ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
CHUY N Đ B I D
NG HSG TOÁN 7 Ạ Ố
ự
ệ
Ề Ồ ƯỠ Ề Ầ PH N Đ I S ề : Các bài toán th c hi n phép tính:
Chuy n đ 1
ứ ậ ụ
ế
ề : 1. Các ki n th c v n d ng
ấ ủ
ộ
ừ
Các phép toán v lũy th a:
Tính ch t c a phép c ng , phép nhân ề an =
n
n
a a a . .... 1 2 3 ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a (cid:0) 0, m (cid:0) n) n
(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; (
n
ổ ổ
ố ự
nhiên khác không.
ổ
= (cid:0) b ) ( 0) a b a b
ộ ố 2 . M t s bài toán : Bài 1: a) Tính t ng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n 1) b) Tính t ng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) ớ V i n là s t HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 0) + 2.3.(4 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3 = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 1) + 3.4.5.(6 2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n1))]: 4 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4 T ng quát: ổ Bài 2: a) Tính t ng : S = 1+ a + a
ổ
v i aớ 2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an1 = k
aS = a + a2 +…..+ an + an+1
( a – 1) S = an+1 – 1
+ + + ...... a n c a a . 1 2 c a- . n 1
2 +…..+ an c b) Tính t ng : A = a a . 2 3 HD: a) S = 1+ a + a2 +…..+ an (cid:0) Ta có : aS – S = an+1 – 1 (cid:0) ế N u a = 1
S = n
ế
N u a khác 1 , suy ra S =
(cid:0)
na a
+ - 1 1 1
-
ớ
b)
Áp d ng ụ
v i b – a = k
= - )
Ta có : A =
n
n
1
- - - ) + ..... ) + ) - 1 b c 1 ( k a c 1 ( k a 1 a c 1 ( k a 1 a 1 + a 3
=
n
n
2 1 + a 3
2
1
- - - + ...... ) - 1 a 1 a 1 a
=
2 1 + a 2 1 a
n
ổ ổ
Bài 3 : a) Tính t ng : 1 b) Tính t ng : 1
2 + 22 + 32 + …. + n2 3 + 23 + 33 + …..+ n3
- ) c a b . c 1 ( k a 1 c 1 ( k a 1 c 1 ( k a 1
1
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6 b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2
ự
ệ
Bài 3: Th c hi n phép tính:
a) A =
2
3
2
- - - - - 1 1 + ( + + ... ) 1 4.9 + 9.14 14.19 1 44.49 1 3 5 7 ... 49 89
10 5 .7
=
B
6
3
b)
3
(
)
6 4 .9 +
12 5 2 .3 )
(
125.7
5 25 .49 + 9 5 .14
2 2 .3
4 5 8 .3
- - -
HD : A =
; B =
-
9 28 7 2
Bài 4: 1, Tính: P =
+ - - -
ế
t: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
2, Bi Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
+ - - 1 2003 5 2003 1 2004 5 2004 1 2005 5 2005 2 + 2002 3 + 2002 2 2003 3 2003 2 2004 3 2004
Bài 5: a) TÝnh
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 375,0 3,0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)A : 115 (cid:0) (cid:0) 1890 2005 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,0 625 5,0 25,1 5,2 (cid:0) (cid:0) 3 11 5 11 3 12 5 12
b) Cho
Chøng minh r»ng
.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)B ... 1 2005 1 3 75,015,1 5 3 1 3 3 1 4 3 1 2 3 3
Bài 6: a) Tính :
1 2004 3 1(cid:0)B 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 13 2 10 . 230 46 (cid:0) (cid:0) 1 4 5 27 5 6 3 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) : 12 14 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 1 10 10 3 1 3 1 25 2 7
b) TÝnh
... 1 3 = P 1 2 2011 2010 + 1 + + + + 4 + 1 2012 + + ... 2009 3 1 2
1 2011 HD: Nh n th y 2011 + 1 = 2010+2 = ….
ậ MS = + 1
ấ 2012 1
+ + + - � + + 1 .... 1 2011 2010 2 1 2011
=
c)
= + + + + + + + - 2012 .... 2011 2012( ...... ) 2012 2 1 2 1 3 1 4 1 2012 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 321( ... 100 99 ) 2,1.63( )6,3.21 (cid:0) (cid:0) (cid:0)A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2012 2011 1 2 4321 1 3 ... 1 7 99 1 9 100
2
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ể
Bài 7: a) Tính giá tr c a bi u th c: 11 2 31 19
ị ủ 3 7
ứ 1 3 1 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 15 4. 6 1 . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)A . 1 . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 14 93 31 50 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 12 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 6 1 6
ứ
ỏ ằ
b) Ch ng t
r ng:
2
ị ủ
ứ
ể
Bài 8: a) Tính giá tr c a bi u th c:
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)B 1 ... 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2004 1 2004
2
2
2
ứ
ằ
ổ
b) Ch ng minh r ng t ng:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ,81 624 4: 505,4 125 (cid:0) (cid:0) 4 3 3 4 (cid:0)A (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 88,0: 53,3 )75,2( : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 13 25 11 25 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) S ... .... 2,0 (cid:0) 1 n 4 1 2002 1 2004 1 4 2 1 6 2 2 1 n 4 2 2 2
1 2 2
ỉ ố ằ
ấ ủ
ề
Chuyên đ 2:ề Bài toán v tính ch t c a dãy t s b ng nhau:
ứ ậ ụ
1. Ki n th c v n d ng :
a b
= =� a d . b c .
ế c d
(cid:0) (cid:0) = = = = =
ớ
ỉ ố ề v i gt các t s d u có nghĩa
N u ế
thì
(cid:0) (cid:0) a b e f a b c d a b e f b d e f
Có
= c d = = k Thì a = bk, c = d k, e = fk a b
ỉ ố ằ
ể ứ
ụ
ậ
ấ
V n d ng tính ch t dãy t s b ng nhau đ ch ng minh
ẳ
2
2
e c f d ậ ậ ụ 2. Bài t p v n d ng ạ D ng 1 ứ đ ng th c
ứ
ằ
Bài 1: Cho
2
2
2
= = . Ch ng minh r ng: + + a b c c a b
HD: T ừ
2
2
2
a c c b = suy ra c a b= . a c
khi đó
2
2
2
= c b a b
=
ứ
ằ
ả 0 tho mãn b
2 = ac. Ch ng minh r ng:
Bài 2: Cho a,b,c (cid:0)
2
=
2
=
HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
a c + + a c a b . + + b c a b . + a a b a ) ( + b a b b ) ( R và a,b,c (cid:0) + a b 2012 ) ( + c b 2012 ) (
3
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
= c( a + 2.2012.b + 20122.c)
2
=
Suy ra :
2
th×
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
+ + a c a ( b ( b 2012 ) c 2012 ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a (cid:0) b c d a 5 a 5 b 3 b 3 c 5 c 5 d 3 d 3
HD : Đ t ặ
a = kb, c = kd . + +
= = (cid:0) k
Suy ra :
và
V y ậ
2
2
+ + + = = = = - - - - - - a b + a 5 a 5 k 5 k 5 3 3 c 5 c 5 d 3 d 3 d k (5 d k (5 3) 3) k 5 k 5 3 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) c d b 3 b 3 a 5 a 5 b k (5 b k (5 b c 3 5 b c 3 5 3) 3) d 3 d 3
ớ
ứ
ằ
v i a,b,c, d
Bài 4: BiÕt
2
= (cid:0) 0 Ch ng minh r ng : + + a 2 c b d
ho c ặ
2
2
2
2
2
= = a b
=
(1)
HD : Ta có
2
2
2
2
2
2
2
2
= = = = ( ) + + + + + a b + c d + a b ( + c d ( ) ) a b ab cd b d c d 2 a 2 c a 2 c ab cd d c ab 2 cd 2 + ab b 2 + cd d 2
2
=
(2)
2
2
2
2
2
ừ
T (1) và (2) suy ra :
ế
Xét 2 TH đi đ n đpcm
. Chøng minh r»ng:
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
- - - = = = = ( ) - - + + - a b c d a 2 c b d ab cd a 2 c ab 2 cd 2 + ab b 2 + cd d 2 - (cid:0) = (cid:0) - - = (cid:0) (cid:0) ( ) ( ) - - (cid:0) + a b + c d a b c d = (cid:0) - (cid:0) a b ( c d ( + a b + c d + a b + c d ) ) a b c d b a d c
2
2
2
2
2
vµ
2
2
a (cid:0) b c d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ab cd ba dc a 2 c b d a 2 c b d
ừ
ế
ổ
bi n đ i theo các
ấ HD : Xu t phát t
2
2
2
2
2
2
ướ
ệ
ấ
h
ng làm xu t hi n
2
2
2
2
a (cid:0) b - = = = = = ( ) - a 2 c b d a b c d + 2 a + 2 c b d + a b + c d c d ab cd
Tính
HD : T ừ
Bài 6 : Cho dãy t s b ng nhau: dcb 2 b dc cb a d ba a dcb 2 b a
Suy ra :
ỉ ố ằ dcba a ba dc dcba a + + + a b c d a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a ba dc d 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 c cba d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) M (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d a cb (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) d ba dc 2 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 c cba d + + + + + + a b d 2 2 - - = 1 - = 1 1 1 + + b c d 2 b + c d 2 - = c a b c d
4
ồ ưỡ
ng HSG toán 7
(cid:0)
Giáo án B i d + + + a b c d d
ế
= 4
N u a + b + c + d = 0 ba (cid:0) dc
ế
N u a + b + c + d
= 4
ằ
ứ Bài 7 : a) Ch ng minh r ng:
= = = + + + a b c d b + + + a b c d a (cid:0) + + + a b c d c a + b = ( c+d) ; ( b + c) = ( a + d) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) M (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) dc ba (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) M cb a d (cid:0) 0 (cid:0) d a cb a = b = c = d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ba dc cb a d dc ba d a cb
N u ế
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a 2 4
Thì
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x z y cba b y z x y z x x cb 2 a y 2 2 z cb 4 c 4 4
ứ
b) Cho:
. Ch ng minh:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a b b c c d cba dcb a d
HD : a) T ừ
(cid:0)
(cid:0)
(3)
+ - a a 2 4 = = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) + b c 2 x + - a b c y + b c 4 z + - a a x cb 2 2(2 y cba 4 ) = = = + z a cb 4 4 + b c 4 z x a y 2 a + b c 2 x + - a a 2( ) ) 4 = = = x 2 + - a a 4( ) 4(2 ) 4 = = = - 2 + - a b c y 2 + - a b c (2 y + - a b c y + b c 4 z + b c 4 z + y z x + b c 2 x 2 + b c 2 x 4 4 + (1) z b + + (2) z y c 4 4
ừ
T (1) ;(2) và (3) suy ra :
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z x x y z b y a y 2 2 4 c 4
Bài 8: Cho
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x z z t y z x x x y z t
ứ
ị x z
y ằ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) P (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z t ứ ch ng minh r ng bi u th c sau có giá tr nguyên. y t t ể y t x z z x z x t y t y
HD T ừ
t y z x t y x z (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y z x y y t z + + t y + + x z + + y t
(cid:0)
x t x z y z t x z x t y y z + + = 1 + = 1 + = 1 1
(cid:0)
+ + + + + + + + z x + + y t + + + t + + z x y t + + t y t z t x x z y x + + x z + + + x y t z x y z t = = = x y z t
P = 4
ế ế
N u x + y + z + t = 0 thì P = 4 N u x + y + z + t
0 thì x = y = z = t (cid:0)
(cid:0)
ề
ệ
ố
ỏ
Bài 9 : Cho 3 s x , y , z khác 0 th a mãn đi u ki n :
y x y z = + - x = + - z x + - z x y y z
5
ồ ưỡ
ị ủ
ứ
ể
Hãy tính giá tr c a bi u th c : B =
ng HSG toán 7 z x
Giáo án B i d � �� �� � y x + 1 1 1 � �� �� � z y � �� � � �
2010
2010
2010
2010
2010
2010
x
t
z
t
=
+
+
+
ế
ỏ t x,y,z,t th a mãn:
Bi
ố Bài 10 : a) Cho các s a,b,c,d khác 0 . Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 + 2
2
+ 2
2
2
2
2
2010 y +
+ +
2010 +
a
b
z 2 c
d
x a
y b
c
d
ố ự
ữ ố ỏ
ề
ệ
ấ
ỏ
nhiên M nh nh t có 4 ch s th a mãn đi u ki n:
b) Tìm s t M = a + b = c +d = e + f
+ +
ế
ộ ậ
Bi
t a,b,c,d,e,f thu c t p N
* và
;
;
= = = e f a b c d
ố
ỏ
c) Cho 3 s a, b, c th a mãn :
.
ứ
ể
2
ị ủ Tính giá tr c a bi u th c : M = 4( a b)( b – c) – ( c – a )
= = 14 22 a 2009 11 13 b 2010 13 17 c 2011
ươ
ự
M t s bài t
ng t
ộ ố Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
TÝnh
+ + + + + + + + + a b c d a a b + c d 2012 d 2012 = = = + + b c d 2012 b 2012 c a b c d (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) M (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a ba dc d a cb dc ba
ố + + - z t nx
ỏ + + - =
ề ệ + + - y x =
ố ự
( n là s t
nhiên)
cb a d Bài 12: Cho 3 s x , y , z, t khác 0 th a mãn đi u ki n : x t y nz z nt y + + - z t = x ny y x
ị ủ
ứ
t ể z và x + y + z + t = 2012 . Tính giá tr c a bi u th c P = x + 2y – 3z + t
ỉ ố ằ
ậ ụ
ể
ạ
D ng 2 : V n d ng tính ch t dãy t s b ng nhau đ tìm x,y,z,… ấ
=
=
ặ ố
Bài 1: Tìm c p s (x;y) bi
ế t :
1+3y 1+5y 1+7y 4x 5x
12
ỉ ố ằ
ụ
ấ HD : Áp d ng tính ch t dãy t s b ng nhau ta có:
+
=
=
=
=
=
- - - -
2y x
+ 1 5y 1 3y = 5x 12
2y 5x 12
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 4x
4x 5x
12 2
- - - -
=>
ớ
ỏ
v i y = 0 thay vào không th a mãn
ế
c:ượ
= - - 5
=>1+ 3y = 12y => 1 = 15y => y =
5x y y 2 x x 12 N u y khác 0 => x = 5x 12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đ + 1 3 12
ậ
ề
ả
V y x = 2, y =
tho mãn đ bài
- y 2 = - = y - y 2 1 15 -
1 15
6
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Bài 3 : Cho
= =
(cid:0)
HD : t
ừ
a = b = c = 2012
= = = = 1 b a c b c a Tính b, c. a b b c c a + + a b c + + a b c
y x x 1 2 3 = = =
ố
ế
Bài 4 : Tìm các s x,y,z bi
t :
+ + x x + + z y + - y z 1 + + y x z
ụ + + x 1 x
ừ
ỉ ố ằ HD: Áp d ng t/c dãy t s b ng nhau: + + + - x z y y x ) 2( 2 3 + + z y x z ) ( ượ c x, y, z đó tìm đ
Suy ra : x + y + z = 0,5 t
y x = = = = = 2 + + z y 1 + + (vì x+y+z (cid:0) 0) y z x
y y y = =
ế ằ
t r ng:
HD : T ừ
Bài 5 : Tìm x, bi + 1 2 18
y - + y y y + + 1 6 1 4 x 6 24 - + + y 2(1 2 ) y (1 4 ) + 1 2 = = = = - - y (1 6 ) x + 1 2 18 + 1 6 x 6 2.18 24 + + y 1 4 + 18 24 6
Suy ra :
= + 1 4 24 =� x 1 1 6 1 x 6
)
(x, y, z 0(cid:0)
Bài 6: T×m x, y, z biÕt:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) z x y y z x x 1
HD : T ừ
= = = = + + = y x z x + + y z y + + z x x z z 1 1 z y 2 + + x y + + y x 2( ) 2
ừ
ẳ
T x + y + z =
x + y =
z , y +z =
x , z + x =
ứ y thay vào đ ng th c
ể
ầ
ban đ u đ tìm x.
2
2
2
(cid:0) 1 2 1 2 1 2 1 z + - y 1 2 1 2
vµ
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y z 2 2 1
t : ế
Bài 8 : Tìm x , y bi
- - + x 4 x 3 8 + 1 2 z 3 216 2 5 = = y 3 64 y 4 9 x 5 y 4 x 7
ậ ụ
ể
ấ
Chuyên đ 3ề : V n d ng tính ch t phép toán đ tìm x, y
ứ ậ ụ
ế
1. Ki n th c v n d ng :
ấ
ộ
ố ự Tính ch t phép toán c ng, nhân s th c
ở ấ
ể
ắ
ắ
ặ
ế
Quy t c m d u ngo c, quy t c chuy n v
ấ ề
ệ ố
ị
Tính ch t v giá tr tuy t đ i :
ọ v i ớ m i A ;
ứ ề
ấ ẳ
ệ ố
ị
B t đ ng th c v giá tr tuy t đ i :
(cid:0) (cid:0) 0 A 0A (cid:0) = (cid:0) - (cid:0) A A , < A A , 0
ấ
ấ
A
ẩ d u ‘=’ x y ra khi AB
ẩ d u ‘= ‘ x y ra A,B >0
+ (cid:0) - (cid:0) - B + A B A B (cid:0) 0; A B
7
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ớ
;
v i m > 0
ừ ủ
ố ự
ấ
ớ
Tính ch t lũy th a c a 1 s th c : A
2n (cid:0)
ọ 0 v i m i A ; A
2n (cid:0) 0 v i m i ọ ớ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A m A m > - (cid:0) � � A m m A m � � hay m A m ( 0) ( ) � � (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) A m A m
ế
ẻ
ế
ẵ
A = B (n u n l
ặ ) ho c A =
B ( n u n ch n)
A Am = An (cid:0) m = n; An = Bn (cid:0) 0< A < B (cid:0)
An < Bn ;
(cid:0)
ậ ậ ụ
2. Bài t p v n d ng
ơ ả
ạ
D ng 1: Các bài toán c b n
Bài 1: Tìm x bi
tế
a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013
b)
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + …..+ 2011x = 2012.2013 (cid:0) x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
- - - - x 1 - x 2 + 2011 2010 x 3 = 2009 x 4 2008
ậ
b) Nh n xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
= � x =� x . 2012.2013 2011.2012 2 2.2013 2011
Từ
- - - - x 1 - x 2 + 2011 2010 x 3 = 2009 x 4 2008
+ + + - - - - x x x x ( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( + 2012) 2008 + + = � 2011 2010 2008 2009
- - - - x x x x 2012 2012 2012 2012 + + = - - � 2 2011
2010 1 1 + - - � x 2 ( 2012)(
Bài 2 Tìm x nguyên bi
tế
+ 2011 2010 1 1 + = - - � x ) 2012 2 : ( + 2011 2010 2009 1 2009 1 2009 2008 1 = - ) 2008 1 + 2008
a)
+ + + + = .... - x + x 1 1 1 1.3 3.5 5.7 (2 1 1)(2 49 99 1)
b) 1 3 + 32 – 33 + ….+ (3)x =
10069 4
- 1
ệ ố
ạ
ị
ứ D ng 2 : Tìm x có ch a giá tr tuy t đ i
8
ồ ưỡ
ng HSG toán 7
Giáo án B i d c
+ = + + x a x b x b x
(cid:0) D ng : ạ
+ (cid:0) = + và x a
ả ầ
ị ủ
ồ
ể
ằ
Khi gi
i c n tìm giá tr c a x đ các GTTĐ b ng không, r i so sánh các giá
ị ủ
ể
ả
ị
tr đó đ chia ra các kho ng giá tr c a x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x bi
t :ế
a)
b)
- - x = - x x + - x 2011 2012 2010 = 2011 2012
HD : a)
(1) do VT =
x
2012
(cid:0) � nên VP = x – 2012 0
(*)
- - (cid:0) " x = - x x x 2011 2012 2011 0,
= - = - x � �
ừ
T (1)
2011 = + - - 2012 x 2011 2012 (2011 2012) : 2 x � � x � v ly 2011 2012( ô ) � � = x �
(cid:0)
ế ợ = + - x 2011
x = 4023:2 (1)
- 2012
(1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012
ừ
ạ
(1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (lo i)
(cid:0) (cid:0) x = 2009 :2 (l y)ấ
ừ
t
x = 6033:2(l y)ấ
(cid:0) (cid:0)
:
2011 ậ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ặ ươ ự ng t x 3 4
1
K t h p (*) x 2010 b) ừ ế 2010 t N u x ế N u 2010 < x < 2011 t ế N u x ị V y giá tr x là : 2009 :2 ho c 6033:2 ộ ố M t s bài t Bài 2 : a) T×m x biÕt x
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 2 6 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 42 2 3 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 3 1 3
b) T×m x biÕt: c) T×m x biÕt: Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: 2
t: ế 2
- - - = x x x 3
b) Tìm x bi t :ế 4
Bài 4 : tìm x bi 1 a)
b)
(cid:0) (cid:0) x - x - 2011 2012
x x 8 7
ị 3 + -
t :ế 2010
- x 1 + - x x = 2014 2012 2
(1)
(cid:0) x x x x x x x - + - + - + - = 7 1 7 3 5 8
x 1 - + - + - + - = x x 3 5 7 8 1
ấ
ẩ suy ra ( 1) x y ra d u “=”
do x nguyên nên x (cid:0) {3;4;5}
Hay
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) x (cid:0)� 3 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x
ệ ố ử ụ ạ D ng : S d ng BĐT giá tr tuy t đ i - + - + - + - = x 5 Bài 1 : a) Tìm x ngyên bi t : ế b) Tìm x bi - + - + - + - x 3 5 HD : a) ta có x x Mà 1 3
7 5
(*)
+ - - + - - (cid:0) - (cid:0) + - x x x x x 2010 2014 + 2010 2014 2012 2
+ - - x + - x x 2010 2012 2012 = 2014 2
ẩ
ấ
b) ta có x Mà
nên (*) x y ra d u “=”
Suy ra:
- (cid:0) x (cid:0) =� x 2012 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = 2012 0 x
ươ
ự
ng t
2010 2014 Các bài t
9
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
- + - + + - x x = 100 2500 1
t : ế + + + + x
t ế
2 ..... = x + + x x
x
y
3
x
4
= 3
x 605 + - - - 100 + 2
- (cid:0) x 2 ..... - + 1 + - x y 2012
t :ế y
- (cid:0) (cid:0) x 2006 2012 0
- (cid:0) - (cid:0) x + - y x 2012 0 2006
ớ ọ 0 v i m i x,y và + - x y 2012
ớ ọ v i m i x x 2006
Bài 2 : Tìm x nguyên bi 1 Bài 3 : Tìm x bi Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n: x 2006 Bài 5 : Tìm x, y bi HD : ta có Suy ra :
(cid:0)
(cid:0) 0 v i m i x,y mà - = y - = x x + - y x = y 2012, 2 0 2006 = 2012 - (cid:0) x ��(cid:0) x 0 x - ớ ọ 0 = 2012 0
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. + + = - + - x x x 4
+ + x + + x 10 2004 101 990 1000
ứ
ừ ủ
ạ ố ự
nhiên x, bi
ộ ố ữ ỉ D ng ch a lũy th a c a m t s h u t ế Bài 1: Tìm s t t : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x1 + 5.3x1 = 162 5x = 25 (cid:0) x = 2 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 (cid:0) 5x ( 1+ 52) = 650 (cid:0) 3x – 1 = 27 (cid:0)
b) 3x1 + 5.3x1 = 162 (cid:0)
x = 4
ố ự
3x 1(1 + 5) = 162 (cid:0) ế t:
y
x
2
y x
x
1
x
+ 1
ậ
x = y = 1
10x = 102y (cid:0) ỏ
Bài 2 : Tìm các s t nhiên x, y , bi a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 2 HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x (cid:0) =� 2 3 x 2 x – 1 = yx = 0 (cid:0) x = 2y ng th a mãn :
ấ Nh n th y : ( 2, 3) = 1 b) 10x : 5y = 20y (cid:0) ươ Bài 3 : Tìm m , n nguyên d a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n (cid:0)
2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
n
- - = 3 3 (cid:0)
2m + n – 2m – 2n = 0 (cid:0) - =
(cid:0)
(2m 1)(2n – 1) = 1 (cid:0)
m
(cid:0) (cid:0) 2 = = (cid:0) � m n 1 1 1 - = (cid:0) (cid:0) 2 1 1
2n ( 2m – n 1) = 28 ợ ườ ng h p : n = 8 , m = 9
(cid:0) n, ta xét 2 tr (cid:0)
ố ẻ ớ
ứ
ơ
2 thì 2m – n – 1 là 1 s l
l n h n 1, khi đó VT ch a TSNT khác 2,
ỉ ứ
ẩ
ậ
b) 2m – 2n = 256 (cid:0) ễ ấ D th y m ế + N u m – n = 1 ế + N u m – n mà VT ch ch a TSNT 2 suy ra TH này không x y ra : v y n = 8 , m = 9
x
+ 1
11
+ x =
(cid:0)
)
(
)
x
x
7
7
0
t ế : (
x
+ 1
11
+ x =
- - -
Bài 4 : Tìm x , bi HD : (
)
(
)
x
x
7
0
x
+ 1
- - -
(
)
7 (
) 10 =
�
x
x
7
7
0
� 1 �
� �
- - -
10
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
x
) + 1
(
) (
(
) 10 =
�
x
x
7
7
0
� 1 �
� �
- - -
+ 1 =
0
- =
�
�
x x (
=� x 7 0 7 = 10 7) 1
x � � x 7 � � � � x 1 (
10 = 7)
0
= =
x x
8 6
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
t : ế
= 2012 - - x + y y 2011 ( 1) 0
ớ
ọ
2012
- (cid:0) y 0
2012 (cid:0) x
ớ + y
0 v i m i y = 2012 y ( 2011
ọ ớ
Bài 5 : Tìm x, y bi x HD : ta có Suy ra :
v i m i x,y và (y – 1) ọ Mà v i m i x,y .
- - (cid:0) - - x 2011 + y y ( 0 1) 1) 0
(cid:0)
- (cid:0) 2011 = y x 0 2011 = = (cid:0) � x y 2011, 1 - = (cid:0) y
ự
ng t
:
2
b)
= 2012 + 2 - - - - x y - = x + + 5 (3 0 (2 1) 2 8 12 5.2 1 0 ậ ươ Các bài t p t t : ế Bài 6 : Tìm x, y bi y x 4) a)
ế
ị
ị
ứ
ủ Chuyên đ 4ề : Giá tr nguyên c a bi n , giá tr ể ủ c a bi u th c.
ấ
ế
ế ệ
ố ợ ố ố
ươ
, h p s , s chính ph
ng
ấ
ộ
Ư
ậ ậ ụ :
ủ
ứ
ệ i d ng tìm nghi m c a đa th c
2
ố ự
x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 2 ế
t:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) y 23
ứ ậ ụ : 1 . Các ki n th c v n d ng D u hi u chia h t cho 2, 3, 5, 9 ấ ủ ố Phân tích ra TSNT, tính ch t c a s nguyên t ộ ổ ế ủ Tính ch t chia h t c a m t t ng , m t tích ố ủ CLN, BCNN c a các s 2. Bài t p v n d ng ướ ạ * Tìm x,y d Bài 1: a) Tìm các s nguyên t ố ố nhiên x, y bi b) Tìm s t c) Tìm x, y nguyên bi
ả
22y2=1
ừ
2M
ạ
(cid:0) x (7 2004 ) t: xy + 3x y = 6 ố tho mãn : x 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là s NT nên x
ố y =
2
2
51M , 1000 – 13y > 0 và y NT (cid:0)
2
2
2
ặ
ố
(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2004 23 ) (cid:0) - (cid:0) y 23 {0, 2,3, 4}
ặ
(1) y �� �� y 0 23 7y-� M v y y = 3 ho c y = 4 thay vào (1) 13 ặ
ế ọ ố d) Tìm m i s nguyên t HD: a) T 51x + 26y = 2000 mà x NT (cid:0) x = 2. L i có 1000 – 13y b) T ừ x (7 do 7(x–2004)2 (cid:0) 0 M t khác 7 là s NT suy ra : x= 2005 ,y =4 ho c x = 2003, y = 4
y ậ
11
( x – 1)( y + 3) = 3 (cid:0)
c) Ta có xy + 3x - y = 6 (cid:0)
ho c ặ
- = (cid:0) (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0)
ồ ưỡ Giáo án B i d x 1 1 + =
ng HSG toán 7 - = - 1 + = - 3
ho c ặ
ho c ặ
2
2
2
(cid:0) (cid:0) y y 3 3 3 - = (cid:0) (cid:0) x x 3 (cid:0) (cid:0) 1 3 + = (cid:0) (cid:0) y 1
- = - 1 + = - 1 - = - � � x y y x 1)( 2 ( y 3 1 d) x2-2y2=1
ặ
ố
ố
2
1 2 ế + = x 1) do VP = 2y2 chia h t cho 2 suy ra x > 2 , m t khác y nguyên t + = = y 3 � � 1 2 y - = 1 x � � x � x � � = y �
ỏ y
t: ế
ừ
2
= 2 - - ﾥ bi (cid:0)
y2 (cid:0)
(2x 1)( 2y + 1) = 13 25 và 25 – y2 chia h t cho 8 , suy ra y = 1 ế
ặ
= 2 - - y
+
=
ị
ươ
ủ
ng c a x và y, sao cho:
Bài 3 a) Tìm giá tr nguyên d
1 x
1 y
1 5
ả ng tho mãn :
3
2 : x – y + 2xy = 7 Bài 2 a) Tìm các s nguyên th a mãn ,x y (cid:0) b) Tìm x 25 8( 2012) 2x – 2y + 2xy = 7 (cid:0) HD : a) T x – y + 2xy = 7 (cid:0) b) T ừ x 8( 25 ừ ặ ho c y = 3 ho c y = 5 , t 2012) đó tìm x
a
ươ c 5
b 5
ố b) Tìm các s a, b, c nguyên d 3 (cid:0) 3 2 a
và
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 5
+
5 ( x + y) = xy (*)
HD : a) T ừ
1 x
1 y
1 = (cid:0) 5
ớ
ố ự
ế
ặ
ỏ
ớ
+ V i x chia h t cho 5 , đ t x = 5 q ( q là s t nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy (cid:0) 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 không th a mãn , nên v i q khác 1 ta
(cid:0) x � xy M 5 � (cid:0) (cid:0) y M 5 M 5
Ư
ừ
ượ
có
(5) , t
đó tìm đ
c y, x
c
3
(cid:0)
b 5
a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà
a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)
2
ươ
ế
Do a, b, c nguyên d
ng nên c = 1( vì n u c >1 thì 5
b – 1 1 không
c
1
ế
ố
ớ
a = 2 và b = 2
2
p
p
2
2
2
chia h t cho 5 do đó a không là s nguyên.) . V i c = 1 Bài 4: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: +
5 = - � y �� Z q = + 5 1 - - q q 1 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a a 5 3 (cid:0) 5 5 q b) - - 3 2 a b 1 5 1 =� a - 5 (cid:0)
2
2
p
p
p
p
p
2
2
2
2
+ = q 5
2
2013 5 = + + = 2 - - - - � q = q 25 25 1)
p 25 (25 ượ
HD : 5 Do p nguyên t ấ ả
đó tìm đ c q ế chia h t cho 7
� q- 2013 2013 5 ố 2013 ừ
2 (cid:0)n
Bài 5 : T ìm t ớ HD : V i n < 3 thì 2
*
3(cid:0)
ặ
ặ
q 2013 và 2013 – q2 > 0 t 2 M nên 25 ươ ố t c các s nguyên d ng n sao cho: 1 n không chia h t cho 7 ế
khi đó n = 3k ho c n = 3k + 1 ho c n = 3k + 2 (
)
*
ế
ậ
ớ
V i n ớ Xét n = 3k , khi đó 2n 1 = 23k – 1 = 8k – 1 = ( 7 + 1)k 1 = 7.A + 1 1 = 7.A 7M Xét n = 3k +1 khi đó 2n – 1 = 23k+1 – 1 = 2.83k – 1 = 2.(7A+1) 1 = 7A + 1 không ế chia h t cho 7 Xét n = 3k+2 khi đó 2n – 1 = 23k +2 1 = 4.83k – 1 = 4( 7A + 1) – 1 = 7 A + 3 không chia h t cho 7 . V y n = 3k v i
k N(cid:0)
ể ể
ế
ị
* Tìm x , y đ bi u th c có giá tr nguyên, hay chia h t:
k N(cid:0) ứ
12
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
Bài 1 T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m
+ 1.
b)
(cid:0) 1 3
ế
(cid:0)m 3 ế
ế
ế
, suy ra m 1 không chia h t cho 2m +1
ậ
+ m - < 1 1 2
HD : a) Cách 1 : N u m >1 thì m 1 < 2m +1 , suy ra m 1 không chia h t cho 2m +1 N u m < 2 thì V y m Cách 2 : Đ ể
(cid:0)
- 3 < 3m – 1 < 3 (cid:0)
vì m nguyên
b)
- - � � � + - m m m m (cid:0) { 2; 1; 0; 1} + M m m 1 2 + M m 1) 2 + M 3 2 (2 2( 1 1 1 1 (cid:0) - + M m 1) 3 2 = m 0 < (cid:0) m (cid:0)m 3 1 3 (cid:0) = (cid:0) m 1 2 3 4 < (cid:0) 3
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6
1(cid:0)x 3(cid:0)x
b) T×m
A =
=
. HD: A =
chia hÕt cho 2 Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. + x x 21 1 2( + x x 3
®Ó A(cid:0) x 21 x 3
Zx (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = - 2 7 + (cid:0) (cid:0) x + 3) 6 3 3
x x
Bài 3: Tìm x nguyên đ ể 2012 1006
HD :
+ 5 + 1 x 2(1006 = + 2 + + + + x x 2009 x 1006 1) 2009 x 1 1006 1
ố
(cid:0) x là s CP.
� M 2009 1006 1x + x x + 5 + = 1 + 5 + 1 >
ố
suy ra 2009 không chia
x + > 1006 1 2012 2009
ế
1x +
ỏ x + = 1 2009
2009 :1006 2012 1006 đ ể 2012 1006 ớ V i x >1 và x là s CP thì h t cho 1006 ớ V i x = 1 thay vào không th a mãn ớ V i x = 0 thì
ứ
ể
ấ
ị ỏ ấ ủ
Giá tr l n nh t , giá tr nh nh t c a bi u th c:
ứ ậ ụ
ớ ọ 0 v i m i a,b ớ ọ 0 v i m i a,b ớ ọ 0 v i m i A
(cid:0) " - (cid:0) " A 0,
+ (cid:0) " (cid:0)
ớ ọ 0 v i m i A, A A A 0, , + A B
A B A B , ,
- (cid:0) - " (cid:0) A B A B , ,
ấ ấ
ẩ d u “ = ” x y ra khi A.B d u “ = ” x y ra khi A,B ẩ
0 0
ứ
ẳ
ớ ọ 0 v i m i a,b
ỏ
ị ớ Chuyên đ 5 : ề ế 1.Các ki n th c v n d ng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 (cid:0) * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 (cid:0) *A2n (cid:0) 2n (cid:0) A * * * A B ậ ậ ụ : 2. Bài t p v n d ng 2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 (cid:0) ậ ụ ạ * D ng v n d ng đ ng th c : a Và a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 (cid:0) ớ ọ 0 v i m i a,b ứ ấ ủ ị Bài 1: Tìm giá tr nh nh t c a các đa th c sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012
13
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ậ
ớ
ọ
0 v i m i x , nên P(x)
2010 . V y Min P(x) = 2010
ọ
ớ 3500 v i m i x
ậ ừ
ủ
b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x. + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x 1)2 (cid:0) khi ( x 1)2 = 0 hay x = 1 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 (cid:0) V y Min Q(x) = 3500 ổ T đây ta có bài toán t ng quát : Tìm GTNN c a đa th c P(x) = a x
2 + bx +c ( a > 0)
2
2
(cid:0)
HD: P(x) = a x2 + bx +c = a( x2 + 2.x.
+
) + ( c
)
ứ b a 4
2
2
2
2
ậ
= a(
V y Min P(x) =
khi x =
( ) b a 2 - - - 4 4 4 - + + (cid:0) " x x ) ( ) , b a 2 ac b a 4 b a 2 ac b a 4
ứ
ể
ỏ
Bài 2 : Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c sau:
a) A = a2 + 3a + 4 b) B = 2 x – x2
2
2
b a 2 ị ac b a 4 ấ ủ
HD : a) A = a2 + 3a + 4 =
+ - - - a a ( + 2 ) ) + (4 ( ) ( 3 + a 2. . 2 3 2 9 = - ) 4 3 2
ậ
. V y Max A =
Do
nên A
2
2
- - (cid:0) " (cid:0) " a a a , ( ) 0,
khi a = - � x
ấ ủ
ứ
ể
Bài 3 : Tìm giá tr l n nh t c a các bi u th c sau:
2012
a) P =
b) Q =
2
2012
" (cid:0) " - = - 2 - - - x B x 25 4 3 2 1) 0, ( 1, x x x + x ( 1) 1 ( 25 4 + = - + 2 x 2. .1 1 ) 1 25 4 . Do
+ + x 3 2 c) B = 2 ậ V y Max B = 1 khi x = 1 ị ớ 2012 + x+ 4 2013 a a 2013 2011
ạ
ớ ọ
0 v i m i A, A
2n (cid:0)
ớ ọ 0 v i m i A
2n (cid:0) ứ
ể
* D ng v n d ng A Bài 1 : Tìm GTNN c a bi u th c :
2012
2
ớ
suy ra : P 0(cid:0)
ọ v i m i x,y
Min P = 0 khi
(cid:0)
- (cid:0) " - (cid:0) " y x y y 2 ) ( ( - x y , 2 4024 -
ậ ụ ủ a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) do 0, 0, x � � y � 4
ọ
suy ra : Q (cid:0)
ớ 2012 v i m i x,y
b) Ta có
2012 2 (cid:0) " - (cid:0) " 2012) = x �(cid:0) � = y � x + - y x x y , y 2 ) 3) 0. 0. (
(cid:0)
Min Q = 2012 khi
và = y 0 = 2012 0 và ( = 2 3) = 2
(cid:0) (cid:0) x y , + - y 2 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) =(cid:0) x � = y 1 (cid:0) y 2 ) x ( � x (
4
Bài 3 : Tìm GTLN c a ủ R =
0 2013
(x (cid:0)
Z)
Bài 4 : Cho phân s : ố
ạ
ị ớ
ấ
ố ự
ể ể
a) Tìm x (cid:0) b) Tìm x (cid:0)
ấ Z đ C đ t giá tr l n nh t, tìm giá tr l n nh t đó. Z đ C là s t
ị ớ nhiên.
+ 2 - - x ( + y ) 3 (cid:0) x ( x 3 2) 2 (cid:0) C (cid:0) x 4 5
HD :
+ + + x x x 3 2 4.(3 2) 12 8 = = = = + C . .(1 ) - - - - x x x 23 x 4 5 3 4 3.(4 5) 3 . 4 12 15 3 4 15 12
14
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ấ
ớ
ấ
ớ
ấ
ỏ
C l n nh t khi
l n nh t
nh nh t và
� x - x - 12 15 12 > 15 0 x =� 2 12 15
ậ
V y Max C =
cã gi¸ trÞ lín nhÊt
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè
+ (1 ) = khi x = 2 23 x - 23 9 3 4 8 3 (cid:0)
HD : Ta có
ớ
ớ
ấ
và 14n – 21 có giá tr nhị
ỏ
Đ ể
l n nh t
l n nh t thì ấ
(cid:0) 8 3 7 2 - - - = = + = ) (1 - - - - n n n n 5 n n n 7 2 21 14 8 3 8) 3) 16 21 7 2(7 . 2 7(2 (cid:0) � n - > 21 0 14 (cid:0) 21
nh t ấ
n = 2
,
= � n 7 n 2 n > 7 14 . 2 14 5 n - 14 ấ (cid:0) ỏ và n nh nh t 3 2 (cid:0) " - (cid:0) " A A A A 0, 0,
+ (cid:0) " (cid:0) A ,
0 0
- (cid:0) - " (cid:0) A B A B
ứ
ể
, ị n 7 n 2 8 3 21 14 ậ ụ ạ * D ng v n d ng + A B A B B , Bài 1: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
x- A B , ỏ a) A = ( x – 2)2 + y
ẩ ấ d u “ = ” x y ra khi A.B d u “ = ” x y ra khi A,B ấ ẩ ấ ủ + 3
b) B =
2
- - 2011 x 2010
ớ
ớ
ớ
ọ
HD: a) ta có
A (cid:0)
3 v i m i x,y
(cid:0) (cid:0) (cid:0) x- y 0 2012 x - 2) ( 0
ấ
ỏ Suy ra A nh nh t = 3 khi
ọ v i m i x,y = x � = y
ọ v i m i x và = 2 x 2) ( � - = x y
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) 0 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 0 (cid:0)
ớ
ọ
ớ
ọ
b) Ta có
v i m i x
2012
v i m i x
- - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) x x 2010 0 2010 2012
ọ
ớ
khi x = 2010
v i m i x, suy ra Min B =
(cid:0) (cid:0) B B 2011 2012
ể
2012
+ - x B = - A x = - x 2012
2011 + - x x 100
=
- - (cid:0) - x 1 = - A x x x x - = + 2011 2012 1 2012
x
1A = - x B
- - (cid:0) x ( 2011 2012 2 ..... + - x ậ - - + - x x x x 2012 x ) 0 + - x ) 2011 x (cid:0)� � 2011)(2012 + 2010 2012
ớ
ọ v i m i x (1)
- - (cid:0) - x x x x + 2011 2012 2011 (cid:0) v i x . V y Min A = 1 Khi ớ = + - 2011 ( 2010 - = + 2010 2012 2012 2
(cid:0) + 2010 x - 0
ớ ọ v i m i x (2) + - + x ) 2012 2010
ậ
2(cid:0)
. V y Min B = 2 khi BĐT (1) và (2)
ấ ẩ x y ra d u “=” hay
2011 = - - x x 2011 ( 2011 2012 ị ỏ ấ ủ ứ Bài 2 : Tìm giá tr nh nh t c a các bi u th c + - x 2011 a) + - x 2010 b) - + - + c) C = HD : a) Ta có ọ ớ v i m i x b) ta có Do Và Suy ra B - - (cid:0) (cid:0) x x ) 0 (cid:0) =� x 2011 - (cid:0) ( x 2010)(2012 = 2011 0
c) Ta có x x 1 - +
- + - + + - - - - - + x x + x x 100 2 ) - + x ( - + 1 + 99 + ) ..... ( 50 56 )
= 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
(cid:0) - x = ( + - x x x 50 56
ớ
(cid:0) 100 - + 2 99 ọ .... ậ x 2 ..... - + - + + x x x v i m i x . V y Min C = 2500 khi 1 100 Suy ra C 2050
15
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x ) 0 1)(100 100 - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x 2)(99 ) 0 99 (cid:0)� x 50 56
- - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 50)(56 ) 0 56 x ( � � x ( � � ............................ � � x ( � 1 � � 2 �(cid:0) � ................ � � x 50 �
ứ
ế
ạ
Chuyên đ 6ề : D ng toán ch ng minh chia h t
ế
ấ
ứ ậ ụ ế
ủ n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n
ộ ổ
ứ
ươ
ng n thì :
+
n
2
+
+
+
+
n
n
2
2
- -
3 n 3
2
n
n
n
n-
1
- - - -
1) � �
� 10
+
+
n
n
2
+ 2
- -
ớ
ọ
ố
ươ
- -
1.Ki n th c v n d ng ệ * D u hi u chia h t cho 2, 3, 5, 9 ữ ố ậ * Ch s t n cùng c a 2 ế ủ ấ * Tính ch t chia h t c a m t t ng ậ ậ ụ 2. Bài t p v n d ng: ọ ố ằ ớ Bài 1 : Ch ng minh r ng : V i m i s nguyên d + + ế n n n 2 chia h t cho 10 2 2 3 + + n n n n n 2 2 HD: ta có = 2 3 3 2 2 3 + + - n 2 2 = 3 (3 1) 2 (2 = n = � 3 10 2 5 3 10 2 = 10( 3n 2n) V y ậ
M 10 v i m i n là s nguyên d
ng.
n 3
n 3
2
2
ứ
ỏ ằ
r ng:
Bài 2 : Ch ng t
ế
ố
ế
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là s chia h t cho 100 HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25 = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia h t cho 100
ố
ố
=
(1)
N* và p là s nguyên t
ả tho mãn:
Bài 3 : Cho m, n (cid:0)
ằ
ứ
nm (cid:0) p p 1(cid:0)m
ế
ố
ố do p là s nguyên t
và m, n
N*
(cid:0)
(m + n)(m – 1) = p2
(cid:0)
ố
và m, n
2 = n + 2 Ch ng minh r ng : p p m - ế � M HD : + N u m + n chia h t cho p ( (cid:0) ặ ừ (1) ta có p m = 2 ho c m = p +1 khi đó t ế ế + N u m + n không chia h t cho p , t N* (cid:0) ố Do p là s nguyên t (cid:0) m = p2 +1 và n = p2 < 0 (lo i) ạ 2 = n + 2 ậ V y p
cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9
(cid:0) 1) 2 = n + 2 ừ ( 1) m – 1 = p2 và m + n =1
38
33
chia hÕt cho 7
(cid:0)A 4 101998 (cid:0)
ố ự
nhiên khác không)
Bài 4: a) Sè kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là s t 4 = 3.1 + 1
(cid:0)A 36 (cid:0) 41
16
Giáo án B i d
(cid:0)A 101998 (cid:0) 4
ồ ưỡ ng HSG toán 7 = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia h t cho 3 , không ế
N*)
38
33
N*) = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 7M
Suy ra : ế chia h t cho 9 b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k (cid:0) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q(cid:0) 36 (cid:0) Suy ra :
(cid:0)A 41
n
n
n
n
4
2
ọ
ươ
ng
ế
ớ ế chia h t cho 30 v i m i n nguyên d M 17 (a, b, c (cid:0) Z) M 17 n u a 11b + 3c
Bài 5 : ằ ứ a) Ch ng minh r ng: 3 ằ ứ b) Ch ng minh r ng: 2a 5b + 6c
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 3 2 2
(a, b (cid:0)
Z )
ứ Bài 6 : a) Ch ng minh r ng: b) Cho đa th c ứ
ằ xf )( ế
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ba b 2 M 17 10 M 17 a 3 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ax
ế
ề �
ế b 16 ) 17
(a, b, c nguyên). c ị ủ ọ CMR n u f(x) chia h t cho 3 v i m i giá tr c a x thì a, b, c đ u chia h t cho 3 + M HD a) ta có 17a – 34 b 17M và 3a + 2b 17 b a 17 34 + �M b 16 17 17
bx ớ - - M � a 2(10 - � b a + a 3 + a b 10 M b 2 17 M 17 -� a 10 b 16 17 10 M vì (2, 7) = 1
b) Ta có f(0) = c do f(0) 3M
(cid:0) M 3c
ế
� �M b (cid:0) M 3a
f(1) f(1) = (a + b + c) ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(1) chia h tế cho 3 b 2 3 f(1) 3 ậ V y a, b, c đ u chia h t cho 3
2006
M vì ( 2, 3) = 1 3 + + M do b và c chia h t cho 3 a b c 3 ế �M ề
lµ mét sè tù nhiên
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng
+ 10 53
lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh
9
lµ
2 (cid:0)n 2 (cid:0)n 1 1
ế
lµ hîp sè b) Cho HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n 1 = 4n 1 (1) .Do 4n 1 chia hêt cho 3 và sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n 1 chia h t cho 3 hay 2
n 1 là h p s ợ ố
2 (cid:0)n 1
ấ ẳ
ứ Chuyên đ 7ề : B t đ ng th c
ế
ứ ậ ụ
ỹ
ộ
ậ
ế 1 < a2 < a3 <…. < an thì n a1 < a1 + a2 + … + an < nan <
n
n
1.Ki n th c v n d ng * K thu t làm tr i : N u a 1 + a 1
< + + � ..... 1 na 1 a
* a(a – 1) < a2 < a( a+1) * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 (cid:0)
< < � - 1 2 a 1 na 1 1 a a ( 1)
1 a 2 1 + a a 1) ( 0 , * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 (cid:0)
ớ ọ 0 v i m i a,b
17
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ậ ậ ụ
2.B ài t p v n d ng
ứ
ỏ ằ
r ng:
ố không là s nguyên.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) M
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Ch ng t
(cid:0) (cid:0) (cid:0) a ba b cb c ac
HD : Ta có
1M >�
= + + > + + = = M 1 a + a b b + b c c + c a a + + a b c b + + c a b c + + a b c + + a b c + + a b c
ặ
M t khác
- - - b c a ( = + + = + + M a + a b b + b c c + c a + a b ) + a b + b c ) ( + b c + c a ( ) + c a
3 (
= 3 – N Do N >1 nên M < 2
ậ
ố
V y 1 < M < 2 nên M không là s nguyên
0(cid:0)
ứ
ằ
- ) b + + a b c + + b c a + c a
(1) ,
ớ (2) v i a, b, c
33
Bài 2 Ch ng minh r ng :
2
2
2
2
2
2
+ (cid:0) a b ab + + (cid:0) a b c abc 2
HD :
ọ
ớ Do (*) đúng v i m i a,b nên (1) đúng
ố ươ
ớ
ứ
ằ
ng .
Ch ng minh r ng
Bài 3 : V i a, b, c là các s d
+ - - � + a b � � ab a + ab b � � ab a + ab b a b ) ( 4 2 4 2 � � 0 ( ) + (cid:0) a b ab 2 � (*) 0
a)
(1) b)
(2)
2
2
+ (cid:0) (cid:0) + a b + + a b c ( )( ) 4 ( )( ) 9 1 a 1 b 1 a 1 + + b 1 c
HD : a) Cách 1 : T ừ
Do (*) đúng suy ra (1) đúng
+ - �� + a b + a b a b ( )( ) 4 ) ( �� ab 4 ( ) � (*) 0 1 a 1 b
Cách 2: Ta có
và
ẩ
ấ
D u “ =” x y ra khi a = b
+ = � + a b ab ( )( � ) 2 . 4 + (cid:0) a b ab 2 1 a 1 + (cid:0) b 1 a 1 b 2 ab 2 ab
b)
Ta có :
= + + + = + + + + + + + + a b c ( )( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) 1 a 1 + + b 1 c + b c a + a c b + a b c a b b a b c c b a c c a
ạ
L i có
2; 2; 2 a b b + (cid:0) a b c c + (cid:0) b a c c + (cid:0) a
ẩ
ấ
Suy ra
3 2 2 2 9
+ + + = D u “ = ” x y ra khi a = b = c
ố ươ
ng.
Bài 4 : a) Cho z, y, z là các s d
(cid:0) + + a b c ( )( ) 1 a 1 + + b 1 c
ứ
ằ
Ch ng minh r ng:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y y z x z y x z y z x 2 2 2 3 4
18
ng HSG toán 7 ca
bc
0(cid:0)
(cid:0) (cid:0)
ồ ưỡ ằ ab
.
ab
ca
bc
ứ 0(cid:0)
Giáo án B i d b) Cho a, b, c tho mãn: a + b + c = 0. Ch ng minh r ng: ượ
ả HD : b) Tính ( a + b + c)2 t ừ
cm đ
c
(cid:0) (cid:0)
Ch uyên đ 8ề
ộ ẩ
ứ
ề : Các bài toán v đa th c m t n
ứ
ế
3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) t P(1) = 100 , P( 1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3)
a + b + c + d = 100 a + b – c + d = 50
d = 1
ượ
c P(x)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ế ằ
t r ng 0 f(2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)
( 4a – 2b + c ) = ( 9a + 3b + c)
ậ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f )3( 0 ba c 13 2
ế ằ
ớ
0 v i a, b, c là các s th c. Bi
t r ng f(0); f(1);
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ax bx
ị
ị
Bài 1 : Cho đa th c P(x) = a x Bi HD : ta có P(1) = 100 (cid:0) P(1) = 50 (cid:0) P( 0) = 1 (cid:0) P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 ượ ừ T đó tìm đ c c, d, và a và XĐ đ Bài 2 : Cho 2 ố ữ ỉ ớ v i a, b, c là các s h u t . c bx ax xf )( ỏ ằ ứ f ).2( . Bi Ch ng t r ng: HD : f( 2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c (cid:0) ậ ấ Nh n th y ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0 (cid:0) 2 (cid:0) V y f(2).f(3) = ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = ( 4a 2b + c) Bài 3 Cho đa th c ứ 2 ố ự f(2) có giá tr nguyên. Ch ng minh r ng 2a, 2b có giá tr nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên (cid:0)
c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên
xf )( ứ c ằ
a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) 2b ngyên (cid:0)
3
2
(cid:0)
2a , 2b nguyên ọ ớ
ị
ứ
có giá tr nguyên v i m i x nguyên
ỉ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) cx ax
bx ố
ọ
ớ
ế
ươ
ề
ng t ỏ ấ
ặ
ậ
ượ ạ ự c l . ể ượ c sau khi b d u ngo c trong bi u
2
2
(cid:0)
ổ 43(
ứ 2005 )
ứ
ả ử
o + a1x + a2x2 + …..+ a4018x4018
2009
2011
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x
ứ x
ể + .... 2012
2011
2009
Bài 4 Ch ng minh r ng: f(x) ằ d khi và ch khi 6a, 2b, a + b + c và d là s nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số N u f(x) có giá tr nguyên v i m i x ị nguyên . Do d nguyên (cid:0) a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên (cid:0) 2b nguyên (cid:0) i cm t 6a nguyên . Chi u ng Bài 5 : Tìm t ng các h s c a đa th c nh n đ ệ ố ủ 2004 th c: A(x) = x ) 43(. HD : Gi s A( x) = a Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = 0 Bài 6 : Cho x = 2011. Tính giá tr c a bi u th c: ị ủ + 2008 2012 + 2010
2009
+ 2010 - - - - 2012 2012 2012 2 + 2008 - - - - + .... 2012 x 2012 1 x 2010 - - - - - - - x 2012 2008 x x x x x 2012 x ( x 2011) x ( + 2011) .... 1 x 2011) x + - x x ( 1 ( x x 2012 2011)
t
Chuyên đ 9 ề Các bài toán th c tự ế
x ặ HD : Đ t A = x (cid:0) ạ x i x = 2012 thì A = 2011
19
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
Tính ch t đ i l
ớ ạ ượ
ỉ
:
n
2
ng x khi và ch khi = ( k là h s t l ệ ố ỉ ệ
)
= = = = k .....
ứ ậ ụ 1. Ki n th c v n d ng ậ : ỉ ệ thu n ậ thu n v i đ i l y x n
ạ ượ
ị ngh ch khi
:
c g i là hai đ i l =
ượ ọ = = ......
ng t l ệ ố ỉ ệ
n
: ng x đ = x y . 3 3
2
ỉ ệ ( a là h s t l
)
a x y .n y y 3 x x 2 3 ị ngh ch ạ ượ = x y . 2
ế ấ ạ ượ ng t l ạ ượ ỉ ệ ng y t l Đ i l y y = k.x (cid:0) 1 x 1 ỉ ệ ng t l ng y và đ i l � x y . 1 1 ỉ ố ằ
ấ ạ ượ Tính ch t đ i l ạ ượ Đ i l x.y = a ấ Tính ch t dãy t s b ng nhau. 2. Bài t p v n d ng ng pháp gi *Ph
ậ ậ ụ ả : i
ạ ượ
ị ế
ạ ượ
t , đ i l
ố
ậ
ỉ ỉ
đó xác đ nh các đ i l ng đã bi ệ ữ
ị ngh ch)
thu n hay t l
ấ
ụ
ỉ ệ ỉ ố ằ
ươ ừ ọ ỹ ề Đ c k đ bài , t ạ ượ Ch ra các đ i l Ch rõ m i quan h gi a các đ i l Áp d ng tính ch t v đ i l
i
ộ ậ
ấ ề ạ ượ ộ
ạ
ứ
ạ
ể ớ ậ ố ỏ ộ
ầ ạ ậ
ế ằ
ạ
ờ
ọ
ồ
ớ
ượ
ớ
ỗ ọ ỗ ớ
ớ ỗ ớ
ỗ ọ ố
ỏ
ồ
ỗ ọ ồ c 4 cây, M i h c sinh l p 7C tr ng ế ằ t r ng s cây m i l p tr ng
ự ị
ế
ả
ờ
A đ n B trong th i gian d đ nh. Sau khi đi đ
ượ ử c n a
ơ ự ị
ườ
ế
ớ
ng trong bài toán ầ ng c n tìm ạ ượ ỉ ệ ng ( t l ể ả ỉ ệ và tính ch t dãy t s b ng nhau đ gi ng t l ậ ạ Bài 1 : M t v t chuy n đ ng trên các c nh hình vuông. Trên hai c nh đ u v t ứ ư ớ ậ ố ộ ể chuy n đ ng v i v n t c 5m/s, trên c nh th ba v i v n t c 4m/s, trên c nh th t ể ổ ớ ậ ố v i v n t c 3m/s. H i đ dài c nh hình vuông bi t r ng t ng th i gian v t chuy n ố ạ ộ đ ng trên b n c nh là 59 giây ớ Bài 2 : Ba l p 7A,7B,7C có 94 h c sinh tham gia tr ng cây. M i h c sinh l p 7A ồ ồ tr ng đ ọ ượ đ ư ượ ề đ Bài 3 : M t ô tô ph i đi t quãng đ
ượ c 3 cây, M i h c sinh l p 7B tr ng đ c 5 cây,. H i m i l p có bao nhiêu h c sinh. Bi c đ u nh nhau. ộ ng ô tô tăng v n t c lên 20 % do đó đ n B s m h n d đ nh 10 phút.
ờ
ừ ậ ố ừ
Tính th i gian ô tô đi t
ế A đ n B.
ườ
ừ
ừ
ế
A đ n B, Bình đi t
Bài 4 : Trên quãng đ ớ
ng AB dài 31,5 km. An đi t ế
ặ
ờ
ế B đ n A. ớ ậ ố V n t c An so v i Bình là 2: 3. Đ n lúc g p nhau, th i gian An đi so v i Bình đi là 3: 4.
ớ
ườ
ườ
i đi t
Tính quãng đ
ơ
ờ ề ỗ ộ
ầ ượ ỗ
ấ ủ
ộ ỏ
ườ
ằ
ậ ố
ừ
ấ
ở
ề ứ ấ
ứ ế
ứ
ế
ỗ ặ ng m i ng i lúc g p nhau ? ộ ư ố ượ ệ Bài 5 : Ba đ i công nhân làm 3 công vi c có kh i l ng nh nhau. Th i gian hoàn ộ ệ ủ ộ thành công vi c c a đ i І, ІІ, ІІІ l n l t là 3, 5, 6 ngày. Biêt đ i ІІ nhi u h n đ i ІІІ là 2 ng i và năng su t c a m i công nhân là b ng nhau. H i m i đ i có bao nhiêu công nhân ? Bài 6 : Ba ô tô cùng kh i hành đi t th hai là 3 Km/h . Bi
A v phía B . V n t c ô tô th nh t kém ô tô ườ ứ ng
ứ t th i gian ô tô th nh t, th hai và th ba đi h t quãng đ
ầ ượ
ờ
ậ ố
ỗ
AB l n l
t là : 40 phút,
gi
, ờ
gi
. Tính v n t c m i ô tô ?
ơ 5 8
5 9
Ọ
Ầ
PH N HÌNH H C
ộ ố ươ
ứ
I.
M t s ph ứ
ng pháp ch ng minh hình hoc ằ
ạ
ẳ
1.Ch ng minh hai đo n th ng b ng nhau
:
20
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ườ
ế
ạ
ứ ạ ẳ ng trung tuy n, đ
ồ ưỡ ẳ ạ ộ ủ ự ủ ng trung tr c c a đo n
ự
ể
ạ
ẳ
ộ
ị
ứ
ằ
ứ
P2 : Ch ng minh hai tam giác b ng nhau ch a hai đo n th ng đó ứ ằ ạ ứ Ch ng minh hai đo n th ng đó là hai c nh bên c a m t tam giác cân ấ ườ ự D a vào tính ch t đ th ngẳ D a vào đ nh lí Pyta go đ tính đ dài đo n th ng 2.Ch ng minh hai góc b ng nhau : P2 : Ch ng minh hai tam giác b ng nhau ch a hai góc đó ằ
ủ
ở
đáy c a m t tam giác cân
ặ
ứ ứ ứ
ẳ
ườ
ộ ng th ng song song mà hai góc đó là c p góc so le
ị
ự
ủ
ng phân giác c a tam giác
ể
ứ
ấ ườ ẳ
:
ẹ
ố
Ch ng minh hai góc đó là hai góc Ch ng minh hai đ ồ trong ,đ ng v D a vào tính ch t đ 3. Ch ng minh ba đi m th ng hàng P2 : D a vào s đo c a góc b t ( Hai tia đ i nhau) ủ
ớ
ườ
ẳ
ạ
ng th ng th 3 t
ườ ườ
ẳ ẳ
ộ
ứ ớ ườ
ố ng th ng cùng vuông góc v i đ ể ng th ng đi qua m t đi m và song song v i đ
ườ
ế
ấ
ự
ộ i m t đi m ẳ ng th ng th 3 ườ ng trung tuy n, phân giác, trung tr c, đ
ể ứ ng
ườ
ứ
ẳ
ng th ng vuông góc
ị
ự Hai đ Hai đ ự D a vào tính ch t 3 đ cao 4. Ch ng minh hai đ P2 : Tính ch t c a tam giác vuông, đ nh lí Py – ta – go đ o ả ấ ủ
ẳ
ẳ
ng th ng vuông góc
ấ
ườ ng cao
ể
ự
ộ ng trong tam giác
ệ ữ ườ ườ ườ ẳ ng th ng đ ng quy( đi qua m t đi m ) ấ ủ ẳ
ạ
ừ
ạ
ộ
ề ị đó v n đ nh lí v
ộ
ng th ng song song và đ Qua h gi a đ ự ng trung tr c, ba đ Tính ch t 3 đ ồ ườ ứ 5 . Ch ng minh 3 đ P2 : D a vào tính ch t c a các đ ườ 6. So sánh hai đo n th ng, hai góc : P2 : G n hai đo n th ng , hai góc vào m t tam giác t ậ ẳ quan h gi a c nh và góc đ i di n trong m t tam giác , BĐT tam giác
ắ ệ ữ ạ ự
ệ ữ ườ
ế
ườ
ố D a vào đ nh lí v quan h gi a đ
ng xiên và hình chi u, đ
ng
ệ ề ng vuông góc .
ị ườ xiên và đ ậ ậ ụ Bài t p v n d ng
II.
ạ
ẳ
ằ
D
ứ
E 1
ướ
Bài 1 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đo n th ng AD ằ vuông góc và b ng AB; AE vuông góc và b ng AC. Ch ng minh: DC = BE và DC ả
ng gi
^ BE i
A
C n CM : 090 BAE
0
1 I 2 K ﾥ 1 = B
2
0
= ﾥ I ﾥ = BAC DAC ủ ầ
=
ố ỉ
( Hai góc đ i đ nh) và
HD: Phân tích tìm h ầ ể *Đ CM DC = BE c n CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) (cid:0) ﾥ ầ = DAC BAE Có : ﾥ ﾥ + ể ọ * G i I là giao đi m c a AB và CD ﾥ DC ^ BE c n CM B+ ể Đ CM : 90 1 ﾥ ﾥ Có ﾥ ﾥ I D+ I= I 1
2
1
1
C 90
21
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ầ
(cid:0)
C n CM
( vì ∆ABE = ∆ ADC)
1
1
ﾥ ﾥ B D=
ặ
, m t khác AB = AD, AC = AE (gt)
ﾥ + BAE
0
ﾥ = DAC BAE DC = BE
ạ
( ∆ ADI vuông t
i A) và
( vì
2
1
1
1
1
0
ﾥ I= ﾥ ﾥ B D=
ﾥ ﾥ I D+ = 90 DC ^ BC ﾥ I 90
ờ ả L i gi i (cid:0) a) Ta có ﾥ ﾥ ﾥ = = 090 BAC DAC Suy ra ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) (cid:0) ể ọ b) G i I là giao đi m c a AB và CD Ta có ﾥ I 1 ∆ABE = ∆ ADC) (cid:0)
(cid:0)
1
2
ủ ố ỉ ( Hai góc đ i đ nh) , ﾥ = B+ *Khai thác bài 1:
ừ
ạ
ẻ
ừ
ể
ấ DC = BE vµ DC ^ BE khi ∆ABD và ∆ ACE vuông cân, v y n u ậ ế ^ CD t ẳ i D thì ba đi m E, K, B th ng
ừ
ạ
ứ
ẳ
ứ
ể
ạ
ượ DC ^ BE mà BK ^ CD t
i K suy ra ba đi m E, K,
c
ẳ
T bài 1 ta th y : có ∆ABD và ∆ ACE vuông cân , T B k BK hàng Ta có bài toán 1.2 Bài 1. 1: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . T B k ẻ BK ^ CD t i K ể ằ Ch ng minh r ng ba đi m E, K, B th ng hàng ừ HD : T bài 1 ch ng minh đ B th ng hàng
*Khai thác bài 1.1 ọ
ế
ừ
ẻ
ể
ừ
ủ
MA ^ BC t
đó ta có
ọ
ẻ
ể
ằ
MA ^ BC
ng gi
ứ ả i
ọ
ể
∆AHC vuông t ầ ạ
ta c n CM i Hạ ầ ạ i H ta c n t o ra 1 tam giác
N
ạ
ấ AM t
ầ
T bài 1.1 n u g i M là trung đi m c a DE k tia M A thì bài toán 1.2 Bài 1.2: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . G i M là ủ Ch ng minh r ng : trung đi m c a DE k tia M A . ướ Phân tích tìm h ể ủ HD: G i H là giao đi m c a tia MA và BC MA ^ BC (cid:0) Đ CM (cid:0) Đ CM ∆AHC vuông t ể ằ vuông b ng ∆AHC ể Trên tia AM l y đi m N sao cho AM = MN ẻ i Q K DQ C n CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g)
1 ^ D (cid:0) M E
, ﾥ
ﾥ = ﾥ ACB = BAC ADN A Q 1
ﾥ
ể
B
(cid:0) CM: ND = AC , ﾥ 1N (cid:0) CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c) (cid:0) Có AD = AB (gt) C n ầ CM : ND = AE ( = AC) và ﾥ = BAC ADN + Đ CM ND = AE (cid:0) CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c)
H
C
22
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
0
0
ﾥ ﾥ = BAC ADN
vì ﾥ
ể + Đ CM (cid:0) ﾥ ﾥ + EAD ADN (cid:0) CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA)
ﾥ = = + EAD BAC 180 180
ờ ả i ủ
ể
ấ
AM t
ố ỉ
( hai góc đ i đ nh)
^
0
0
(cid:0)
( c p góc so le trong ) ﾥ
ặ
L i gi ể ọ G i H là giao đi m c a tia MA và BC , Trên tia AM l y đi m N sao cho AM = MN ạ ẻ k DQ i Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) vì : ﾥ AM = MN ; MD = ME (gt) và ﾥ = EMA DMN DN = AE ( = AC) và AE // DN vì ﾥ ﾥ = 1N MAE ﾥ + EAD ADN
ặ ﾥ ( c p góc trong cùng phía) mà + EAD BAC
ﾥ = BAC ADN ứ ( ch ng minh
(cid:0) (cid:0) ﾥ ﾥ = = 180
180 ﾥ = BAC ADN =
^ BC
Xét ∆ABC và ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN và ﾥ ﾥ trên ) (cid:0) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) (cid:0) 1N Xét ∆AHC và ∆DQN có : AC = DN , ﾥ (cid:0)
và ﾥ = 1N BAC ADN ạ ∆AHC vuông t
∆AHC = ∆DQN (g.c.g) (cid:0)
i H hay MA
ủ
ể
^ BC , ng
ủ
ẽ
ể
ạ
ừ + T bài 1.2 ta th y v i M là trung đi m c a DE thì tia MA ế n u AH
* Khai thác bài toán 1.3 ượ ạ ấ ớ c l i H thì tia HA s đi qua trung đi m M c a DE , ta có bài to
^ BC t
i án 1.4
ằ
ế
ứ
ẻ ừ
ọ A đi qua trung đi mể
ng vuông góc k t
A đ n BC . Ch ng minh r ng tia H
ẳ
ườ ạ
ư
i nh sau:
ﾥ ACB ﾥ = ﾥ ACB
ạ
ẻ
i Q, ER ﾥ = DAQ HBH
^
ị ả ướ ng gi ^ AM t ạ i R . ( Cùng ph ụ ﾥBAH )
∆AHB = ∆DQA ( C nhạ
R D M 1 E 2
ọ DQ = AH (1) ( cùng ph ụ ﾥCAH ) = ACH EAR ∆AHB = ∆DQA ( C nhạ ọ
ề
ﾥ A Q 1
ừ
ER =
(cid:0)
ố ỉ
2
1
Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . G i H là chân đ ủ c a đo n th ng DE ừ HD : T bài 1.2 ta có đ nh h AM t K DQ Ta có : + ﾥ AD = AB (gt) (cid:0) ề huy n – góc nh n) (cid:0) + ﾥ AC = AE (gt) (cid:0) huy n – góc nh n) (cid:0) ER = AH ( 1) . T (1) và (2) DQ ạ L i có ( hai góc đ i đ nh ) ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) (cid:0) MD = ME hay
ﾥ ﾥ M M= B (cid:0) H
ể
M là trung ủ đi m c a DE
ấ ớ
ủ
ừ
ể
+ T bài 1.3 ta th y v i M là trung đi m c a DE thì tia MA
^ DE , ng
ượ ạ c l
i
C
23
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ể
ẽ
ớ
ế n u H là trung đi m c a
ủ BC thì tia KA s vuông góc v i DE, ta có bài toán 1.4
ẽ
ằ
ể
ằ
ọ
ứ
ằ
ớ
A vuông góc v i DE
ừ
ả
i bài toán 1.4
ấ
ượ
Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. V ra phía ngoài tam giác đó hai đo n ạ ẳ th ng AD vuông góc và b ng AB; AE vuông góc và b ng AC . G i H trung đi m ủ c a BC . Ch ng minh r ng tia H ễ ạ HD : T bài 1.3 ta d d ng gi ể Trên tia AH l y đi m A’ sao cho AH = HA’ D CM đ
c ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
D
M
0
E
( c p góc trong
ễ A’B = AC ( = AE) và ﾥ ﾥ + AC // A’B � BAC ABA
A
0
(cid:0) ﾥ ' (cid:0) ﾥ = HAC HA B ặ = ' 180
ﾥ ﾥ = ﾥ = DAE ABA ' 180
B
0
0
mà �
(cid:0)
cùng phía) Mà ﾥ + � DAE BAC Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) (cid:0) ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) ﾥ ﾥ = DAE ABA ' ﾥ AA ' ﾥ ADE B= ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ = + = + ADE MDA ADE B AA ' 90 ớ Suy ra HA vuông góc v i DE
H
C
ấ
ể
ườ
A'
ẻ ừ
ớ
ằ
Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên ạ ấ ố ủ c nh BC l y đi m D, trên tia đ i c a tia CB l y ẳ ể ng th ng đi m E sao cho BD = CE. Các đ ầ ắ vuông góc v i BC k t D và E c t AB, AC l n ượ ở t l
ạ
ắ
ủ
ể
ẳ ẳ
i trung đi m I c a MN. ộ
ạ
ố ị
ể
i I luôn đi qua m t đi m c đ nh khi D
ổ
ờ
ả
i
i gi DM = EN
A
90
( MD, NE ^
090
M
i A)
ạ ( ∆ABC cân t ắ
ể
ạ
i trung
C
= ﾥ D E=
I
ẳ ầ
ủ
ể
C n cm IM = IN
B
E
D
H
ườ
(cid:0)
ứ M, N. Ch ng minh r ng: a) DM = EN ườ b) Đ ng th ng BC c t MN t ớ ườ c) Đ ng th ng vuông góc v i MN t ạ thay đ i trên c nh BC * Phân tích tìm l ể a) Đ cm (cid:0) Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) (cid:0) Có BD = CE (gt) , ﾥ BC) ﾥ ﾥ = BCA CBA ườ b) Đ Cm Đ ng th ng BC c t MN t đi m I c a MN (cid:0) Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) G i H là chân đ
ng vuông góc k t
N
O
ủ
ể
ẳ
ớ
ố ị
ể
ầ
ọ ẻ ừ A ớ ố xu ng BC , O là giao đi m c a AH v i ẻ ừ (cid:0) ườ I ng th ng vuông góc v i MN k t đ
C n cm O là đi m c đ nh
24
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ể
ể
ố ị
ầ
AC
^
ầ
090
ﾥ =
và ﾥ
Đ cm O là đi m c đ nh (cid:0) C n cm OC (cid:0) ﾥ = C n cm OAC OCN (cid:0) ﾥ ầ = C n cm : OBA OCA (cid:0) C n cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
ầ *Khai thác bài 2
ấ
ừ
ể ạ
ư
ể
ậ
i bài toán nh sau:
ườ
ẳ
ạ
ắ
i I .
T bài 2 ta th y BM = CN , v y ta có th phát bi u l Bài 2.1 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đ ng th ng BC c t MN t Chøng minh r»ng:
ủ
ể
a) I là trung đi m c a MN
A
ả
ể ả
ẻ
ầ
i bài 2.1 ta c n k MD
1
D
b) §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đ iổ ờ i gi l i: ả ừ ờ T l i bài 2 đ gi i gi ^ BC ( D (cid:0) BC) NE ^
BC ( E(cid:0) BC)
B
H
K
ạ
C
I
ể
ườ
ầ ượ ở
ườ
D và E
ể
ng th ng AB và AC l n l ủ
ﾥ ﾥ OBM OCM=
ằ
ứ
E
ượ
i A, K là Bài 3 : Cho ∆ABC vuông t ẻ ườ ủ ạ trung đi m c a c nh BC . Qua K k đ ng ẳ ắ ớ ẳ ng th ng này c t th ng vuông góc v i AK , đ ẳ t các đ ọ G i I là trung đi m c a DE . a) Ch ng minh r ng : AI BC ỏ ơ b) Có th nói DE nh h n BC đ
c không ?
ờ
i
0
^
ể
ầ
0
ả i gi ủ BC (cid:0) = 90
+ = 90
=
ầ
090 và ﾥ
ạ
ạ
i I và ∆AKC cân t
i K
ể vì sao? *Phân tích tìm l ể ọ a) G i H là giao đi m c a BC và AI ﾥ ﾥ AI ^ Đ cm C n cm A ACK 1 ﾥ ﾥ + ể Đ cm A ACK 1 (cid:0) Có ﾥ ﾥ + AEK EAK ﾥ (cid:0) = c n cm 1A (cid:0) C n cm ∆AIE cân t b) Đ so sánh DE v i BC
ﾥ ﾥ AEK = ACK CAK
ầ ể ầ
ớ ớ
c n so sánh IE v i CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)
(cid:0) ớ So sánh AI v i AK ( vì AI = IE, AK = CK) Có AI (cid:0) AK
(cid:0)
25
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ễ
ầ
i K
c n cm
và
0
(cid:0) = ﾥ AEK ﾥ 1A
ả : i c ∆AIE cân t ﾥ =
ứ mà ﾥ
ạ i I và ∆AKC cân t AI ^ = +
BC
(cid:0)
(cid:0)
090
ạ ﾥ ﾥ A ACK 1
ớ
AK DE BC(cid:0) , DE = BC khi K trùng v i I khi đó ∆ABC vuông
ủ
ể
ườ
ẳ
Đ ng th ng đi
ờ L i gi ượ a)D dàng ch ng đ ﾥ = ACK CAK b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI (cid:0) i Aạ cân t Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung đi m c a BC.
ủ
ớ
ạ
ắ
qua M và vuông góc v i tia phân giác c a góc A t
i H c t hai tia AB, AC l n l
ầ ượ ạ i
t t
ứ
ằ
E và F. Ch ng minh r ng:
2
A
2
2
+
=
a)
AH
AE
EF 4 ﾥ
ﾥ 90 + AEK EAK
b)
.
ﾥ = ﾥ 2BME ACB B
c) BE = CF
E
ơ
ả
ì gi
i
l
-
1
M
B
ị
ụ
C
H
Áp d ng đ nh lý Py –tago cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2
D
Mà D AHE = D AHF (gcg) nên HF =
F
EF; AF = AE
2
2
2
1 2
Suy ra:
= + AE AH
D ﾥ F=
D -
1
ﾥ ﾥ = CMF ACB F ﾥ D - ﾥ = BME E B
1
- - + )
-
Suy ra ﾥ AFH 1E cã ﾥACB lµ gãc ngoµi suy ra ﾥ 1E lµ gãc ngoµi suy ra ﾥ cã ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ = ACB F E B ( ) ( ﾥ ﾥ = (®pcm). 2BME ACB B Suy ra AE = AF và ﾥ 1E AHF EF ) =>
D ﾥ F= (cid:0) D - - CMD g c g BE CD ( (1)
ị
(c p góc đ ng v ) Do đó
CF = CD ( 2)
= D BME ﾥ ﾥ CDF F=
D (cid:0) CDF =� ) cân (cid:0)
ố ủ
ọ
Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nh n .Trên tia đ i c a
tia
ố ủ
ể
ể
ấ
AB l y đi m D sao cho AD = AB , trên tia đ i c a tia AC l y đi m E sao cho AE =
ấ AC.
ằ
ủ
ứ
ủ
ể
ể
a) Ch ng minh r ng : BE = CD. b) G i M là trung đi m c a BE , N là trung đi m c a CB. Ch ng minh M,A,N
ẳ
ứ ọ th ng hàng.
EF 4 = D Tõ AEH XÐt CMF BME vËy ﾥ + CMF BME ﾥ hay = D T ừ AHE ừ ẽ T C v CD // AB ( D ﾥ ﾥ = ạ ồ ặ L i có: 1E CDF ừ T (1) và (2) suy ra BE = CF
26
ấ ỳ ằ
ọ
ồ ưỡ Giáo án B i d ượ ầ
ế ủ
ữ c)Ax là tia b t k n m gi a hai tia AB và AC. G i H,K l n l
ng HSG toán 7 t là hình chi u c a
ứ
BC.
ể ổ
ị
B và C trên tia Ax . Ch ng minh BH + CK ủ d) Xác đ nh v trí c a tia Ax đ t ng BH
ị ị ớ
ấ
D
E
ờ
ả
i gi
i
+ CK có giá tr l n nh t. *Phân tích tìm l
ể a) Đ cm BE = CD (cid:0)
ầ C n cm
(cid:0)
M
N
A
k
K
ẳ
0
D ABE = D ADC (c.g.c)
I
B
C
0
ﾥ = ﾥ BAN BAM= 180
C n cmầ
ể b) Đ cm M, A, N th ng hàng. (cid:0) ầ C n cm (cid:0) (cid:0) + BAN NAD 180
H
ﾥ =
ﾥ
x
ﾥ ﾥ = MAB NAD
ể
D ABM = D ADN (c.g.c)
Đ cm BH + CK
ủ BC
(cid:0)
ị ớ ớ
ớ
Có ﾥ ﾥ = MAB NAD ể Đ cm (cid:0) ầ C n cm ọ c) G i là giao đi m c a BC và Ax (cid:0) ể (cid:0) ầ BH BI CK CI ; C n cm Vì BI + IC = BC ấ d) BH + CK có giá tr l n nh t = BC khi đó K,H trùng v i I , do đó Ax vuông góc v i BC
ườ
ề
ở
ng cao AH.
ủ ỉ
ề
ẽ
ộ
ớ
ọ mi n ngoài c a tam Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nh n, đ ậ giác ABC ta v các tam giác vuông cân ABE và ACF đ u nh n A làm đ nh góc vuông. K EM, FN cùng vuông góc v i AH (M, N thu c AH).
a) Ch ng minh: EM + HC = NH.
ẻ ứ ứ
b) Ch ng minh: EN // FM.
(cid:0) (cid:0)
N
ờ
ả
*Phân tích tìm l
i
i gi EM + HC = NH
ể
E F
ầ
M A
ể
ầ
ạ
(cid:0)
ể
ầ
c n cm ∆AFN
ạ
a) Đ cm (cid:0) C n cm EM = AH và HC = AN c n cm ∆AEM + Đ cm EM = AH ề =∆BAH ( c nh huy n – góc nhon) + Đ cm HC = AN ề =∆CAH ( c nh huy n – góc nhon)
(cid:0)
B
H 27 C
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
( c p góc so le trong)
ọ
AEF
ể
ể b) Đ cm EN // FM (cid:0) ﾥEF ﾥ ặ = N ủ ể G i I là giao đi m c a AN và EF (cid:0) ﾥ đ cm AEF (cid:0) ầ C n cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g)
ạ
ườ
ế
i A , đ
ng cao AH, trung tuy n AM. Trên tia
Bài 7 : Cho tam ABC vuông t
ể
ể
ấ
ấ
ố
ố đ i tia MA l y đi m D sao cho DM = MA. Trên tia đ i tia CD l y đi m I sao cho CI
ẽ ườ
ắ ườ
ẳ
ớ
ẳ
ạ
= CA, qua I v đ
ng th ng song song v i AC c t đ
ng th ng AH t
ứ i E. Ch ng
minh: AE = BC
ờ
ả
*Phân tích tìm l
i gi
i
ọ
ể
ầ
ủ đ Cm AE = BC c n cm : ∆AFE = ∆ CAB
ể
E
0
= N ﾥEF
ầ
(1);
0
= = ﾥ C BAC 90 ﾥ AF ﾥ
F
= 90
ﾥ = C BAC
090
ể
Đ Cm CI // AE
A
I
B
M
ề
ọ
H
C
BAC =
( vì cùng
D
G i F là giao đi m c a BA và IE (cid:0) ể Đ cm : ∆AFE = ∆ CAB (cid:0) C n cm AF = AC (2); ﾥ = (3) EAF ACB ﾥ ể + Đ cm (1) : AF (cid:0) Cm CI // AE vì có FI // AC và ﾥ (cid:0) (cid:0) Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) ể + Đ cm (2) : AF = AC (cid:0) Cm ∆AFI = ∆ ACI ( C nhạ huy n – góc nh n) + Cm (3) : ﾥ ph ụ ﾥHAC )
*Khai thác bài toán :
ﾥ = EAF ACB
ừ
ấ
T bài 7 ta th y AH
AM (cid:0)
HE (cid:0)
AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC)
ấ
ậ
ớ
V y HE l n nh t = 3AM =
BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân
(cid:0)
ủ
ừ
ọ
ủ
ẳ
ạ
ắ
ắ
ể ng th ng vuông góc v i tia phân giác c a góc A, c t tia này t
M k i N, c t tia AB t
ẻ ạ i
ớ ứ
ạ
ắ
ằ
Bài 8 Cho tam giác ABC có AB < AC. G i M là trung đi m c a BC, t ườ đ E và c t tia AC t
i F. Ch ng minh r ng:
3 2
28
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
a) AE = AF b) BE = CF AB
c)
ờ
ả
* Phân tích tìm l
i gi
i
ể
a) Đ cm AE = AF
(cid:0)
A
∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)
ặ
ạ
Ho c ∆AEF cân t
i A
F
ừ
ừ
( Có AH v a là tia phân giác , v a là
B
C
ươ
đ
ng cao)
M
N
ể
I
ầ ạ
ứ
b) Đ cm BE = CF (cid:0)
ặ c n t o tam giác ch a BE( ho c
E
ằ
ạ
có 1 c nh = BE) mà b ng tam giác
MCF
(cid:0) AC (cid:0) AE 2
∆MBI = ∆CMF( c. g . c)
(cid:0)
ể
ạ
ẻ + K BI // AC (cid:0)
Đ cm BE = CF
∆ BEI cân t
i B
(cid:0)
Có ﾥ
( c pặ
(cid:0) (cid:0) ﾥ ﾥE BEI ﾥ = = BIE ABF
ồ
ị
ạ
góc đ ng v ) mà
vì ∆AEF cân t
i A
c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF
= ﾥ E ﾥAF E
(cid:0)
2 AE = AB + AC hay
ọ
ng cao AH. V
ườ ự ủ
ự ủ
ọ
ủ
ể
ớ
Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nh n, đ ẽ ể các đi m D, E sao cho AB là trung tr c c a HD, AC là trung tr c c a HE. G i I, K ầ ượ l n l
ứ
i A
ố
t là giao đi m c a DE v i AB và AC. a) Ch ng minh : Tam giác ADE cân t ạ b) Tính s đo các góc AIC và AKB ?
*Phân tich tìm h
ngướ
(cid:0) AB AC (cid:0) AE 2
gi
i ả
A
Xét TH góc A < 900
ạ
i A
ầ
ể a) Đ cm ∆ ADE cân t (cid:0)
c n cm : AD = AH = AE
K E I D
29 B C H
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ườ
ự
ụ ( Áp d ng t/c đ
ng trung tr c)
ự
b) D đoán CI
IB , BK ^
KC
ủ
Do IB, KC tia phân giác góc ngoài c a ∆ HIK
nên HA là tia phân giác trong. Do ﾥ
nên HC
^
090
ủ
ỉ
ỉ
ắ là tia phân giác ngoài đ nh H . Các tia phân giác góc ngoài đ nh H và K c a ∆ HIK c t
AHC =
ở
ủ
nhau
C nên IC là tia phân giác c a góc HIK , do đó IB
ượ ng
ứ IC , Ch ng minh t
t
ự
KC
ta có BK ^
Xét TH góc A>900
*Khai thác bài toán :
ộ ạ
ấ ỳ
ể
ể
ấ
ọ
G i M là đi m b t k thu c c nh BC , qua M l y đi m D’, E’ sao cho AB là trung
ự ủ
ự ủ
ạ
tr c c a D’M, AC là trung tr c c a ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân t
i A và góc
DAC có
ừ
T đó ta có bài toán sau:
D
A
ể
ọ
Bài 9.1 Cho tam giác ABC nh n . Tìm đi m M
ể
ẽ
ế
ạ
trên c nh BC sao cho n u v các đi m D, E
E
ườ
ự ủ
trong đó AB là đ
ng trung tr c c a MD, AC là
ườ
ự ủ
ộ
đ
ng trung tr c c a ME thì DE có đ dài nh
ỏ
C
B
H
M
nh t.ấ
ự ậ
ễ
ượ
HD . T nh n xét bài 9 d dàng tìm đ
c
ể
ạ
ị
v trí đi m M trên c nh BC.
ớ Bài 10. Cho ∆ ABC v i góc A không vuông và
E
ủ
ể
ọ
góc B khác 135o. G i M là trung đi m c a BC.
A
D
P
ề
ẽ V phía ngoài ∆ ABC v ∆ ABD vuông cân đáy
ườ
ẳ
ớ
AB. Đ ng th ng qua A vuông góc v i AB và
Q
ườ
ẳ
ắ
ớ
đ
ng th ng qua C song song v i MD c t nhau
ạ
ườ
ắ
ạ
ạ
t
ẳ i E. Đ ng th ng AB c t CE t
i P và DM t
i Q
C
B
M
ủ
ứ
ể
ằ
. Ch ng minh r ng Q là trung đi m c a BP.
H
^
30
ồ ưỡ
Giáo án B i d
ng HSG toán 7
ố ủ
ể
ấ
HD. Trên tia đ i c a tia MQ l y đi m H
sao cho MH = MQ
Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c)
BQ = CH (1) và ﾥ
(cid:0)
BQ//CH hay PQ // CH ( vì ﾥ
ﾥ = MBQ MCH
(cid:0)
ặ c p góc so le trong)
ố
0
ỏ ơ
ữ
ằ
PQ = CH (2) , Do Q n m gi a B và P dù góc B nh h n 135
N i PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) (cid:0)
ừ
T (1) và (2) Suy ra đpcm.
ạ
ắ
ở
i A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B c t AC
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông t
ẻ
ớ
ườ
ể
ấ
D. K DH vuông góc v i BC.
Trên tia AC l y đi m E sao cho AE = AB . Đ ng
ẳ
ớ
ạ
ắ
ở
ứ
ằ
th ng vuông góc v i AE t
i E c t tia DH
K .
Ch ng minh r ng :
a) BA = BH
b) ﾥ
ﾥ,MBQ MCH là
045
B
c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK
I
4
3
21
ề
ạ
HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( c nh huy n – góc
K
nh n)ọ
H
ẻ ườ
ẳ
ớ
b) Qua B k đ
ng th ng vuông góc v i EK ,
A
ạ
ắ c t EK t
i I
E
D
C
Ta có : ﾥ
, Cm ∆HBK = ∆IBK ( c nhạ
DBK =
090
ề
ạ
huy n – c nh góc vuông)
ABI =
(cid:0)
(cid:0)
ﾥ DBK =
045
ﾥ B 3
4
mà ﾥ B 1
2
c)Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = ….. = 2.4 = 8 cm
ừ
ấ
ế
ậ
* T bài ta th y khi
thì chu vi ∆DEK = 2. AB v y n u có chu vi
ﾥ B= ﾥ B=
045
∆DEK = 2 thì ta cũng cm đ
c ượ ﾥ
.
ﾥ DBK =
045
DBK =
31
