Chuyªn ®Ò Sö dông ®¹o hµm tÝnh tæng cña khai triÓn nhÞ thøc newt¬n
1. NhËn d¹ng:
* Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè t¨ng ®Òu hoÆc gi¶m ®Òu th× ta dïng ®¹o hµm
cÊp 1. (®¹o hµm 1 lÇn)
* Khi trong tæng cã mét thµnh phÇn hÖ sè lµ tÝch cña hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp th× ta
0 1 nC vµ nC hoÆc n nC vµ 1-n nC
dïng ®¹o hµm cÊp 2; hoÆc mÊt 2. C¸c bíc gi¶i
* Bíc 1: Chon khai triÓn (b + x)n khi mçi sè h¹ng trong tæng cã d¹ng k k * Bíc 2: Chän ®¹o hµm cÊp 1, cÊp 2. * Bíc 3: Chän x = a (cid:222)
kÕt qu¶.
nC ak-1bn-k
3. Bµi tËp.
Bµi 1. TÝnh tæng: S = 1.20 n + xC 1
1 2 3 nC + 3.22 nC + … + n.2n - 1 n nC
n(1 + x)n – 1 = C 1
nC + 2.21 n + x2C 2 n + x3C 3 n
HD: (1 + x)n = C 0 (cid:219) Thay x = 2 ta ®îc S = n.3n – 1
n + 2x1C 2 n + … + xnC n n + … + nxn - 1C n n n + 3x2C 3
Bµi 2. TÝnh tæng: S = n.30
HD Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 3 ta ®îc S = n4n – 1
Bµi 3. Chøng minh r»ng: 1 1
n 1-n 2-n nC + (n - 1)31 nC + (n - 2).32 nC + … + 1.3n - 1 1 nC
nC + 2 2 nC + 3 3 nC + … + n n nC = n2n – 1
=
+
+
Bµi 4. Chøng minh r»ng:
++ ...
C
C
C
n
n 1n
HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x = 1 2 1 2
3 2 2
1 0 2
3 2
2
HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt 2 vÕ, thay x =
1 2
- 1n (cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) - 1 C n 3 n n n 2 n ł Ł
Bµi 5. T×m n ˛ 1.20
Z+ tho¶ m·n: 2 1 2nC + - 2.21
(§Ò §H + C§ - A - 2005)
HD: Khai triÓn (-1 + x)2n + 1, lÊy ®¹o hµm bËc nhÊt hai vÕ, thay x = 2 ta ®îc 2005 = 2n +
1
Bµi 6. T×m sè nguyªn d¬ng n tho¶ m·n:
3 2n 1 2nC + + 3.22 1 2nC + - … + (2n + 1).22n 1 2nC + 1 + = 2005 1
2006 + 1.20
HD: Sö dông khai triÓn (1 + x)2n
Bµi 7. TÝnh tæng: S = 1.2 2
1 2 3 2n 2nC - 2.21 2nC + 3.22 2nC - … + 2n.22n - 1 2nC = 0
HD: Khai triÓn (1 + x)n, lÊy ®¹o hµm bËc 2 hai vÕ, thay x = 1, ta ®îc S = n(n-1)2n - 2
nC + 2.3 3 nC + 3.4 4 nC + … + (n-1)n n nC
Bµi 8. S = 2.1.30
HD: Khai triÓn (1 - x)200, lÊy ®¹o hµm bËc 2 hai vÕ, thay x = 3, ta ®îc S = 200.199.2198
2 3 4 200C - 3.2.31 200C + 4.3.32 200C - … + 200.199.3198 200 200C
Bµi 9. TÝnh tæng S = 12C 1 HD: Ta cã: S = 1(1+0)C 1
n + 32C 3 n + … + n2C n n
n + 22C 2 n + 2(1+1)C 2 n + 42C 4 n + 3(2+1)C 3 n + 4(3+1)C 4 n + … + n(n-1+1)C n n =
= [2.1C 2
n + 2C 2 n + 3.2C 3 n + 4.3C 4 n + … + n(n-1)C n n ] + [1C 1 n + 3C 3 n + 4C 4 n + … + nC
Bµi 10. TÝnh tæng S = 2C 1
n n ]
100 + … + 101C 100 100 + 4C 3 100
Bµi 11. TÝnh tæng: S = 31.2.C 1
100 + 3C 2 HD: Khai triÓn x(1 + x)100, tÝnh ®¹o hµm vµ thay x = 1.
HD: Khai triÓn x(1 + x)n , tÝnh ®¹o hµm 2 vÕ vµ thay x = 3
Bµi 12. TÝnh tæng; S = 1.21C 1
n + 32.3.C 2 n + 33.4.C 3 n + … + 3n(n + 1)C n n
n + 2.22C 2 n + … + n.2nC n n
HD: S = 1.21C 1 = (2 - 1).21C 1 = (2.21C 1
n + 2.22C 2
Bµi 13. Chøng minh r»ng: 2.21C 2
n + 3.23C 3 n + (3 - 1).22C 2 n + 4.23C 3 n + 3.22C 2 n + 3.23C 3 n + … + n.2nC n n n + … + (n + 1- 1).2nC n n + (4 - 1).23C 3 n + … + (n+1).2nC n n ) - (21C 1 n + 22C 2 n n + 23C 3 n + … + 2nC n n )
HD: Khai triÓn: (1 + x)100 vµ lÊy ®¹o hµm. Khai triÓn: (1 - x)100 vµ lÊy ®¹o hµm Céng vÕ víi vÕ vµ thay x = 2
100 + 4.23C 4 100 + 6.25C 6 100 + … + 100.299C 100 100 = 50(399 + 1)
Bµi 14. TÝnh tæng: S = 1.C 1
- 2n + 3.C 3 2n + … + (2n - 1)C 1 2n 2n
Bµi 15. Chøng minh r»ng: 2C 2
2n + 5.C 5 HD: Khai triÓn: (1 + x)2n vµ lÊy ®¹o hµm. Khai triÓn: (1 - x)2n vµ lÊy ®¹o hµm Trõ vÕ víi vÕ vµ thay x = 1
HD: Khai triÓn: (1 + x)2n+1 vµ lÊy ®¹o hµm. Khai triÓn: (1 - x)2n+1 vµ lÊy ®¹o hµm Céng vÕ víi vÕ vµ thay x = 1
2n + + 4C 4 2n + + 6C 6 2n + + … + 2nC 2n 1 1 1 2n + = (2n + 1).22n – 1 1
4. Gi¶i ®Ò thi:
Bµi 15. Chøng minh r»ng: C 1 lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n hay b»ng 1.
(§H LuËt HCM – A - 2001)
HD: Khai triÓn (3 + x)n, lÊy ®¹o hµm vµ thay x = 1
n .3n – 1 + 2.C 2 n .3n – 2 + 3.C 3 n .3n – 3 + … + nC n n = n.4n – 1, trong ®ã n
k
2
n
1
- -
+ -
- - -
3.2.2
( 1)
k k (
....
2 1)2
40200
+
+
Bµi 16. T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt: + 2 C 2 n 2 1
3 C n 2
1
+ k C + n 2
1
+ = - 2 n C + 2 n
1 1
+ k 1)2 n n .... 2 (2 (Tµi liÖu «n thi ®¹i häc)
HD: Khai triÓn (1 - x)2n + 1, lÊy ®¹o hµm vµ thay x = 2
+
+ +
+
Bµi 17. TÝnh tæng:
.
... 2010C
2009 2009
+
= 0 S C 2009 = C
1 2C 2009 C
C
S 1.2.
2.3.
25 25
2 25
3 25
1
-
(
+
+
+
+
+
+
=
r»ng: 1.
-
...
...
n
) 1
2
4
2
2
n n
n n
n
n
n
n
2 3C 2009 + + ... 24.25. Bµi 18. TÝnh tæng: Bµi 19. H·y khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n (1 - x)2n, víi n lµ sè nguyªn d¬ng. Tõ ®ã chøng minh 2 C. 2
2 nC 2
3 C 3 2
4 C. 2
1 C 2
2 C 2
