Chuyên đề hình học- Thể tích hình chóp

Chia sẻ: Nguyến đại Lợi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

760
lượt xem 169
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ba ì 1: Cho hiǹ h choṕ S.ABCD co ́ đaý là hiǹ h vuông ABCD caṇ h a,măṭ bên SAD là tam giać đêù và năm̀ trong mp vuông goć mp đaý ABCD.Goị M,N,P lâǹ lươṭ la ̀ trung điêm̉ cuả SB,SC,SD.Tiń h thê ̉ tić h tư ́ diêṇ CMNP.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề hình học- Thể tích hình chóp

Những Người Biên Soạn Đinh Tấn Hưng, Đào Minh Quân, Nguyễn Đại Lợi,Trần Hằng Ni, Nguyễn Thị Ảnh, Lê Huỳnh Đức. PHẦN I: THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Bai 1: Cho hinh chop S.ABCD có đay là hinh vuông ABCD canh a,măt bên SAD là tam ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ̣ giac đêu và năm trong mp vuông goc mp đay ABCD.Goi M,N,P lân lượt là trung điêm ́ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̀ ̉ cua SB,SC,SD.Tinh thể tich tứ diên CMNP. ̉ ́ ́ ̣ ̉ Giai. Goi H là trung điêm cua AD thì SH ⊥ AD. ̣ ̉ ̉ Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên suy ra SH ⊥ (ABCD) a3 Và SH = (vì ABC là tam giac đêu canh a) ́ ̀ ̣ 2 Kẻ MK//SH(K HB),suy ra KM ⊥ (ABCD)và SH a 3 MH= = . 2 4 1 a 2 a 3 a3 3 1 V S. ̣ Vây MCNP= 3 . CNP.MK= 3 . . .= . 8 4 96 Bai 2: Cho hinh chop S.SBCD có đays ABCD ̀ ̀ ́ là hinh chữ nhât với AB=a;AD=a 2 ;SA=a và ̀ ̣ SA vuông goc mp (ABCD).Giả sử I là giao ́ ̉ điêm cua BM và AC.Goi M,N lân lượt là trung ̉ ̉ ̣ ̀ điêm cua AD và SC.Tim thể tich tứ diên ANIB. ̉ ̉ ̀ ́ ̣ ̉ Giai. Goi O là tâm cua đay ABCD.Trong VSAC ,ta ̣ ̉ ́ co:NO là đường trung binh nên NO// SA,tức ́ ̀ a NO ⊥ (ABCD) và NO= 2
1 a Ta có V.ANIB=V.NAIB= .S.AIB.NO= .S.AIB (1) 3 6 Ta tinh S. VAIB : ́ Xet hinh chữ nhât (ABCD) .Do MA=MD ́̀ ̣ 1 1 Suy ra:MA= .BD AI= AC 2 2 AC 2 2a 2 + a 2 a 2 1 AI= .AC AI = = = 2 3 9 9 3 2 BM 3 ̣́ Lai co:BI= 4 a2 a2 4 BM 2 = (a 2 + ) = 2 2 Suy ra:BI = 9 9 2 3 Do đo:AI2 +BI2 =AB2; Nên AIB là tam giac vuông ở đinh I ́ ́ ̉ 2 1 1a3a6a 2 Vây S.AIB= = . AI .BI = . . . ̣ (2). 2 23 3 6 a2 2 V ̀ ́ Thay (2) vao (1) ta co: .ANIB= . 36 S Bai 3: Cho hinh chop .SBC,đay ABC là tam giac cân đinh C,SA ⊥ (ABC).Giả sử ̀ ̀ ́ ́ ́ ̉ SC=a;tim goc giữa 2 mp(SBC) và (ABD) sao cho thể tich khôi chop là lớn nhât. ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ̉ Giai ˆ Ta thây ngay SCA = α ,SA=SC sin α và ́ S AC=SC cos α Suy ra V.SABC= 1 a 2 cos 2 α a3 a sin α = cos 2 α sin α (1) 3 2 6 C Từ (1) suy ra :V.SABC nhan giá trị lớn nhât ̣ ́ khi và chỉ khi biêu thứ P= cos α sin α nhan ̉ 2 GTLN.Vì sin α >0 nên Pmax P2max (1 − sin 2 α ) 2 sin 2 α giá trị lớn nhât. ́ ́ Ta co: B A (1 − sin 2 α )(1 − sin 2 α )(2sin 2 α ) (1 − sin α ) sin α = 2 2 2 ̀ Theo BĐT cô si thi: 2 � − sin 2 α ) + (1 − sin 2 α ) + 2sin 2 α � 8 (1 (1 − sin 2 α )(1 − sin 2 α )(2sin 2 α ) � = � 3 � 27 �
23 3 1 − sin 2 α = 2sin 2α � sin α = Do đó :Pmax = 9 3 a3 3 � sin α = Vây VS.ABC nhân GTLN là ̣ ̣ 27 3 Bai 4: Cho hinh chop tứ giac đêu S.ABCD mà d(A;(SBC))=2a.Với giá trị nao cua α ( α ̀ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̉ là goc giữa mp bên và mp đay cua hinh chop)thì thể tich khôi chop là nhỏ nhât?tim ́ ́ ̉̀ ́ ́ ́ ́ ́̀ ́ GTNN đo. ̉ Giai S H D C o M N B Goi M,N.lân lượt là trung điêm ̣ ̀ ̉ cua AD,BC;kẻ MH vuông goc SN(H SN) ̉ ́ ˆ = α .Do DA//BC suy ra AD//(SBC),suy ra d(M,(SBC))=MH=2a ́ Ta co: SNM MH 2a = Ta có :MN= sin α sin α a 2a a Từ đó : SO = ON tan α = = sin α sin α cos α 4a 2 1 2a 2 a = ́ Do đo: V.SABCD= ( (1) ). 3 sin α cos α 3sin 2 α cos α Từ (1) suy ra:VSABCD bé nhât khi và chỉ khi sin 2 α .cos α lớn nhât. ́ ́ Xet P= sin α .cos α = (1 − cos α ).cos α = cos α − cos α (2) 2 3 ́ 2 Từ (2) dân đên xet ham sô:y=x-x3 (0
3 23 3 )= � x= Từ đó ymax =y( 3 9 3 3 4a 3 = 2 3a 3 � cos α = V 3 SABCD min băng 3.2 3 ̣ ̀ Vây 9 Bai 5: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = ̀ x (0 < x ≤ a).Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt. ̉ Giai Do SA ⊥ (ABCD) và SA (SAC) Suy ra (SAC) ⊥ (ABCD) S Lai có ̣ MH ⊥ (SAC) suy ra d(M; x (SAC))=MH=AM sin 450 = 2 x ́ Ta co:AH= AM sin 450 = 2 x Suy ra HC=AC-AH= a 2 − 2 D M A SMHC=0.5.MH.MC= H 1x 1 (a 2 − ) 22 2 1 VS.MCH= SA.SMHC= 3 C B 1 x� x� � 2− 2a a � 6 2� 2� Tư biêu thức trên ̉ 2 �x x� +a 2− 1 �2 2� a 3 x x VS.MCH =� a − =� =� � a2 x a M D � � 3� 2 �6 2 2 � � Bai 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = ̀ 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) a3 bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 4 ̉ Giai S D A I H O K C B Từ giả thiêt AC= 2a 3 ;BD=2a và AC,BD cung vuông goc nhau tai trung điêm O cua ́ ̀ ́ ̣ ̉ ̉ ́ˆ môi đường cheo.Ta có tam giac ABO vuông tai O và AO= a 3 ;BO=a.Do đo: ABD ̃ ́ ́ ̣ ́ ̀ 0 =60 ,hay tam giac ABD đêu. Từ giả thiêt suy ra 2 mp(SAC) và (SBD) cung vuông goc mp(ABCD) nên giao tuyên cua ́ ̀ ́ ́ ̉ chung là SO cung vuông goc (ABCD) ́ ̃ ́ Do tam giac ABD đêu nên với Hlà trung điêm cua AB,Klà trung điêm cua HB,ta có ́ ̀ ̉ ̉ ̉ ̉ 1 DH ⊥ AB và DH=a 3 ;OK//DH và OK= DH = a 3 � OK ⊥ AB � AB ⊥ ( SOK ) 2 Goi I là hinh chiêu cua O lên SK,ta có AB ⊥ OI � OI ⊥ ( SAB ) hay OI là khoang cach từ ̣ ̀ ́ ̉ ̉ ́ ́ O đên mp(SAB) 1 1 1 a Tam giac SOK vuông tai O,OI là đường cao � 2 = + � SO = ́ ̣ 2 2 OI OK SO 2 ̣́ ́ 2 Diên tich đay:SABCD=4.SABO=2.OA.OB= 2 3a a Đường cao khôi chop :SO= ́ ́ 2 1 a3 3 Thể tich khôi chop S.ABCD la:VSABCD= SABCD.SO= ́ ́ ̀ 3 3