CHUYÊN ð: ðI S T HP
Phương Xuân Trnh http://ebook.here.vn
T Toán Trương THPT Lương Tài
1
CHUYÊN ð ðI S T HP
I/ LÝ THUY"T CƠ B%N
1)Quy tc cng:
Có n
1
cách chn ñi tưng A
1
.
n
2
cách chn ñi tưng A
2
.
A
1
∩ A
2
= ∅
⇒ Có n
1
+ n
2
cách chn mt trong các ñi tưng A
1
, A
2
.
2)Quy tc nhân:
Có n
1
cách chn ñi tưng A
1
.
ng vi m i cách chn A
1
, có n
2
cách chn ñi tưng A
2
.
⇒ Có n
1
.n
2
cách chn dãy ñi tưng A
1
, A
2
.
3) Hoán v:
− M i cách s&p th( t) n ph*n t+ gi là mt hoán v. c/a n ph*n t+.
− S hoán v.: P
n
= n!.
4) Ch!nh h"p:
− M i cách l4y ra k ph*n t+ t6 n ph*n t+ (0 < k ≤ n) và s&p th( t) c/a chúng gi
là mt ch;nh hp ch<p k c/a n ph*n t+.
− S các ch;nh hp:
k
n
n!
A
(n k)!
=−
5) T h"p:
− M i cách l4y ra k ph*n t+ t6 n ph*n t+ (0 ≤ k ≤ n) gi là mt t= hp ch<p k c/a
n ph*n t+.
− S các t= hp:
k
n
n!
C
k!(n k)!
=−
− Hai tính ch4t
k n k
n n
C C
−
=
k 1 k k
n 1 n 1 n
−
− −
+ =
6) Nh. th(c Newton
n
n k n k k
n
k 0
0 n 1 n 1 n n
n n n
(a b) C a b
C a C a b ... C b
−
=
−
+ =
= + + +
∑
− S hEng t=ng quát (S hEng th( k + 1):
k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
− ðJc biKt:
n 0 1 2 2 n n
n n n n
(1 x) C xC x C ... x C
+ = + + + +
CHUYÊN ð: ðI S T HP
Phương Xuân Trnh http://ebook.here.vn
T Toán Trương THPT Lương Tài
2
II / M'T S VÍ D+
1.Bài toán ñ1m.
1.1 ð1m các s5 t6 nhiênñư9c thành l;p.
Ví d( 1
.
T6 các chM s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l<p ñưc bao nhiêu s t) nhiên gSm 5 chM s sao cho
a) Các ch( s ñTu khác nhau.
b) ChM s ñ*u tiên là 3.
c)Các chM s khác nhau và không t<n cùng bWng chM s 4.
Gi=i
a)
M i s có 5 chM s khác nhau ñưc thành l<p tương (ng vi mt ch;nh hp
ch<p 5 c/a 7 ph*n t+ ⇒ Có
5
7
A
= 2520 s
b)
Gi s c*n thiZt l<p là
abcde
ChM s ñàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chn
b, c, d, e ñTu có 7 cách chn
⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 s.
c)
Gi s c*n thiZt l<p là
abcde
ChM s cui cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chn (tr6 s 4)
a có 6 cách chn
b có 5 cách chn
c có 4 cách chn
d có 3 cách chn
⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 s.
Ví d( 2
.(ðH An ninh 97)
T6 b\y chM s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành l<p ñưc bao nhiêu s ch]n có 5 chM s khác
nhau
Gi=i
Gói s c*n thiZt l<p là
abcde
Xét hai trư`ng hp
+ Trư`ng hp 1: Chn e = 0 ⇒ e có 1 cách chn
Khi ñó a có 6 cách chn
b có 5 cách chn
c có 4 cách chn
d có 3 cách chn
⇒ Có 6.5.4.3 = 360 s.
+ Trư`ng hp 2: Chn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chn
Khi ñó a có 5 cách chn tr6 s 0 và e
b có 5 cách chn
c có 4 cách chn
d có 3 cách chn
CHUYÊN ð: ðI S T HP
Phương Xuân Trnh http://ebook.here.vn
T Toán Trương THPT Lương Tài
3
⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 s
V<y có 360 + 900 = 1260 s
Ví d( 3
.
T6 các chM s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l<p ñưc bao nhiêu s có 4 chM s sao cho s tEo thành
gSm các chM s khác nhau và nh4t thiZt có chM s 5.
Gi=i
Cách 1
:
Thành l<p s có 3 chM s khác nhau và không có mJt chM s 5 ⇒ Có
3
6
A
= 120 s
Vi m i s v6a thành l<p có 4 v. trí ñe xen s 5 tEo thành s có 4 chM s khác nhau và
có mJt chM s 5.
⇒ Có 120.4 = 480 s.
Cách 2
:
− S c*n tìm có 1 trong bn dEng
5bcd,a5bc,ab5d,abc5
− M i dEng có 120 s ⇒ có 480 s
Ví d( 4:
Có bao nhiêu s t) nhiên gSm 2008 chM s sao cho t=ng các chM s bWng 3.
Gi=i
Xét các trư`ng hp
+ Trư`nghp 1: S tEo thành gSm 1 chM s 3 và 2007 chM s 0
⇒ Ch; có 1 s 3000…000 (2007 chM s 0)
+ Trư`ng hp 2: S tEo thành gSm 1 chM s 1, 1 chM s 2 và 2006 chM s 0
Chn chM s ñ*u tiên có 2 cách chn s 1 hoJc 2
ChM s còn lEi có 2007 v. trí ñe ñJt, còn các v. trí khác ñJt s 0
⇒ Có 2.2007 = 4014 s
+ Trư`ng hp 3: S tEo thành gSm 3 chM s 1 và 2005 chM s 0
Chn chM s ñ*u tiên là 1
Chn 2 trong 2007 v. trí ñe ñJt chM s 1 ⇒ có
2
2007
C = 2007.1003 = 2013021
V<y có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 s
Ví d( 5
(ðHQG TPHCM 2001)
Có bao nhiêu s t) nhiên gSm b\y chM s biZt rWng chM s 2 có mJt ñúng hai l*n, chM
s ba có mJt ñúng ba l*n, các chM s còn lEi có mJt không quá mt l*n.
Gi=i
+ Coi mt dãy gSm 7 chM s tương (ng vi mt s gSm 7 chM s (Ke c\ b&t ñ*u bWng
0). Khi ñó ta thành l<p s bWng cách xZp các chM s vào 7 v. trí
Chn 2 trong 7 v. trí ñe xZp chM s 2: có
2
7
C
cách
Chn 3 trong 5 v. trí còn lEi ñe xZp chM s 3: có
3
5
C
cách
CHUYÊN ð: ðI S T HP
Phương Xuân Trnh http://ebook.here.vn
T Toán Trương THPT Lương Tài
4
Chn 2 trong 8 chM s 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ñe ñJt vào 2 v. trí còn lEi có
2
8
A
cách
⇒ Có
2
7
C
.
3
5
C
.
2
8
A
= 11 760 cách.
+ C*n ph\i loEi các trư`ng hp chM s 0 ñ(ng ñ*u. L<p lu<n tương t) cho 6 v. trí ⇒ có
2
6
C
.
3
4
C
.
1
7
A
= 420 s
V<y có 11 760 − 420 = 11 340 s.
1.2 ð1m s5 phương án.
Ví d( 6
: (ðH Thái nguyên 99)
Mt lp hc có 25 nam và 15 nM. C*n chn mt nhóm gSm ba hc sinh. Hli có bao
nhiêu cách:
a) Chn 3 hc sinh b4t kì.
b) Chn 3 hc sinh gSm 2 nam và mt nM.
c) Chn 3 hc sinh trong ñó có ít nh4t 1 nam.
Gi=i
a)
M i cách chn là mt t= hp ch<p3 c/a 40 ⇒ S cách chn là:
3
40
C 9880
= cách.
b)
Chn 1 nam có
1
25
C 25
=
cách
Chn 2 nM có
2
15
C 105
= cách
⇒ Có 25.105 = 2625 cách chn
c)
Chn 3 hc sinh b4t kì có 9880 cách
Chn 3 hc sinh nM có
3
15
C 455
= cách
⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chn có ít nh4t 1 nam.
Ví d( 7
: (ðHSP Quy Nhơn 97)
Cho hai ñư`ng thmng song song a và b. Trên a l4y 17 ñiem phân biKt, trên b l4y 20
ñiem phân biKt. Tính s tam giác có các ñ;nh là 3 trong s 37 ñiem ñã chn o trên.
Gi=i
Cách 1
M i tam giác ñưc hình thành boi ba ñiem không thmng hàng
S b ba ñiem t6 37 ñiem trên là:
3
37
C
S b ba ñiem thmng hàng trên a là:
3
17
C
S b ba ñiem thmng hàng trên b là:
3
20
C
V<y s tam giác tEo thành là:
3
37
C
−
3
17
C
−
3
20
C
= 11 340 tam giác
Cách 2:
CHUYÊN ð: ðI S T HP
Phương Xuân Trnh http://ebook.here.vn
T Toán Trương THPT Lương Tài
5
M i tam giác ñưc tEo thành boi mt ñiem trên ñư`ng thmng này và hai ñiem trên
ñư`ng thmng kia. Xét 2 trư`ng hp
+ TH1: Tam giác tEo thành boi 1 ñiem trên a và 2 ñiem trên b: có
2
20
17.C
+ TH2: Tam giác tEo thành boi 2 ñiem trên a và 1 ñiem trên b: có
2
17
20.C
⇒ S tam giác là:
2
20
17.C
+
2
17
20.C
= 11 340
Ví d( 8: (ðH C\nh sát nhân dân)
Cho tam giác ABC. Xét b gSm 4 ñư`ng thmng song song vi AB, 5 ñư`ng thmng song
song vi BC và 6 ñư`ng thmng song song vi CA trong ñó không có ba ñư`ng thmng
nào ñSng quy. Hli các ñư`ng thmng trên tEo ñưc bao nhiêu tam giác và bao nhiêu t(
giác (không ke hình bình hành).
Gi=i
a)
M i tam giác ñưc tEo thành boi ba ñư`ng thmng thuc ba nhóm khác nhau ⇒
S tam giác là 4.5.6 = 120
b)
M i hình thang không ph\i hình bình hành ñưc tEo thành boi hai ñư`ng thmng
thuc nhóm này và mt ñư`ng thmng thuc m i nhóm còn lEi ⇒ S hình thang là
2 1 1 1 2 1 1 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5 6
C .C .C C .C .C C .C .C 720
+ + = hình thang
2. Gi=i phương trình, bDt phương trình và hE ñFi s5 tG h9p
Ví d( 1: (CðSP TPHCM99)
Tìm k thla mãn:
k k 2 k 1
C C 2C
14 14 14
+ +
+ =
Gi=i
ðK
k N
k 12
∈
≤
Phương trình tương ñương vi
14! 14! 2.14!
k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
+ =
− + − + −
⇔
1 1 2
(14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k)
+ =
− − + + + −
⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k)
⇔ k
2
− 12k + 32 = 0
⇔ k = 4, k = 8 (Thla mãn)
V<y phương trình có nghiKm: k = 4, k = 8
Ví d( 2
: (ðH Hàng h\i 99)