CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên
q và r duy nhất sao cho:
a = bq + r Với 0 r b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra b số dư
r {0; 1; 2; …; b}
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a.
Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy: a b Có số nguyên q sao cho a = bq
II. CÁC TÍNH CHẤT
1. Với a 0 a a
2. Nếu a b và b c a c
3. Với a 0 0 a
4. Nếu a, b > 0 và a b ; b a a = b
5. Nếu a b và c bất kỳ ac b
6. Nếu a b (a) (b)
7. Với a a (1)
8. Nếu a b và c b a c b
9. Nếu a b và cb a c b
10. Nếu a + b c và a c b c
11. Nếu a b và n > 0 an bn
12. Nếu ac b và (a, b) =1 c b
13. Nếu a b, c b và m, n bất kỳ am + cn b
14. Nếu a b và c d ac bd
15. Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N =
n n 1 1 0
a a ...a a
1. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2
chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn.
N 2 a0 2 a0{0; 2; 4; 6; 8}
2. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5
chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5.
N 5 a0 5 a0{0; 5}
3. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25)
số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia
hết cho 4 hoặc 25.
N 4 (hoặc 25) 01 aa 4 (hoặc 25)
4. Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125)
số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó
chia hết cho 8 hoặc 125.
N 8 (hoặc 125) 01aaa2 8 (hoặc 125)
5. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9)
tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
(hoặc 9).
N 3 (hoặc 9) a0+a1+…+an 3 (hoặc 9)
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu.
6. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11
hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các
chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho
N 11 [(a0+a1+…) - (a1+a3+…)] 11
7. Một số dấu hiệu khác:
N 101 [( 01 aa +45 aa +…) - ( 23 aa +67 aa +…)]101
N 7 (hoặc 13) [( 01 aaa 2 + 67 aaa 8+…) - [( 34 aaa 5 +
910 aaa 11 +…) 11 (hoặc 13)
N 37 ( 01 aaa 2 + 34 aaa 5+…) 37
N 19 ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0) 19
IV. ĐỒNG DƯ THỨC
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cho
cùng số dư khi chia cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m.
Ký hiệu: a b (modun)
Vậy: a b (modun) a - b m
b. Các tính chất
1. Với a a a (modun)
2. Nếu a b (modun) b a (modun)
3. Nếu a b (modun), b c (modun) a c (modun)
4. Nếu a b (modun) và c d (modun) a+c b+d (modun)
5. Nếu a b (modun) và c d (modun) ac bd (modun)
6. Nếu a b (modun), d Uc (a, b) và (d, m) =1
d
b
d
a(modun)
7. Nếu a b (modun), d > 0 và d Uc (a, b, m)
d
b
d
a(modun
d
m)
V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
1. Định lý Euler
Nếu m là 1 số nguyên dương
(m) là số các số nguyên dương nhỏ hơn
m và nguyên tố cùng nhau với m, (a, m) = 1 Thì a
(m)
1 (modun)
Công thức tính (m)