Các toán tử trong cơ học lượng tử
Lý Lê
Ngày 20 tháng 7 năm 2009
Tóm tắt nội dung
Hóa học lượng tử được phát triển từ cơ học lượng tử. Trong cơ
học lượng tử, có thể nói, nhìn chổ nào chúng ta cũng thấy toán tử vì
mỗi thuộc tính vật lí được đặc trưng bởi một toán tử. Vì vậy, hiểu rõ
khái niệm toán tử cũng như những tính chất của toán tử là một trong
những yêu cầu cơ bản nhất đối người học lượng tử.
1 Các khái niệm
1.1 Toán tử
Chúng ta bắt đầu bằng việc viết lại phương trình Schr¨odinger không phụ
thuộc thời gian cho hệ một hạt trong không gian một chiều
−~2
2m
d2ψ(x)
dx2+V(x)ψ(x) = Eψ(x)(1)
hay h−~2
2m
d2
dx2+V(x)iψ(x) = Eψ(x)(2)
Biểu thức trong dấu móc vuông h−~2
2m
d2
dx2+V(x)iđược gọi là toán tử
(operator). Nó tác dụng lên hàm ψ(x)cho ta hàm Eψ(x).
Như vậy, toán tử là một qui luật mà nhờ đó từ một hàm số cho trước ta
có thể tìm được một hàm số mới.
b
Af(x) = g(x)(3)
Trong đó, b
Ađược gọi là toán tử. Hai hàm số f(x)và g(x)không nhất thiết
phải khác nhau, chúng có thể giống nhau.
Ví dụ: Gọi b
Dlà toán tử đạo hàm bậc nhất theo x
b
D=d
dx hay b
Df(x) = d
dxf(x) = f′(x)
1
Nếu f(x) = x2+ 3ex, thì ta có
b
Df(x) = f′(x) = 2x+ 3ex
Tương tự, nếu b
3là toán tử nhân một hàm số với 3, thì ta có
b
3f(x) = 3(x2+ 3ex) = 3x2+ 9ex
1.2 Tổng của hai toán tử
Tổng của hai toán tử b
Avà b
Bđược xác định như sau
(b
A+b
B)f(x) = b
Af(x) + b
Bf(x)(4)
Ví dụ: Toán tử b
Cđược xác định bởi
b
C=x+d
dx
Tìm b
Cf(x)nếu f(x) = asin(bx).
Ta có
(x+d
dx)asin(bx) = xa sin(bx) + d
dx[asin(bx)] = ax sin(bx) + ab cos(bx)
1.3 Tích của hai toán tử
Tích của hai toán tử b
Avà b
Bđược xác định như sau
b
Ab
Bf(x) = b
A[b
Bf(x)] (5)
Ví dụ: Cho b
C=xd
dx. Tìm b
Cf(x)nếu f(x) = (x2+ 3ex).
Ta có
xd
dx(x2+ 3ex) = x[d
dx(x2+ 3ex)] = x(2x+ 3ex) = 2x2+ 3xex(6)
Thông thường, b
Ab
B6=b
Bb
A. Ví dụ, xét hai toán tử b
D=d
dx và bx=x. Ta
có b
Dbxf(x) = b
D[xf(x)] = f(x) + xf′(x)(7)
Trong khi đó
bxb
Df(x) = bx[b
Df(x)] = xf′(x)(8)
Chúng ta nói hai toán tử bằng nhau, b
A=b
B, nếu b
Af(x) = b
Bf(x)với
mọi hàm f(x). Ví dụ, từ phương trình (7), ta có
b
Dbxf(x) = f(x) + xd
dxf(x) = (b
1 + bxb
D)f(x)(9)
Như vậy b
Dbx= (b
1 + bxb
D) = (1 + bxb
D)(10)
Toán tử b
1(nhân với 1) được gọi là toán tử đơn vị. Chúng ta thường không
ghi dấu mũ lên các toán tử là hằng số.
2
1.4 Toán tử tuyến tính
Toán tử b
Ađược gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thỏa các điều kiện sau
b
A[f(x) + g(x)] = b
Af(x) + b
Ag(x)(11)
b
Acf(x) = cb
Af(x)(12)
trong đó fvà glà những hàm bất kì, còn clà hằng số. Ví dụ, toán tử đạo
hàm là toán tử tuyến tính nhưng toán tử căn bậc hai thì không tuyến tính.
Thật vậy, ta có
b
D[f(x) + g(x)] = b
Df(x) + b
Df(x) = f′(x) + g′(x)
b
D[cf(x)] = cb
Df(x) = cf′(x)
Trong khi đó pf(x) + g(x)6=pf(x) + pg(x)
Nếu b
A, b
Bvà b
Clà những toán tử tuyến tính, thì
(b
A+b
B)b
C=b
Ab
C+b
Bb
C(13)
Để chứng minh (13), ta phải chứng minh (b
A+b
B)b
Cvà b
Ab
C+b
Bb
Ccho
cùng một kết quả khi được áp dụng lên một hàm f(x)tùy ý. Nghĩa là
[( b
A+b
B)b
C]f(x) = ( b
Ab
C+b
Bb
C)f(x)
Ta xét vế phải
[( b
A+b
B)b
C]f(x) = ( b
A+b
B)( b
Cf(x)) = ( b
A+b
B)g(x) = b
Ag(x) + b
Bg(x)
Tiếp theo, ta xét vế trái
(b
Ab
C+b
Bb
C)f(x) = b
Ab
Cf(x)+ b
Bb
Cf(x) = b
A(b
Cf(x))+ b
B(b
Cf(x)) = b
Ag(x)+ b
Bg(x)
Như vậy
[( b
A+b
B)b
C]f(x) = ( b
Ab
C+b
Bb
C)f(x) = b
Ag(x) + b
Bg(x)
Tương tự, ta có b
A(b
B+b
C) = b
Ab
B+b
Ab
C(14)
Ví dụ: Tính (b
D+bx)2
Cách 1
(b
D+bx)2= ( b
D+bx)( b
D+bx)
=b
D(b
D+bx) + bx(b
D+bx)
=b
Db
D+b
Dbx+bxb
D+bxbx
=b
D2+bxb
D+ 1 + bxb
D+x2
=b
D2+ 2xb
D+x2+ 1
3
Cách 2
(b
D+bx)2f= ( b
D+bx)[( b
D+bx)f= ( b
D+bx)(f′+xf)
=b
D(f′+xf) + bx(f′+xf) = b
Df′+b
D(xf) + xf′+x2f
=b
D2f+xb
Df +fb
Dx +xf′+x2f
=b
D2f+xb
Df +f+xb
Df +x2f
= ( b
D2+ 2bxb
D+x2+ 1)f
⇒(b
D+bx)2=b
D2+ 2bxb
D+x2+ 1
2 Tính chất của toán tử
2.1 Phép nhân các toán tử
Phép nhân các toán tử tuân theo luật kết hợp
b
A(b
Bb
C) = ( b
Ab
B)b
C(15)
Ví dụ: Đặt b
A=b
D;b
B=bx;b
C=b
3, ta có
b
Ab
Bf =b
Dbxf = (1 + bxb
D)f
Vậy
(b
Ab
B)b
Cf = (1 + bxb
D)3f= 3f+ 3xf′= (3 + 3xb
D)f
suy ra
(b
Ab
B)b
C= 3 + 3xb
D
Mặt khác, ta có
(b
Bb
C)f= 3bxf = 3xf
Vậy b
A(b
Bb
C)f=b
D(3xf) = 3f+ 3xf′= (3 + 3xb
D)f
hay b
A(b
Bb
C) = 3 + 3xb
D= ( b
Ab
B)b
C
vậy phù hợp với (15).
2.2 Các toán tử giao hoán
Hai toán tử b
Avà b
Bđược gọi là giao hoán (commute) với nhau nếu
b
Ab
B=b
Bb
Ahay b
Ab
B−b
Bb
A= 0
Hiệu b
Ab
B−b
Bb
Ađược kí hiệu là [b
A, b
B]và được gọi là phép giao hoán
(commutator). Nếu b
Avà b
Bkhông giao hoán với nhau thì b
Ab
B=−b
Bb
A. Thật
vậy, ta có
[b
A, b
B] = b
Ab
B−b
Bb
A=−(b
Bb
A−b
Ab
B) = −[b
B, b
A](16)
4
Ví dụ 1: Tính [b
3,b
D]. Ta có
[b
3,b
D]f=b
3b
Df −b
Db
3f= 3 b
Df −3b
Df = 0
Như vậy, b
3và b
Dlà hai toán tử giao hoán.
Ví dụ 2: Tính [b
D, bx2];[bx2,b
D]
[b
D, bx2]f=b
Dbx2f−bx2b
Df = 2xf +x2b
Df −x2b
Df = 2xf
⇒[b
D, bx2] = 2x
[bx2,b
D]f=bx2b
Df −b
Dbx2f=x2b
Df −2xf −x2b
Df =−2xf
⇒[bx2,b
D] = −2x
Như vậy, bx2và b
Dkhông giao hoán với nhau. Ta thấy [b
D, bx2] = −[bx2,b
D],
phù hợp với (16).
Nếu b
A, b
Blà những toán tử tuyến tính và klà hằng số, ta có
[b
A, k b
B] = [kb
A, b
B] = k[b
A, b
B](17)
Thật vậy
[b
A, k b
B] = b
A(kb
B)−kb
Bb
A=kb
Ab
B−kb
Bb
A(18)
Do đó
[b
A, k b
B] = kb
Ab
B−kb
Bb
A=k(b
Ab
B−b
Bb
A) = k[b
A, b
B](19)
Tương tự
[kb
A, b
B] = kb
Ab
B−b
B(kb
A) = kb
Ab
B−kb
Bb
A=k(b
Ab
B−b
Bb
A) = k[b
A, b
B](20)
Từ (19) và (20), ta có
[b
A, k b
B] = [kb
A, b
B] = k[b
A, b
B](21)
2.3 Một số phép giao hoán quan trọng
2.3.1 Công thức 1:
[b
A, b
Bb
C] = [ b
A, b
B]b
C+b
B[b
A, b
C](22)
Chứng minh:
[b
A, b
B]b
C+b
B[b
A, b
C] = ( b
Ab
B−b
Bb
A)b
C+b
B(b
Ab
C−b
Cb
A)
=b
Ab
Bb
C−b
Bb
Ab
C+b
Bb
Ab
C−b
Bb
Cb
A
=b
Ab
Bb
C−b
Bb
Cb
A=b
A(b
Bb
C)−(b
Bb
C)b
A
= [ b
A, b
Bb
C]
5