CHUYÊN Đ 2: HOÁN V , T H PỀ Ị Ổ Ợ
A. M C TIÊU:Ụ
* B c đ u HS hi u v ch nh h p, hoán v và t h pướ ầ ể ề ỉ ợ ị ổ ợ
* V n d ng ki n th c vào m t ssó bài toán c th và th c tậ ụ ế ứ ộ ụ ể ự ế
* T o h ng thú và nâng cao k năng gi i toán cho HSạ ứ ỹ ả
B. KI N TH C:Ế Ứ
I. Ch nh h p:ỉ ợ
1. đ nh nghĩa: Cho m t t p h p X g m n ph n t . M i cách s p x p k ph n t c a t pị ộ ậ ợ ồ ầ ử ỗ ắ ế ầ ử ủ ậ
h p X ( 1 ợ
k
n) theo m t th t nh t đ nh g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph nộ ứ ự ấ ị ọ ộ ỉ ợ ậ ủ ầ
t yử ấ
S t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t đ c kí hi u ố ấ ả ỉ ợ ậ ủ ầ ử ượ ệ
k
n
A
2. Tính s ch nh ch p k c a n ph n t ố ỉ ậ ủ ầ ử
II. Hoán v :ị
1. Đ nh nghĩa: Cho m t t p h p X g m n ph n t . M i cách s p x p n ph n t c a t pị ộ ậ ợ ồ ầ ử ỗ ắ ế ầ ử ủ ậ
h p X theo m t th t nh t đ nh g i là m t hoán v c a n ph n t yợ ộ ứ ự ấ ị ọ ộ ị ủ ầ ử ấ
S t t c các hoán v c a n ph n t đ c kí hi u Pố ấ ả ị ủ ầ ử ượ ệ n
2. Tính s hoán v c a n ph n t ố ị ủ ầ ử
( n! : n giai th a)ừ
III. T h p:ổ ợ
1. Đ nh nghĩa: Cho m t t p h p X g m n ph n t . M i t p con c a X g m k ph n tị ộ ậ ợ ồ ầ ử ỗ ậ ủ ồ ầ ử
trong n ph n t c a t p h p X ( 0 ầ ử ủ ậ ợ
k
n) g i là m t t h p ch p k c a n ph n t yọ ộ ổ ợ ậ ủ ầ ử ấ
S t t c các t h p ch p k c a n ph n t đ c kí hi u ố ấ ả ổ ợ ậ ủ ầ ử ượ ệ
k
n
C
2. Tính s t h p ch p k c a n ph n t ố ổ ợ ậ ủ ầ ử
k
n
A
= n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)]
k
n
C
=
n
n
A
: k! =
n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
k!
Pn =
n
n
A
= n(n - 1)(n - 2) …2 .1 = n!
C. Ví d :ụ
1. Ví d 1:ụ
Cho 5 ch s : 1, 2, 3, 4, 5ữ ố
a) có bao nhiêu s t nhiên có ba ch s , các ch s khác nhau, l p b i ba trong các chố ự ữ ố ữ ố ậ ở ữ
s trênố
b) Có bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s , các ch s khác nhau, l p b i c 5 ch s trênố ự ữ ố ữ ố ậ ở ả ữ ố
c)Có bao nhiêu cách ch n ra ba ch s trong 5 ch s trênọ ữ ố ữ ố
Gi i:ả
a) s t nhiên có ba ch s , các ch s khác nhau, l p b i ba trong các ch s trên làố ự ữ ố ữ ố ậ ở ữ ố
ch nh h p ch p 3 c a 5 ph n t : ỉ ợ ậ ủ ầ ử
3
5
A
= 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số
b) s t nhiên có 5 ch s , các ch s khác nhau, l p b i c 5 ch s trên là hoán vố ự ữ ố ữ ố ậ ở ả ữ ố ị
cua 5 ph n t (ch nh h p ch p 5 c a 5 ph n t ):ầ ử ỉ ợ ậ ủ ầ ử
5
5
A
= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
c) cách ch n ra ba ch s trong 5 ch s trên là t h p ch p 3 c a 5 ph n t :ọ ữ ố ữ ố ổ ợ ậ ủ ầ ử
3
5
C
=
nhóm
2. Ví d 2:ụ
Cho 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 ch s này:ữ ố ữ ố
a) L p đ c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s trong đó không có ch s nào l p l i?ậ ượ ố ự ữ ố ữ ố ặ ạ
Tính t ng các s l p đ cổ ố ậ ượ
b) l p đ c bao nhiêu s ch n có 5 ch s khác nhau?ậ ượ ố ẵ ữ ố
c) L p đ c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s , trong đó hai ch s k nhau ph i khácậ ượ ố ự ữ ố ữ ố ề ả
nhau
d) L p đ c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s , các ch s khác nhau, trong đó có haiậ ượ ố ự ữ ố ữ ố
ch s l , hai ch s ch nữ ố ẻ ữ ố ẵ
Gi iả
a) s t nhiên có 4 ch s , các ch s khác nhau, l p b i 4 trong các ch s trên làố ự ữ ố ữ ố ậ ở ữ ố
ch nh h p ch p 4 c a 5 ph n t : ỉ ợ ậ ủ ầ ử
4
5
A
= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số
Trong m i hang (Nghìn, trăm, ch c, đ n v ), m i ch s có m t: 120 : 5 = 24 l nỗ ụ ơ ị ỗ ữ ố ặ ầ
T ng các ch s m i hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360ổ ữ ố ở ỗ
T ng các s đ c l p: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960ổ ố ượ ậ
b) ch s t n cùng có 2 cách ch n (là 2 ho c 4)ữ ố ậ ọ ặ
b n ch s tr c là hoán v c a c a 4 ch s còn l i và có Pố ữ ố ướ ị ủ ủ ữ ố ạ 4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách
ch nọ
T t c có 24 . 2 = 48 cách ch nấ ả ọ
c) Các s ph i l p có d ng ố ả ậ ạ
abcde
, trong đó : a có 5 cách ch n, b có 4 cách ch n (khácọ ọ
a), c có 4 cách ch n (khác b), d có 4 cách ch n (khác c), e có 4 cách ch n (khác d)ọ ọ ọ
T t c có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 sấ ả ố
d) Ch n 2 trong 2 ch s ch n, có 1 cách ch nọ ữ ố ẵ ọ
ch n 2 trong 3 ch s l , có 3 cách ch n. Các ch s có th hoán v , do đó có: ọ ữ ố ẻ ọ ữ ố ể ị
1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số
Bài 3: Cho
ﾷ
0
xAy 180
. Trên Ax l y 6 đi m khác A, trên Ay l y 5 đi m khác A. trong 12ấ ể ấ ể
đi m nói trên (k c đi m A), hai đi m nào c ng đ c n i v i nhau b i m t đo nể ể ả ể ể ủ ượ ố ớ ở ộ ạ
th ng.ẳ
Có bao nhiêu tam giác mà các đ nh là 3 trong 12 đi m yỉ ể ấ
Gi iả
Cách 1: Tam giác ph i đ m g m ba lo i:ả ế ồ ạ
+ Lo i 1: các tam giác có m t đ nh là A, đ nh th 2ạ ộ ỉ ỉ ứ
thu c Ax (có 6 cách ch n), đ nh th 3 thu c Ay (có 5ộ ọ ỉ ứ ộ
cách ch n), g m có: 6 . 5 = 30 tam giácọ ồ
+ Lo i 2: Các tam giác có 1 đ nh là 1 trong 5 đi m Bạ ỉ ể 1,
B2, B3, B4, B5 (có 5 cách ch n), hai đ nh kia là 2 trong 6ọ ỉ
đi m Aể1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có
2
6
6.5 30 15
2! 2
C
= = =
cách ch n)ọ
G m 5 . 15 = 75 tam giác ồ
x
y
B
5
B
4
B
2
B
1
A
5
A
4
A
3
A
6
B
3
A
2
A
1
A
+ Lo i 3: Các tam giác có 1 đ nh là 1 trong 6 đi m Aạ ỉ ể 1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đ nh kia làỉ
2 trong 5 đi m Bể1, B2, B3, B4, B5 g m có: 6. ồ
2
5
5.4 20
6. 6. 60
2! 2
C
= = =
tam giác
T t c có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giácấ ả
Cách 2: s các tam giác ch n 3 trong 12 đi m y là ố ọ ể ấ
3
12
12.11.10 1320 1320 220
3! 3.2 6
C
= = = =
S b ba đi m th ng hang trong 7 đi m thu c tia Ax là: ố ộ ể ẳ ể ộ
3
7
7.6.5 210 210 35
3! 3.2 6
C
= = = =
S b ba đi m th ng hang trong 6 đi m thu c tia Ay là: ố ộ ể ẳ ể ộ
3
6
6.5.4 120 120 20
3! 3.2 6
C
= = = =
S tam giác t o thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giácố ạ
D. BÀI T P:Ậ
Bài 1: cho 5 s : 0, 1, 2, 3, 4. t các ch s trên có th l p đ c bao nhiêu s t nhiên:ố ừ ữ ố ể ậ ượ ố ự
a) Có 5 ch s g m c 5 ch s y?ữ ố ồ ả ữ ố ấ
b) Có 4 ch s , có các ch s khác nhau?ữ ố ữ ố
c) có 3 ch s , các ch s khác nhau?ữ ố ữ ố
d) có 3 ch s , các ch s có th gi ng nhau?ữ ố ữ ố ể ố
Bài 2: Có bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s l p b i các ch s 1, 2, 3 bi t r ng s đóố ự ữ ố ậ ở ữ ố ế ằ ố
chia h t cho 9ế
Bài 3: Trên trang v có 6 đ ng k th ng đ ng và 5 đ ng k n m ngang đôi m t c tở ườ ẻ ẳ ứ ườ ẻ ằ ộ ắ
nhau. H i trên trang v đó có bao nhiêu hình ch nh tỏ ở ữ ậ