3
Chương 1 :
CÁC BƯC ðU CƠ S
ð bt ñu mt cuc hành trình, ta không th không chun b hành trang ñ lên ñư
ng. Toán hc cũng vy . M u n khám phá ñưc cái hay và cái ñp ca bt ñng thc
lưng giác, ta cn có nhng “vt dng” chc chn và hu dng, ñó chính là chương
1: “Các
bưc ñu cơ s”.
Chương này tng quát nhng kin thc cơ bn cn có ñ chng minh bt ñng thc
lưng giác. Theo kinh nghim cá nhân ca mình, tác gi cho rng nhng kin thc này
là ñy ñ cho mt cuc “hành trình”.
Trưc ht là các bt ñng thc ñi s cơ bn ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev
…) Tip theo là các ñng thc, bt ñng thc liên quan cơ bn trong tam giác. Cui
cùng là mt s ñnh lý khác là công c ñc lc trong vic chng minh bt ñng thc
(ñnh lý Largare, ñnh lý v du ca tam thc bc hai, ñnh lý v hàm tuyn tính …)
Mc lc :
1.1. Các bt ñng thc ñi s cơ bn…………………………………………… 4
1.1.1. Bt ñng thc AM – GM…...……………. .......................................... 4
1.1.2. Bt ñng thc BCS…………………………………………………….. 8
1.1.3. Bt ñng thc Jensen……………………………………………….... 13
1.1.4. Bt ñng thc Chebyshev…………………………………………. ... 16
1.2. !!!!!Các ñng thc, bt ñng thc trong tam giác…………………………….. 19
1.2.1. !!!ðng thc……………………………………………………………... 19
1.2.2. Bt ñng thc………………………………………………………. ... 21
1.3. Mt s!ñnh lý!khác………………………………………………………. 22
1.3.1. ðnh lý!Largare ………………………..……………………………. 22
1.3.2. ðnh lý!v !du ca tam thc bc hai………………………………….. 25
1.3.3. ðnh lý!v !hàm tuyn tính…………………………………………….. 28
1.4. !!!!!Bài tp…………………………………………………………………….. 29
4
1.1. Các bt ñ ng thc ñ i scơ b!n :
1.1.1. Bt ñng thc AM – GM :
Vi mi sthc không âm
n
aaa ,...,,
21
ta luôn có
nn
n
aaa
n
aaa ...
...
21
21
≥
+++
Bt ñng thc AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) làmt bt ñng thc
quen thuc vàcóng dng rt rng rãi. ðây làbt ñng thc màbn ñc cn ghi nhrõ
ràng nht, nóslàcông choàn h"o cho vi#c chng minh các bt ñng thc. Sau ñây là
hai cách chng minh bt ñng thc này màtheo ý ki%n ch&quan c&a mình, tác gi"cho
r+ng làng,n gn vàhay nht.
Chng minh :
!!!!!!!!!Cách 1 : Quy np ki-u Cauchy
Vi
1
=
n
bt ñng thc hin nhiên ñúng. Khi
2
=
n
bt ñng thc tr0!thành
(
)
0
2
2
2121
21
≥−⇔≥
+aaaa
aa
(ñúng!)
!!!!Gi!s2!bt ñng thc ñúng ñn
kn
=
tc là!:
kk
k
aaa
k
aaa ...
...
21
21
≥
+++
Ta s4!chng minh nó!ñúng vi
kn 2
=
. Tht vy t a có!:
(
)
(
)
(
)(
)
() ( )
kkkk
kkkk
kk
kkkk
kkkk
aaaaa
k
aaakaaak
k
aaaaaa
k
aaaaaa
22121
22121
22121
22121
......
......
......
2
......
+
++
++
++
=
≥
++++++
≥
+++++++
Tip theo ta s4!chng minh vi
1
−
=
kn
. Khi ñó!:
( )
1121121
1121
1121121
1121121
...1...
...
............
−−−
−−
−−−
−=−
−≥+++⇒
=
≥++++
kkk
kk
kkkk
kkk
aaakaaa
aaak
aaaaaakaaaaaa
Như vy b t ñng thc ñưc chng minh hoàn toàn.
!!!!!!!!!ðng thc xy r a
n
aaa ===⇔ ...
21
!!!!!!!!!Cách 2 : ( l.i gi"i c&a Polya )
5
!!!!Gi
n
aaa
A
n
=...
21
Khi ñó!bt ñng thc cn chng minh tương ñương vi
n
n
Aaaa ≤...
21
(*)
Rõ!ràng nu Aaaa
n
==== ...
21
!thì!(*) có!du ñng thc. Gi!s2!chúng không bng
nhau. Như vy phi có!ít nht mt s, gi ! s2!là! Aa <
1
!và!mt s!khác, gi ! s2!là! Aa >
2
tc là!
21
aAa << .
Trong tích
n
aaaP ...
21
= ta hãy thay
1
a b0i Aa =
1
'!và!thay
2
a b0i Aaaa −+=
212
'.
Như vy
2121
'' aaaa +=+ !mà!
(
)
(
)(
)
0''
2121212221
>−−=−−+=− AaAaaaAaaAaaaa
2121
'' aaaa⇒>
nn
aaaaaaaa ...''...
321321
<⇒
Trong tích
n
aaaaP ...'''
321
=!có!thêm thAa s!bng
A
. Nu trong
'P
!còn thAa s!khác
A
!thì!ta tip tc bin ñi ñ!có!thêm mt thAa s!na bng
A
. Tip tc như vy t i ña
1
−
n
ln bin ñi ta ñã!thay mi thAa s!
P
bng
A
!và!ñưc tích
n
A
. Vì!trong quá!trình
bin ñi!tích các thAa s!tăng dn. n
AP <⇒
.
⇒
ñpcm.
Víd(1.1.1.1.
Cho A,B,C làba góc c&a mt tam giác nhn. CMR :
33tantantan ≥++ CBA
Li gi!i :
!!!!Vì!
( )
C
B
A
BA
CBA tan
tan
tan
1
tantan
tantan −=
−
⇔−=+
CBACBA tantantantantantan
=
+
+
⇒
Tam giác ABC nhn nên tanA,tanB,tanC dương.
Theo AM – GM ta có!:
() ( )
33tantantan
tantantan27tantantan
tantantan3tantantan3tantantan
2
33
≥++⇒
++≥++⇒
++=≥++
CBA
CBACBA
CBACBACBA
!!!!!!!!!ðng thc xy r a
⇔
=
=
⇔
CBA
ABC ñ u.
Víd(1.1.1.2.
Cho
ABC nhn. CMR :
3cotcotcot ≥++ CBA
6
Li gi!i :
Ta luôn có!:
(
)
CBA cotcot −=+
1
cot
cot
cot
cot
cot
cot
cot
cotcot
1cotcot
⇔
−=
+
⇔
A
C
C
B
B
A
C
BA
BA
Khi
ñó!
:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
3cotcotcot
3cotcotcotcotcotcot3cotcotcot
0cotcotcotcotcotcot
2
222
≥++⇒
=++≥++⇔
≥−+−+−
CBA
ACCBBACBA
ACCBBA
Du bng xy r a k h i và!chG!khi ABC ñ u.
Víd(1.1.1.3.
CMR vi mi
ABC nhn và
*Nn
∈
ta luôn có:
2
1
3
tan
tan
tan
tantantan
−
≥
++
++
n
nnn
C
B
A
CBA
Li gi!i :
Theo
AM – GM
ta
có!:
( ) ( )
( )
( )
2
1
33
33
33
3333tantantan3
tantantan
tantantan
tantantan3tantantan3tantantan
−
−
−
=≥++≥
++
++
⇒
++=≥++
n
n
n
nnn
nn
nnn
CBA
CBA
CBA
CBACBACBA
⇒
ñpcm.
Víd(1.1.1.4.
Cho a,b làhai s/th0c th1a :
0coscoscoscos
≥
+
+
baba
CMR :
0coscos
≥
+
ba
Li gi!i :
Ta có!:
() ( )
1cos1cos1
0coscoscoscos
≥++⇔
ba
baba
Theo
AM – GM!thì!
:
7
(
)
(
)
() ( )
0
cos
cos
1cos1cos1
2
cos1cos1
⇒
≥++≥
b
a
ba
ba
Víd(1.1.1.5.
Ch
ng minh r
+
ng v
i
m
i
ABC
∆
nh
n ta
có
:
2
3
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos
2
cos
2
cos
coscos +
++≤++ ACCBBA
AC
AC
CB
CB
BA
BA
Li gi!i :
Ta
có!
=
=
BA
BA
BA
BA
AA
A
A
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos4
coscos
4
3
2
cot
2
sin
2
cos2
cos
Theo AM – GM!thì!:
+≤⇒
+
≤
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
2
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos4
coscos
4
3
2
Tương t!ta có!:
+≤
+≤
AC
AC
AC
AC
CB
CB
CB
CB
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
cotcot
4
3
2
sin
2
sin
3
2
2
cos
2
cos
coscos
Cng v!theo v!các bt ñng thc trên ta ñưc :