và đư c g i là tr ng thái ch ng ch t. ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · = ci ψi (46) i trong đó ci là các h s khai tri n; ψi là nh ng đ c hàm c a A Aψi = αi ψi (47) Ta có đi u ki n chu n hóa ψ ψ =1 Th (46) vào đi u ki n chu n hóa, ta đư c ci ψi ci ψi = 1 (48) i i Thay bi n s gi i = j, ta đư c ci ψi ci ψi = ci ψi cj ψj i i i j = c∗ cj ψi ψj = 1 i i j Chúng ta ph i s d ng bi n s gi khác nhau vì ci ψi cj ψj = ci cj ψi ψj i j i j N u ta s d ng bi n s gi gi ng nhau thì ci ψi ci ψi = ci ci ψi ψi i i i i 14
Th t v y, đ đơn gi n, chúng ta xét 2 2 ai bi = (a1 + a2 )(b1 + b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 i=1 i=1 2 2 2 ai bi = (a1 b1 + a2 b2 ) = 2(a1 b1 + a2 b2 ) i=1 i=1 i=1 2 2 2 ai bj = (ai b1 + ai b2 ) = a1 b1 + a1 b2 + a2 b1 + a2 b2 i=1 j=1 i=1 Như v y, ta có ci ψi ci ψi = c∗ cj ψi ψj = 1 i (49) i i i j A là toán t Hermitian, vì nó mô t thu c tính v t lí c a h , nên các đ c hàm c a nó chu n hóa và tr c giao v i nhau; nghĩa là ψi ψj = 0 khi i = j = 1 khi i = j Do đó c∗ cj ψi ψj = i c∗ cj δij i i j i j Ta có c∗ cj δij i = c∗ c1 δi1 + c∗ c2 δi2 + c∗ c3 δi3 + · · · + c∗ ci δii + · · · i i i i i j i = c∗ c1 × 0 + c∗ c2 × 0 + · · · + c∗ ci × 1 + · · · i i i i vì δij = 0 khi i = j và δij = 1 khi i = j. Do đó c∗ cj δij = i |ci |2 (50) i j i Như v y, đ ψ chu n hóa, các h s khai tri n ci ph i đư c ch n sao cho |ci |2 = 1 (51) i Giá tr trung bình c a phép đo m t thu c tính v t lí A đư c mô t b i toán t A đư c tính b i A = ψAψ 15
v i ψ= ci ψi i nên A = c∗ cj ψi A ψj i (52) i j Thay Aψj = αj ψj , ta đư c A = c∗ cj αj ψi ψj i (53) i j Áp d ng đi u ki n hàm tr c chu n và thay bi n s gi j = i, ta đư c A = |ci |2 αi (54) i M t khác, ta có bi u th c tính giá tr trung bình theo xác su t như sau A = Pi αi (55) i trong đó αi là các giá tr ng u nhiên thu đư c khi th c hi n phép đo thu c tính A; khi s l n đo đ l n thì Pi là xác su t đ A nh n giá tr αi . So sánh hai phương trình trên ta th y |ci |2 chính là xác su t đ A nh n giá tr αi khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A đư c mô t b i A. Như v y, ta có th xem tr ng thái ψ= ci ψi i là m t tr ng thái ch ng ch t c a các tr ng thái ψi c a toán t A. M i tr ng thái ψi tương ng v i m t đ c tr αi cho thu c tính A đư c mô t b i A. M c đ đóng góp c a m i tr ng thái ψi trong tr ng thái ch ng ch t ψ đư c xác đ nh b i |ci |2 . Nó cũng chính là xác su t đ A nh n giá tr αi khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A đư c mô t b i A. Đ xác đ nh các giá tr |ci |2 , t đó tính các h s khai tri n ci , chúng ta ∗ nhân (46) v i ψj r i l y tích phân, ta đư c ψj ψ = ψj ci ψi = ci δij = ci i i Suy ra ci = ψi ψ (56) Xác su t đ thu c tính A đư c mô t b i A nh n giá tr αi là 2 Pi = |ci |2 = ψi ψ (57) 16
Như v y, n u bi t tr ng thái c a m t h , đư c mô t b i hàm sóng ψ, chúng ta có th d đoán đư c xác su t khi th c hi n phép đo thu c tính v t lí A, d a vào (57). 6 Các đ nh đ c a cơ h c lư ng t Sau đây, chúng ta s tóm t t l i nh ng đ nh đ mà chúng ta đã kh o sát. 6.1 Đ nh đ 1 Tr ng thái c a m t h đư c mô t b i m t hàm Ψ c a các t a đ và th i gian. Hàm này, đư c g i là hàm tr ng thái hay hàm sóng, ch a đ ng m i thông tin c n bi t c a h . Nó là hàm đơn tr , liên t c và kh tích bình phương. Bình phương hàm sóng 2 Ψ = Ψ∗ Ψ đư c g i là m t đ xác su t tìm th y h t trong không gian. Vì xác su t tìm th y h t trong toàn b không gian nên ta có yêu c u hàm sóng chu n hóa ΨΨ =1 6.2 Đ nh đ 2 M i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Các toán t này có hai tính ch t đ c trưng quan tr ng là tuy n tính và Hermitian A(αi ψi + αj ψj ) = αi Aψi + αj Aψj ∗ ψi A ψj = ψj A ψi = Aψi ψj 6.3 Đ nh đ 3 Giá tr đư c phép αi c a m t thu c tính v t lí A đư c đ c trưng b i toán t A là các đ c tr c a phương trình Aψi = αi ψi ∗ Nhân hai v phương trình trên v i ψi r i l y tích phân toàn ph n, ta đư c ψi A ψi = αi ψi ψi T đó, ta có ψi A ψi αi = ψi ψi 17
N u ψi là hàm tr ng thái c a h thì ψi ψi = 1. Do đó αi = ψi A ψi và n u ψi là đ c hàm c a A thì các phép đo thu c tính A luôn cho m t giá tr duy nh t. Ngư c l i, n u ψi không ph i là đ c hàm c a A thì m i phép đo thu c tính A luôn cho m t giá tr ng u nhiên. 6.4 Đ nh đ 4 Hàm sóng mô t tr ng thái c a m t h là nghi m c a phương trình Schr¨dinger o HΨ = EΨ v i H là toán t Hamiltonian và E là năng lư ng c a h . M t h t trong tr ng thái không ph thu c th i gian trong không gian m t chi u đư c mô t b i hàm sóng ψ(x) là nghi m c a phương trình vi phân sau 2 d2 ψ(x) − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 Nh ng áp d ng c a cơ h c lư ng t vào hóa h c ch y u s d ng phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian. o 18
Bài t p d 1. Ch ng minh A = −i và B = A2 là nh ng toán t Hermitian. dx 2. Tr ng thái c a m t h đư c mô t b i 2 /2 ψ(x) = αxe−x v i α là h ng s chu n hóa. Ch ng minh +∞ +∞ 2 ψ(x)ψ (x)dx = ψ (x) dx −∞ −∞ 3. Cho ψi và ψj là hai đ c hàm c a toán t Hermitian A v i đ c tr αi và αj khác nhau; nghĩa là Aψi = αi ψi ; Aψj = αi ψj v i αi = αj Gi s B là m t toán t tuy n tính giao hoán v i A. Ch ng minh ψj B ψi = 0 4. Tr ng thái ψ1 đư c mô t b i √ i 3 ψ1 = c1 dz 2 + d 2 2 2 x −y Cho bi t dz 2 và dx2 −y2 chu n hóa và tr c giao v i nhau. Xác đ nh h s khai tri n c1 đ ψ1 chu n hóa. So sánh năng lư ng c a tr ng thái trên v i tr ng thái ψ2 đư c mô t b i √ i 3 ψ2 = c1 dz 2 − d 2 2 2 x −y 5. Hai tr ng thái suy bi n ψ1 và ψ2 đư c xác đ nh như sau 1 ψ1 = √ (2f1 − f2 − f3 ) 6 1 ψ2 = √ (2f2 − f1 − f3 ) 6 Trong đó f1 , f2 , f3 là nh ng hàm chu n hóa và tr c giao v i nhau. a. Ch ng t r ng ψ1 và ψ2 chu n hóa nhưng không tr c giao v i nhau. b. Áp d ng phương pháp tr c chu n Schmidt, xây d ng hàm tr ng thái ψ3 chu n hóa và tr c giao v i ψ1 . 19