CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I - BẤT ĐẲNG THỨC
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức:
- Phương pháp biến đổi tương đương:
Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần
chứng minh về một bất đẳng thức đúng.
- Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si:
a) Đối với 2 số không âm a và b: ab
ba
2
hay abba 2 .
a. Đẳng thức xảy ra
a = b.
b) Đối với 3 số không âm a, b và c: 3
3
abc
cba
hay
3
3abccba .
a. Đẳng thức xảy ra
a = b = c.
c) Tổng quát: Đối với n số không âm n
aaaa ;...;;; 321 :
a. nn
naaaa
n
aaaa .......
...
321
321
d) Ch ý:
a. abba 2
22 với mọi số thực a, b.
b. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng
được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2,
ghép cặp 3, ví dụ:
e)
b
aa
ba
bbaba
2
2
;2
f)
2
1
2
1
1
2
2
1 a
aa
a.
: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2) baba
3) 0
22 baba .
4) 3
a
c
c
b
b
a, với a, b, c > 0.
5) 233 963 abba
0, ba
6) Tìm GTNN của
22 31 xxA
7) Tìm GTLN của 835 xxxA ,
0
x.
8) Tìm GTNN của 2
23
x
xA , 0
x.
9) Tìm GTNN của
2
1
x
xA , 2
x
10) .
11) Chứng minh bất đẳng thức:
Rdcba
,,, ,
2222
2.dcbabdac (BĐT Bunhiacopxki)
HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về
0
2 bcad .
12) ba
a
b
b
a , 0;0
ba
HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:
a.
0
2 baba ,
22
2baba , 0;0
ba
HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế.
13) zyxzyx 61221434 222 , với mọi x, y, z.
HD: biến đổi tương đương.
14) Cho .1534
yx Chứng minh: 9
22 yx
HD: Rt x hoặc y từ ,1534
yx thế vo .
22 yx
15) Chứng minh: cabcabcba với 0,,
cba
HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a).
16) Chứng minh:
abccbcaba 1611 với a, b, c dương.
17) Với a bất kì, chứng minh: 4
2
6
2
2
a
a.
HD: Tch 2
4
2
2
42
2
6
2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
18) Cho 0,,
cba , chứng minh:
abcaccbba 8 .
19) Cho 0,
ba , chứng minh: baabba 1.
20) Cho 0,
ba , chứng minh:
2
2
1
2
1
ba
ba .
21) Với Rx
, tìm GTNN của 2
21
3
x
xA .
22) Tìm GTNN:
22 31 xxA .
23) HD: Khai triển
22 31 xx , nhóm hằng đẳng thức. Chứng
minh:
2
A
.
24) Tìm GTNN của
1
3
1
x
xA với .1
x
25) Tìm GTNN của:
2
2
x
xA , với 2
x.
26) HD: Phn tích: 2
2
2
2
x
xA . Áp dụng bất đẳng thức đối
với 2 số
2
2
;2
x
x.
27) (Đáp án:
122min A
28) Tìm GTLN của:
xxA 13 với 31
x.
29) Tìm GTLN của:
xxA 532 , với 5
2
3 x.
30) HD: Phn tích:
xxA
5
2
3
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
đối với 2 số xx 5;
2
3.
31) Tìm GTNN v GTLN của hm số:
4221 xxy với
2
1
2 x.
32) Tìm GTNN của:
x
xA
2
1 với 2
x.
33) Tìm GTNN của: 2010
1
2
2
x
x
xxA .
34) Chứng minh rằng : 1
1 1, 1
a a a
a
.
35) Tìm GTNN của 1 1
,0 1
1
y x
x x
.