Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
79 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG TIÊU BIỂU
- Tài liệu để ôn thi đại học và cao đẳng - Tài liệu chỉ dùng cho HS học theo chương trình chuẩn - Tài liệu gồm 79 bài tập được chọn lọc kĩ và giải chi tiết
(
(
(
( ) 1;0 ,
) 1;4 ,
3;5
D
C
A
B
- =
) 2;4 , . Tìm điểm M trên d sao cho hai tam giác
) và đường thẳng , MAB MCD có diện tích bằng nhau.
y-
5 0
)
- -
BT1. Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm d x : 3 Giải M thuộc d thì (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
5 ⇒ = AB
5
Mặt khác :
x
=
AB
+ x 4
- = y 3
4
0
:
=
(
( M a a - ;3 )3;4 ( = - 1 3 ⇒ = CD
y 4 17
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CD
- (cid:219) -
y
4
x
)4;1 + 1
=
CD
:
0
x
= y
4
1
4
- (cid:219) - -
)
)
17 ( a 3 3
( a 4 3
)
Tính :
( h M AB 1
Nếu diện tich 2 tam giác bằng nhau thì :
+ - - - - - - - 5 4 a 4 a 5 17 19 a 3 11 = = = = = , , h 2 5 a 13 5 17 17
- - - = a 17. 3 11 a = 19 = (cid:219) (cid:219) (cid:219) AB h . 1 CD h . 2 - - = - a 19 3 11 = 19 11 a 3 1 2 1 2 a 5. 13 5 17 13 a 13 a 11 12 8 = a
(
)
Vậy trên d có 2 điểm :
1
2
(
)
và trung điểm I của AC
( ) 1;0 ,
- M ; , M 8;19 11 12 27 12
B A 0; 2
BT2. Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết nằm trên đường thẳng
x= . Tìm toạ độ đỉnh C :d y
(
)
(
)
Giải Nếu C nằm trên
- :d y x= thì A a;a do đó suy ra C 2a 1;2a
0 2
=
=
)
Ta có :
.
( d B d
,
2
2
=
2 +
-
=
)
(
)
(
)
= ⇒ =
Theo giả thiết :
.
,
2
2
2
2
0
S
( AC d B d
AC
a
a
2 1 2
4 2
- -
2
- 1 3
(cid:219) = - - a 8 8 + (cid:219) 8 a 4 - = (cid:219) 2 2 a 2 a 1 0 2 + 1 3
= a = a 2
Vậy ta có 2 điểm C :
2
)
- - 1 3 3 3 1 ; , C + 3 1 ; C 1 2 2 2 2 + 1
BT3. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC víi
và ®Ønh C n»m trªn
( B -
( ) 1;1 , A 2;5
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com - Trang 1 -
-
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN . TÝnh
x - = 4
www.MATHVN.com 0
, vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2
+ = y
6 0
3
x
®−êng th¼ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC. Giải
(
)
( = -
)
= AB
Tọa độ C có dạng :
C 4;a ,
(
)
+
+
x
A
x C
=
=
=
1
x G
x G
⇒ - - (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB 3; 4 5 x 1 y = (cid:219) AB : + x 4 - = y 3 7 0 - 4
Theo tính chất trọng tâm ;
+
+
+
y
a
a
6
A
y C
=
=
=
y G
y G
x B 3 y B 3
(cid:219)
3
1 3 - + 1 2 4 3 + + 1 5 3
, cho nên :
.
Do G nằm trên 2
x
+ = y
6 0
3
+
6 - ⇒ - 2.1 3 a 2 + = (cid:219) = 6 0 + a 3
4.4 3.2 7
=
=
=
=
(
)
(
)
Vậy
(đvdt)
) M 4; 2 và
d C AB ,
= ⇒ 3
S
( AB d C AB
.
,
5.3
ABC
1 2
15 2
+ 16 9
-
, träng t©m G cña
(2; 1) ,
A
B
- -
1 2 BT4. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng
(1; 2) . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC
y+ - = 2
d x :
0
.
b»ng
27 2
Giải.
A
d
M
C
B
(
)
Ta có : M là trung điểm của AB thì
. Gọi
C a; b , theo tính chất trọng tam tam giác
;
M
3 2
1 2
-
:
+
a
b
+
- = (cid:219) + =
Do G nằm trên d :
a b
( ) 6 1
+ a 3 = x G 3 - b 3 = y G 3 - 3 3 2 0
y
=
=
)
)
)
Ta có :
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
AB
x
- = (cid:219) y
( 1;3
( = , h C AB
- - - - 3 a b 5 3 x 2 1 (cid:219) - 3 ( ⇒ : 3 5 0 1 3 10
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 2 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
2
a b
5
2
5
=
=
=
=
)
Từ giả thiết :
S
( AB h C AB
.
,
10.
ABC
1 2
1 2
a b 2
27 2
10
- - - -
Kết hợp với (1) ta có 2 hệ :
6 32
a b 2
=
- 27 32 (cid:219) - (cid:219) (cid:219) - = a b 2 5 27 - a b a b - = 5 - = - 5 2 2 27 22 - = 2 a b - = - a b 2
a
(
)
⇒
;
6;12
,
C
C 1
2
38 3
20 3
6
a b 2
22
6 18
+ = - = a b + = - = - a b
+ = 6 a b = 3 38 a + = a b = - 3 a
= - b = b = - a
(cid:219) (cid:219) (cid:219) - -
)
20 3 38 3 12 6 (
có
A 2;1 . Đường cao qua đỉnh B có phương trình
D
. Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình
x
y+ + = . Xác định tọa độ B
1 0
3
- = 7 y
-
.
D
BT5. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC x 0 và C. Tính diện tích ABC Giải
B
M
C
A
A 2;1 và vuông góc với đường cao kẻ qua B, nên có véc tơ chỉ phương
=
)
(
(
)
) - ⇒
Đường thẳng AC qua (cid:2) n
( 1; 3
AC
:
t R
) ( = + 2 t = - t 1 3
x y
Tọa độ C là giao của (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C :
1 0
= + x t 2 ⇒ = - t 1 3 y + + = x y
)
)
.
Giải ta được :
t = và 2
. Vì B nằm trên đường cao kẻ qua B suy ra
( B a 3
a+ 7;
˛
M là trung điểm của AB
.
( C 4; 5- ⇒ M
Mặt khác M nằm trên đường trung tuyến kẻ qua C :
+ + 9 a 1 ; a 3 2 2 + + a 1 9 + + = (cid:219) = - a 1 0 3
( 1; 2
- 2 ) ⇒ a 3 2 B
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 3 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
( = -
-
www.MATHVN.com (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) AB
⇒ = AB
1; 3
10
x
y
2
1
=
(
)
Ta có :
AB
x
- = y
:
3
5 0
3
12
=
1 )
( h C AB ;
=
=
)
Vậy :
= (đvdt).
10 ( AB h C AB
.
,
10.
6
ABCS
1 2
12 10
(
y+
x
A – 6 0
)5;2 . Phương trình đường y + = . Tìm tọa = và 2 – x
3 0
- - (cid:219) -
1 2 BT6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là độ các đỉnh của tam giác ABC Giải
x + y - 6 = 0
A
M
C
B
N
(
Gọi
(1).
) B a; b suy ra
. M nằm trên trung tuyến nên : 2
+ + a 5 b 2 ; a b- + = 14 0 M 2
)
(
)
.
˛ 2 B, B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên ( BC : t R x y = + a t = + b t
- - 6
Từ đó suy ra tọa độ N :
x - - 6
y x = + a t = + b t + - = y 6 0 6
= t ⇒ = x = y a b 2 a b 3 2 + - b a 2
)
(
. Cho nên ta có tọa độ
- - (cid:219) - - - N + - 6 6 ; C a b 2 6;6 a a b 3 2 b a 2 - 0
)
(
(2) (
Từ (1) và (2) :
) 20; 31
= 14 0 9 0
- = 9 b 2 = a 37 = b 88
(cid:219) - - ⇒ ⇒ B C 37;88 , - a Do C nằm trên đường trung tuyến 5 - + a b 2 - = b 2 a 5
,
+ = y
D 8 0 3
+ x : . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
D -
BT7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( A -
= 10 0
)2;1
+ 4 y
x
' :3 và điểm , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D
’.
D
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 4 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com Giải
)
Gọi tâm đường tròn là I, do I thuộc
( ⇒ - + I
2
2
+
(
(
)
A thuộc đường tròn
⇒ = IA
3
t
- +
D - - : t 2 3 ; 2 t = - + = - - x y 2 3 t t 2
) t 3 (
+ )
+
3
t 2 3
= (1) R ) ( + t
2
4
10
t 13
=
12 =
Đường tròn tiếp xúc với
. (2)
D ⇒ '
R
R
5
5
+
t 13
12
2
2
2
+
+
=
- - - (cid:219)
(
)
(
)
)
)
Từ (1) và (2) :
t 3
3
t
( + 3
t
( + 13 t
12
) ( 2 + 25 3 t
2 =
5
2
2
2
2
+
+ =
+
+
= cùng đi qua
C x ') :
(
y
y
x – 2 – 2
1 0,
. Viết phương trình = 2MA MB
.
4 – 5 0 x ')
(cid:219)
BT8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn )1;0M ( ( C x ) : y C C lần lượt tại A, B sao cho đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( Giải * Cách 1.
at
=
(
)
Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương
a b ;
:
= + 1 bt
x ⇒ d = y
=
(cid:2) u
)
(
, suy ra :
3
:
) 2;0 ,
R 1
2
= R 2
-
) C I : 1 1 (
(
Đường tròn ( ) ( ) ( 2 + 1 :
x
y
( ) 1;1 , ) 2 = 1
C
1,
( C 1. ) ( + x :
I 2 ) 2 + 2
= 2 y
9
C 1
2
- -
2
2
2
)
Nếu d cắt (
( ⇒ + a
) 2 b t
1C tại A :
2
2
2
2
t = fi 0 - ⇒ bt 2 = (cid:219) 0 A ; 2 2 2 b + 2 = ab + b a b a t + 1
2
2
2
)
Nếu d cắt (
( ⇒ + a
) 2 b t
2C tại B :
2
2
2
2
2
Theo giả thiết :
.
( ) *
2
2
2
2
2
2
+
=
+
Ta có :
.
4
2
2
2
6 2
2
2 b + 2
6 a + 2
2 ab + 2 b
a
b
a
b
a
a
ab + b
2
2
a = fi 0 + - - ⇒ 6 at = (cid:219) 0 B 1 ; 6 2 6 a + 2 = - b a ab + b a t t a M b 2 + b M a 6 + b = (cid:219) = 2 MA MB MA 2 4 MB
a
6 0
2
2
=
4.
b
36
a
2
b 4 + 2
+ - = : 6 y x - = y x
6 a
d
6
d : 6
6 0
a 36 + 2 b a
= - b = b
fi (cid:219) (cid:219) (cid:219) fi -
= 2 b a * Cách 2.
- Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự
. (Học sinh tự làm)
k = -
1 2
(
BT9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực tâm
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là
, trung điểm cạnh AB là
.
)3; 1M (
)1;0H (
)0; 2
K
Giải
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 5 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
B
K
H
M
C
A
(
có véc tơ pháp
)0;2
K
=
Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua (
(
) - ⇒
tuyến
( 1; 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KH
+ = 2 x
) = (cid:219) 2
2
y
0
) : AC x ) (
)
)
.
y (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) KH
4 0 ( = 1; 2
. - ⇒ + - t B
( 1
t ; 2
- - -
(
H 1;0 và có véc tơ chỉ phương )
(
.
-
(
(
)
+ A 5 t; 2 2t ) + =
, suy ra
1t = . Do đó
B nằm trên (BH) qua )M 3;1 là trung điểm của AB cho nên Mặt khác A thuộc (AC) cho nên :
4 0
) 4; 4 ,
B
A
2; 2
( + 5 t 2 2 2t ) t+ ,
- - -
-
⇒
.
( Vì C thuộc (AC) suy ra C t 2 ; 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ) ( = . Theo tính chất đường cao kẻ từ A: t HA BC , 3; 4 ) ( ( + + t 3 2 4 4
( = t 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HA BC .
+ 2; 4 = ⇒ 0
) ( C 2;1
2
1
t
t
- -
x
4
y
4
=
=
=
(
)
)
(
)
(
)
⇒
(cid:3)
(AB) qua
A 4;4 có véc tơ chỉ phương
) = fi = - 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA
. Vậy: (cid:2) u
2;6
( 1;3
:
AB
1
3
- -
- = y
x
3
=
(cid:219) -
(
)
(
)
(
) +
(
) =
⇒
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HA
3; 4
BC
x
: 3
2
4
+ y
2
0
- -
8 0 ) ( có véc tơ pháp tuyến B 2; 2 (BC) qua + = + 4 y x 0 2 3 .
2
2
(cid:219)
và
2
2
+
-
)
) C x : 1 Lập phương trình tiếp tuyến chung của (
-
BT10. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình ( ( C
= 16 0.
+ y
+ x
6
8
x
y
:
2
+ - = y 4 y 5 0 ) 1C và ( ) 2 .C
Giải
2
+
=
(
(
R 1
Ta có:
2 +
-
( (
y )
2 = ⇒ 9 )
) 0; 2 , (
) C x : 1 ) ( :
C
x
3
I 1 2 = ⇒ 9
4
2
) 2 ( + y + =
=
3, ) = R 3; 4 , 3 2 không cắt ( ) (
I < + = ⇒ 3 3 6
C 1
2
=
=
- -
)
)
) 2C ) là tiếp tuyến chung, thế thì :
9 4 + = (
Gọi
0
13 b+ 2
a
0
c
,
( R d I d
;
,
:
( d I d 1
1
2
R 2
=
( ) 3 1
2
2
„
2 I I Nhận xét : 1 2 + d ax by + b c 2 +
a 3
=
⇒
2
2
2
2
+ b c 2 +
+ b c 4 +
a a 3
a
b
b
a
=
( ) 3 2
2
2
b + 4 b c +
b
a
- (cid:219) -
a 3
+ b c 2
+ = b c 2
a 3
+ (cid:219) b c 4
a 3
+ = b c 4 + = - b c 4
b c 2
- (cid:219) - - -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 6 -
www.MATHVN.com
2
2
2
=
+
)
(cid:219) (cid:219)
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN )
(
. Mặt khác từ (1) : (
+ b c 2
b
a
9
- b 2 + b 2
thay vào (1) :
= a 3 a Trường hợp : = c 2 0 b= 2 a
b 2
c 3 5 4
2
2
2
2
2
2
2
=
+
=
-
)
)
(
0.
+ 2 b c
( 9 4 b
b
41 b
4 bc
= D = 2 c
4 c
41 c
45 c
+ ' b
+
(cid:219) - - (cid:219)
(
)
2 3 5
c
= b = b
4
Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm : (
- -
)
)
(
2 3 5
2 3 5
+
- -
(
.
:
x
y
+ = (cid:219) 1 0
( ) + 2 2 3 5
x
) + = y
2 3 5
4
0
d 1
2
4
+
+
(
)
(
)
2 3 5
2 3 5
+
.
:
x
+ = (cid:219) 1 0
y
( + 2 2 3 5
) + x
( + 2 3 5
) + = 4 y
0
d 1
2
4
b 2
a 3
2
2
=
Trường hợp :
, thay vào (1) :
c
2
2
2
- b 2 a 3 + b 2 - 2 + a b = (cid:219) 3 - = b a 2 + a b
2
2
(
)2
.
Vậy có 2 đường thẳng :
,
3 : 2
: – 2
BD x
: – 7
1 0
y +
14
0
y + = , phương trình đường thẳng . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật.
= = - b c 2 = fi = - c 0 b a 2 (cid:219) - (cid:219) - ⇒ = b a 2 + a b = (cid:219) 2 b 3 4 ab 0 = - , a 6 c fi = - c = b 0, a a 4 3 a 6 - = x a 4 3 y+ 8 1 0 d x - = 1 0 d = b 4 : 6
BT11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng = , đường thẳng AC đi qua AB x )2;1M ( Giải
A
B
I
M
D
C
B
x x
1 0 = 14 0
+ = y + y
2 7
21 13 ; 5 5 (
- ⇒ -
Dễ nhận thấy B là giao của BD với AB cho nên tọa dộ B là nghiệm của hệ: Đường thẳng (BC) qua
B 7;3 và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
)
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 7 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
(
)
) - ⇒
( 1; 2
+ t = (cid:2) u BC :
=
=
=
Ta có :(
BIC
j 2
2
)(cid:4) AB BD ,
=
j
=
=
=
=
- t 2 = x = y 21 5 13 5
)
) - ⇒
(AB) có
, (BD) có
)(cid:4) (cid:4) (cid:4) ( = AC BD 2 , (cid:1)(cid:2) n =
( 1; 2
( 1; 7
cos
1
ABD (cid:1)(cid:1)(cid:2) n 2
+ 1 14 5 50
15 5 10
3 10
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) . n n 1 2 (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) n n 1 2
-
a
7
=
=
=
=
- =
(
)
(
)
⇒
Gọi (AC) có
a b ,
cos
AC BD ,
j cos 2
(cid:2) n
j 2 2cos
1 2
2
2
- = 1
9 10
4 5
a
2
2
2
2
50 2
2
+ 2
b +
-
(
)
b + )
(
.
Do đó :
4 50
a
b
a
= 7
b
a 31
14
= ab
17
b
0
b
a
+ 32
= b
7
- (cid:219) - (cid:219) -
(
)
(
)
(
⇒
b
AC
x
y
- = x
y
:
+ 2
) = (cid:219) 1
0
17
31
3 0
Suy ra :
(
a
17 31 = ⇒ b
AC
- + - = (cid:219) + - = 1 0
x
y
y
3 0
17 31 2
5 a = - a
+
t
(cid:219) =
- - - -
⇒
(AC) cắt (BC) tại C
2 t
t
C
7 15
14 5 ; 3 3
-
3 0
21 5 13 5 - = y
x
-
(
)
(AC) cắt (AB) tại A :
.
) : x = x ⇒ = y x x
(
)
(AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua
A 7;4 suy ra (AD) :
- (cid:219) (cid:219) A 7; 4 - + = y 2 - = y 1 0 3 0 7 4 = x = y
⇒ = ⇒
(AD) cắt (BD) tại D :
t
D
7 15
98 46 ; 15 15
= 14 0
x y = + 7 t = - 4 2 t
các em làm tương tự.
x y - x 31
= + 7 t = - t 4 2 + 7 y - = y 3 0
AC
:17
x
Trường hợp
A 2;3 , trọng tâm y+ d
x
( 2 – 7
) G 2;0 . = . 0
x 1 : d
2 :
-
( ) BT12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm y+ + = và Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng 5 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG Giải
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 8 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
A
G
d1
d2
C
M
B
, C thuộc d' cho nên C:
.
B thuộc d suy ra B :
= - 7 2 m
- t x = y m = x t = - y
)
(
t
9
2
=
=
2,
= 0
⇒ = x G
y G
m t 3
2
- - -
Ta có hệ :
= - m
1 1
= m = - t
(cid:219) -
3 (
)
(
Vậy :
và
có véc tơ chỉ phương
,
(cid:2) u =
)3; 4
1; 4
( B -
C 5;1 . Đường thẳng (BG) qua
)2;0G (
- 5 Theo tính chất trọng tâm : + m 2 3 - = m t 2 t )
2
x
=
=
=
(
)
⇒
cho nên
BG
:
4
x
- = 3 y
8 0
d C BG ;
= R
3
y 4
2 +
- - - (cid:219) -
(
)
(
)
13 5 (
Vậy đường tròn có tâm
C 5;1 và có bán kính
R
20 15 8 5 ) ( :
C
5
x
) 2 = 1
y
13 = ⇒ 5
169 25
x
y + = , cạnh bên AB nằm
1 0
= . Viết phương trình AC biết rằng nó đi qua điểm
– 23 0
y
x
)M 3;1 (
- -
BT13. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng 2 – 5 trên đường thẳng 12 – Giải
M
A
C
B
H
5
Đường (AB) cắt (BC) tại B
-
+ = y 1 0 = 23 0 y
x 2 12 x
- -
(
Suy ra :
. (AB) có hệ số góc
, đường thẳng (BC) có hệ số góc
B
) 2; 1
12
k =
k = , do đó ta có
'
2 5
-
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 9 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
12
m
=
=
=
=
. Vì tam
. Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta có :
tan
C
B
tan
2
2 5 + 5 2
m m
2 5 +
1
+ 1 12.
2 m 5
=
B
tan
C
2 5 2 5 giác ABC cân tại A cho nên tan
, hay ta có :
- - -
= -
+
- = - - 4 10 m - (cid:219) = (cid:219) 2 = 2 5 m + (cid:219) m 2 2 5 - - 2 5 2 5 = m = - m + m 4 m 10 2 5 + 5 2 m m 8 9 12 = m
(
(
Trường hợp :
m
) AC y
:
x
) + (cid:219) 3
1
9
x
= 8 y
35 0
9 = - ⇒ 8
9 8
=
- -
(
(loại vì nó //AB ).
hay (
= 25 0
x
12
) + 3
) : 12
y-
AC
1
x
- -
.
suy ra ( ) : 9 x AC
) AC y : = y+ 35 0 8
2
2
2 =
2 +
=
-
(
)
(
)
)
)
)
và (
-
Trường hợp : 12m = Vậy ( BT14. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn : ) ( + – 1 y
225
( :
12
C
:
5
x
x
( y+
– 2
25
C 1
2
(
' 5
R = . Gọi d là tiếp tuyến chung có
) J 1;2 và
2
2
-
phương trình :
Giải : . I Ta có (C) với tâm + ax by
. (C') có ( 0 ).
„
+ a
=
=
=
=
)
)
Khi đó ta có :
( h I d ,
( ) 15 1 ,
( h J d
,
( ) 5 2
2
2
2
2
) = 15 R 5; 12 , b+ + = ( a 0 c + 12 b c a 5 +
b
a
-
Từ (1) và (2) suy ra :
+ 2 b c + a b + = b c 12 + = - b c 12
- - a 5 12 + = b c 3 + a + (cid:219) b c 2 - - - a 5 a 5 + a 3 a 3 + b 6 b 6 c 3 c 3
2
2
. Thay vào (1) :
ta có hai trường hợp :
2
2
2
2 =
+ 2
- a = b 9 c + + = + (cid:219) a b c 2 5 a b = b + a 2 c - 3 2
)
(
)
Trường hợp :
thay vào (1) : (
2
a
b 7
a
25
b
+ 21 a
28
ab
= 24 b
0
- (cid:219) - c = - a b 9
Suy ra :
+ - - = = fi d : y 0 a 14 10 7 21 175 10 7 21 14 10 7 21
2
2
2
2 =
+ + - = fi d : y 0 14 10 7 21 175 10 7 21 14 10 7 21 + - x + - x = a
)
(
)
Trường hợp :
. Vô
=
=
< +
=
=
. Hai đường tròn cắt
+ 16 196
212
R R
= + ' 5 15 20
400
+ 2 = - - (cid:219) ⇒ ( ) ( b 1 : 7 2 a a 100 b c + a 2 b + 96 a + 28 ab = 51 b 0
nghiệm. (Phù hợp vì : nhau).
2
2
+
3 2 IJ
- = y
x
8
2
8 0
. Viết và cắt đường tròn theo
: 3
d
x
+ x y+ - =
y 2 0
-
BT15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : phương trình đường thẳng song song với đường thẳng một dây cung có độ dài bằng 6. Giải
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 10 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
H
A
B
I
Đường thẳng d' song song với
d
: 3
x
= 0 m
1
=
=
IH là khoảng cách từ I đến d' :
IH
+ m 5
2
2
2
Xét tam giác vuông IHB :
+ + y m - + + 3 4 5 AB 4
- = = - IH IB 25 9 16 =
(
)2 1 = 25
)
x : 3 – 4
y +
27
fi + d 19 m (cid:219) (cid:219) 16 + = m 1 20 = 19 0 = fi 21 ' : 3 d + + x y + - ' : 3 x y = m ⇒ = - m
y+
x :
d 1
2
21 0 ) ( B 2; 1- , đường cao và đường phân ) = và ( = d 2 – 5 0 0
BT16. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là ( Giải
A
K
B
C
H
Đường thẳng (BC) qua
và vuông góc với (AH) suy ra BC:
, hay :
) ( B 2; 1-
= + t 2 3 = - t 1 4
x y
-
x
+ y
+
(
)
4
x
- = ^ = y
3
7
0
(cid:2) n
4;3
2 = 3
1 4
= +
fi = -
- (cid:219) (cid:219) -
(
)
(BC) cắt (CK) tại C :
t
1
C
1;3
t 2 3 t 1 4 - =
2
y
5 0
x ⇒ = - y + x
=
- (cid:219) -
)
(
(cid:2) n
); a b
-
) =
(AC) qua Suy ra (
( C 1;3 ( ) AC a x :
có véc tơ pháp tuyến ) + + 1
( b y
3
0
=
j
=
=
=
⇒
Gọi (cid:4) (cid:4) = KCB KCA
j cos
(*). + 4 6 + 5 16 9
10 5 5
2 5
-
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 11 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
+
+
a
a
2
j
=
=
) 2 =
⇒
(
)
Tương tự :
cos
( + a
b 2
4
+ 2 a
b
2
2
2
2
2 5
a
b
0
5 a ) = « 0 3
b 2 + b - = y
3 0
2
(cid:219)
a 3
= (cid:219) 4 ab
0
(
(
) + + 1
y
x
) = « 0
3
+ 4
x
- = 3 y
5 0
b 2 + 5 ( = ⇒ - a b y 4 b = ⇒ a 3
4 3
3
- =
5
(cid:219) - -
0
3 0 + y 4
(
(AC) cắt (AH) tại A :
) 5;3 ,
= -
A 2
A 1
x
= 27 - =
+
31 582 ; 25 25
- (cid:219) (cid:219) - -
5 0 = 27
3 4
0
y + y
y x 3 4 x 3 x
31 25 582 25
= y = - x = y và 2 điểm A tìm được ở trên. (học sinh tự lập ).
Lập (AB) qua
) ( B 2; 1-
-
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán
-
BT17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông tại A, = 3
y-
0
x
)
(
(
phương trình đường thẳng BC là : 3. kính đường tròn nội tiếptam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . Giải Đường thẳng (BC) cắt Ox tại B : Cho
1x = ,
y = suy ra
)
.
) B 1;0 . Gọi A a;0 thuộc Ox là đỉnh ( ( a -
a ; 3
) 1
0 a= cắt (BC) tại C :
của góc vuông (a khác 1). Đường thẳng x
2
2
2
=
+
Độ dài các cạnh
= AB a
1 ,
= AC
3
- ⇒ 1 a
BC
AB
AC
2
a
+
- -
⇒ = BC (
3
a
3
1
=
+
- - (cid:219)
(
)
Chu vi tam giác :
2
p
a
- + 1
3
- + a
1 2
- = a
1
3
3
a
= 1
p
=
=
=
1 ) 2 (
suy ra
.(*) Nhưng
. Cho nên
Ta có : S
pr=
1 3
)2 1
P
S
AB AC .
a
- = a 1
a
1 2
1 2
3 2 3 2 3
2
- -
(
- (cid:219)
(
(
(*) trở thành :
S r ) + 3 1
3
- = 1
) 1
2
) + 3 1
a
a
⇒ - = a 1
= -
1 2
3 4
1 2 3
a
= + a
-
Trọng tâm G : +
)
( + 2 3 2 3
) 1
)
+ 1 + 2 1 = = = x G x G + + 7 4 3 3 (cid:219) (cid:219) ⇒ 7 4 3 2 3 6 ; G 1 - a 3 ( 3 3 3 3 ( + 3 2 2 3 + = y G = = y G a 3 3 2 3 6 3
(
)
) 1
)
(
2
2
- - + 2 + 1 2 3 1 + 1 2 = = = - x G x G + + 1 4 3 3 3 (cid:219) (cid:219) - ; - a 3 ( 1 4 3 3 2 3 6 3 3 - - ⇒ - G 2 3 2 2 3 + = y G = = - y G a 3 2 3 6 3 3
) C x :
+ - - - = 2 y 0 1 4 y x
BT18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho đường tròn ( đường thẳng
và y+ + = . Tìm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ
d x : 1 0
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 12 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
090 .
được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau góc Giải
A
d
I
M
B
(
)
M thuộc d suy ra
. Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì MAIB là hình vuông
M t; 1 t
=
=
=
=
.
IA
2
R
2
6 2
2 3
2 +
=
2 =
- -
(A, B là 2 tiếp điểm). Do đó (
)
(
= AB MI )
Ta có :
MI
+ 2
2
t
t
+ = 2 8
-
2 3 (
2
1
2
+ =
Do đó :
.
8 12
2
2 t
= (cid:219) 2 t
M (
2
2;
fi - - (cid:219) fi - -
) 2; 2 1 ) 2 1
M
2
2 t = - t = t
=
)
, hay :
1
y
( k x
t
t
- - -
(1).
1 0
- - -
* Chú ý : Ta còn cách khác Gọi d' là đường thẳng qua M có hệ số góc k suy ra d' có phương trình: kx
- = t
kt
y
2
2
k
t
=
)
⇒
Nếu d' là tiếp tuyến của (C) kẻ từ M thì
'
6
( d I d ;
R=
2
kt +
k
2
2
2
2
+
+
- - -
(
(
(
)
(
)
2
) t k
t
2
( 6 1
k
t
+ 2
k
t
2
t 4
) + t k
t
= 4 t
2
0
1 )( + 2 2
2 =
2
(cid:219) - - - (cid:219) - - - -
2
0
2
2
- „
)
(
)(
)
t 4 (
Từ giả thiết ta có điều kiện :
t
t
- + 2 4 t
> 2 t
t 2 4
0
'
4
2
+
(cid:219) - - - -
= -
1
2
-
) - t D =
t t
4 t t 4
2 2
- -
2
2
2
)
( 19
2
2
– 6 2 + = – k k 1 > (cid:219) - (cid:219) ⇒ ⇒ 0 2 t t ⇒ = – t M 1 2 ; k k 1 = - 1 k k 1 2 2 „ t D = ' = t
(
)
+ x
+ = y
3
4 0
D
: 2 hợp với nhau góc 450.
=
(
)
(
thì d có phương trình dạng
(cid:2) n
); a b
A 1;1 và đường thẳng sao cho đường thẳng AB và D
(
(*). Ta có
.
-
BT19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm Tìm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng D Giải Gọi d là đường thẳng qua ( b y
A 1;1 có véc tơ pháp tuyến )2;3
) - + 1
( a x
) = 1
0
(cid:1)(cid:1)(cid:2) nD =
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 13 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
+
2
a
2
2
2
=
+
=
+
(
) D =
)
⇒
(
)
Theo giả thiết :
cos
,
= 0 cos 45
( 2 2
13
d
a
3 b
a
b
2
b 3 + 2
1 2
b
b
d
( = « y
x
y
:
) 1
) 1
+ = 0
5
4 0
2
2
5
a
24
ab
= (cid:219) 5 b
0
=
fi - - - (cid:219) - -
(
a
1 ( - + x 5 ( - + x
) 1
d
: 5
) = « 1 y
+ - = 0 x 5
y
6
0
fi -
Vậy B là giao của d với D + = y 5 + 3
13 a = - 1 a 5 b 5 cho nên : 32 4 ; 13 13
.
- (cid:219) - - ⇒ ⇒ , : ; B 1 B 2 B 2 B 1 + 6 0 + = 4 0 + = + - = x y x 3 y 4 0 4 0 x 2 x y 22 13 32 13 5 2
5 0 x y- + =
(
P
2 : 3
- = . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm x 0 y+ 6 – 7
BT20. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 1 : 2 d ) 2; 1 sao cho đường thẳng d đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2. Giải Trước hết lập phương trình 2 đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau :
+
3
x
7
5
2
= -
+
+ =
x
y
9
- + x y 5
-
x
y
x
3
3 + 9
8 0 = 22
0
3
7
2
5
=
y 6 3 5 + y 6 3 5
+
(cid:219) (cid:219) - -
- + x y 5 qua
+ = .
và vuông góc với tiếp tuyến : 9x 3y 8 0
) ( P 2; 1-
D
Lập đường thẳng + y
x
1 1
2 =
⇒ D
:
5 0
- = 3 x
y
1
9
3
- (cid:219) -
x
2
+ y
+
=
Lập
qua
) ( P 2; 1-
và vuông góc với : 3x 9y 22 0
:
y
5 0
2
2
= 3
1 + - = x 3 9
- D - (cid:219) D (cid:219) -
BT21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) có phương trình:
2
2
+
+
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính
R = ’ 2
x
y
- = 4
4 3
0
x và tiếp xúc ngoài với (C) tại A. Giải
vuong
Hide Luoi
y
A
1
I
x
-1
O
2
3
-3
-2
1
4
-1
-2
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 14 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
,
4R = . Gọi J là tâm đường tròn cần tìm :
www.MATHVN.com ( I -
2 +
)
⇒
- -
) 2 3;0 ) ( ( ' :
C
) 2 = y b
x a
4
= + IJ R R
'
(C) có ); ( ( J a b Do (C) và (') tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách
2
+
+
⇒
)2
= + = (cid:219) 4 2 6
+ 2 a
28
2 +
2 3 )
= + 2 4 3 a b ( )
Vì
0
a
2
) 2 = b
( ) 4 2
2
2
2
2
- -
)
Do đó ta có hệ :
2
2
2 =
(
)
+ + = = + 2 3 a b 36 24 a (cid:219) + a b = 2 - 0 + - a 2 4 b
( a b ( A 0; 2 là tiếp điểm cho nên : ( (
2 +
(
(
Giải hệ tìm được :
.
a
= ⇒ 3
C
x
3
y
) 2 = 3
4
- - 4 3 + b b 4 ) 3b = và a ) ( ' :
Chú ý: Ta có cách giải khác . Gọi H là hình chiếu vuông góc của J trên Ox suy ra OH bằng a và JH bằng b
=
Xét các tam giác đồng dạng : IOA và IHJ suy ra :
2 3 +
IA IJ
IO OA = IH HJ
4 = 6
2 b
= 2 3
a
.
3
3b = và
(cid:219)
, đường chéo
và đường chéo AC đi qua điểm
1 0
- = y
= 14
+ y
2
7
0
)M 2;1 . (
- -
a = Từ tỷ số trên ta tìm được : BT22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB x BD x : : Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải
A
D
M
C
B
Hình vẽ : (Như bài 12).
(
)
Tìm tọa độ B là nghiệm của hệ :
.
- ⇒ B 7;3 - x x - = y + y 2 7
(
(
)
)
(
)
Đường thẳng (BC) qua
) B 7;3 và
( 1; 2
^ - (cid:219) AB BC : 1 0 = 14 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ = u BC x y = + t 7 = - t 3 2
= -
=
j
=
=
. Mặt khác :
+ - 2 x
y
= fi 17
0
k
k
,
k
tan
BC
BD
AB
1 2
1 7
1 = ⇒ 2
1 3
1 7 +
1
1 2 1 1 7 2
- (cid:219)
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 15 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
k
j
2 3
=
=
=
=
=
⇒
j tan 2
Gọi (AC) có hệ số góc là k
2
j
- -
3 4
7 k + 7
2 tan 1 tan
1 k
+
1
1
1 9
1 7 k 7
- -
Do đó :
- =
- = - 21 k (cid:219) 4 7 k - = 1 3 + (cid:219) 7 k 17 31 21
) +
Trường hợp :
.
1 0
1
2
- = k x , hay : 1 y- 1k = suy ra ( k 28 28 k ) AC y :
(
)
C là giao của (BC) với (AC) :
t
1,
C
6;5
1 0
fi =
(cid:219)
)
A là giao của (AC) với (AB) :
0,
A
( 1;0
t
1 0
(cid:219)
(
)
m = -
2
= (*) , do qua
. Cho nên (AD)
y m
x
0
A 1;0 :
(AD) || (BC) suy ra (AD) có dạng : 2 có phương trình : 2
y+ - = 2
x
(
)
- = - 4 k 3 + - = 4 3 k ( x= = + x t 7 fi = - = - t 3 2 y - - = x y = + x t 7 = - t 3 2 y - - = 2 y x + +
D là giao của (AD) với (BD) :
0 . 2 x x
Trường hợp :
cách giải tương tự (Học sinh tự làm).
k = -
17 31
= và hai điểm
y
x
2
2
⇒ 0; 2 D - + - = 2 0 y = + y 14 0 7
(
(
)
0 có giá trị nhỏ nhất
sao cho
. Tìm điểm M ˛
+ MA MB
2
)
- D
BT23. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng (D ) có phương trình: – 2 – 2 ) A 1; 2 ; B 3; 4 Giải M thuộc D
2
2
2
2
+ 2
=
+
+
=
2 =
suy ra (
( M t 2 )
)
Ta có :
MA
+ ⇒ 8 t 13
2
MA
t 10
t 16
26
t 2
3
2
2
=
+ (
Tương tự :
t+ 2; ( + - t 2 ) ( 2 + - 1
t
5 t ) 2 = 4
MB
t 2
t 5
+ 12 t
17
2
=
+
=
Do dó :
.
f
( ) t
t 15
t 4
+ ⇒ 43
f
( ) t
'
t 30
+ = fi = - t 0
4
2 15
- -
Lập bảng biến thiên suy ra
đạt được tại
min
f
( ) t =
2
2
- t M ; 26 15 2 15
641 15 + = và điểm 6
) C x :
+ 0 2 = - ⇒ 15 )2; 4M ( y y x – 2 – 6
2 +
(
( ) 1;3 ,
) 2 = 3
) 1
)
= + - = - < = - - ⇒ ⇒ nằm 1 1 4 2 0 M 2, R 4 x y I P M C /(
Cho đường tròn ( BT24. Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB Giải Đường tròn (C) :( trong hình tròn (C) .
(
)
(
)
Gọi d là đường thẳng qua
= M 2; 4 có véc tơ chỉ phương : (cid:2) u ; a b x y = + 2 = + 4 at bt ⇒ d
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 16 -
2
2
+
+
+
(
(
www.MATHVN.com Nếu d cắt (C) tại A,B thì : (
( có 2
bt
at
) 1
) ( - = + a b t
2
2
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ) + 2 2 b t + 2
> 2
+ 2
) 1 ) 2 +
= (cid:219) 4 (
+ ab
D = '
a 3
b 3
a
2
2
b
)
A
,
bt
2
( ) + 2 a 2 0 1 ) ( ( ) = + a b 0 * ) + ⇒ M là trung điểm AB thì ta có hệ : =
at +
at ;4 1 +
( 2 +
bt 1 = 4
4
t
2 t
2
2
. Thay vào (1) khi áp dụng vi ét ta được :
t
0
t 1
2
+
+
=
=
+
+ ) )
t
8
;4 ) 0 (cid:219) + = ) 0
+ ( a t 1 ( b t 1
2
2
nghiệm t ) . Vì vậy điều kiện : ( + B 2 ( a t 1 ( b t 1
Gọi 8
)
(cid:219) (cid:219)
y
4
x
=
⇒
a b
0
0
a
b
d
:
+ - = : d x
y
6 0
(cid:219) + = - t t 1 2
t ( 2 a
+ a b = (cid:219) + = (cid:219) = - + 2 2 b
2 1
2
2
2
- - (cid:219) -
) C x :
+ x my m
2
2
= 24 0
- - -
1 + y . Tìm m biết đường thẳng D
cắt đường tròn (C) tại hai
= 4 0 y
2 +
D
(
⇒
- -
BT25. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( + có tâm I và đường thẳng mx : điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. Giải (C) : (
) 2 = y m
I m R (1;
) 1
25
),
x
x
Nếu
= cắt (C) tại 2 điểm A,B thì
d mx :
y+ 4
0
2
2
+
+
m
m 4 16
4
2
2
x
+ x m
2
( ) = 24 0 1
16
m 4
= . 5 = - y
+ 2
- -
Điều kiện :
. Khi đó gọi
D = '
m
> (cid:219) 25 0
m R
2
2
2
˛ - - , ; ; x 1 x 2 A x 1 B x 2 m 4 m 4
m
m
25
2 +
+ 16 =
(
)
(
) 2 =
8
⇒ = AB
x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x 1
2
+
m 16
4
16
m
+
m
m
=
=
Khoảng cách từ I đến
d
2
2
4 +
m 5 +
m
m
16 2
2
+
m
25
=
=
=
=
Từ giả thiết :
S
AB d .
.8
.
4 5
m
12
2
2
+ +
+
16 m 5 +
1 2
1 2
m 2 m
25 16
m
16
2
2
2
2
+ - - -
16 )
)
5
m
3
m ( + 9
m
16
( + 2 m m
25
= 25
+ +
m 2 m
25 = (cid:219) 16
- =
, phương trình cạnh
. Biết trọng tâm của tam giác
.
y+ 2
5 0
y-
0
)3; 2G (
(cid:219)
Ta có một phương trình trùng phương , học sinh giải tiếp . BT26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh - = AB x AC x : : 2 Viết phương trình cạnh BC Giải
(
(AB) cắt (AC) tại A :
) 3;1
- (cid:219) ⇒ A y
(
)
B nằm trên (AB) suy ra
, C nằm trên (AC) suy ra
- 2 0 - = 5 0 ) C 5 2m; m 2
)
Theo tính chất trọng tâm :
( 1; 2 )
- t 8 = = 3 x G - 1 (cid:219) (cid:219) - C ( 7 1 5;3 B = 2 t m = + t m = fi 2 m = fi 5 t = = 2 y G - = y x + x 2 ( B t t - ; + m 2 3 + t m 3
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 17 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN )
)
(
(
A 2;5 , B 4;1 và tiếp xúc với đường
x
y + = . 9 0
M 3;3 . d' là đường trung trực của AB thì d' có phương trình :
(
)
)
.
3 0
2
0
3
2
3
( ) + = y
x
y
x
- - - -
)
(*)
I 2t 3; t
-
-
BT27. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm thẳng có phương trình 3 – Giải Gọi M là trung điểm AB suy ra ( = 1 , hay : Tâm I của (C) nằm trên đường thẳng d' cho nên ( ) - + 3
( 3 2 t
)
Nếu (C) tiếp xúc với d thì
. (1)
( h I d ,
2
=
2 +
t = 9 = (cid:219) R = t R 10 2 10 5 t = 10
(
)
(
)
Mặt khác :
. (2) .
= R IA
t 5 2
5
t
2
2 +
+ 2
- -
(
)
(
) 2 =
)
Thay (2) vào (1) :
t 5 2
5
t
t
( t 4 5
= t 30
50
t 10
10 2
34
2
- - (cid:219) -
. Thay các giá trị t vào (*) và (1) ta tìm được tọa độ tâm I và
t
+ = 12 t
2 0
= - 6 t = + 6
t
34
⇒
2
2
+
(cid:219) -
( có 3 ẩn a,b,c)
+ = by c 2
ax
2
0
y
2
2
+
+
+ = . Viết phương trình đường tròn (C') tâm
2 0
– 2
4
x
y
y
(
.
AB =
3
- -
bán kính R của (C) . Chú ý : Ta có thể sử dụng phương trình (C) : x Cho qua A, B ta tạo ra 2 phương trình. Còn phương trình thứ 3 sử dụng điều kiện tiếp xúc của (C) và d : khoảng cách từ tâm tới d bằng bán kính R . BT28. Cho đường tròn ( ) C x : )M 5;1 biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho Giải
A
I
M
H
B
2 +
)
(
2 = ⇒ -
.
( ) 1; 2 ,
) 1
= R
+ y
3
2
3
x
I
Đường tròn (C) : ( Gọi H là giao của AB với (IM). Do đường tròn (C') tâm M có bán kính
.
=
=
Nếu
= , thì tam giác IAB là tam giác đều , cho nên
= (đường
AB
3
IA R
IH =
'R MA= 3. 3 2
3 2
.
cao tam giác đều) . Mặt khác :
IM = suy ra 5
2
2
2
2
=
=
+
=
Trong tam giác vuông HAM ta có
MA
IH
13
R
'
3 HM = - = 5 2 49 4
AB 4
7 2 3 + = 4
2 +
-
(
)
.
x
5
) 2 = 1
13
y
+ +
2 =
2 +
- -
)
(
vµ ®−êng th¼ng
-
Vậy (C') : ( BT29. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh ( x
) 1
+ y
9
2
y m
d x :
= . T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy
0
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 18 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. Giải
B
d
I
A
C
)
và bán kính
3R = . Nếu tam giác ABC vuông góc tại A (có nghĩa là từ A kẻ
( 1; 2
I
=
(1) .
-
(
2 suy ra :
IA IB= ) ;A t m t
2
=
- -
(
)
. Thay vào (1) :
IA
( 2 + - + t 2
t
m ) 2 =
( ⇒ - t
3 2
m
2
2
-
(C) có được 2 tiếp tuyến tới (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau) khi đó ABIC là hình vuông. Theo tính chất hình vuông ta có Nếu A nằm trên d thì ) 1 ) ( 2 + - + t 2 1 ) ( + 1
13 0
t m
t 2
m
m
= 4
2
+
(cid:219) - - - -
(2). Để trên d có đúng 1 điểm A thì (2) có đúng 1 nghiệm t , từ đó ta có điều kiện : )2 D = -
(
(
. Khi đó (2) có nghiệm kép là :
⇒ = - m
+ 2 10 m
= m
+ m
5
0
5
0
-
1
=
=
=
=
)
t
t
( = - ⇒ - A
3
3;8
t 1
2
0
) = (cid:219) 25 5 1 2
m 2
- - -
và
x
3
y
= 12 0
) d 1 : 4
- -
)
. Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm
: 4
= 12
x
2
-
BT30. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng ( ( y+ d 0 3 trên (d1), (d2), trục Oy. Giải
(
)
Gọi A là giao của
2
- - (cid:219) ˛ ⇒ A : A 3;0 Ox d d , 1 + - 4 4 x x 3 3 y y = 12 0 = 12 0
(
)
Vì (BC) thuộc Oy cho nên gọi B là giao của
x = suy ra
0
,
và
y = -
4
B
0; 4
1d với Oy : cho
(
)
C 0; 4 . Chứng tỏ B, C đối xứng nhau qua Ox , mặt khác A nằm trên
2d với Oy :
C là giao của Ox vì vậy tam giác ABC là tam giác cân đỉnh A. Do đó tâm I đường tròn nội tiếp tam giác thuộc Ox suy ra (
) I a;0 .
=
-
Theo tính chất phân giác trong :
+ IA IO IO
+ 5 4 4
OA = IO
9 4
=
= . Có nghĩa là
IO⇒ =
(cid:219)
5 = ⇒ 4
OA 4 9
4.3 9
4 3
IA AC = IO AO 4 3
I ;0
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 19 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
+
+
(
)
(
)
=
=
=
=
=
Tính r bằng cách :
BC OA .
.5.3
S
⇒ = r
15 2
1 2
AB BC CA r
1 2
)
D -
1 2 BT31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm
và đường thẳng
6 = . 5 . Tìm
+ + 5 8 5 r : 3
x
+ = 4 y 4
18 15 0
trên D
hai điểm A và B đối xứng nhau qua
sao cho diện tích tam giác ABC bằng15
1 2 ( C 2; 5- 5 2
)
⇒
Giải Nhận xét I thuộc D
, suy ra A thuộc D
. Nếu B đối xứng với A qua I thì B có tọa
+
2 +
I 2;
(
)
)
độ
( + t A t 4 ;1 3 ) ( 2 = t 9 1 2
⇒ = AB
( t 16 1 2
t 5 1 2
+
+
=
)
Khoảng cách từ
đến D
bằng chiều cao của tam giác ABC :
( C 2; 5-
B
=
=
=
- - - - B 4 4t; 4 3t
Từ giả thiết :
S
AB h .
t 5. 1 2 .6 15
= (cid:219) 1 2 t
1
( (
( A (
1 2
1 2
B
A
t
= 6 ) 4;4 ) 0;1
= fi 0 t = fi 1
- (cid:219) - 6 20 4 5 ) 0;1 , ) 4; 4 ,
(
(
)
- -
BT32. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt
, cã diÖn tÝch b»ng
) A 2; 3 , B 3; 2
3 2
=
vµ träng t©m thuéc ®−êng th¼ng
. T×m täa ®é ®Ønh C.
y : 3 – – 8 0
x
=
)
(
)
. (AB) qua
có véc tơ chỉ phương
, cho
)1;1 (
( A 2; 3-
D
2
G t;3t 8- 3
Giải Do G thuộc D x
suy ra + y
=
nên (AB) :
. Gọi M là trung điểm của AB : M
.
5 0
;
- = y
x
1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) u AB= 5 5 2 2
- (cid:219) - -
)
Ta có :
. Giả sử
, theo tính chất trọng tâm
;
;
;
( C x y 0 0
1
5 2
5 2
11 2
t
- = - t
2
x 0
= - +
t 5 2
-
5 2
= -
+ = - - - - - = 8 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GM t t 3 t t 3
⇒
ta có :
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GM 2
( C t 2
t 5;9
)( ) 19 1
=
t 9
19
x 0 y 0
y
+ = - t 3 8
2
t 3
0
5 2
(cid:219) (cid:219) - - - -
)
(
)
11 - 2 ( t 3 2
) D =
Ngoài ra ta còn có
,
AB =
2
( h C
=
4 3 t =
) D =
Theo giả thiết :
,
2
3 10
S
( . AB h C
= 2 4 3 t
1 2
1 2
- - - - - 5 t 9 19 t 4 3 8 = , 10 - (cid:219) - 10 3 2
2
)2
( = 2 4 3 t
10 = t
- = - - t ; 7 9 5 4 3 5 3 + 7 6 5 3 ⇒ - C (cid:219) - (cid:219) - - 90 29 0 9 t = (cid:219) 24 t + - - ;9 5 7 ⇒ = C 4 3 5 3 6 5 7 3
BT33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
. Đường thẳng
và hoành độ điểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh
AB có phương trình: – 2
I ;0 1 2 + = = x y 2 0, AB 2 AD
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 20 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
)
-
www.MATHVN.com của hình chữ nhật đó Giải Do A thuộc (AB) suy ra
(do A có hoành độ âm cho nên
( A t 2
2;
t
(
Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I :
C
t 3 2 ;
1t < ) ) t .
- -
Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì :
, và H có
t d ' :
t 2 = + 1 x 2 = - y
(
)
tọa độ là H(
.
)0;1 . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra
=
)
) 2 =
( ⇒ -
Từ giả thiết :
AB
2
AD
suy ra AH AD=
, hay
AH
IH= 2
- - B t 2 2 ; 2 t
( 2 + - 1
t 2 2 t + 2 1 1 4
2
( =
)2 1
1 (cid:219) - (cid:219) - (cid:219) ⇒ 5 1 4. 5 t + = 10 t t - = - 1 - = 1 1 t t 5 4 = 0 t = > 2 1 t
(
(
)
Vậy khi
.
t
( = ⇒ - A
) 2;0 ,
B
) 2; 2 ,
C
) 3;0 ,
D
1; 2
1 2
- - (
* Chú ý: Ta còn có cách giải khác nhanh hơn
- +
0 2
1 2
=
=
=
=
)
)
Tính
, suy ra
AD
( h I AB ,
2
5
( h I AB ;
5 2
5
2
2
)
(
(
)
2
2
2
2
2
2
=
+
=
+
=
+
Mặt khác :
= + = ⇒
IA
IH
IH
IH
AD
5
IA IB=
AB 4
AD 4
5 4
25 4
5 = 2
2
)
(
(Do A có hoành độ âm)
) 2;0 ,
- 2 0 x + = 2 y
( ⇒ - A
2 +
2; 2 B = 2 - x y 1 2 5 2
)
(
Do đó A, B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB). Vậy A, B có tọa độ là nghiệm của hệ : Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại :
và
)3;0C (
, đường cao
CH x
1 0
:
y- + =
( A - 1; 2
BN x
5 0
: 2
) , y+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC
- - D 1; 2
BT34. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với phân giác trong Giải
C
N
A
B
H
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 21 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
)
Đường (AB) qua
và vuông góc với (CH) suy ra (AB):
.
( A 1; 2-
t
= + 1
t
= + 1 = - - x y 2 t
(AB) cắt (BN) tại B:
2
5
fi = - t
t
+ + =
2
5 0
y
x
x = - y
(cid:219) -
Do đó
. Ta có :
)4;3
( B -
AB
BN
Gọi A' đối xứng với A qua phân giác (BN) thì A' nằm trên (AB). Khi đó A' nằm trên d vuông
góc với (BN)
= - j = = k 1, k = - ⇒ 2 tan - + 1 2 + 1 2 1 3
: x y ⇒ d
(
)
d cắt (BN) tại H :
.
fi = - (cid:219) - - ⇒ = + 1 2 t = - + t 2 = + t 1 2 = - + t 2 t 1 H 1; 3
+ + = 2 y x x H y :
)
)
A' đối xứng với A qua H suy ra
. (BC) qua B, A' suy ra :
(cid:2) u =
( 1; 7
fi =
- - - 5 0 ( A ' 3; 4
(
)
. (BC) cắt (CH) tại C:
t
C
;
BC
:
x y
= - + 4 t = - t 3 7
3 4
13 4
9 4
1 0
= - + 4 t x ⇒ = - t y 3 7 - + = y x
Tính diện tích tam giác ABC :
=
AB
2 5
=
=
=
(cid:219) - - ⇒
Ta có :
. (
,
)
.2 5
S
AB h C AB
ABC
=
)
1 2
9 10 4
1 2
( , h C AB
9 2 2
⇒
9 2 2
- =
và
y+ - = 6
3 0
y-
d
0
x
2 :
BT35. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, d x 1 : . Trung điểm của một tâm I là giao điểm của đường thẳng cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật Giải
Theo giả thiết, tọa độ tâm I
. Gọi M là trung điểm của AD thì M có
I
x x
- = y + - = y
3 0 6 0
- =
- (cid:219) ⇒
9 3 ; 2 2 )
tọa độ là giao của :
x
y-
M 3;0 . Nhận xét rằng IM || AB và DC , nói
( với Ox suy ra 3 0
một cách khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng song song với
.
(cid:2) n =
( ) 1; 1
1d có
t
A, D nằm trên đường thẳng d vuông góc với
.
:
1d
= + 3 = -
x y
t
-
⇒ d
(
)
(
)
Giả sử
(2) .
A
+ - ; t
3
t
3
D
t t ;
-
(
C đối xứng với A qua I cho nên
. B đối xứng với D qua I suy ra
(1), thì do D đối xứng với A qua M suy ra + ;3
) ( ) 3
C
6
t
t
+
-
)
.(4)
( 12
t
t
;3
=
=
.
3 2
=
)
)
Khoảng cách từ A tới
S
2
,
.
,
1d :
MJ ( h A d 1
( h A d MJ 1
ABCD
B Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). = Do đó ta có kết quả là : : AB AD 2 t = ⇒ 2
-
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 22 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
. Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được
1 t 2 = (cid:219) (cid:219) S 2 = 3 2 12 t 12 = ABCD 1 2
(
(
)
D
các đỉnh của hình chữ nhật :
A (
( (
( 11; 4 )
C (
t
= fi 1
) 3;1 , ) 4; 1 ,
D
) 4; 1 , ) 2;1 ,
C
) 7; 2 , ) 5; 4 ,
B ( 13; 2
A
= - t
- =
và hai điểm
có phương trình
x
(
(
)
là nhỏ nhất
. Hãy tìm trên đường thẳng D
một điểm M sao cho
B y+ 3 0 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 3MA MB
fi - = - t = t 1 (cid:219) -
BT36. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng D ) A 1;0 , B 3; 4-
)
(
)
(
)
(
D ⇒
. Suy ra tọa độ
có nên ta có :
t 6 ; 3 t
12
t 2
t
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MB
Giải D M ,
2
2
=
=
+
+
˛ - - - - -
t t 3 2 ; (
)
2; )
(
, 3 (
)
⇒
của
.
M (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB 3
t 8 ; 4 t
14
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = MA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB 3
t 8
t 4
14
2
2
2
=
+
+
=
+
+
(
(
)
Vậy
.
f
14
t 80
t 112
196
4 t +
Xét
,
( ) t ( ) = g t
280 t
196 +
tính đạo hàm
.
) t 8 + 112 t ( ) = g t '
t 160
112
- -
( )
g t = khi 0
'
= - = - (cid:219) - t g 196 = 112 80 51 80 51 80 15.169 = 80
Vậy min
, đạt được khi
và
t = -
M
;
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB 3
131 40
51 80
2
2
=
và
y+
13
51 80 ) C x : 1
= 2
= - - = 196 14
)2 +
)
(
cắt nhau tại
A 2;3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt
25
C
6
y
x
-
BT37. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn : ( ( (
)
C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
2
=
=
(
(
(
) ( : 2 ) ( ,C 1 Giải Từ giả thiết : (
) 0;0 ,
R
13.
= ' 5
) C I : 1
) C J : 2
=
(
)
(
)
Gọi đường thẳng d qua
A 2;3 có véc tơ chỉ phương
) 6;0 , R (cid:2) u
a b ;
:
x y
= + 2 = + 3
at bt
at
2
2
⇒ d
)
(
d cắt (
a
) + 2 b t
( + 2 2
a
t
1C tại A, B :
+
) = fi = - 3 b t 0
+ +
2 a 2 a
3 b 2 b
2
2
bt =
y
x
13
(cid:219) (cid:219)
= + 2 x = + 3 y + )
)
)
. Tương tự d cắt (
B
;
2C tại A, C thì tọa độ của A, C là nghiệm của
( a a 3 + 2 a
2 b 2 b
at
2
2
2
- - (cid:219)
)
+ 2
10
a
b 2
a 3
b 3
fi =
hệ :
bt
t
C
;
2
( a 2 4 + 2 a
3 b 2 b
+ 6 ab + 2 2 b
a
8 ab + 2 b
a
2 +
= 2
- - - (cid:219) (cid:219)
)
6
25
x
y
( b b 2 3 a + 2 2 a b = + x 2 = + y 3 (
Nếu 2 dây cung bằng nhau thì A là trung điểm của A, C. Từ đó ta có phương trình :
-
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 23 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
a
= fi 0
:
d
2
2
(
b 2
2 = + 3
t
10
a
2
2 b 2 = (cid:219)
4
6
a
= (cid:219) 9
ab
0
) ab 3 + 2
2
+
a
b
+ ab 6 + 2 2 b
a
=
(
)
(cid:3)
3;2
a
b
= x y (cid:2) fi = u
; b b
(cid:1)(cid:2) = ' u
3 2
3 2
+ =
- - (cid:219) -
Suy ra :
- = . Vậy có 2 đường thẳng d : x 2
0
và d ' : 2x 3y 5 0
A 3;0 , đường cao từ đỉnh B có phương
. Viết phường trình
x
( y+ + = trung tuyến từ đỉnh C có phương trình 2
1 0
) y-
x
- = 2
0
- d : = + = + x y t 2 3 t 3 2
BT38. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải
B
K
A
C
H
Đường thẳng d qua A(3;0) và vuông góc với (BH) cho nên có véc tơ chỉ phương
do đó
(cid:2) u =
)1;1 (
t
t
(
)
d :
. Đường thẳng d cắt (CK) tại C :
⇒ = - t
4
C
1; 4
= + 3 t
= + 3 t
- = y
2 0
x = y 2 x
)
và K là trung điểm của AB cho nên B đối xứng với A qua K
2
t - ; 2
(cid:219) - - x = y -
(
suy ra
4
) + 3
) + = 4
1 0
t 2
t 4
- - - -
t 3; 4 ( B 1;0
2
2
2
-
)
(
(C):
là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
> c R
- = 2 b
+ 2 a
ax
y
x
Vì K thuộc (CK) ⇒ ( K t . Mặt khác K lại thuộc (BH) cho nên : ( ( ) B t 2 suy ra ) 1t = và tọa độ . + = + 2 c by
2
0
0
- -
+ =
Cho (C) qua lần lượt A,B,C ta được hệ :
1 2 0
+ = a c a c +
0 0 + =
a
c
8 b c
0
6
9 6 + 4 4 + 5 2
= a ⇒ = b = -
2 +
= 2
-
)
Vậy (
C
x
y
:
1 2
25 4
-
(
(
, diện tích bằng
và
-
BT39. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC biết
) ) A 1; 1 , B 2;1
11 2
. Tìm tọa độ đỉnh C ?
: 3
4 0
d
x
y+ - =
trọng tâm G thuộc đường thẳng Giải
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 24 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
C
d
K
C
B
)
Nếu G thuộc d thì
.
. Gọi
;
( G t
( C x y 0 0
+ +
x 0
=
-
3
3 t
Theo tính chất trọng tâm :
=
t 12 9
x 0 y 0
) t ;4 3 = t - = t 4 3
1 2 3 y 0 3
- (cid:219) -
)
.
( C t 3
t 3;12 9
Do đó Ta có :
- -
x
1
+ y
1
=
(
AB
) :
⇒ - 2 x
- = y
3 0
=
)
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
( 1; 2
2
=
1 + 1 2
5
⇒
-
AB )
= )
( t 2 3
( t 12 9
=
)
h(C,AB)=
. Do đó :
⇒
( AB h C AB
.
,
ABCS
1 2
=
- - - - - 3 3 t 15 21 = 5 5
=
;
t
= C
t
21
21
15 t
15 t
17 5
26 5
=
=
=
⇒
5
= 21 11
S
15 t
2
1 2
11 2
5
=
fi - - - (cid:219) - (cid:219)
)
( 1;0
t
C
32 15 4 3
fi
và một đường chéo có phương
32 15 20 15 )4;5
. Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông
y- + =
8 0
x
-
)
)
-
= t BT40. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh ( trình 7 Giải Gọi
. Giả sử
thuộc (BD).
( A 4;8
y- + =
) : 7
8 0
x
( B t
;7
t +
8
và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương
+
-
t
x
y
=
4 =
(
(
)
. Gọi I là giao của (AC) và
Đường chéo (AC) qua (cid:2) u
) - ⇒ 7; 1
:
AC
= y
7
39 0
x
thì đường chéo ( BD ) ( A 4;8 = - + = - 5
4 7 t
x y
7
t
fi =
- (cid:219) - -
(
)
(BD) thì tọa độ của I là nghiệm của hệ :
t
I
C
3; 4
x y
1 2
1 9 ; 2 2
=
+
+
=
(cid:219) - (cid:219)
)
(
)
Từ
suy ra :
. Để là hình vuông thì BA BC=
( B t
;7
t +
8
t
t 4;7
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BA
+ t 3;7
4
5 (cid:219) + 1 = - + 4 7 = - 5 t - + = x 8 0 y (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( BC
t
+
+
= (cid:219) 2
- 7 ) 3 ,
)(
)
( +
BA vuông góc với BC
( + t
t
4
3
t 7
)( + 3 7
t
) = (cid:219) 4
0
t 50
t 50
0
1
= t 0 = - t
(cid:219) -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 25 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
)
(
fi -
www.MATHVN.com )
(
B
0;8
D
B
. Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I
( (
(
) 1;1 )
0;8 (
B
) 1;1
D
0;8
t
1
B
) 1;1
⇒
= fi 0 t = -
+
(cid:219) fi - - fi
x
5
y
=
4 =
(
)
(
)
Từ đó : (AB) qua
có
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
4;3
:
AB
( A -
AB
3
- fi
4 y
x
4
=
(
)
(
)
(AD) qua
có
)4;5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
( A -
)4;5
3; 4
:
AB
AD
5 4
- - fi -
+ = 3 y
=
=
(
(
(
)
) - ⇒
(BC) qua
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
) B 0;8 có
3; 4
BC
:
BC
-
+
-
8 4 y
1
1
x 3 x
=
=
(
)
(
)
⇒
(DC) qua
có
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
( ) D 1;1
DC
:
4;3
DC
4
3
- -
Chú ý : Ta còn cách giải khác
)
(BD) :
+ , (AC) có hệ số góc
và qua
suy ra
.
AC y = +
y
x= 7
8
k = -
( A 4;5
:
1 7
x 7
31 7
+
=
x
2
x
+
=
A y
I y
A
I
(
)
⇒
⇒
=
2 +
Gọi I là tâm hình vuông :
C
3;4
x C y C x
7
y
8
I
= -
=
=
=
(
)
Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương
I x + C 7 a b ;
31 7 (cid:2) ) ( ) BD v ,
:
y C (cid:2) u
( 1;7
⇒ + a
7
(cid:2) (cid:2) = . b u v
(cid:2) (cid:2) u v
0 cos 45
2
=
+
(
(
)
. Chọn
1a = , suy ra
(cid:219) + a
= 7 b
5
+ 2 a
b
b
) AD y
:
x
4
+ = 5
+ 8
x
3 = ⇒ 4
3 4
3 4
= -
+
-
(
(
(
Tương tự : (
và đường
x
x
) AB y
:
+ x
) + = - 5
4
) = BC y :
,
) + = 3 x
4
4 3
1 3
3 4
3 4
7 4
4 3
= -
- -
(
thẳng (DC):
y
x
) + = - 4 3
x
8
4 3
4 + 3
-
và đường tròn
( E 1;0
2
2
+
) = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây
y
y
x
– 8 – 4 – 16
2 +
-
(
(
)
⇒
) 4;2 ,
= 6
36
R
4
y
x
I
- -
BT41. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ( ) C x 0 : cung MN có độ dài ngắn nhất. Giải ( ) ) ( 2 = C 2 : Nhận xét : EI R< suy ra E nằm trong (C)
)
(
)
Gọi d là đường thẳng qua
có véc tơ chỉ phương
( E 1;0
Đường thẳng d cắt (C) tại 2 điểm M, N có tọa độ là nghiệm của hệ :
at - = (cid:2) u a b ; : = - + 1 bt x ⇒ d = y
2
2
at
( +
. (1)
) 2 b t
( + 2 5
) - = 2 b t
2 +
(cid:219) fi - bt a a 7 0
)
(
) 2 = 2
= - + x 1 = y (
- - 4 x y 36
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 26 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
(
)
Gọi
với t và t' là 2 nghiệm của (1). Khi đó độ dài của dây cung
www.MATHVN.com - + 1
) at bt N
M
,
;
( - + 1
at bt ';
'
2
+ 2
2 18
a
b 11
2
2
2
2
=
2 +
)
MN
( 2 a t
t
'
( 2 b t
) 2 = - '
t
t
t
'
+ a
= b
+ a
= b
+ ab 2
+
20 + 2
2 2 a
' 2 b
b
a
2
+
+ 18 20
2
2
+
t 11
11
b a
=
D - -
. Xét hàm số
2
2
t
( ) t
f
2
+ 2
2
t 11 =
+ 18 20 t + t
b a
1
+ 18 20 t + t
1
1
b a +
Tính đạo hàm
b a ( ) t cho bằng 0, lập bảng biến thiên suy ra GTLN của t, từ đó suy ra t (tức là
'f
suy ra tỷ số
). Tuy nhiên cách này dài
a b
2
2
2
2
=
(cid:219) (cid:219)
⇒ £
. Do đó IH lớn nhất khi
IE HE
IH IE
IH
=
(
,
(cid:1)(cid:1)(cid:2) IE=
)5; 2
(cid:2) n
(
do vậy
- £
Chú ý: Ta sử dụng tính chất dây cung ở lớp 9 : Khoảng cách từ tâm đến dây cung càng nhỏ thì dây cung càng lớn Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng d bất kỳ qua E(-1;0). Xét tam giác vuông HE = IE HIE (I là đỉnh) ta luôn có : 0 có nghĩa là H trùng với E. Khi đó d cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất . Lúc này d là đường thẳng qua E và vuông góc với IE cho nên d có véc tơ pháp tuyến = hay 5
+ = . 5 0
y+ 2
x
) + + 1
: 5
0
d
2
x
y
= và 3 –
y + = . Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm
7
0
x
2 – 5 0 ) .
BT42. Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là: y+ x ( F 1; 3- Giải
F
A
C
B
H
Ta thấy B là giao của (AB) và (BC) cho nên tọa độ B là nghiệm của hệ :
+ - = 5 0 x ⇒ 2 y - + = y 7 x 0 3
= - x = - y 9 7 22 7
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 27 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
. Đường thẳng
'd qua A vuông góc với (BC) có
= -
=
)
(
- ⇒ =
. (AB) có
. Gọi (AC) có hệ số góc là k ta có phương
( 1;3
(cid:219) = - k
(cid:219) - B ; -
(cid:2) u
ABk
1 2
1 3
9 7 ) 3; 1 22 7 (cid:2) n
trình :
+ k + k 1 - + 2 = (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:219) + = - 15 k 5 3 k - + = - 5 3 + = - k 5 3 1 k 1 = 5 k 3 3 k 15 k 15 - - = - 1 1 k 1 3 k 3 = - k 1 8 4 7
(
(
Với
) AC y
) (cid:219) + 3 1
= - - - k : x + x = 8 y 23 0 1 3 1 1 2 3 1 = - ⇒ 8
(
Với
) AC y
) + - 1 x
)
(
= , điểm
N 7;7 thuộc đường
= - + + = (cid:219) 1 8 ( k : 3 4 x 7 y 25 0 4 = ⇒ 7 4 7
BT43. Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. d x : Biết rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng
7 – 31 0
y+
)
thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB
( M -
2; 3
)
(
(
)
.
;
y
2;
) 3 ,
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ = MA
7;
7
y
0
+ 0
x 0
( A x y 0
x 0
0
+
- - -
)(
)
= (cid:219) 0
- = 9
2
7
4
0
7
3
y
y
+ x 0
2 x 0
x 0
2 0
0
0
- - - - -
= (cid:219) y 0 ) 2 +
7 (
( y ) ( :
) 2 = 2
20
C
3
y 0
=
- -
=
y
2 +
31 7
y
x
)
) 2 = 2
20
3
2
2 +
thẳng AC, điểm Giải (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = Gọi NA Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có : (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ( )( + x MA NA 0 . 0 Do đó A nằm trên đường tròn ( x 0 Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình : 31 7 )
(
x +
396
+ y
y
= 768 0
28 7
) 2 = 2
20
y
y
50
( y = 31 0
7
y
x
x (
(
- - - - (cid:219) (cid:219) (cid:219) - - - -
99
201
+ 99
201
=
=
=
Do đó ta tìm được
, tương ứng ta tìm được các giá
y
;
y
198 2 201 50
25
+
+
- -
25 82 7 201 99
201
=
=
trị của x :
. Vậy
và tọa độ của
x
;
x
A
;
25
25
82 7 201 25
82 7 201 25
- -
+ 82 7 201 99
201
điểm
A
;
25
25
+ + =
+
2 – 1 0
d 5 0,
: 2
: 3
x
y
y
x
d 1
2
(
)
= và G 1;3 . Tìm tọa độ các điểm B thuộc d1 và C thuộc d2 sao cho tam giác ABC nhận điểm
2d
-
BT44. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng điểm G làm trọng tâm. Biết A là giao điểm của hai đường thẳng d1 và Giải
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 28 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
B
M
G
d2
A
C
d1
)
Tìm tọa độ A là nghiệm của hệ :
( ⇒ - A
11 (cid:219) 11;17 y 2 = - x = y 17
)
⇒
( C t
m
t ; 2
2
d 1
- - ˛ - - 2 x 3 x ) B d 5 , + + = 5 0 - = + 1 0 y ( ⇒ + m B 1 2 ; 1 3
+ - t 2 10 = 1 + = 13 2 (cid:219) - - 2 t m = + 3 2 t m = 3
m
⇒
=
m ) +
m
Nếu C thuộc Theo tính chất trọng tâm của tam giác ABC khi G là trọng tâm thì : m 3 3 11 2 t m 3 = 13 2 ( 2 13 2
2
35 24
= - t m
t m
t
- - (cid:219) (cid:219) -
= 13 2 = 24 (
)
)
= m 3 (
.
và
B 49; 53
2
2
+
+
x
) C x :
2 – 15 0
– 6
y
y
= . Tìm tọa độ điểm = , sao cho từ điểm M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA,
y
x
d
0
.
)0;1C (
- -
)
(
(
, có
5R = .
và
I
3
25
) 1
) 3; 1
x (
2 = )
là 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến kẻ từ M.
- -
C 35;65 Vậy ta tìm được BT45. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( : 3 – 22 – 6 M trên đường thẳng MB (A, B là các tiếp điểm) mà đường thẳng AB đi qua điểm Giải (C) : ( Gọi
;
2
2 + ) , A x y B x y )
6 0 (*)
2 3
22
d
;
1 1 ( M x y 0 0
- = y 0
)(
)(
)
)
(
và : (
)( + y 1
) = 1
25
+ 3
+ 3
3
x
x
25
( ) 2
( + y 1
+ y 2
x 2
x 1
- - - -
)
)(
)(
(
và (
( ) 3
) = 1
25
+ 3
3
3
25
( + y 1
x 0
- - - -
x 0 )(
)
)( + y 1 0 )( + y 1
) + 3 + 3
3
x
) = 1 ) = 1
25
( ) 4 ( ) 5
+ y 2 ( + y 0
x 0
- -
+ y ( ; ˛ ⇒ - x Gọi 0 Hai tiếp tuyến của (C) tại A, B có phương trình là : ( ) )( ( ) = + 1 3 y 1 1 Để 2 tiếp tuyến trở thành 2 tiếp tuyến kẻ từ M thì 2 tiếp tuyến phải đi qua M )( ( + x 1 x y 2 1 0 Từ (3) và (4) chứng tỏ (AB) có phương trình là : ( Theo giả thiết thì (AB) qua (
)
(
14 0(6)
) = 1
25
+ 3
2
3
suy ra : = 2 y 0
)0;1C ( + x 3 0
+ y 0
x 0
- - (cid:219) - -
0
Kết hợp với (*) ta có hệ :
= - y 1 - 22 0 (cid:219) - - ⇒ ; 1 M - - = - 2 16 3 3 x 0 + 3 x 0 - = y 6 0 = 14 0 y 0 x 0 16 3
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 29 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
d
A
I
M
B
C
)
(
(
và hai đường thẳng
A 2;1 , B 1; 3
+ + =
y
x :
d 3 0;
y : – 5 – 16 0
) = . Tìm tọa độ các điểm C, D lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho
2
- -
BT46. Trong mặt phẳng Oxy : Cho hai điểm d x 1 tứ giác ABCD là hình bình hành. Giải Trường hợp : Nếu AB là một đường chéo
Gọi
, đường thẳng qua I có hệ số góc k suy ra
= - - - I ; 1 d y : 1 k x 1 2 1 2
-
Đường thẳng d cắt
1d tại C
= - - k ( k 2 y 1 (cid:219) (cid:219)
k x + + = x 1 2 3 0 y 4 ) + 1 + + k 7 ( k 2 2 ) 1 = x = - y
. Tương tự d cắt
2d tại B :
. Sẽ tìm được k
= - - - y 1 (cid:219) - ; C + 2 2 ) 1 k ( k 4 ) + 1 + k 7 ( k 2 - 5 k x y - x
thuộc
( 1
t-
D
- - 1 2 = 16 0 Từ đó suy ra tọa độ của B. Để ABCD là hình bình hành thì : AB CD= * Cách khác: ) ( C t Gọi 3 ;
Để thỏa mãn ABCD là hình bình hành thì D phải thuộc
) + t t ; 1 ( + - 5
) = 1
t
t
1d , tìm B đối xứng với C qua I suy ra 2d :
(cid:219) - - 1 16 0
Suy ra
và D
và C
t = -
;
10 3
13 3
7 3
10 1 ; 3 3
- -
)
)
Trường hợp AB là một cạnh của hình bình hành . Chọn
thuộc
thuộc
( D m 5
( C t
t-
3
;
1d và
2d
Để ABCD là hình bình hành thì :
m+ 16; = AC BD (cid:3) CD AB
-
Ta có
2
2 +
2 =
2
(
)
(
)
(
)
( 2 + + t
2 =
2 +
)
)
(
)
(
)
( 2 + + t
:
( 17
) 4 + + m t 4
- + m + m 5 17 3 - 2 5 17 3 t + m + m (cid:219) (cid:219) 5 16 3 - = 4 = 55 0 + 7 m t t 2 - + m t 3
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 30 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
2
+
+
=
88
= 89 0
m
. Giải hệ này ta tìm được m và t, thay vào tọa độ của C và D
13 +
m 55
+ 2 t = t
2 t 17 m 7
(
)
y+ = và 2 – 0
x
x
C 1;2 , hai đường cao xuất phát y + = . Tính diện tích tam giác ABC.
1 0
)
(
C 1; 2 và vuông góc với đường cao BK cho nên có :
(cid:219)
1
y
x
=
=
(
)
(
- -
BT47. Trong mặt phẳng tọa độ độ Oxy, cho tam giác ABC có từ A và B lần lượt có phương trình là Giải (AC) qua (cid:2) u
) - ⇒ 2; 1
(cid:219) + x
5 0
AC
:
2 1
2
-
(AC) cắt (AH) tại A :
2 1 0 - + = y (cid:219) (cid:219) A ⇒ = AC x + - = 2 5 0 x y 3 11 ; 5 5 5 5
(
)
(BC) qua và vuông góc với (AH) suy ra
- = 2 y = x = y (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) u
BC
= ⇒ 3 5 11 5 ( ) 1;1 BC : x y = + 1 t = + t 2
(BC) cắt đường cao (AH) tại B
t t
t
B
3 2
1 1 ; 2 2
0
= + x 1 = + fi = - y 2 + = x y
1 5
1 - + - 2
=
=
Khoảng cách từ B đến
.
:
AC
⇒ = S
9 20
1 5 2 5
5
9 2 5
2
2
+
+
)
+ = và điểm
y
( P 1;3 .
6 0
– 6
2
y
x
2 +
(cid:219) (cid:219) -
(
)
(
2 = ⇒ 4
) 3; 1 ,
) 1
= R
+ y
3
2
x
I
=
- -
(
)
⇒
( d a x :
) - + 1
( b y
a b ;
) = 3
(cid:2) n
0
-
(
(*).
0
-
9 2 5 BT48. Trong mp Oxy, cho đường tròn ( ) C x : a) Viết phương trình các tiếp tuyến PE, PF của đường tròn (C), với E, F là các tiếp điểm. b) Tính diện tích tam giác PEF. Giải (C): ( Giả sử đường thẳng qua P có véc tơ pháp tuyến )3 = b
+ ax by
+ a
Hay : Để d là tiếp tuyến của (C) thì khoảng cách từ tâm I đến d bằng bán kính :
2
a
b 3 = (cid:219)
2
2
2
2
2
2
b 4 = +
2
2
2
- - - - (cid:219)
a b a 3 + )2
(
4
a = b 2
a
b + a
b
a = ab
(cid:219) - (cid:219) -
0 ) = « 1
- = 0
1 0
b b 3 ( a x
x
-
(
)
⇒
4
0
b
a
= b 3
)
) 1
= « 3
+ 0
4
6 0
a
( - + a x
( a y
- = x 3
y
= fi b 0 = b
4 3
4 3
2
=
(cid:219) - fi -
,
.
PI =
= PE PF
2 5
PI
R
- = 20 4
4
= 2 Ta có : Tam giác IEP đồng dạng với IHF suy ra :
-
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 31 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
=
=
=
=
=
= ⇒ =
IH
5
,
EH
IF IH
IP EP = EH IE
2 5 2
IF 5
2 5
EP 5
4 5
⇒ =
PH PI
= IH
2 5
= S
EF.PH=
EPF
1 2
32 5
2 = 5
8 5
1 8 8 = 2 5 5
- - (cid:219)
E
I
P
H
F
. Viết phương
: 2
d 1 0,
: 2
x
+ - = y
- + = x y
d 1
2
=
)
( h I d ,
2
)
2 0 BT49. Trong mpOxy, cho 2 đường thẳng trình đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2. Giải Gọi (
I a;0 thuộc Ox. Nếu (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng thì :
=
) )
R
( h I d , 1 ( h I d , 1
+ a
2
2
1
a
2
=
( ) 1
2
5
2
=
-
(
)
. Từ (1) ⇒
a = , thay vào (2) :
R
C
:
x
= y
1 4
5 10
1 + 4
5 100
2
a
1
( ) 2
5 = R
5
(cid:219) - (cid:219) -
d
x
+ - = x y
+ = y
1 0,
5 0
: 2
: 4
3
2
. Gọi A là giao (
) G 3;5 .
-
BT50. Trong mp Oxy , cho 2 đường thẳng d 1 điểm của d1 và d2. Tìm điểm B trên d1 và điểm C trên d2 sao cho D ABC có trọng tâm Giải
Tọa độ A là nghiệm của hệ :
- ⇒ A 2 4 1 0 5 0 7 3 ; 8 2
)
˛ ⇒ +
t
m
B
2
B d 1
- ˛ - x x ⇒ ;5 4 ) ( t C d 1 2 ;1 3 , + = y 3 + - = y ( C m
(
)
Tam giác ABC nhận
= + t m 9 + t m 2 7 + = 8 57 8 (cid:219) (cid:219) G 3;5 làm trọng tâm :
. + 1 2 + - 1 3 t
- 5 4 15 = - 4 m + 3 t 3 + = m 2 15 2
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 32 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
=
B
;
31 5
67 - 5
88 5
Giải hệ trên suy ra :
fi
C
207 40
207 257 ; 10 40
t = - m
2
2
+
fi -
. Lập pt đường tròn (C’) đối xứng với (C)
y
x
2
+ = 4 y
3 0
- -
:
2 +
D
(
) ( = 1;2 ,
) 2 = « 2
) ( :
) 1
C
R
2
y
x
I
)
2 d x = suy ra ( 2
:
J 3;2 và (C) có cùng bán
2 +
- -
(
- -
BT51. Cho đường tròn ( ) C x : - = qua đường thẳng x 0 2 Giải Ta có ( Gọi J là tâm của (C') thì I và J đối xứng nhau qua ) kính R . Vậy (
đối xứng với (C) qua d .
C
y
x
) ( ' :
) 2 = 2
2
3
, phương trình các đường thẳng AB và
BT52. Trong mpOxy, cho D ABC có trực tâm
. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.
AC lần lượt là 4
x
y
= 3
+ - = x 0,
y
7
0
H 13 13 ; 5 5 - -
A
K
H
B
C
E
Giải:
Tọa độ A là nghiệm của hệ :
-
4 x
(
)
)
Suy ra :
.
(cid:2) u =
( 1; 4
- - (cid:3) A 2;5 . - = y x 3 0 + - = 7 y 0 (cid:2) = u (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ = - HA 3 12 ; 5 5
)
(BC) vuông góc với (AH) cho nên (BC) có
suy ra (BC):
(*).
( 1; 4 (cid:2) n
) . Suy ra (AH) có véc tơ chỉ phương (cid:2) u= =
( 1; 4
= + y m
0
=
- -
(
)
)
C thuộc (AC) suy ra
và
. Cho nên ta có :
C t;7 t
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CH
t t ;
( 1; 4
4 x (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) CH
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ = u AB
13 5
22 5
- - - ^
)
(
.
t
- + t
C
t
4
5; 2
5
13 5
=
-
(
)
(
)
) - ⇒
(cid:2) n
( 1; 4
BC
) ( :
x
5
4
y
= 2
0
- - -
) 3 0
x
và 2 điểm
d x :
y+ - =
3 0
(cid:219) - 22 = fi = (cid:219) 0 5 ( C 5; 2 có véc tơ pháp tuyến Vậy (BC) qua + = y 4 (BC):
(
)
. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến
-
BT53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng A 1;1 , B( 3;4) đường thẳng AB bằng 1.
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 33 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
Giải
M
d
A
H
B
(
)
)
. Đường thẳng (AB) qua
A 1;1 và có véc tơ chỉ phương
( ;3M t
t
-
x
1
y
=
=
(
(
)
) - ⇒
+ 3 x
- = 4 y
4 0
M thuộc d suy ra (cid:2) u
4; 3
AB
:
+
- - (cid:219) -
)
4 ( 4 3
t 3
t
1 3 4
Theo đầu bài :
= (cid:219) 1
8
5
- + = t
5
(
)
M
- -
=
)
t
M
3;0 ( 13; 10
13
+
= . Nếu d' cách (AB) một khoảng
(cid:219) fi -
= fi 3 t * Chú ý : Đường thẳng d' song song với (AB) có dạng : 3
+ y m
4
0
x
+ +
m =
)
bằng 1 thì
( h A d = ,
'
1
1
3 4 5
(cid:219)
. Tìm giao của d' với d ta tìm được M .
fi
(
fi - x 2 12 - = 4 y 4 + ' : 3 x d + ' : 3 d
A 4;3 , đường cao BH và trung
) . Tìm tọa độ các đỉnh B, C
= + - = x y 11 0, 1 0 x
= - m 0 2 ⇒ = - = m 12 0 y BT54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho D ABC có đỉnh - + tuyến CM có pt lần lượt là: 3 y Giải
B
M
A
C
H
(
)
Đường thẳng (AC) qua
= + 4 3 t = - 3 t
A 4;3 và vuông góc với (BH) suy ra (AC) : x y
(
)
(AC) cắt trung tuyến (CM) tại C :
+ = fi = - 6 0
t 2
t
3
C
5;6
1 0
= + x 4 3 t = - y t 3 + - = x y
fi (cid:219) -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 34 -
www.MATHVN.com
B thuộc (BH) suy ra
. Do (CM) là trung tuyến cho nên M là trung điểm của AB ,
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN t +
) 11
( B t
;3
đồng thời M thuộc (CM) .
+
+
4
t
t 3
14
+
+ + 14 t 4 3 t ; ⇒ M 2 2
)
⇒
.
( M CM
4
˛
và
- = ⇒ = - 1 0 t )M 0;1 . (
2
2
+
- -
(
)
và điểm
= 12
+ x
8
0
y
-
2 2 ) ( Do đó tọa độ của B 4; 1 ) BT55. Trong hệ trục 0xy, cho đường tròn ( E 4;1 . Tìm toạ C x : độ điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A, B là các tiếp điểm sao cho E thuộc đường thẳng AB Giải
vuong
Hide Luoi
y
M
A
E
1
I
-1
x
2
O
-3
-2
1
3
B
-1
-2
2 +
)
(
x
y
4
R
)
I )
M 0;a thuộc Oy . Gọi
,
;
;
= ⇒ 2 4 ( A x y 1 1
2
=
-
)
(
)(
)
= 2 ( ) C˛ )( x 4
) + 4
4 ,
4
+ x
4
4
= y y 1
x 2
y y 2
) Đường tròn (C) : ( 4;0 , ( ( B x y Gọi 2 Tiếp tuyến tại A và B có phương trình là : ( x 1 Để thỏa mãn 2 tiếp tuyến này cùng qua M(0;a)
=
- - - -
(
)
(
.
)( + 4 0 4
4 ,
4
x 1
y a 1
x 2
(cid:219) - - - -
)
) )( = + 4 0 4 ( + 4
4
x
y a 1 = ay
- -
Nếu (AB) qua E(4;1) :
suy ra : a
4 4=
Chứng tỏ (AB) có phương trình : = a.1 4
( ) + 4 0
(
)
Vậy trên Oy có
M 0;4 thỏa mãn .
-
(
(
)
và trọng tâm G của
- -
BT56. Cho tam giác ABC có diện tích
S = , hai đỉnh
) A 2; 3 , B 3; 2
3 2
- =
. Tìm tọa độ đỉnh C
y-
x
8 0
tam giác thuộc đt 3 Giải
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 35 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
(
)
t
t ;5 3
)
Vì G thuộc d suy ra
. Theo tính chất trọng tâm của tam
( G t
t - ;3
8
- -
)
t 8 3
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = GA 2 ⇒ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( = GM x 0
-
giác :
. Theo tính chất trung điểm ta có
+ - t y ; 0 = 2 x 0 = y 2 0
- t 3 2 2 - = - t = - (cid:219) ⇒ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GM 2 - - - 2 2 t + t 16 6 t 9 21 + x 2 0 y 0
.
- - = - 5 3 t ) t 3 t 5;9 19
x
2
+ y
2
=
=
)
(
)
⇒
(AB) qua
có véc tơ chỉ phương
(cid:2) u
( ) 1;1
:
AB
- = y
x
4 0.
tọa độ của C( ( A 2; 3-
- (cid:219) -
1 19 4
t 10 6
1 + 5 9 t
t 3
=
=
Đồng thời :
. Khoảng cách từ C đến (AB) :
AB =
2
2
2
Theo giả thiết :
=
- - - -
C
t
3
t 10 6
3 11 ; 2 2
13 6
=
=
= -
S
AB h .
2
= t 5 3
3
1 2
1 2
3 2
2
= - 10 6 t = 10 6 t
=
;
C
t
7 2
3 2
7 6
2R = tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh vaø coù
– 3 0
) : x
y+
d
= .
fi - - (cid:219) (cid:219) - fi - -
)
-
BT57. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C) coù baùn kính taâm I naèm treân ñöôøng thaúng ( Giải Tâm I nằm trên d suy ra (
I t;3 t
. Nếu (C) tiếp xúc với Ox thì khoảng cách từ I đến Ox bằng )
2
bán kính
2R = thì
- = (cid:219) 2 t
3
5; 2 )
2
t
2
2 =
2 +
- (cid:219)
= fi 5 t = fi 1 )
= I 1 = I 2 (
)
(
(
)
.
- = - t 3 - = t 3 ) ( :
x
( ( 1; 2 ) ( :
x
4 ,
+ y
5
2
C
) 2 + 1
y
= 2
4
C 1
2
2
+
x
y
y
+ = . 6 0
(
)
- - -
Như vậy có 2 đường tròn : ( BT58. Trong Oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua
2 – 2 – 6 x M 2;4 caét ñöôøng troøn (C) taïi 2 ñieåm A, B sao cho
x
y+
= . 0
2
2
+
x – 4 – 6
) ’ :
C
4
0
x
y
y
+ = tieáp xuùc nhau. Vieát
2 +
(
⇒
M laø trung ñieåm ñoaïn AB. b) Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) sao cho tieáp tuyeán aáy song song vôùi ñöôøng thaúng coù phöông trình: 2 2 – 7 c) Chöùng toû ñöôøng troøn (C) vaø ñöôøng troøn ( phöông trình tieáp tuyeán chung cuûa chuùng taïi tieáp ñieåm Giải (C) : (
I
y
4
) 1
- -
= . 2 (
y
x
) 2 = 3
4
2 +
- -
) )
a. Gọi (
(1), B đối xứng với A qua M suy ra (
)
(2).
y
4
B
x ;8
4
3
x
5
2
- - - -
Từ (1) và (2) ta có hệ :
2
2
2 +
) 2 = y ( ) 3 ( ) = 30 0 4
) 2 + 1 )
( (
- - - - + 2 x 4 2 y x y + = 6 y x 6 0 (cid:219) + - - - - x y 3 x
. Đó chính là đường thẳng
) ( ) 2 = R x 1;3 , 3 ) ;A x y thuộc (C) suy ra ( ( 2 + 1 . Để đảm bảo yêu cầu bài toán thì B thuộc (C) : ( ) 2 = 3 ) 2 = y y+ 4
( ( Lấy (3) – (4) ta có phương trình : 4 cần tìm.
- 4 = 24 0 , hay : 5 x x + 10 y x 6 y+ - = 6 0
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 36 -
www.MATHVN.com
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN +
= (*) . Để d' là tiếp
b. Gọi d' là đường thẳng song song với d nên nó có dạng : 2
0
2
x
+ +
+ y m = m
4 2 8
2 6
m
=
)
⇒
tuyến của (C) thì :
( h I d ,
'
= (cid:219) 2
+ = 8 m
4 2
= -
-
8
m
4 2 8
⇒
2 +
-
⇒
9
I
( ) ' 2;3 ,
R
= ' 3
. Chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau .
) 2 = ' 1 ,
2
2
- -
:
. Thay vào
2
2
2 +
) 2 + 1 )
) 2 = 3 ) 2 = 3
) ( c. (C'): ( 2 = y 3 x - = ' R R 1 II Ta có : Tìm tọa độ tiếp điểm ( ( y ( (
- - + - - x 4 x y x 2 6 0 (cid:219) ⇒ + = (cid:219) = - x 2 0 2 x 1 + - - - - x y 4 x 9 2 y x
phương trình đầu của hệ :
2 6
( ) 1;3 . x - =
1 0
Tiếp tuyến chung qua M và vuông góc với IJ suy ra
hay
.
2 = fi = (cid:219) ( ' :1
d
0
x -
- - + = y 6 + = y 6 ( 4 0 ) y + = (cid:219) 9 0 y y 3 0 M y
A 1;3 vaø hai ñöôøng trung tuyeán
) = . y + = vaø – 1 0
1 0
y
x
3 ) = 1 (
BT59. Laäp phương trình caùc caïnh cuûa D ABC, bieát ñænh xuaát phaùt töø B vaø C coù phương trình laø – 2 Giải
A
M
N
G
C
B
E
A'
.
Gọi G là trọng tâm tam giác thì tọ độ G là nghiệm của hệ
) ( 1;1
)
=
=
- 1 0 ⇒ G x y + = y 2 - = 1 0
(
(
(cid:219)
x
y
1;
) 1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GE 2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⇒ = - GA
- -
x
2
)
)
(
)
⇒
. C thuộc (CN) cho nên
E
( 1;0
C t;1 , B thuộc (BM) cho nên
( B m 2
m- 1;
= -
-
) 0; 2 , ( (
y
2
2
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GE ) 1 ) 1
+ - =
1 2
-
(
)
(
⇒
. Vậy (BC) qua
E 1;0 có véc tơ chỉ phương
) 5;1 ,
) 3; 1
C
B
m t + =
5 = -
1 0
1
(cid:219) - -
1
x
=
= t m (
(
(
)
)
⇒
. Tương tự :
( E x; y thuộc (BC), theo tính chất trọng tâm ta có : (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) GA = - 0 Do B, C đối xứng nhau qua E cho nên ta có hệ phương trình : 2 ( m (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC
(cid:2) = (cid:3) u
BC
x
) 4;1
1 0
8; 2
- = 4 y
:
y 1
- - - (cid:219) -
x
1
y
=
=
(
)
(
(
)
⇒
(cid:3)
(AB) qua A(1;3) có
.
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
4 (cid:2) = u
AB
(cid:219) + x
4; 2
) 2; 1
:
- = y 2
7
0
3 1
2
- - - - -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 37 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
x
1
y
3
=
( = -
)
(
)
⇒
(AC) qua A(1;3) có
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:2) = (cid:3) u
AC
- + = x
y
4; 4
( ) 1;1
:
2 0
1
thì BGCA' là hình bình hành, từ
1 ( ) A ' 1; 1-
) : x
3 0
y+ + = . Laäp phöông trình của BC.
y + = vaø ( 1 0
Cd
Bd
- - - (cid:219)
* Chý ý: Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy ra đó ta tìm được tọa độ của 2 đỉnh B, C và cách lập các cạnh như trên. ) ( BT60. Cho D ABC coù ñænh A 2; –1 vaø hai ñöôøng phaân giaùc trong cuûa goùc B, goùc C coù phöông trình laàn löôït laø ( ) : – 2 x Giải Gọi A' đối xứng với A qua
) +
(
Bd và A'' đối xứng với A qua Cd thì A' và A'' nằm trên BC . ) = 1
)
( x +
Tìm tọa độ A' (x;y):
( ' 0;3
B
- + y 2 0 2 1 = 3 x 0 (cid:219) (cid:219) (cid:219) ⇒ - A x 2 y 1 - - 2 x + = y = - y 2 6 2 1 0 d (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2) AA' u ˛ I
)
)
Tìm tọa độ A'' (x;y) :
( ⇒ - '' A
B
- - 2 ( + y 1 2 + = ) = 1 0 = 0 (cid:219) (cid:219) (cid:219) - x + - 2; 5 2 1 x y + + = 7 x x - = y 3 + = - y 3 0 d (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:2) AA'' u ˛ I 2
( = -
)
(
)
(BC) qua A'(0;3) có véc tơ chỉ phương
( 1; 4
- 3 y = - ) ⇒ 2 ( 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A A ' '' 2; 8 (cid:2) = (cid:3) u BC :
(
)
- I 1;3 , trung điểm AC là J x 1 ) 3;1
4 BT61. Cho tam giác ABC có trung điểm AB là ( . Điểm A thuộc Oy và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ điểm A, phương trình đường thẳng BC và đường cao vẽ từ B? Giải
A
H
I
J
(
)
= (1).
C ) : BC ax by+
0
B A 0;m . (BC) qua gốc tọa độ O cho nên ( Do A thuộc Oy cho nên Vì IJ là 2 trung điểm của (AB) và (AC) cho nên IJ (cid:3) BC suy ra (BC) có véc tơ chỉ phương :
(
(
(
(cid:3)
(cid:1)(cid:2) = - IJ
) = 4; 2
(cid:2) u
:
2
= y
(cid:219) - -
) 2;1 (
) BC x (
0 . )
0
t
= ⇒ = . Nhưng A thuộc Oy cho nên 2 2 t 1
- - -
B thuộc (BC) suy ra )
(
(
(
.
và
A 0;5 . Tương tự
⇒ ) A 2 2t;6 t B 2t; t và ) ) C 6; 3 , B 0;1 (
)
B 0;1 và vuông góc với AC cho nên có
- -
y
1
=
( = -
)
(
)
)
(
⇒
.
Đường cao BH qua (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
(cid:2) = (cid:3) u
6; 8
3; 4
BH
:
4
x
+ = 3 y
3 0
4
- - (cid:219) -
)
(
(
và đường thẳng
x 3 ) A 1;1 , B 4; 3-
d x :
- = y
2
1 0
-
BT62. Cho hai điểm .
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 38 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com a. Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB 6= ( ĐHKB-04) b. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB? ( ĐHKA-2004) Giải
x
1
y
=
=
(
(
(
)
) - ⇒
a/ (AB) qua
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:2) = u AB
AB
3; 4
:
+ x 4
- = y 3
7
0
) A 1;1 có
3
- - (cid:219) -
t 3
7
( t 4 2
1 4 ) + + 1
=
(
)
C thuộc
suy ra
do đó :
x
- = y
2
1 0
C 2t 1; t+
6
- = 11 t
3
30
5
(
)
- - (cid:219)
2
7;3 C 1 (cid:219) fi - C ; - 27 11 43 11 27 11 = fi 3 t = - t -
.
- 0
- - - 0 . ) ( = + y 3 ) ( = 3 y 1 0
- = -
( 4 1
- - - 3 0 = b/ Đường thẳng qua O vuông góc với AB có phương trình 3x 4y ) Đường thẳng qua B và vuông góc với OA có phương trình ( + x 4 ) ( Đường thẳng qua A và vuông góc với OB có phương trình 4 x 1 hay 4x 3y 1 0 Vậy tọa độ trực tâm H là nghiệm : ) = x x 0 = y
2
+
= - (cid:219) (cid:219) (cid:219) ⇒ H 4 3 ; 7 7 - - x 1 0 - = y y 4 1 x - = y 3 x 1 0 3 4 x + - = y x 3 4
2
ax
+ = by c 2
0
- - = x = y ) C x : 4 7 3 7 2 y
1 0 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ( (C) qua
(C) qua
, hay : a b 1
- -
)
(C) qua
) ( c = (1) O 0;0 suy ra 0 ( ) = A 1;1 suy ra : 2 2a 2b ( + B 4; 3-
0 = suy ra : 25 8a 6b
+ = (2) = , hay : 8a 6b
0
25
= - 1
+ =
a b
= - 1
a
31 14
17 14
- -
Từ (2) và (3) ta có hệ :
a
a
= a
1 = b 6
25
6(1
)
25
=
=
a
a
(3) b
(cid:219) (cid:219) (cid:219) - - - 8 b 8
31 14
31 14
2
2
+
= - b
Vậy (C) :
x
y
+ x
= y
0
31 7
- =
và hai điểm
3 0
(
(
)
. Hãy tìm trên d điểm M sao cho :
nhỏ nhất.
y+ 2 : d x (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + 3MA MB
-
17 4 BT63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ) A 1;0 , B 3; 4-
=
= -
(
)
(
(
)
)
⇒
Giải Trên d có
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 3 MB
( = - + t 6
+ 3 t
12
2
=
=
2 +
- -
suy ra : (
)
+ 2 ; t t (
4 )
(
)
⇒
Do vậy :
M 3 2t; t (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB 3
+ 2 8 ; 4 t t
12
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) t t MB 2 2 ; , (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) + MA MB 3
t 2 8
+ 4 t
12
2
2
- -
Hay :
. Dấu đẳng thức xảy ra
= + = + + = + + ‡ f (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) 3 t MA MB t 80 t 64 148 80 t 2 5 676 5 26 5
khi
. Khi đó
.
( ) t =
- t M ; min f 2 = - ⇒ 5 19 5 2 5 26 5
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 39 -
www.MATHVN.com
2
2
và đường tròn (
y+
9
)
)
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN ( ) ) M 2; 1- = (1) .Hãy viết : C x 1 2C có bán kính bằng 4 và cắt đường tròn ( 1C theo dây cung qua M
)
(
) I ' a;b suy ra :
2
2
2
2
2 +
+
=
- - (cid:219) - - -
BT64. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm phương trình đường tròn ( có độ dài nhỏ nhất. Giải Gọi ( 2C có tâm ) ( ( ) ( :
) 2 = y b
x a
C
y
+ 2 by a
b
( ) 16 0 1
2
2
16 +
+ 2
x (
Lấy (1) -(2) ta được :
( chính là đường thẳng trục đẳng phương )
2
ax
by 2
0
a
b
+ 2 ax ) + = 7
2
-
(
) 2 +
(
(
lên ta có :
Dây cung của hai đường tròn nằm trên đường thẳng này . ) + = (cid:219) 2 b Ví dây cung qua
+ 2 a
b 2
4
a
7
0
+ a
2
= b
) 1
12
) ( M 2; 1-
)
(
)
A 2;5 , B 5;1 . Viết phương trình đường thẳng d qua
- - -
(
(
)
) +
- -
( BT65. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A sao cho khoảng cách từ B đến d bằng 3. Giải Đường thẳng d qua
(cid:2) n
2
( b y
) = 5
0
( ) 1
) A 2;5 có
= ) +
( ⇒ d a x : )
(
a b ; ( 1 5
b
a
5 2
2
2
2
=
)
(
)
)
Theo giả thiết :
( h B d
( + a
b
,
= (cid:219) 3
a 3
= 4 b
9
2
2
- - -
+ a b ( d a x :
) = « 2
- = 0
x
2 0
2
-
⇒
b 7
= 24 ab
0
a
(
)
(
)
x
+ 2
= « 5 y
+ 0
7
x
= 24
y
114 0
= fi 0 b = b
24 7
24 7
(
)
(cid:219) - fi - - -
BT66. Trong (Oxy) cho
+ = . Viết phương trình tổng
A 2;5 và đường thẳng
d
: 2
x
4 0
y+ 3 045 .
=
(
) +
(
quát của đường thẳng d' qua A và tạo với d một góc bằng Giải Đường thẳng d' qua
) A 2;5 có
(cid:2) n
2
( b y
) = 5
0
( ) 1
( d a x : )
⇒ (
Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến
) a b ; (cid:1)(cid:2) n = '
2;3
- -
2
2
2
) 2 =
. Theo giả thiết thì : )
(
0 cos45
( + 2 2 a
2
+ 2 a = = (cid:219) (cid:219) - 13 24 0 3 b + 5 b + 2 a b = ab 5 a 3 b + 2 13 a b
(
)
)
( = « y 5
2
⇒
Ta có :
fi - - - - a 5 d ' : x 2 5 + 0 = x 5 y 23 0
)
)
( + x
( = « y
. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật,
và
169 a D = ' b fi - - « = a b 5 d ' : 5 2 5 + - 0 = 5 x y 15 0 1 2 = - b = b a 5
2 :
x 4 0 y+ - = y- + = d x
)
.
- 2 0 ( M 3;5
BT67. Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD, biết phương trình chứa 2 đường chéo là d 1 : 7 biết đường thẳng đó đi qua điểm Giải
Tâm của hình chữ nhật có tọa độ là nghiệm của hệ :
4 0 ⇒ I 7 x 1 9 ; 4 4
)
Gọi d là đường thẳng qua
có véc tơ pháp tuyến :
. Khi đó
( M 3;5
); a b
- 2 0 ( = + - = x y - + = y (cid:2) n
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 40 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
)
) =
⇒
. Gọi cạnh hình vuông (AB) qua M thì theo tính chất hình chữ
3
5
( ) 0 1
-
nhật :
2
2
2
( + b y (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) nn 2 (cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) n n 2
- 7 = (cid:219) (cid:219) - (cid:219) + = 7 a b 5 a b + a b + a b + b 3 a 3 = - a = b a a b
y
b 3
3
- + 0
= x 3
14 0
Do đó :
=
fi - - 50 ( 2 )
+ x (
d ( + x
a 3
b
+ : 3 ) + 3
3
y
x
= 3
y
12 0
« - - = 2 b ( ) = « y 5 ) = « + 0 5
www.MATHVN.com ( + d a x : (cid:2)(cid:1)(cid:2) nn 1 (cid:2) (cid:1)(cid:2) n n 1 = - a
A
(1;1) ,
B -
( 2;5)
. TÝnh
x - = 4
0
, vµ träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng 2
, ®Ønh C n»m trªn + = 6 y x
3
0
-
BT68. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi ®−êng th¼ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC. HD
+ +
y C
=
=
=
(
)
Ta cã
. Khi ®ã täa ®é G lµ
C
= + 2
1,
x G
y G
y 4; C
1 5 3
, vËy
x
nªn 2 6
6 0
. §iÓm G n»m )4; 2 (
( = -
Ta cã
, vËy
.
,
5
y C 3 Cy = , tøc lµ: C 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB AC = - .
5
trªn ®−êng th¼ng 2 ) 3;4 ,
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB
+ = y 3 6 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ( = AC 3;1
2
=
- - -
10 )2 =
DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ
S
2 AB AC .
- + 1 2 4 3 + = Cy AC = AB = , (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( AB AC .
= 25.10 25
1 2
- -
(
15 2 ) , träng t©m G cña
( 1; 2
1 2 A
- -
BT69. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi tam gi¸c n»m trªn ®−êng th¼ng
) B 2; 1 , . T×m täa ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC
y+ - =
2 0
x
.
b»ng
27 2
)
nªn G cã täa ®é
. Khi ®ã
,
y+ - =
2 0
x
G t
( ; 2
t
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( = AG t
2;3
t
- - -
HD V× G n»m trªn ®−êng th¼ng (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ( AB = - 1; 1
-
t 2
3
2
2 =
=
(
(
. VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ )
(
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AG AB .
) 2 + 2
2
t
2 AG AB .
S
3
1
) 2 - = t
1 2
1 2
2
3
NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng
th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng
. VËy
= , suy
27 2
9 2
t - 2 2
9 2
- - - -
(
. V× G lµ träng t©m tam gi¸c
3
) 3; 1
- - -
B
- -
)
y C , víi
= y 3 G ( G -
) ( 6; 4 , G 1 + y y ) ( a B ) 3; 1 ta cã
G 2 . ( C -
12;18
ra ABC nªn x C ( G 1 6; 4 Víi
t = hoÆc t = - . VËy cã hai ®iÓm G : 6 + = x x ) x ( 3 vµ a G ( ) ) C 1 15; 9 ta cã
2
2
- - -
,
8 0
3
+ x
+ = y
D
: . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng
D -
BT70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( A -
)2;1
+ 4 y
= 10
0
x
’.
' : 3 và điểm , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng D
D
)
nên
t 3 – 8;
t
( I ’ bằng khoảng cách IA nên ta có
-
HD Tâm I của đường tròn thuộc D Theo yêu cầu thì khoảng từ I đến D t 3( 3 10
2
=
+ - 2
- + t ( 3
8 2)
t (
1)
2
+ t 8) 4 +
4
2 3 Giải tiếp được
3
t = -
- - - -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 41 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
2
2
+
=
)
và phương trình cần tìm: (
.
25
( y+
) –1
3
x
-
www.MATHVN.com ( ) 1; 3 ,
= R
I
5
2
2
2
2
+ =
+
+
+
=
cùng đi qua
. Viết phương
C x ') :
0
y
(
x – 2 – 2
1 0,
y
Khi đó BT71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn hai đường tròn )1;0M ( ( y C x ) : trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (
4 – 5 x ') ), (
C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
)
HD Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là
2;0
I
R
R= 1,
= , đường thẳng (d) ' 3
2
2
( ) ( I 1;1 , ’ - = +
-
.
ax by a
và + 0, (
a
b
0)(*)
( a x
) - + 1
( b y
) = (cid:219) 0
0 qua M có phương trình Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
2
2
2
- „
Khi đó ta có:
2
I A '
I H '
2 '
IA
(cid:219) - -
)
(
)
( d I d
',
( d I d ,
1
= MA MB 2 ) 2 = 4 9
= IH 2 ,
IA IH>
2
2
(cid:219) - -
2
2
=
)
)
. ( d I d
',
4
4.
( d I d ,
35
35
35
a
b 36
2 -
2 =
2
2
2
a 2
9 a + 2
+
b
2 b = + b
a
36 a
2 b = 2 b
= -
a 6
a
Dễ thấy
nên chọn
.
b „
0
b
1
6
a
= ⇒ =
rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
1 0
y + = , cạnh bên AB nằm x = . Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm
x
y
+
)
)3;1 nên có phương trình :
( a x
– 3
( b y
) – 1
= 0
2
2
- (cid:219) (cid:219) (cid:219) (cid:219) -
)
b+
0
„
Kiểm tra điều kiện IA IH> BT72. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng 2 – 5 trên đường thẳng 12 – – 23 0 (3;1) HD Đường thẳng AC đi qua điểm ( a ( Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC
b 5
a
=
nên :
2
2
2
2
2
2
2 +
+
+ 2.12 5.1 +
+
a
b
2 5 .
2
5 . 12
2
2 1
-
2
a
2
2
2
)
)
9a2 + 100ab – 96b2 = 0
a
= 5 b
( 5 2
29
( + a
b
2
a
b 5 = + 2 b
29 5 cho ta đường thẳng song song với AB (vì điểm (
)3;1 không thuộc AB) nên
hay
a = và 8
= - a - (cid:219) (cid:219) - (cid:219) b ⇒ = a b 12 8 9 = - a b 12
b= 8a 9b =
= và hai điểm
0
x
có phương trình – 2 – 2 2
2
= 9 – 33 0 y+ x
)
(
(
. Tìm điểm M˛
(D ) sao cho
y có giá trị nhỏ nhất
-
Nghiệm không phải là cạnh tam giác. Vậy còn lại : 9 Phương trình cần tìm là 8 BT73. Trong mp (Oxy) cho đường thẳng D ) A 1; 2 ; B 3; 4
2MA MB+
+
=
+
(
)
HD M
,
t 2
3;
t
) 2 ,
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = BM
t 2
1;
t
4
t 2; 2
( M t 2 = 2
) +
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM +
( =
D ⇒ + 2 AM BM
2
t 15
t 4
43
f
t ( )
˛ - - -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 42 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
⇒
( ) t
2
2
2
= - ; f f M min - 2 15 2 15 26 15
) C x :
+ x my m
2
2
= 24 0
- - -
+ y . Tìm m biết đường thẳng D
cắt đường tròn (C) tại hai
= 4 0 y
)
5R =
I 1;m , bán kính
D
BT74. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( + có tâm I và đường thẳng mx : điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12. HD Đường tròn (C) có tâm ( Gọi H là trung điểm của dây cung AB. Ta có IH là đường cao của tam giác IAB. +
m
|
) D =
( = IH d I
,
2
m
m
4 | m = + 16
16
2
=
= 2
AH
IA
IH
25
20 + 2
- -
)
Diện tích tam giác IAB là
(cid:219)
12
m 2S
12
,
.
12
( d I
= AH
16 = IAH
IAB = –
(cid:219) D D
(
)
m (cid:219) (cid:219) 25 3 16 = m + 2 m
2
2
3 16 3
| 5 | m + 2 ( )2 m 5 = + 2 m 16 = SD = – m ) C x :
biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
.
AB =
3
2
2
+
+
)
+ = có tâm
,
2 0
– 2
4
x
y
y
I
( 1, –2
R =
3
+ + + = . Viết phương trình đường tròn (C') tâm x y 4 – 2 2 0 y
BT75. Cho đường tròn ( )5,1M ( HD Phương trình đường tròn ( ) C x : Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB ^
IM tại trung điểm H của đoạn AB.
=
=
Ta có
. Có 2 vị trí cho AB đối xứng qua tâm I.
AH BH=
AB 2
3 2
Gọi A'B' là vị trí thứ 2 của AB, Gọi H' là trung điểm của A'B'
2 =
(
)
Ta có:
,
2 IA
) 5 1
( 2 + + 1 2
2
2
=
= 2 = - - - = IH IH ' AH 3 MI = 5 3 2
x
13
2 =
Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa ycbt là: ( 3 2 ( y+
) – 1 ) 2
2 = ) – 5 hay (
x
– 5
( y+
43
) 1 y+ - =
6 0,
9 0,
d
x
y- + =
d 1 : 4
2 : 2
x . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích
y- + =
2 0
x
3 :
-
BT76. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d bằng 15, các đỉnh A, C thuộc
1d và D thuộc
3d , B thuộc
2d .
+ +
x
(BD) cắt
1d tại B có tọa độ là nghiệm của hệ :
= y m 0 + 9
+ + + m 9 4 - ⇒ B ; x 4 3 m 3
(BD) cắt
2d tại D có tọa độ là nghiệm của hệ :
HD Đường chéo (BD) vuông góc với (AC) cho nên BD có dạng : 0 9 0 = y m - + = y
= y m + - = x y + + + - m 6 2 6 ; ⇒ - D 0 6 0 x 2 x 3 + m 3
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 43 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
Trung điểm I của BD là tâm hình thoi có tọa độ là :
+
1
2
+
+ 1 2 - I ; 1 2 m 2
(
+ = ⇒ = -
Theo giả thiết I thuộc
và tọa độ các
AC
2 0
m
3
) + - = y BD x :
3 0
:
(
(
)
)
điểm
. Gọi
thuộc (AC).
và
B
) 2;1 ,
( D -
1;4
A t; t 2+
I
1 m 2 2 1 5 ; 2 2 + + - t 2 3
t
=
)
Suy ra :
( h A AC ,(
)
2
(cid:219)
)
(
(
)
A
C
t 2
1
t 2
=
= S
) ( = BD h A AC
2
,
.
3 2
15
3;5 (
)
2;0 (
)
1 2
t
A
C
2
1 = 2
2
2;0
3;5
= fi 3 t = -
« - - - (cid:219) (cid:219) fi - «
(
(
)
)
(
. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh (BC).
2;3 , C' 2; 4
-
BT77. Trong (Oxy) cho tam giác ABC, biết ba chân đường cao tương ứng với 3 đỉnh A, B, C là ) A ' 1;1 , B' Giải
A
B'
C'
H
C
B
A'
)
(
( = -
(
(
)
(
⇒
Do là các đường cao cho nên tứ giác AC'IB' là từ giác nội tiếp trong đường tròn có đường kính A ' 1;1 và có véc tơ là AI, C'B' là một dây cung vì vậy AA' vuông góc với C'B'. Vậy (BC) qua ) 4;1
) - + - = 1
) 4; 1
(cid:2) = (cid:3) n
1 0
BC
: 4
x
y
-
.
pháp tuyến + - = 4 x
y
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ' C B ' 5 0
(cid:219)
Tương tự như lập luận trên ta tìm ra phương trình các cạnh của tam giác ABC : (
) : 3
x
AB
+ = 2 y
2
0
-
-
(
(
)
BT78. Trong (Oxy) cho hai điểm
A
2 3; 2
B
2
2
2
+
=
là đường tròn (C).
MO MA MB
32
) 2 3; 2 , a) Chứng tỏ tam giác OAB là tam giác đều + b) Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho: c) Chứng tỏ (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Giải
2
+
=
=
(
)2
a/ Ta có :
= . Chứng tỏ OAB là tam giác đều .
2
4,
OB
4,
AB
4
2 3
OA (
b/ Gọi
;M x y thì đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức :
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
= ) =
Ta có :
MO
x
y MA ,
x
y
4 3
x
+ 4 y
16,
= 2 MB
+ 2 x
y
+ 4 3
x
+ 4
y
16
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
=
- - -
⇒
MO MA MB
32
+ 2 x
3
3
y
+ 8 3
x
= 32 32
x
y
x
0
8 3 3
(cid:219) - (cid:219) -
www.MATHVN.com
Daukhacha.toan@gmail.com
- Trang 44 -
Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
www.MATHVN.com
2
2
2
=
. Chứng tỏ là đường tròn (C) có tâm
x
= y
I
R
4 3 + 3
4 3 3
4 3 3
4 3 3
;0 ,
(cid:219) -
(
(
(
)
Q 3;5 , còn BC và AD qua các điểm
) R 0;1 và
) ( S 3; 1
- -
c/ Thay tọa độ O, A, B vào (1) ta thấy thỏa mãn, chứng tỏ (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. BT79. Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB, CD lần lượt đi qua các điểm ) P 2;1 và Giải
=
= -
+ và (
.
) AD y :
+ x b
'
Gọi (AB) có dạng y
kx b
1 k
+
= -
+ = (1) và
Cho AB và AD qua các điểm tương ứng ta có : 2k b 1
b
'
1
( ) 2
3 k
b
k 3
'
+ - 0 k
=
=
)
)
Ta có :
. Theo tính chất hình vuông :
( h Q AB ,
( h R AD ,
;
2
2
- + 5 +
kb +
k
1
1 k 3
'
+ - 0 k
=
)
)
( h Q AB ,
( h R AD ,
- + = - k 3
5
b
k
kb
'
2
2
k kb +
- + 5 +
1
k
b = 1
k
(cid:219) (cid:219)
+ = 2
Từ đó ta có hệ :
1 = - k b + = = - ' 3 , , ' 15, k b b = - k = 7, b = - ' b ⇒ = k 10 , 1 3 1 3 4 7 kb - + = - k b 5
- -
AD x : 3 AD x :
= 10 4
AB x : AB x : 7
0, 0,
: CD x + - CD x : 7
+ y 3 = y
= 12 0, 26 0,
+ - = : 3 y BC x + = y BC x 7 :
1 0 0 7
Do đó : Hoặc :
- - k 3 + = 1 0, 3 y = + - y 15 0, kb ' + + y - = y 7
