intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình mũ

Chia sẻ: Thái Đức Thuần | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
170
lượt xem 14
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn nắm bắt được kiến thức cơ bản như định nghĩa, các dạng toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chuyên đề "Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình mũ". Hy vọng nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong các kỳ thi Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình mũ

  1. Biên soạn: Lê Kỳ Hội Chuyên ñề : Phương trình – Bất phương Trình – Hệ phương trình mũ A. Chuyên ñề 1: Phương trình mũ I. Kiến thức cơ bản về hàm số mũ : 1. Định nghĩa : a n = a.a...a (tích của n số a) với a là cơ số, n là số mũ - Quy ước : + a1 = a (với mọi a). + a0 = 1 (với a khác 0). 1 - Lũy thừa mũ âm : a − n = ( với a khác 0; n ∈ N* ) an - Lũy thừa mũ hữu tỷ : với a > 0 và m, n ∈ N * m ( ) m + an = n am = n a . m − 1 1 + a n = m = . n a n am 1 + a =na. n 2. Các tính chất : + (ab) n = a nb n . n a an +  = n. y y = ax b b + a m a n = a m+n . 1 x m a + n = a m−n . a + ( a m ) = ( a n ) = a m .n . n m a >1 Trang 1
  2. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 3. Hàm số mũ : Dạng : y = ax ( a > 0, a ≠ 1) . TXĐ : D = ℝ . y y = ax TGT : T = ℝ + . Tính ñơn ñiệu : 1 x + a > 1: y = a x ñồng biến trên ℝ . + 0 < a < 1: y = a x nghịch biến trên ℝ . 0 < a 0 a ( ) = a ( ) ⇔  0 < a ≠ 1 f x g x hoặc    f ( x ) = g ( x ) ( a − 1)  f ( x ) − g ( x )  = 0  0 < a ≠ 1, b > 0 1.3. Dạng 2: Phương trình dạng a ( ) = b ⇔  f x .  f ( x ) = log a b Đặc biệt : - Khi b = 0 hoặc b < 0 thì kết luận ngay phương trình vô nghiệm. - Khi b = 1 ta viết b = a 0 ⇔ a ( ) = a 0 ⇔ f ( x ) = 0 f x Trang 2
  3. Biên soạn: Lê Kỳ Hội - Khi b ≠ 1 mà b có thể biểu diễn thành b = a c ⇔ a ( ) = a c ⇔ f ( x ) = c . f x Chú ý : Trước khi biến ñổi tương ñương thì f ( x ) và g ( x ) phải có nghĩa. 1.4. Bài tập áp dụng : Loại 1: Khi cơ số là một hằng số. Dạng 1: Cùng mũ, cùng cơ số. Giải các phương trình sau : 2 2 −1 −3 1. 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0 . 2. 16 x − 64 ⋅ 4 x +3= 0. x2 − 2 x − x x 2 − 2 x − x −1 3. 4log9 x − 6 ⋅ 2log9 x + 2log3 27 = 0 . 4. 9 − 7⋅3 = 2. 1 3 2 2 3+ 5. 9sin x + 9cos x = 10 . 6. 64 x − 2 x + 12 = 0 . 2 2 2 7. 4cos 2 x + 4cos x = 3 . 8. 4 x − 6.2 x + 8 = 0 . 2 2 + x −1 + x−2 9. 9 x − 10.3x +1 = 0 . 10. 2 x − 2 1− x = 1. Dạng 2: Cùng mũ, khác cơ số. Giải các phương trình sau : 1 1 1 x2 x2 x2 1. 15.25 − 34.15 + 15.9 = 0 . 2. 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 . x x x 3. 125x + 50 x = 23 x +1 . 4. 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 . x 5. 4.3x − 9.2 x = 5.6 2 . 6. 3 25x − 3 9 x + 3 15x = 0 . 7. 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x . 8. 12.3 x + 3.15 x − 5 x +1 = 20 . 9. 3 x + 4 x = 5 x . 10. 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 . Dạng 3: Cùng cơ số , khác mũ. Giải các phương trình sau : 2 2 +1 +x 1. 4.33 x − 3 x +1 = 1 − 9 x . 2. 22 x − 9.2 x + 22 x + 2 = 0 . x +1 3. 4 x − 4 = 3.2 x + x . 4. 5 x +1 + 6.5 x − 3.5 x −1 = 52 . x +1 2 6. ( 0, 5 ) . ( 0, 5 ) x +7 1− 2 x 5. (1,5 ) 5 x −7 =  . = 2. 3 Trang 3
  4. Biên soạn: Lê Kỳ Hội x 2 − 2 x −3 1 ( ) 2 x−3 7.   = 7 x +1 . 8. 2 −1 = 2 + 1. 7 9. 53 x + 9.5 x + ( 27.125− x + 5− x ) = 64 . + 21− x = 2 ( x +1) + 1 . 2 2 2 +x 10. 4 x Dạng 4: Tích cơ số bằng 1. Giải các phương trình sau : ( ) + (2 + 3) ( ) ( ) =8. x x x x 1. 2 − 3 = 14 . 2. 4 − 15 + 4 + 15 ( ) ( ) ( ) + (7 − 3 5 ) cos x cos x 5 x x 3. 7+4 3 + 7−4 3 = . 4. 7 + 3 5 = 14.2 x . 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x 5. 2+ 3 + 2− 3 = 2x . 6. 2 −1 + 2 +1 − 2 2 = 0 . ( ) ( ) sin x sin x ( ) ( ) x x 7. 5+ 2 6 + 5−2 6 = 2. 8. 3 + 5 + 16 3 − 5 = 2 x+3 . ( ) ( x 9. 2 + 3 + 7 + 4 3 . 2 − 3 )( ) x ( = 4. 2 + 3 . ) 10. 2 + 3( )( x −1)2 ( + 2− 3 ) x 2 − 2 x −1 = 2− 3 4 . Loại 2: Khi cơ số là một hàm của x. Giải các phương trình sau : 1. ( 2 + x − x 2 ) = ( 2 + x − x2 ) = ( x2 − 6x + 9) 2 − 3 cos x 3 x2 −5 x + 2 x2 + x − 4 2. ( x − 3) sin x . . ( ) x −2 4. ( x 2 − x + 1) x 2 −1 3. x − x2 =1. = 1. ( ) x −2 5. ( x 2 − 2 x + 2 ) 4− x2 = 1. 6. x − x2 =1. x2 − 2 x x2 − 2 x = ( x − 3) . 2 7. x = 1. 8. x − 3 ( x − 1) x −1 = ( x − 1) 3 x −1 3 9. . Trang 4
  5. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 2. Bài toán 2: Sử dụng phương pháp logarit hóa và ñưa về cùng cơ số. 2.1. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ lũy thừa ta có thể logarit theo cùng một cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng : 2.2. Dạng 1: Phương trình dạng : 0 < a ≠ 1, b > 0 a ( ) =b ⇔  f x .  f ( x ) = log a b 2.3. Dạng 2: Phương trình dạng cơ số khác nhau và số mũ khác nhau. a ( ) = b ( ) ⇔ log a a ( ) = log a b ( ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) .log a b . f x g x f x g x Hoặc log b a ( ) = logb b ( ) ⇔ f ( x ) .logb a = g ( x ) . f x g x Đặc biệt : Cơ số khác nhau nhưng số mũ bằng nhau f ( x) 0 f ( x) f ( x) a a Khi f ( x ) = g ( x ) ⇔ a =b ⇔  = 1 =   ⇔ f ( x) = 0 . b b Chú ý : - Phương pháp áp dụng khi có dạng tích – thương của các hàm số mũ. - Một số phương trình cần rút gọn trước khi logarit hóa. 2.4. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau : x −1 2 x −3 x2 − 2 1. 5 .8x x = 500 . 2. 3 .4 x = 18 . 2 2 3 3. 2 x − 4.5 x − 2 = 1 . 4. 2 x −2 x = . 2 x 1 1 x− x+ 5. 8 x + 2 = 4.34− x . 6. 4 x − 3 2 =3 2 − 2 2 x −1 . 7. 4 ( log 0,5 sin 2 x + 5sin x.cos x + 2 ) =1. 8. 5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 3x + 3x +3 + 3x +1 . 9 10. x log 2 ( x + 4 ) = 32 . 2 2 9. 2 x + 3 − 3x + 2 x−6 = 3x + 2 x −5 − 2x . 2 4 11. 3x.2 x = 1 . 12. 3x.91− x = . 27 x Trang 5
  6. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 1 14. 5x.x +1 8 x = 100 . 2 −1 13. 8 x.5 x = . 8 x 15. 53−log5 x = 25 x . 16. 8 x + 2 = 36.32− x . x x 17. 57 = 75 . 18. 9.x log9 x = x 2 . 2 −4 19. x 4 .53 = 5log x 5 . 20. 2.2 x = 3x − 2 . 3. Bài toán 3: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 1. 3.1.Phương pháp: Dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ ñể chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với một ẩn phụ. Ta lưu ý các phép ñặt ẩn phụ thường gặp sau ñây. 3.2. Dạng 1: Phương trình dạng α k a kx + α k −1a ( ) + ... + α1a x + α 0 = 0 . k −1 x Khi ñó ta ñặt t = a x , ñiều kiện t > 0 , ta ñược α k t k + α k −1t ( k −1) + ... + α1t + α 0 = 0 . Mở rộng : Nếu ñặt t = a f ( x ) , ñiều kiện hẹp t > 0 , khi ñó a 2 f ( x ) = t 2 , a 3 f ( x ) = t 3 ,..., a kf ( x ) = t k và − f ( x) 1 a = . t 3.3. Dạng 2: Phương trình có dạng α1a x + α 2b x + α 3 = 0 với a.b = 1 . 1 Khi ñó ta ñặt t = a x , ñiều kiện t > 0 , suy ra b x = , ta ñược t α2 α1t + + α 3 = 0 ⇔ α1t 2 + α 3t + α 2 = 0 . t 1 Mở rộng : Với a.b = 1 khi ta ñặt t = a f ( x ) , ñiều kiện hẹp t > 0 , suy ra b f ( x ) = . t 3.4. Dạng 3: Phương trình dạng α1a 2 x + α 2 ( ab ) + α 3b 2 x = 0 . Khi ñó chia 2 vế của phương x 2x x x a a a trình cho b > 0 (Hoặc a , ( ab ) ), ta ñược : α1   + α 2   + α 3 = 0 . Đặt t =   , ñiều 2x 2x x b b b kiện t > 0 , ta ñược α1t 2 + α 2t + α 3 = 0 . Trang 6
  7. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 2 f ( x) 2 f ( x) f ( x) Mở rộng : Với phương trình mũ có chứa các nhân tử : a ,b , ( ab ) , ta thực hiện theo các bước sau 2 f ( x) f ( x) - Chia 2 vế phương trình cho b > 0 (Hoặc a 2 f ( x ) , ( ab ) ) f ( x) a - Đặt t =   , ñiều kiện hẹp t > 0 . b f ( x) Chú ý : Ta sử dụng ngôn từ ñiều kiện hẹp t > 0 cho trường hợp ñặt t = a vì : - Nếu ñặt t = a x thì t > 0 là ñiều kiện ñúng. 2 +1 - Nếu ñặt t = 2 x thì t > 0 chỉ là ñiều kiện hẹp, bỡi thực chất ñiều kiện cho t phải là t ≥ 2 . Điều kiện này ñặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số. 3.5. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau : 1 2 2 cot 2 x 1. 4 +2 sin 2 x −3 = 0 . 2. 4sin x + 2cos x = 2 + 2 . 2 2 2 2 2 +1 +x 3. 22 x − 9.2 x + 22 x + 2 = 0 . 4. 2.4 x +1 + 6x +1 = 9x +1 . 2 1 +1 1 12  1 x  1 x 5. 2 − 6.2 − 3x x + x = 1. 6.   + 3.   = 12 . 2( 3 x −1) 2  3 3 7. 3 x − 31− x +4=0. 8. 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 . 2 2 + x −1 + x −2 9. 9 x − 10.3x +1 = 0 . 10. 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 . 11. 3x + 2 − 32− x = 24 . 12. 7.2 ( 2 x 2 +1 ) − 20.2 x 2 +1 + 12 = 0 . 13. 34 x − 4.32 x+1 + 27 = 0 . 14. 64.9 x − 84.2 x + 27.6 x = 0 . 15. 25 x + 10 x = 22 x+1 . 16. 4log9 x − 6.2log9 x + 2log3 27 = 0 . 2 2 −x 17. 2 x − 22+ x − x = 3 . 18. 4log3 x − 5.2log3 x + 2log3 9 = 0 . 19. 3 ( 2 x + log3 2 ) − 2 = 3x + log3 2 . 20. 23 x +1 − 7.2 2 x + 7.2 x − 2 = 0 . x 9 10 + 4 2 27 27 21. x− 2 = . 22. 8 x + 9.2 x + + = 64 . 2 4 8x 2 x Trang 7
  8. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 32 x = 2. ( 0,3) + 3 . x 2 23. x 24. 4log2 2 x − x log 2 6 = 2.3log 2 4 x . 100 2 2 + 2 x +1 +x 25. 6.9log 2 x + 6 x 2 = 13.x log2 6 . 26. 32 x − 28.3x +9 = 0. x 2 −5 x2 −5 27. 4 x − − 12.2 x −1− +8 = 0 . 28. 12.3x + 3.15 x − 5 x +1 = 20 . ( ) + ( 7 + 4 3 )( 2 − 3 ) ( ) x x = 4 2 + 3 .30. 32 x +1 = 3x + 2 + 1 − 6.3x + 3 ( 2 x +1) 29. 2 + 3 . 4. Bài toán 4: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 2. 4.1. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn chứa x. Phương pháp này thường sử dụng ñối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn ñược triệt ñể qua ẩn phụ ñó hoặc nếu biểu diễn ñược thì công thức biểu diễn quá phức tạp. Khi ñó thường ta ñược 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương. Ví dụ : Giải phương trình 32 x − ( 2 x + 9 ) .3x + 9.2 x = 0 Giải : Đặt t = 3x , ñiều kiện t > 0 , khi ñó phương trình tương ñương với : t 2 − ( 2 x + 9 ) t + 9.2 x = 0 t = 9 ∆ = ( 2 x + 9 ) − 4.9.2 x = ( 2 x + 9 ) ⇒  2 2 t = 2 x Khi ñó + Với t = 9 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 2 . x 3 + Với t = 2 x ⇔ 3x = 2 x ⇔   = 1 ⇔ x = 0 2 x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là  . x = 0 Trang 8
  9. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 4.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau 1. 9 x + ( x 2 − 3) 3x − 2 x 2 + 2 = 0 . 2. 9 x + ( x − 12 ) 3x + 11 − x = 0 . 2 2 3. 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) 5x − 2 = x − 3 . 4. 42 x + 23 x +1 + 2 x +3 − 16 = 0 . 5. 9 x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2 x − 5 = 0 . 6. 32 x + 3x + 5 = 5 . 7. 3.9 x −1 + ( 3x − 7 ) 3x −1 + 2 − x = 0 . 8. 4.33 x − 6.32 x + 6.3x − 2 = 0 . 5. Bài toán 5: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 3. 5.1. Phương pháp: Dùng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương trình thành phương trình tích. 2 2 2 −3 x + 2 + 6 x +5 +3 x + 7 Ví dụ : Giải phương trình 4x + 4x = 42 x +1 2 2 2 2 −3 x + 2 + 6 x +5 −3 x + 2 + 6 x +5 Giải : Viết lại phương trình dưới dạng 4 x + 4x = 4x .4 x +1 u = 4 x −3 x + 2 2 Đặt  u, v > 0 . x2 + 6 x +5 v = 4 Khi ñó phương trình tương ñương với : u + v = u.v + 1 ⇔ ( u − 1)( v − 1) = 0 . x = 1 x = 2 u = 1  4 x 2 −3 x + 2 = 1  x − 3x + 2 = 0 2 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ . v = 1 x + 6 x +5 = 1  x + 6x + 5 = 0  x = −1  4   x = −5 Vậy phương trình có 4 nghiệm. 5.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau 2 2 2 2 −5 x + 6 1. 2 x + 21− x = 2.26 −5 x + 1 . 2. 2 x +x − 4.2 x −x − 22 x + 4 = 0 . + 2 x −1 = 2 + 2( x −1) 2 2 x +3 − x x + 3 +1 3. 22 − 5.2 + 2 x +4 = 0 . 4. 2 x −3 x +3 . ( ) ( ) log 2 x log 2 x 2 2 −5 x + 6 5. 3 +1 + x. 3 −1 = 1 + x2 . 6. 2 x + 21− x = 2.26 −5 x + 1 . Trang 9
  10. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 3 x2 − 2 x + − 3x = 3( x − 2 ) −1 2 2 7. 9 2 −1 . 8. 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x . + 21− x = 2( x +1) 2 2 2 2 2 2 +x −5 x + 2 −8 x + 3 −13 x + 5 9. 4 x − 1. 10. 22 x + 24 x = 1 + 26 x . 6. Bài toán 6: Sử dụng phương pháp ñặt ẩn phụ - dạng 4. 6.1. Phương pháp: Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì k – 1 phương trình nhận ñược từ các mối liên hệ giữa các ñại lượng tương ứng Trong trường hợp ñặc biệt là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với 1 ẩn phụ và một ẩn x, khi ñó ta thực hiện theo các bước sau : Bước 1: Đặt ñiều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình. Bước 2: Biến ñổi phương trình về dạng : f  x, ϕ ( x )  = 0 .  y = ϕ ( x ) Bước 3: Đặt y = ϕ ( x ) ta biến ñổi phương trình thành hệ :  .  f ( x , y ) = 0 Ví dụ : Giải phương trình 22 x − 2 x + 6 = 6 . Giải : Đặt u = 2 x , ñiều kiện u > 0 . Khi ñó phương trình trở thành u 2 − u − 6 = 6 . Đặt v = u + 6 , ñiều kiện v ≥ 6 ⇒ v 2 = u + 6 Khi ñó phương trình ñược chuyển thành hệ : u = v + 6 u = v 2  2 ⇔ u 2 − v2 = − (u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v + 1) = 0 ⇔  v = u + 6 u + v + 1 = 0 u = 3 + Với u = v ta ñược : u 2 − u − 6 = 0 ⇔  ⇔ 2 x = 3 ⇔ x = log 2 3 u = −2 (l) + Với u + v + 1 = 0 ta ñược  −1 + 21 u = 21 − 1 21 − 1 2 u2 + u − 5 = 0 ⇔  ⇔ 2x = ⇔ x = log 2 .  −1 − 21 2 2 u = (l )  2 Trang 10
  11. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 21 − 1 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = log 2 3 và x = log 2 . 2 6.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau. 8 2x 18 1. x −1 + = x −1 1− x . 2. 8 x + 1 = 2. 2 x +1 − 1 . 2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2 x 3. 32 x + 3x + 5 = 5 . 4. 27 x + 2 = 3. 3 3x +1 − 2 . 7. Bài toán 7: Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số. 7.1. Phương pháp: Dựa vào tính ñơn ñiệu của hàm số ñể chứng minh nghiệm là duy nhất Xét phương trình. Ta có 3 phương pháp ñể áp dụng. Phương pháp 1 : Thực hiện các bước sau : Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f ( x) = k . Bước 2: Xét hàm số y = f ( x ) . Dùng lập luận khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu (giả sử ñồng biến) Bước 3: Nhận xét : + Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k do ñó x = x0 là nghiệm. + Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k do ñó phương trình vô nghiệm. + Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k do ñó phương trình vô nghiệm. Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Phương pháp 2 : Thực hiện các bước sau : Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f ( x) = g ( x) . Bước 2: Xét hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) . Dùng lập luận ñể khẳng ñịnh hàm số y = f ( x ) là ñồng biến còn hàm số y = g ( x ) là hàm hằng hoặc nghịch biến. Xác ñịnh x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 ) . Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x0 . Trang 11
  12. Biên soạn: Lê Kỳ Hội Phương pháp 3 : Thực hiện các bước sau : Bước 1: Chuyển phương trình về dạng : f (u ) = f ( v ) . Bước 2: Xét hàm số y = f ( x ) . Dùng lập luận ñể khẳng ñịnh hàm số ñơn ñiệu Bước 3: Khi ñó vì f (u ) = f ( v ) ⇔ u=v 2 −x Ví dụ : Giải phương trình : 2x − 2 x +8 = 8 + 2 x − x 2 . u = x2 − x  ⇒ v − u = 8 + 2x − x . 2 Giải : Đặt v = x +8  Phương trình trên tương ñương : 2u − 2v = v − u ⇔ 2u + u = 2v + v ⇔ f ( u ) = f ( v ) . Xét hàm số : f ( t ) = 2t + t , f ' ( t ) = 2t.ln 2 > 0 ∀t ∈ R ⇒ f ( t ) ñồng biến. x = 4 Mà f ( u ) = f ( v ) nên u = v ⇔ x 2 − x = x + 8 ⇔ x 2 − 2 x − 8 = 0 ⇔  .  x = −2 x = 4 Vậy phương trình có hai nghiệm là  .  x = −2 7.2. Bài tập áp dụng : x ( ) + (2 + 3)  3 7 x x 1. 2 − 3 =4 . x 2.   + = 2 x . 5 5 3. 2 x + 3x + 5 x = 10 x . 4. 2 x = 5 − 2 x . = ( x − 1) . 2 2 5. 2 x −1 − 2 x −x 6. 4 x + 7 x = 9 x + 2 . 8. 3.x log3 x + ( log 3 x − 1) = x 2 . 2 7. 6 x + 2 x = 5 x + 3x . 2 2 9. 2 x +1 − 4 x = x − 1 . 10. 2 x −x + 9 3− 2 x + x 2 + 6 = 4 2 x − 3 + 3 x − x + 5 x . 8. Bài toán 8: Sử dụng bất ñẳng thức. 8.1. Phương pháp: Sử dụng phương pháp bất ñẳng thức là ta ñi dánh giá vế trái của một phương trình luôn bé hơn (hoặc lớn hơn ) vế phải của phương trình. Tìm ñiều kiện ñể dấu = xảy ra từ ñó suy ra nghiệm của phương trình. Trang 12
  13. Biên soạn: Lê Kỳ Hội 2 2 2 + 2 x +3 +2 x+2 + 2 x +1 Ví dụ : Giải phương trình : 3x + 4x + 5x = 14 . Giải : 3x2 + 2 x +3 = 3( x +1) + 2 ≥ 32 = 9 2   2 Ta có : 4 x + 2 x + 2 = 4( ) ≥ 41 = 4 ⇒ 3x + 2 x +3 + 4 x + 2 x + 2 + 5 x + 2 x +1 ≥ 14 2 x +1 +1 2 2 2  x2 + 2 x +1 = 5( x +1) ≥ 50 = 1 2 5 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = −1 . 8.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau. 8 1. 2 x +1 + 21− 2 x = 3 3 2 . 2. 22 x +1 + 23− 2 x = . log 3 ( 4 x − 4 x + 4 ) 2 1 3 3. 3x + = 8 − x2 . 4. 3x − 1 + 3x − 3 = 2 . 3x 5. 2 x − 1 + 2 x − 2 = − x 2 + 2 x . 6. x + x 2 − 2 x + 2 = 3x −1 + 1 . 7. 27 x = ( 6 x 2 − 4 x + 1) .9 x . 2 2 2 8. 8sin x + 8cos x = 10 + cos 2 y . 9. 9 x + 3 x = 10 x + 2 . 10. 4sin x - 21+sin x.cos ( xy ) + 2 = 0 . y 9. Bài toán 9: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 9.1. Phương pháp: Với phương trình có chứa tham số : f ( x, m ) = g ( m ) (1) . Chúng ta thực hiện các bước sau. Bước 1: Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x, m ) và ñường thẳng d : y = g ( m ) . Bước 1: Xét hàm số Bước 2: Xét hàm số y = f ( x, m ) + Tìm miền xác ñịnh của D. + Tính ñạo hàm y ' rồi giải phương trình y ' = 0 . + Lập bảng biến thiên của hàm số. Trang 13
  14. Biên soạn: Lê Kỳ Hội Bước 3: Kết luận + Phương trình có nghiệm ⇔ min f ( x, m ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x, m ) . + Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ (d ) cắt ( C ) tại k ñiểm phân biệt. + Phương trình vô nghiệm ⇔ ( d ) ∩ ( C ) = φ . 9.2. Bài tập áp dụng : 1. Cho phương trình 3x 2 −2 x+ 2 +2 ( 2 x2 − 2 x + 2 ) + x2 − 2x = m − 2 . a. Giải phương trình với m = 8 . b. Tìm m ñể phương trình có nghiệm. x2 − 4 x +3 1 2. Tìm m ñể phương trình sau :   = m 4 − m 2 + 1 có 4 nghiệm phân biệt. 5 3. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 x + 3 = m 4 x + 1 . 4. Giải phương trình 3x + 5 x = 2.4 x . 5. CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất x x +1 = ( x + 1) ( x > 0) . x HD : Đặt f ( x ) = ( x + 1) .ln x − x ln ( x + 1) . Và chứng minh x0 ∈ ( 0, e ) là nghiệm duy nhất. 6. Giải phương trình 4 x + 6 x = 25 x + 2 . 10. Bài toán 10: Đưa về phương trình tích. 10.1. Phương pháp : Dạng tổng quát 1: ab + cd = ac + bd ⇔ ab + cd − ac − bd = 0 ⇔ a (b − c ) − d (b − c ) = 0 ⇔ ( b − c )( a − d ) = 0 b − c = 0 ⇔ a − d = 0 Trang 14
  15. Biên soạn: Lê Kỳ Hội Dạng tổng quát 2: u + v = 1 + uv ⇔ ( u − 1)( v − 1) = 0 u = 1 ⇔ v = 1 f ( x) Với phương trình dạng : a + b g ( x ) = b + a h( x ) với h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . 10.2. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau. 1. 12 + 6 x = 4.3x + 3.2 x . 2. 15 x − 3.5 x + 3x = 3 . + 21− x = 2( x +1) 2 2 2 3. 52 x +1 + 7 x +1 − 175 x − 35 = 0 . 4. 4 x +x +1 . 5. 5.32 x −1 − 7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 = 0 . 6. x 2 .2 x +1 + 2 x −3 + 2 = x 2 .2 x −3 + 4 + 2 x −1 . 7. 8 − x.2 x + 23− x − x = 0 . 8. x 2 .3( x −1) + x ( 3x − 2 x ) = 2 ( 2 x − 3x −1 ) . 9. 12.3x + 3.15 x − 5 x+1 = 20 . 10. 2 ( 2 x2 + x ) + 21− x − 22( x + x ).21− x − 1 = 0 . 2 2 2 11. Bài toán 11: Lượng giác hóa Ví dụ : Giải phương trình 4.33 x − 3x +1 = 1 − 9 x . Giải : Điều kiện : 1 − 9 x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ 9 x ≤ 1 ⇔ x ≤ 0 (*) . Biến ñổi phương trình về dạng : 4.33 x − 3.3x = 1 − 32 x . Với ñiều kiện (*) thì 0 < 3x ≤ 1 .  π Đặt cos t = 3x với t ∈ 0,  . Khi ñó phương trình có dạng :  2 4 cos3 t − 3cos t = 1 − cos 2 t . π  ⇔ cos 3t = sin t = cos  − t  . 2  Trang 15
  16. Biên soạn: Lê Kỳ Hội  π  π kπ 3t = 2 − t + k 2π t = 8 + 2 π 0 ≤t < 2 π ⇔ ⇔  ⇔ t= . 3t = − π + t + k 2π t = − π + kπ ( l ) 8  2  4 2 π  π π π 2+ 2 π 2+ 2 Ta có : cos = cos  2.  = 2cos 2 − 1 ⇔ cos 2 = ⇔ cos = . 4  8 8 8 4 8 2 π π 2+ 2 2+ 2 Do ñó : t = ⇔ 3x = cos = ⇔ x = log 3 . 8 8 2 2 11.1. Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau. x x  1 + a2   1 − a2  1.   −  = 1 với tham số a ∈ ( 0,1) .  2 a   2a  2. 1 + 1 − 22 x = 1 + 2 1 − 22 x .2 x . ( ) 12. Bài tập tổng hợp : Bài 1 : Giải các phương trình sau. a. 9 3 x −1 = 38 x − 2 . 2 2 2 2 −1 +2 −1 b. 2 x + 2x = 3 x + 3x . x2 +4 c. 5 x − = 25 . d. 5 x +1 + 6.5 x − 3.5 x −1 = 52 . e. 16 x − 17.4 x + 16 = 0 . f. 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0 . 2 2 2 2 + 2 x +1 +x −x g. 32 x − 28.3x +9 = 0. h. 2 x − 22+ x − x = 3 . x −1 ( ) ( ) x −1 k. 5+2 = 5−2 x +1 . l. 25x − 2. ( 3 − x ) .5 x + 2 x − 7 = 0 . Bài 2 : Giải các phương tình sau. a. 4 x + ( x 2 − 7 ) .2 x + 12 − 4 x 2 = 0 . 2 2 b. 6.32 x − 13.6 x + 6.2 2 x = 0 . ( ) ( ) = 6. 1 1 1 x x c. 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0 . d. 3 3+ 8 + 3 3− 8 e. 9− x − ( x + 2 ) .3− x − 2 ( x + 4 ) = 0 . f. 4 x 2 + 3 x + 31+ x = 2.3 x .x 2 + 2 x + 6 . Trang 16
  17. Biên soạn: Lê Kỳ Hội ( ) +( )( ) ( ) x x x g. 7 + 5 2 2 −5 3+ 2 2 + 3 1+ 2 +1− 2 . ( x −1)2 ( ) ( ) x 2 − 2 x −1 4 h. 2 + 3 + 2− 3 = . 2− 3 ( ) ( ) x x k. 3 + 5 + 16 3 − 5 = 2 x+3 . l. 2 x +1 − 4 x = x − 1 . Bài 3 : Giải các phương tình sau. 2 − 6 x +10 2 x2 + 1 a. 3x = − x2 + 6x − 6 . b. 22 x − x = . x 3 x +3  x3 - x  x - x 2 c. 2.cos 2   =3 +3 . d. 8 x − 2 + 12 = 0 . x  2  e. ( x + 1) x −3 = 1. f. 22 x −1 + 32 x + 52 x +1 = 2 x + 3x +1 + 5 x + 2 . 2 2 2 g. 2 x.3x −1.5 x − 2 = 12 . h. 25 2 x − x +1 + 9 2 x− x +1 = 34.15 2 x − x . k. ( 4 x − 1) + 2 x +1 ( 4 x − 1) = 8.4 x . 2 x +1 l. 4 x − 4 = 3 .2 x + x . Bài 4 : Giải các phương tình sau. x x 2 −2 x 2 −2 a. 4 x + − 5.2 x −1+ = 6. b. 3 x .8 x +1 = 36 . 1 12 c. 32 x − 8.3x + x+4 − 9.9 x +4 =0. d. 23 x − 6.2 x − 3( x −1) + =1. 2 2x 2 2 e. 3x + 3− x = 3 8 − x 2 . f. 2 x −5 x + 6 + 21− x = 2.26 −5 x + 1 . g. (7 + 4 3)cosx + ( (7 − 4 3))cosx = 4 . h. 32 x + 4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 . (5 + 2 6 ) ( ) tan x tan x 2 k. + 5−2 6 = 10 . l. 4lg x +1 − 6lg x − 2.3lg x +2 = 0. Bài 5: Tìm m ñể các phương trình sau có nghiệm. a. 9 x + m3x − 1 = 0 . b. 32 x + 2.3x − ( m + 3) .2 x = 0 . c. 16 x − ( m − 1) .22 x + m − 1 = 0 . 2 2 d. 34 − 2 x − 2.32 − x + 2m − 3 = 0 . 1− x 2 1− x 2 e. 9 x + − 8.3x + +4=m. f. 4 x +1 + 3− x − 14.2 x +1 + 3− x +8 = m. Trang 17
  18. Biên soạn: Lê Kỳ Hội g. 2 x + ( m + 1) .2− x + m = 0 . h. 25 x + m.5 x + 1 − 2m = 0 . 2 2 k. 4 x − 2 x +1 = m . l. 81sin x + 81cos x = m . Bài 6: Tìm m ñể các phương trình sau có duy nhất một nghiệm. a. m.2 x + 2− x − 5 = 0 . b. m.16 x + 2.81x = 5.36 x . ( ) ( ) x x c. 5 +1 + m 5 −1 = 2x . d. 4 x − 2 x +3 + 3 = m . x x 7+3 5   7−3 5  e.   + m   = 8 . f. 9 x + m.3x + 1 = 0 .  2   2  Bài 7: Tìm m ñể các phương trình sau : a. m.16 x + 2.81x = 5.36 x có 2 nghiệm dương phân biệt. b. 16 x − m.8 x + ( 2m − 1) .4 x = m.2 x có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 +2 c. 4 x − 2 x + 6 = m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 d. 9 x − 4.3x + 8 = m có 3 nghiệm phân biệt. Trang 18
  19. Biên soạn: Lê Kỳ Hội B. Chuyên ñề 2: Bất phương trình mũ 1.Phương pháp: + Khi giải bất phương trình mũ ta cần chú ý ñến tính ñơn ñiệu của hàm số mũ.  a > 1   f ( x ) > g ( x ) a f ( x) > a g( x) ⇔   0 < a < 1    f ( x ) < g ( x ) + Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như ñối với phương trình mũ : - Đưa về cùng cơ số. - Đặt ẩn phụ. - ... Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì : a f ( x) > a g( x) ⇔ ( a − 1)  f ( x ) − g ( x ) > 0 . 2.Bài tập áp dụng. Bài 1: Giải các bất phương trình sau (Đưa về cùng cơ số). x − x −1 x6 − 2 x3 +1 1− x 2 x −2 x 1 1 1 a. 3 ≥  . b.   5 x +1 − 5 x + 2 . d. 9 x −3 x + 2 − 6x −3 x + 2 52 . 1 1 −1 −2 c. 4 x −2 x −3 ≤ 0 . d. 25.2 x − 10 x + 5 x > 25 . Trang 19
  20. Biên soạn: Lê Kỳ Hội x+4 x + 91+ 4 e. 8.3 x >9 x. f. 6 x − 2.3x − 3.2 x + 6 ≥ 0 . x 2 2 2 g. 252 x − x +1 + 92 x − x +1 ≥ 34.252 x − x . h. 3x +1 − 2 2 x +1 − 12 2 < 0 . 1 1 k. ( 2 − 9.2 + 4 ) . x + 2 x − 3 ≥ 0 . +1 2− 2 x +1 x 2 l. 2 x +2 x < 9. Bài 3: Giải các bất phương trình sau (Sử dụng tính ñơn ñiệu). x 2.3x − 2 x + 2 a. 2 x < 3 2 + 1 . b. ≤1. 3x − 2 x 32 − x + 3 − 2 x 21− x − 2 x + 1 c. ≥ 0. d. ≤ 0. 4x − 2 2x −1 x+4 2 x+4 3x + x − 4 e. 3 +2 > 13 . f. 2 >0. x − x−6 Bài 4: Tìm m ñể các bất phương trình sau a. 4 x − m.2 x + m + 3 ≤ 0 có nghiệm. b. 9 x − m.3x + m + 3 ≤ 0 có nghiệm. c. 2 x + 7 + 2 x − 2 ≤ m có nghiệm. d. ( 3m + 1) .12 x + ( 2 − m ) .6 x + 3x < 0 ∀x > 0 . e. m.9 x − ( 2m + 1) .6 x + m.4 x ≤ 0, ∀x ∈ [ 0,1] . f. 4 x − 2 x − m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0,1) . 3. Bài tập tổng hợp : Giải các bất phương trình sau. 6 −5 x  2  2+5 x 25 1. 9 x − 3x + 2 > 3x − 9 . 2.   < . 5 4 x −1 3. ( x 2 − 2 x + 1) x +1 ≤ 1 . 1 1 4. 2 > x+2 . x + 5 x −6 3 3 2+ x 4x + 2x − 4 5. x .5 − 5 2 x < 0. 6. ≤ 2. x −1 x+2 x 3x − 2 2  1  2− x 7. 8. x > 1+   . 8.   >9. 3 −2 x 3  3 Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0