Các toán tử trong hệ cơ học lượng tử - Lý Lê

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

318
lượt xem 132
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong cơ học lượng tử nhìn chỗ nào cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tình vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử. Vì vậy hiểu rỏ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với người học cơ học lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các toán tử trong hệ cơ học lượng tử - Lý Lê

Các toán t trong cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 20 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hóa h c lư ng t đư c phát tri n t cơ h c lư ng t . Trong cơ h c lư ng t , có th nói, nhìn ch nào chúng ta cũng th y toán t vì m i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Vì v y, hi u rõ khái ni m toán t cũng như nh ng tính ch t c a toán t là m t trong nh ng yêu c u cơ b n nh t đ i ngư i h c lư ng t . 1 Các khái ni m 1.1 Toán t Chúng ta b t đ u b ng vi c vi t l i phương trình Schr¨dinger không ph o thu c th i gian cho h m t h t trong không gian m t chi u d2 ψ(x) 2 − + V (x)ψ(x) = Eψ(x) (1) 2m dx2 hay d2 2 − + V (x) ψ(x) = Eψ(x) (2) 2m dx2 d2 2 Bi u th c trong d u móc vuông − + V (x) đư c g i là toán t 2m dx2 (operator). Nó tác d ng lên hàm ψ(x) cho ta hàm Eψ(x). Như v y, toán t là m t qui lu t mà nh đó t m t hàm s cho trư c ta có th tìm đư c m t hàm s m i. Af (x) = g(x) (3) Trong đó, A đư c g i là toán t . Hai hàm s f (x) và g(x) không nh t thi t ph i khác nhau, chúng có th gi ng nhau. Ví d : G i D là toán t đ o hàm b c nh t theo x d d D= hay Df (x) = f (x) = f (x) dx dx 1
N u f (x) = x2 + 3ex , thì ta có Df (x) = f (x) = 2x + 3ex Tương t , n u 3 là toán t nhân m t hàm s v i 3, thì ta có 3f (x) = 3(x2 + 3ex ) = 3x2 + 9ex 1.2 T ng c a hai toán t T ng c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau (A + B)f (x) = Af (x) + Bf (x) (4) Ví d : Toán t C đư c xác đ nh b i d C =x+ dx Tìm Cf (x) n u f (x) = a sin(bx). Ta có d d (x + )a sin(bx) = xa sin(bx) + [a sin(bx)] = ax sin(bx) + ab cos(bx) dx dx 1.3 Tích c a hai toán t Tích c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau ABf (x) = A[Bf (x)] (5) d Ví d : Cho C = x . Tìm Cf (x) n u f (x) = (x2 + 3ex ). dx Ta có d d x (x2 + 3ex ) = x[ (x2 + 3ex )] = x(2x + 3ex ) = 2x2 + 3xex (6) dx dx d Thông thư ng, AB = B A. Ví d , xét hai toán t D = và x = x. Ta dx có Dxf (x) = D[xf (x)] = f (x) + xf (x) (7) Trong khi đó xDf (x) = x[Df (x)] = xf (x) (8) Chúng ta nói hai toán t b ng nhau, A = B, n u Af (x) = Bf (x) v i m i hàm f (x). Ví d , t phương trình (7), ta có d Dxf (x) = f (x) + x f (x) = (1 + xD)f (x) (9) dx Như v y Dx = (1 + xD) = (1 + xD) (10) Toán t 1 (nhân v i 1) đư c g i là toán t đơn v . Chúng ta thư ng không ghi d u mũ lên các toán t là h ng s . 2
1.4 Toán t tuy n tính Toán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó th a các đi u ki n sau A[f (x) + g(x)] = Af (x) + Ag(x) (11) Acf (x) = cAf (x) (12) trong đó f và g là nh ng hàm b t kì, còn c là h ng s . Ví d , toán t đ o hàm là toán t tuy n tính nhưng toán t căn b c hai thì không tuy n tính. Th t v y, ta có D[f (x) + g(x)] = Df (x) + Df (x) = f (x) + g (x) D[cf (x)] = cDf (x) = cf (x) Trong khi đó f (x) + g(x) = f (x) + g(x) N u A, B và C là nh ng toán t tuy n tính, thì (A + B)C = AC + B C (13) Đ ch ng minh (13), ta ph i ch ng minh (A + B)C và AC + B C cho cùng m t k t qu khi đư c áp d ng lên m t hàm f (x) tùy ý. Nghĩa là [(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x) Ta xét v ph i [(A + B)C]f (x) = (A + B)(Cf (x)) = (A + B)g(x) = Ag(x) + Bg(x) Ti p theo, ta xét v trái (AC+B C)f (x) = ACf (x)+B Cf (x) = A(Cf (x))+B(Cf (x)) = Ag(x)+Bg(x) Như v y [(A + B)C]f (x) = (AC + B C)f (x) = Ag(x) + Bg(x) Tương t , ta có A(B + C) = AB + AC (14) Ví d : Tính (D + x)2 Cách 1 (D + x)2 = (D + x)(D + x) = D(D + x) + x(D + x) = DD + Dx + xD + xx = D 2 + xD + 1 + xD + x2 = D2 + 2xD + x2 + 1 3
Cách 2 (D + x)2 f = (D + x)[(D + x)f = (D + x)(f + xf ) = D(f + xf ) + x(f + xf ) = Df + D(xf ) + xf + x2 f = D2 f + xDf + f Dx + xf + x2 f = D2 f + xDf + f + xDf + x2 f = (D2 + 2xD + x2 + 1)f ⇒ (D + x)2 = D2 + 2xD + x2 + 1 2 Tính ch t c a toán t 2.1 Phép nhân các toán t Phép nhân các toán t tuân theo lu t k t h p A(B C) = (AB)C (15) Ví d : Đ t A = D; B = x; C = 3, ta có ABf = Dxf = (1 + xD)f Vy (AB)Cf = (1 + xD)3f = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f suy ra (AB)C = 3 + 3xD M t khác, ta có (B C)f = 3xf = 3xf Vy A(B C)f = D(3xf ) = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f hay A(B C) = 3 + 3xD = (AB)C v y phù h p v i (15). 2.2 Các toán t giao hoán Hai toán t A và B đư c g i là giao hoán (commute) v i nhau n u AB = B A hay AB − B A = 0 Hi u AB − B A đư c kí hi u là [A, B] và đư c g i là phép giao hoán (commutator ). N u A và B không giao hoán v i nhau thì AB = −B A. Th t v y, ta có [A, B] = AB − B A = −(B A − AB) = −[B, A] (16) 4
Ví d 1: Tính [3, D]. Ta có [3, D]f = 3Df − D3f = 3Df − 3Df = 0 Như v y, 3 và D là hai toán t giao hoán. Ví d 2: Tính [D, x2 ]; [x2 , D] [D, x2 ]f = Dx2 f − x2 Df = 2xf + x2 Df − x2 Df = 2xf ⇒ [D, x2 ] = 2x [x2 , D]f = x2 Df − Dx2 f = x2 Df − 2xf − x2 Df = −2xf ⇒ [x2 , D] = −2x Như v y, x2 và D không giao hoán v i nhau. Ta th y [D, x2 ] = −[x2 , D], phù h p v i (16). N u A, B là nh ng toán t tuy n tính và k là h ng s , ta có [A, k B] = [k A, B] = k[A, B] (17) Th t v y [A, k B] = A(k B) − k B A = k AB − k B A (18) Do đó [A, k B] = k AB − k B A = k(AB − B A) = k[A, B] (19) Tương t [k A, B] = k AB − B(k A) = k AB − k B A = k(AB − B A) = k[A, B] (20) T (19) và (20), ta có [A, k B] = [k A, B] = k[A, B] (21) 2.3 M t s phép giao hoán quan tr ng 2.3.1 Công th c 1: [A, B C] = [A, B]C + B[A, C] (22) Ch ng minh: [A, B]C + B[A, C] = (AB − B A)C + B(AC − C A) = AB C − B AC + B AC − B C A = AB C − B C A = A(B C) − (B C)A = [A, B C] 5
2.3.2 Công th c 2: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B (23) Ch ng minh: Ta có th ch ng minh tương t như trên ho c theo cách sau. Ta có [AB, C] = (AB)C − C(AB) = (AB)C − C(AB) + (AC)B − A(C B) = (AB)C − A(C B) + (AC)B − C(AB) = A(B C) − A(C B) + (AC)B − (C A)B = A(B C − C B) + (AC − C A)B = A[B, C] + [A, C]B Trong trư ng h p, B = A = C, ta có [A2 , A] = [AA, A] = A[A, A] + [A, A]A = A × 0 + 0 × A = 0 (24) Tương t [A3 , A] = [AA2 , A] = A[A2 , A] + [A, A]A2 = A2 × 0 + 0 × A = 0 (25) 2.3.3 Công th c 3: T (24) và (25), ta có [An , A] = 0 (26) Tương t [A, An ] = 0 (27) 2.3.4 Công th c 4: [A, B + C] = [A, B] + [A, C] (28) Ch ng minh: [A, B + C] = A(B + C) − (B + C)A = AB + AC − B A − C A = (AB − B A) + (AC − C A) = [A, B] + [A, C] Tương t , ta có [A + B, C] = [A, C] + [B, C] (29) 6
3 Đ c hàm và đ c tr Gi s tác d ng lên hàm f (x) b i m t toán t A, ta thu đư c k t qu là chính hàm f (x) đó nhân v i m t h ng s k. Khi đó, ta nói r ng hàm f (x) là đ c hàm (eigenfunction) c a toán t A, v i đ c tr (eigenvalue) là k. Phương trình bi u di n m i liên h gi a toán t A, đ c hàm f (x) và đ c tr k đư c g i là phương trình đ c tr (eigenvalue equation) Af (x) = kf (x) (30) Ví d 1 d 2x De2x = e = 2e2x dx ta nói e2x là đ c hàm c a toán t D v i đ c tr là 2. Phương trình đ c tr De2x = 2e2x Ví d 2 D2 sin(ax) = D[D sin(ax)] = D[a cos(ax)] = −a2 sin(ax) v y sin(ax) là đ c hàm c a toán t D2 v i đ c tr là −a2 . Ta có, phương trình đ c tr D2 sin(ax) = −a2 sin(ax) Như v y, phương trình Schr¨dinger (1) cho h m t h t trong không gian o m t chi u cũng là m t phương trình đ c tr . Sau đây, chúng ta th tìm t t c nh ng đ c hàm và đ c tr cho toán t đ o hàm D. T phương trình (30), ta có df (x) Df (x) = = kf (x) (31) dx Phương trình (31) tương đương v i df (x) = kdx (32) f (x) L y tích phân (32) ta đư c lnf (x) = kx + constant f (x) = econstant ekx v y f (x) = cekx (33) T t c nh ng hàm th a (33) là đ c hàm c a D, v i các đ c tr là k. Và n u f (x) và đ c hàm c a D, thì cf (x) cũng là đ c hàm c a D. Đi u đó cũng 7
đúng đ i v i nh ng đ c hàm c a m i toán t tuy n tính. Th t v y, n u f (x) là đ c hàm c a A, v i đ c tr k, nghĩa là Af (x) = kf (x) và A là toán t tuy n tính, ta có A[cf (x)] = cAf (x) = ckf (x) = k[cf (x)] (34) Như v y A[cf (x)] = k[cf (x)] (35) V i m i giá tr k trong (31), chúng ta có m t đ c hàm; nh ng đ c hàm v i cùng giá tr k nhưng giá tr c khác nhau thì không đ c l p tuy n tính1 v i nhau, chúng ph thu c l n nhau. 4 M i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t Ti p theo, ta xét m i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t . Chúng ta so sánh phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong không gian m t chi u o 2 d2 [− + V (x)]ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 v i phương trình đ c tr Af (x) = kf (x) Ta th y, rõ ràng các giá tr năng lư ng E là các đ c tr ; các đ c hàm là nh ng hàm sóng ψ(x); toán t c a nh ng đ c hàm và đ c tr này là 2 d2 H=− + V (x) (36) 2m dx2 và đư c g i là toán t Hamiltonian hay toán t năng lư ng c a h . Năng lư ng c a h b ng t ng đ ng năng và th năng. Trong (36) thì 2 d2 V (x) là th năng, nên − là toán t mô t đ ng năng c a h . Theo 2m dx2 cơ h c c đi n, đ ng năng c a m t h t theo phương x đư c xác đ nh b i 1 2 Ex = mvx (37) 2 1 Hàm f1 , f2 và f3 đư c g i là đ c l p tuy n tính n u phương trình c1 f1 +c2 f2 +c3 f3 = 0 ch x y ra khi các h ng s c1 = c2 = c3 = 0. Ví d , các hàm f1 = 3x, f2 = 5x2 − x, f3 = x2 là nh ng hàm ph thu c tuy n tính, vì f1 + 3f2 − 15f3 = 0; trong khi đó, các hàm g1 = 1, g2 = 2x, g3 = x2 là nh ng hàm đ c l p tuy n tính vì ta không tìm đư c bi u th c liên h n gi a chúng. 8
M t khác, ta có m i liên h gi a kh i lư ng m, v n t c vx và đ ng lư ng px như sau px px = mvx ⇒ vx = m Do đó, ta có 1 p2 Ex = mvx = x 2 (38) 2 2m Như v y, theo cơ h c c đi n năng lư ng c a h đư c tính như sau p2 x H= + V (x) (39) 2m Phương trình (39) đư c g i là hàm Hamiltonian cho h t có kh i lư ng m di chuy n trong không gian m t chi u và ph thu c vào th năng V (x). So sánh phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian o 2 d2 − + V (x) ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 v i phương trình (39), ta th y hàm Hamiltonian (39) trong cơ h c c đi n đư c thay th b i toán t Hamiltonian trong cơ h c lư ng t 2 d2 p2 + V (x) ↔ x + V (x) (40) 2m dx2 2m p2 x Đ ng năng trong cơ h c c đi n cũng đư c thay th b i toán t đ ng 2m năng trong cơ h c lư ng t 2 d2 T =− 2m dx2 M i liên h gi a các đ i lư ng v t lí trong cơ h c c đi n và cơ h c lư ng t như th này là r t ph bi n. Do đó, trong cơ h c lư ng t có m t đ nh đ quan tr ng như sau: M i thu c tính v t lí như năng lư ng, đ ng lư ng, t a đ , mô- men góc . . . s có m t toán t tương ng. Các thu c tính như t a đ x, y, z và th năng V trong cơ h c lư ng t và cơ h c c đi n có d ng gi ng nhau. Nh ng thu c tính khác thì không gi ng nhau. Ví d , các thành ph n đ ng lư ng px đư c thay b ng các toán t ∂ ∂ px = = −i (41) i ∂x ∂x 1 v i = −i vì i 1 i i = 2 = = −i i i −1 Nh ng thu c tính khác đư c xác đ nh b ng nh ng toán t đư c ghi trong b ng 1.1 sau 9
B ng 1.1: Nh ng toán t thư ng đư c s d ng trong cơ h c lư ng t Thu c tính Cơ h c c đi n Cơ h c lư ng t T ađ x, y, z, r x, y, z, r Th năng V (x), V (y), V (z) V (x), V (y), V (z) Đ ng lư ng ∂ x px px = −i ∂x ∂ y py py = −i ∂y ∂ z pz pz = −i ∂z Đ ng năng p2 x ∂2 2 x Tx = − 2m 2m ∂x2 p2 y 2 ∂2 y Ty = − 2m 2m ∂y 2 p2 z 2 ∂2 z Tz = − 2m 2m ∂z 2 ∂ ∂ Mô-men góc Lz Lz = −i (x −y ) ∂y ∂x Nh ng toán t khác có th đư c xây d ng t nh ng toán t đã cho trong b ng trên. Ví d , toán t p2 đư c xây d ng t px như sau x ∂ ∂ ∂2 p2 = px px = x = −h2 2 (42) i ∂x i ∂x ∂x Tương t , ta có ∂2 ∂2 p2 = −h2 y p2 = −h2 z (43) ∂y 2 ∂z 2 5 Toán t và nh ng thu c tính v t lí Xét s chuy n đ ng c a h t trong h p m t chi u đư c mô t b i hàm sóng 2 nπx ψn = sin( ) (n = 1, 2, 3, . . .) l l Ta th y ψn là đ c hàm c a toán t năng lư ng H v i đ c tr là n2 h2 E= 8ml2 Th t v y, đ i v i bài toán h t trong h p thì th năng V (x) = 0, nên ta có 2 d2 H = Tx + V (x) = − 2m dx2 10
Do đó 2 d2 2 nπx n 2 h2 2 nπx − sin( ) = sin( ) 2m dx2 l l 8ml2 l l Như v y, n u th c hi n phép đo năng lư ng c a m t h t trong h p m t chi u, ta s thu đư c k t qu là đ c tr năng lư ng E c a toán t năng lư ng H. M t cách t ng quát, n u B là toán t mô t m t thu c tính v t lí B thì m i phép đo thu c tính B cho ra m t đ c tr βi c a toán t B. Đây cũng là m t đ nh đ c a cơ h c lư ng t . Ví d , n u ψi là các đ c hàm c a H, thì ta có Hψi = Ei ψi (44) Nghĩa là m i phép đo thu c tính v t lí đư c mô ta b i toán t năng lư ng H s cho ta m t giá tr Ei . N u ψi là hàm ch ph thu c t a đ , không ph thu c th i gian thì (44) là d ng t ng quát c a phương trình Schr¨dinger o không ph thu c th i gian. Ti p theo, chúng ta xét hàm tr ng thái ph thu c th i gian Ψ = Ψ(x, t) (45) N u tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng Ψ, thì hàm sóng Ψ đó s ch a t t c nh ng thông tin mà chúng ta c n bi t v h đó. V y Ψ s cung c p cho chúng ta nh ng thông tin gì v m t thu c tính B? Bây gi , chúng ta gi đ nh r ng n u Ψ là đ c hàm c a B v i đ c tr βi , khi đó m t phép đo thu c tính B s cho ta giá tr βi . Ch ng h n, chúng ta xét thu c tính năng lư ng. Gi s h tr ng thái tĩnh v i hàm tr ng thái Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ(x) (46) ta có HΨ(x, t) = H[e−iEt/ ψ(x)] = e−iEt/ Hψ(x) (47) áp d ng Hψ(x) = Eψ(x), ta đư c HΨ(x, t) = e−iEt/ Eψ(x) = Ee−iEt/ ψ(x) = EΨ(x, t) v y HΨ = EΨ (48) Do đó, tr ng thái tĩnh, Ψ(x, t) là m t đ c hàm c a H, chúng ta ch c ch n tìm đư c giá tr E khi th c hi n phép đo năng lư ng. Phương trình (48) là m t cách vi t khác c a phương trình Schr¨dinger ph thu c th i gian. o Các toán t trong cơ h c lư ng t có hai tính ch t đ c trưng quan tr ng là tuy n tính và Hermitian. Tính ch t tuy n tính c a chúng liên quan đ n nguyên lí ch ng ch t. Tính ch t Hermitian liên quan đ n k t qu th c c a phép đo m t thu c tính v t lí. Chúng ta s kh o sát kĩ hơn tính ch t này trong nh ng ph n sau. 11
Bài t p d 1. Cho D = và hàm f (x) đư c xác đ nh b i dx f (x) = sin x + eix Hãy tính (D2 + Dx)f (x) 2. Ch ng minh [A + B, C + D] = [A, C] + [A, D] + [B, C] + [B, D] T đó, tính d d2 [x + , + x] dx dx2 3. Cho bi t d x=x px = −i dx Ch ng minh d [x, px ] = i ; [x, p2 ] = 2 x 2 dx 4. Tìm nh ng hàm g(x) là đ c hàm c a px v i đ c tr k px g(x) = kg(x) Ch ng t r ng hàm sóng c a h t trong h p m t chi u không ph i là đ c hàm c a px . 5. Tìm nh ng hàm f (x) là đ c hàm c a p2 v i đ c tr α. Ch ng t r ng x hàm sóng c a h t trong h p m t chi u là đ c hàm c a p2 . x 12