Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 7" được biên soạn nhằm cung cấp tư liệu phục vụ cho quá trình củng cố, rèn luyện, bồi dưỡng kiến thức cho đội tuyển học sinh giỏi Toán. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7 PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính: 1. Các kiến thức vận dụng : Tính chất của phép cộng , phép nhân Các phép toán về lũy thừa: an = a1.a2.... n 3a ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, m n) a an (am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n = (b 0) b bn M 2 . ột số bài toán : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n 1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n là số tự nhiên khác không. HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 0) + 2.3.(4 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 1) + 3.4.5.(6 2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an c c c b) Tính tổng : A = a .a + a .a + ...... + a .a với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an1 = k 1 2 2 3 n −1 n HD: a) S = 1+ a + a +…..+ a aS = a + a2 +…..+ an + an+1 2 n Ta có : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1 Nếu a = 1 S = n a n +1 − 1 Nếu a khác 1 , suy ra S = a −1 c c 1 1 b) Áp dụng = ( − ) với b – a = k a.b k a b c 1 1 c 1 1 c 1 1 Ta có : A = k ( a − a ) + k ( a − a ) + ..... + k ( a − a ) 1 2 2 3 n −1 n c 1 1 1 1 1 1 = k ( a − a + a − a + ...... + a − a ) 1 2 2 3 n −1 n c 1 1 = k ( a − a ) 1 n Bài 3 : a) Tính tổng : 1 + 22 + 32 + …. + n2 2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3 1
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 2 2 2 2 HD : a) 1 + 2 + 3 + ….+ n = n(n+1)(2n+1): 6 b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2 Bài 3: Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 − 3 − 5 − 7 − ... − 49 a) A = ( + + + ... + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 − 46.92 510.73 − 255.49 2 b) B = − ( 2 .3) ( 125.7 ) 6 3 2 + 8 .3 4 5 + 59.143 −9 7 HD : A = ; B = 28 2 1 1 1 2 2 2 + − + − Bài 4: 1, Tính: P = 2003 5 2004 2005 5 5 − 2002 2003 2004 3 3 3 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 11 12 : 1890 115 Bài 5: a) TÝnh A 5 5 5 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 2 3 4 ... 2004 2005 3 3 3 3 3 3 1 Chøng minh r»ng B . 2 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 4 27 6 25 4 Bài 6: a) Tính : 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 1 1 1 1 + + + ... + b) TÝnh P = 2011 2 2010 3 4 2009 2012 1 + + + ... + 1 2 3 2011 HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …. 2012 2010 1 � MS = 1 + +1+ + .... + 1 + − 2011 1 2 2011 2012 2012 1 1 1 1 = 2012 + + .... + − 2011 = 2012( + + + ...... + ) 2 2011 2 3 4 2012 1 1 1 1 (1 2 3 ... 99 100) (63.1,2 21.3,6) c) 2 3 7 9 A 1 2 3 4 ... 99 100 2
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 11 3 1 2 .4 1 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chứng tỏ rằng: B 1 2 2 2 ... 2 3 3 20042 2004 Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức: 2 4 3 81,624 : 4 4,505 125 3 4 A 2 2 11 13 : 0,88 3,53 (2,75) 2 : 25 25 b) Chứng minh rằng tổng: 1 1 1 1 1 1 1 S ... .... 0,2 22 24 26 2 4n 2 24 n 2 2002 2 2004 Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 1. Kiến thức vận dụng : a c = � a.d = b.c b d a c e a c e a b e Nếu = = thì = = = với gt các tỉ số dều có nghĩa b d f b d f b d f a c e Có = = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk b d f 2. Bài tập vận dụng Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức a c a +c a 2 2 Bài 1: Cho = . Chứng minh rằng: 2 2 = c b b +c b ac HD: Từ = suy ra c 2 = a.b cb a 2 + c 2 a 2 + a.b khi đó 2 2 = 2 b +c b + a.b a ( a + b) a = = b( a + b ) b Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: a (a + 2012b) 2 = c (b + 2012c) 2 HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 3
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 = c( a + 2.2012.b + 2012 .c) 2 a (a + 2012b) 2 Suy ra : = c (b + 2012c) 2 a c 5a 3b 5c 3d Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d a c HD : Đặt = = k a = kb, c = kd . b d 5a + 3b b(5k + 3) 5k + 3 5c + 3d d (5k + 3) 5k + 3 Suy ra : = = và = = 5a − 3b b(5k − 3) 5k − 3 5c − 3d d (5k − 3) 5k − 3 5a 3b 5c 3d Vậy 5a 3b 5c 3d a 2 + b 2 ab Bài 4: BiÕt = với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng : c 2 + d 2 cd a c a d = hoặc = b d b c ab 2ab a 2 + 2ab + b 2 ( a + b) a +b 2 2 a +b 2 2 HD : Ta có 2 2 = = = 2 = =( ) (1) c +d cd 2cd c + 2cd + d 2 (c + d ) 2 c+d a 2 + b 2 ab 2ab a 2 − 2ab + b 2 ( a − b) a −b 2 2 = = = = = ( ) (2) 2cd c 2 − 2cd + d 2 (c − d ) c−d 2 c 2 + d 2 cd a +b a−b = a+b 2 a −b 2 c+d c−d Từ (1) và (2) suy ra : ( ) =( ) c+d c−d a+b b−a = c+d d −c Xét 2 TH đi đến đpcm a c Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 a2 b2 ab a b a 2 b2 vµ c2 d 2 cd c d c2 d 2 a c HD : Xuất phát từ biến đổi theo các b d ab a 2 − b 2 a 2 c 2 a 2 + b 2 a +b 2 hướng làm xuất hiện = 2 2 = 2 = 2 = 2 2 = ( ) cd c − d b d c +d c+d Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d HD : Từ a b c d 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d Suy ra : −1 = −1 = −1 = −1 a b c d 4
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = a b c d Nếu a + b + c + d = 0 a + b = ( c+d) ; ( b + c) = ( a + d) a b b c c d d a M = 4 c d d a a b b c a b b c c d d a Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d M = 4 c d d a a b b c Bài 7 : a) Chứng minh rằng: x y z Nếu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Thì x 2 y z 2x y z 4x 4 y z 3 a b c a b c a b) Cho: . Chứng minh: b c d b c d d x y z a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c HD : a) Từ = = a 2b c 2a b c 4a 4b c x y z a + 2b + c 2(2a + b − c) 4a − 4b + c a = = = (1) x 2y z x + 2y + z 2( a + 2b + c ) (2a + b − c) 4a − 4b + c b = = = (2) 2x y z 2x + y + z 4( a + 2b + c ) 4(2a + b − c ) 4a − 4b + c c = = = (3) 4x 4y z 4x − 4 y + z a b c Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : x 2 y z 2 x y z 4 x 4 y z x y z t Bài 8: Cho y z t z t x t x y x y z chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. x y y z z t t x P z t t x x y y z x y z t y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z HD Từ = = = y z t z t x t x y x y z x y z t y + z +t z+t + x t+x+ y x+ y+z +1 = +1 = +1 = +1 x y z t x+ y+ z +t z +t + x+ y t + x+ y + z x+ y + z +t = = = x y z t Nếu x + y + z + t = 0 thì P = 4 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P=4 y+z−x z+x− y x+ y−z Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện : = = x y z 5
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 � x� � y� � z� 1+ � Hãy tính giá trị của biểu thức : B = � 1+ � � 1+ � � y � z � � x � � � Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 x 2010 + y 2010 + z 2010 + t 2010 x2010 y 2010 z 2010 t 2010 Biết x,y,z,t thỏa mãn: = 2 + 2 + 2 + 2 a 2 + b2 + c 2 + d 2 a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f 14 c 11 e 13 a Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và = ; = ; = 22 d 13 f 17 b a b c c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn : = = . 2009 2010 2011 Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a b)( b – c) – ( c – a )2 Một số bài tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện : y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt = = = ( n là số tự nhiên) x y z t và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng 2 : Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : = = 12 5x 4x HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1 + 7y − 1 − 5y 2y 1 + 5y − 1 − 3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x − 5x −x 5x − 12 5x − 12 2y 2y => = với y = 0 thay vào không thỏa mãn − x 5 x − 12 Nếu y khác 0 => x = 5x 12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được: 1+ 3y 2 y −1 = = − y =>1+ 3y = 12y => 1 = 15y => y = 12 −2 15 −1 Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài 15 6
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 a b c Bài 3 : Cho = = và a + b + c ≠ 0; a = 2012. b c a Tính b, c. a b c a+b+c HD : từ = = = = 1 a = b = c = 2012 b c a a+b+c y + x +1 x + z + 2 x + y − 3 1 Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết : = = = x y z x+ y+z HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau: y + x + 1 x + z + 2 x + y − 3 2( x + y + z ) 1 = = = =2= (vì x+y+z 0) x y z (x + y + z) x+ y+z Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đó tìm được x, y, z 1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y Bài 5 : Tìm x, biết rằng: = = 18 24 6x 1 + 2 y 1 + 4 y 1 + 6 y 2(1 + 2 y ) − (1 + 4 y ) 1 + 2 y + 1 + 4 y − (1 + 6 y) HD : Từ = = = = 18 24 6x 2.18 − 24 18 + 24 − 6 x 1 1 Suy ra : = � x = 1 6 6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 x y z x+ y+z 1 HD : Từ = = = x+ y+ z = = z + y +1 x + z +1 x + y − 2 2( x + y + z ) 2 1 1 1 1 Từ x + y + z = x + y = z , y +z = x , z + x = y thay vào đẳng thức 2 2 2 2 ban đầu để tìm x. 3x 3 y 3z Bài 7 : T×m x, y, z biÕt vµ 2 x 2 2 y2 z2 1 8 64 216 2x + 1 4 y − 5 2x + 4 y − 4 Bài 8 : Tìm x , y biết : = = 5 9 7x Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y 1. Kiến thức vận dụng : Tính chất phép toán cộng, nhân số thực Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế A, A 0 Tính chất về giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; A = − A, A < 0 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối : A + B A + B dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; A − B A − B dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0 7
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 A m A m A �m � (m > 0) ; A �m � (hay − m �A �m) với m > 0 A −m A −m Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; A2n 0 với mọi A Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn) 0
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Dạng : x + a = x + b và x + a x+b = x+c Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b) Bài 1 : Tìm x biết : a) x − 2011 = x − 2012 b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 HD : a) x − 2011 = x − 2012 (1) do VT = x − 2011 0, ∀x nên VP = x – 2012 � 0 x 2012 (*) x − 2011 = x − 2012 � � 2011 = 2012(vôly ) Từ (1) � � �� x − 2011 = 2012 − x � � x = (2011 + 2012) : 2 Kết hợp (*) x = 4023:2 b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 (1) Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 2 : Tìm x nguyên biết : x − 1 + x − 2 + ..... + x − 100 = 2500 Bài 3 : Tìm x biết x + 1 + x + 2 + ..... + x + 100 = 605 x Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x − 1 + x − 2 + y − 3 + x − 4 = 3 Bài 5 : Tìm x, y biết : x − 2006 y + x − 2012 0 HD : ta có x − 2006 y 0 với mọi x,y và x − 2012 0 với mọi x Suy ra : x − 2006 y + x − 2012 0 với mọi x,y mà x − 2006 y + x − 2012 0 x− y =0 x − 2006 y + x − 2012 = 0 �� x = 2012, y = 2 x − 2012 = 0 Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2004 = x − 4 + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x1 + 5.3x1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2 b) 3x1 + 5.3x1 = 162 3x 1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4 Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 22 x 3 y HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x = � 2 x −1 = 3 y − x 2 x +1 3x Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = yx = 0 x = y = 1 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1 2n − 1 = 1 (2m 1)(2n – 1) = 1 � m = n =1 2m − 1 = 1 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n 1) = 28 Dễ thấy m n, ta xét 2 trường hợp : + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9 + Nếu m – n 2 thì 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9 Bài 4 : Tìm x , biết : ( x − 7 ) − ( x − 7) x +1 x +11 =0 HD : ( x − 7) − ( x − 7) x +1 x +11 =0 � ( x − 7) 1 − ( x − 7 ) �= 0 x +1 10 � � � 10
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 ( x +1) � ( x − 7) � ( 1 − x − 7 ) �= 0 10 � � x+1 �x −7 � =0 � � � � � � x−7=0�x =7 1−( x−7)10 =0 ( x −7)10 =1 x = 8 x = 6 Bài 5 : Tìm x, y biết : x − 2011y + ( y − 1) = 0 2012 HD : ta có x − 2011y 0 với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y Suy ra : x − 2011y + ( y − 1) 2012 0 với mọi x,y . Mà x − 2011y + ( y − 1) 2012 = 0 x − 2011y = 0 � x = 2011, y = 1 y −1 = 0 Các bài tập tương tự : Bài 6 : Tìm x, y biết : a) x + 5 + (3 y − 4) 2012 = 0 b) (2 x − 1) 2 + 2 y − x − 8 = 12 − 5.22 Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức. 1 . Các kiến thức vận dụng: Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương Tính chất chia hết của một tổng , một tích ƯCLN, BCNN của các số 2. Bài tập vận dụng : * Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 23 y 2 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x22y2=1 HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x M2 mà x NT x = 2. Lại có 1000 – 13y M51 , 1000 – 13y > 0 và y NT y = b) Từ 7( x 2004)2 23 y 2 (1) do 7(x–2004)2 0 �� 23 �y−2 0 y 2 23 y {0, 2,3, 4} Mặt khác 7 là số NT � 13 − y 2 M7 vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1) suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4 11
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 x −1 = 1 x − 1 = −1 c) Ta có xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc y +3= 3 y + 3 = −3 x −1 = 3 x − 1 = −3 hoặc hoặc y +3 =1 y + 1 = −1 d) x2-2y2=1 � x 2 − 1 = 2 y 2 � ( x − 1)( x + 1) = 2 y 2 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khác y nguyên tố �x + 1 = 2 y �x = 3 �� x − 1 = y �y = 2 Bài 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 7 b) Tìm x, y ﾥ biết: 25 − y 2 = 8( x − 2012)2 HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 25 − y 2 = 8( x − 2012)2 y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đó tìm x 1 1 1 Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: + = x y 5 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a 3 3a 2 5 5b và a 3 5c 1 1 1 x M5 HD : a) Từ + = 5 ( x + y) = xy (*) � xy M5 � x y 5 y M5 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không thỏa mãn , nên với q khác 1 ta 5q 5 có y = = 5+ �� Z q − 1 �Ư(5) , từ đó tìm được y, x q −1 q −1 b) a 3 3a 2 5 5b a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a 3 5c a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1) 5b −1 − 1 � a 2 = c −1 Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( vì nếu c >1 thì 5 b – 1 1 không 5 chia hết cho 5 do đó a không là số nguyên.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2 Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 52 p + 2013 = 52 p + q 2 2 2 HD : 52 p + 2013 = 52 p + q 2 � 2013 − q 2 = 25 p − 25 p � 2013 − q 2 = 25 p (25 p − 1) Do p nguyên tố nên 2013 − q 2 M252 và 2013 – q2 > 0 từ đó tìm được q Bài 5 : T ìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7 HD : Với n
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m 1 3 HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m 1 2009 suy ra 2009 không chia hết cho 1006 x + 1 Với x = 1 thay vào không thỏa mãn Với x = 0 thì 2009 :1006 x + 1 = 2009 Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1.Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b *A2n 0 với mọi A, A2n 0 với mọi A * A 0, ∀A , − A 0, ∀A * A + B A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 * A − B A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 2. Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 với mọi a,b Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 13
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 2 b) Q(x) = x + 100x – 1000 HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x 1)2 0 với mọi x , nên P(x) 2010 . Vậy Min P(x) = 2010 khi ( x 1)2 = 0 hay x = 1 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 3500 với mọi x Vậy Min Q(x) = 3500 Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) 2 2 b b 2 b2 HD: P(x) = a x + bx +c = a( x + 2.x. + ( ) ) + ( c ) 2a 2a 4a b 4ac − b 2 4ac − b 2 4ac − b 2 b = a( x + )2 + ( ) , ∀x Vậy Min P(x) = khi x = − 2a 4a 4a 4a 2a Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = a2 + 3a + 4 b) B = 2 x – x2 3 3 9 25 3 HD : a) A = a2 + 3a + 4 = −(a 2 − 2.a. + ( ) 2 ) + (4 + ) = −(a − ) 2 + 2 2 4 4 2 3 25 25 3 Do −(a − ) 0, ∀a nên A , ∀a . Vậy Max A = khi a = 2 4 4 2 c) B = 2 x − x = −( x − 2.x.1 + 1 ) + 1 = −( x − 1) + 1 . Do 2 2 2 2 ∀( ∀ x �−− 1) 0, x B 1, x Vậy Max B = 1 khi x = 1 Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 2012 a 2012 + 2013 a) P = b) Q = x 2 + 4 x + 2013 a 2012 + 2011 * Dạng vận dụng A2n 0 với mọi A, A2n 0 với mọi A Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) do ( x − 2 y ) 2 0, ∀x, y và ( y − 2012)2012 0, ∀y suy ra : P 0 với mọi x,y �x − 2 y = 0 �x = 4024 Min P = 0 khi � � �y − 2012 = 0 �y = 2012 b) Ta có ( x + y − 3)4 0.∀x, y và ( x − 2 y ) 2 0.∀x, y suy ra : Q 2012 với mọi x,y ( x + y − 3) 2 = 0 x=2 Min Q = 2012 khi � � ( x − 2 y )2 = 0 y =1 2013 Bài 3 : Tìm GTLN của R = 4 ( x − 2) 2 + ( x − y ) + 3 3x 2 Bài 4 : Cho phân số: C (x Z) 4x 5 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x Z để C là số tự nhiên. 3 x + 2 3 4.(3 x + 2) 3 12 x + 8 3 23 HD : C = = . = . = .(1 + ) 4 x − 5 4 3.(4 x − 5) 4 12 x − 15 4 12 x − 15 14
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 23 C lớn nhất khi 12 x − 15 lớn nhất � 12 x − 15 nhỏ nhất và 12 x − 15 > 0 � x = 2 3 23 8 Vậy Max C = (1 + ) = khi x = 2 4 9 3 7n 8 Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n 3 7n − 8 7 2(7 n − 8) 7 14n − 16 7 5 HD : Ta có = . = . = (1 + ) 2n − 3 2 7(2n − 3) 2 14n − 21 2 14n − 21 7n 8 5 Để lớn nhất thì lớn nhất � 14n − 21 > 0 và 14n – 21 có giá trị nhỏ 2n 3 14n − 21 21 3 nhất � n > = và n nhỏ nhất n = 2 14 2 * Dạng vận dụng A 0, ∀A , − A 0, ∀A A + B A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0 A−B A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0 Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) A = ( x – 2)2 + y − x + 3 2011 b) B = 2012 − x − 2010 HD: a) ta có ( x − 2)2 0 với mọi x và y − x 0 với mọi x,y A 3 với mọi x,y ( x − 2) = 0 2 x=2 Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi � � y−x =0 y=2 b) Ta có − x − 2010 0 với mọi x 2012 − x − 2010 2012 với mọi x 2011 2011 B B với mọi x, suy ra Min B = khi x = 2010 2012 2012 Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a) A = x − 2011 + x − 2012 b) B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 c) C = x − 1 + x − 2 + ..... + x − 100 HD : a) Ta có A = x − 2011 + x − 2012 = x − 2011 + 2012 − x x − 2011 + 2012 − x = 1 với mọi x A 1 với x . Vậy Min A = 1 Khi ( x −−2011)(2012 � � x) 0 2011 x 2012 b) ta có B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011 Do x − 2010 + 2012 − x x − 2010 + 2012 − x = 2 với mọi x (1) Và x − 2011 0 với mọi x (2) Suy ra B = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011 2 . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) ( x − 2010)(2012 − x) 0 xẩy ra dấu “=” hay � x = 2011 x − 2011 = 0 c) Ta có x − 1 + x − 2 + ..... + x − 100 = ( x − 1 + 100 − x ) + ( x − 2 + 99 − x ) + ..... + ( x − 50 + 56 − x ) x − 1 + 100 − x + x − 2 + 99 − x + .... + x − 50 + 56 − x = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500 Suy ra C 2050 với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi 15
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 ( x − 1)(100 − x ) 0 � 1 x 100 � � ( x − 2)(99 − x) 0 �2 x 99 � � � � � 50 x 56 ............................ � ................ � � ( x − 50)(56 − x ) 0 � � 50 x 56 � Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết của một tổng 2. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n chia hết cho 10 HD: ta có 3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n = 3n + 2 + 3n − 2n + 2 − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (2 2 + 1) = 3n �10 − 2n � 5 = 3n � 10 − 2n−1 � 10 n n = 10( 3 2 ) Vậy 3n + 2 − 2n+ 2 + 3n − 2n M 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2 : Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25 = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100 p m n Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1) m 1 p Chứng minh rằng : p = n + 2 2 HD : + Nếu m + n chia hết cho p � p M(m − 1) do p là số nguyên tố và m, n N* m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2 Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 m = p2 +1 và n = p2
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 Suy ra : A 10 1998 4 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9 b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) Suy ra : A 3638 4133 = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) M7 Bài 5 : a) Chứng minh rằng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương b) Chứng minh rằng: 2a 5b + 6c M 17 nếu a 11b + 3c M 17 (a, b, c Z) Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b M17 10a b M17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f ( x) ax 2 bx c (a, b, c nguyên). CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 HD a) ta có 17a – 34 b M17 và 3a + 2b M17 � 17a − 34b + 3a + 2b M17 � 2(10a − 16b)M17 � 10a − 16bM17 vì (2, 7) = 1 � 10a + 17b − 16bM17 � 10a + bM17 b) Ta có f(0) = c do f(0) M3 c M3 f(1) f(1) = (a + b + c) ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(1) chia hết cho 3 � 2bM3 � bM3 vì ( 2, 3) = 1 f(1) M3 � a + b + c M3 do b và c chia hết cho 3 a M3 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3 102006 + 53 Bài 7 : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 9 b) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n 1 = 4n 1 (1) .Do 4n 1 chia hêt cho 3 và 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n 1 chia hết cho 3 hay 2n 1 là hợp số Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 2.Bài tập vận dụng a b c Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: M không là số nguyên. a b b c c a a b c a b c a +b+c HD : Ta có M = + + > + + = = 1 a +b b+c c+a a +b+c c+a +b a+b+c a+b+c � M > 1 a b c (a + b) − b (b + c) − c (c + a ) − a Mặt khác M = + + = + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a b c a 3−( + + ) = 3 – N Do N >1 nên M
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab bc ca 0 . HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm được ab bc ca 0 Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( 1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100 P(1) = 50 a + b – c + d = 50 P( 0) = 1 d = 1 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x) Bài 2 : Cho f ( x) ax 2 bx c với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . Biết rằng 13a b 2c 0 HD : f( 2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c f(2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0 ( 4a – 2b + c ) = ( 9a + 3b + c) Vậy f(2).f(3) = ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = ( 4a 2b + c)2 0 Bài 3 Cho đa thức f ( x) ax 2 bx c với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) 2b ngyên 2a , 2b nguyên Bài 4 Chứng minh rằng: f(x) ax 3 bx 2 cx d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số nguyên . Do d nguyên a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự. Bài 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = (3 4 x x 2 ) 2004 . (3 4 x x 2 ) 2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + …..+ a4018x4018 Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = 0 Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức: x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + .... − 2012 x 2 + 2012 x − 1 HD : Đặt A = x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + .... − 2012 x 2 + 2012 x − 1 x 2010 ( x − 2011) − x 2009 ( x − 2011) − x 2008 ( x − 2011) + .... − x( x − 2011) + x − 1 tại x = 2012 thì A = 2011 Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế 19
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7 1. Kiến thức vận dụng Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi : y y y y x1 = x2 = x = ..... = x = k ( k là hệ số tỉ lệ ) 3 n y = k.x 1 2 3 n Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi : x.y = a � x1. y1 = x2 . y2 = x3 . y3 = ...... = xn . yn = a ( a là hệ số tỉ lệ ) Tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 2. Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được đều như nhau. Bài 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Bài 4 : Trên quãng đường AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ? Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường 5 5 AB lần lượt là : 40 phút, giờ , giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ? 8 9 PHẦN HÌNH HỌC I. Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau: 20