23
CHƯƠNG 14: NGUYÊN LÝ ĐALAMBER
I. NGUYÊN LÝ ĐALAMBER ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM.
1. Lực quán tính đối với chất điểm.
Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động với gia tốc
W
uur
dưới tác dụng của lực
F
r
(trong trường hợp có nhiều lực cùng tác dụng thì
F
r
là hợp lực của những lực ấy). Theo
tiên đề 2 Niutơn ta có:
Fm.W
=
ruur
hay
(
)
Fm.W0
ruur
.
Vế trái đẳng thức này có thứ nguyên là lực, đặt qt
Fm.W
=−
ruur
và gọi là lực quán tính
của chất điểm.
Định nghĩa: Lực quán tính của chất điểm là một đại lượng vectơ có cùng phương,
ngược chiều với vectơ gia tốc của chất điểm và có giá trị bằng tích số giữa gia tốc của
chất điểm và khối lượng của nó. qt
Fm.W
=−
ruur
(14.1)
Chiếu (14.1) lên các trục tọa độ đề các ta thu được:
qt
xx
qt
yy
qt
zz
Fm.W
Fm.W
Fm.W
=−
=−
=−
(14.2)
Chiếu (14.1) lên các trục tọa độ tự nhiên ta thu được:
qt
2
qt
nn
qt
b
dV
Fm.Wm.
dt
V
Fm.Wm.
F0
ττ
=−=−
=−=−
ρ
=
(14.2)
Thành phần
qt
F
τ
được gọi là lực quán tính tiếp, thành phần
qt
n
F
gọi là lực quán tính
pháp hay còn được gọi là lực ly tâm.
2. Nguyên lý Đalamber đối với chất điểm.
Xét chất điểm có khối lượng m, chịu tác dụng của hệ lực
(
)
12n
F,F,...,F
rrr
chuyển động
với gia tốc
W
uur
. Nguyên lý Đalamber đối với chất điểm được phát biểu như sau:
Tại mỗi thời điểm các lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của nó tạo thành
một hệ lực cân bằng.
(
)
qt
12n
F,F,...,F,F0
≡
rrrr
(14.3)
II. NGUYÊN LÝ ĐALAMBER ĐỐI VỚI CƠ HỆ.
Xét cơ hệ gồm các chất điểm
12n
M,M,...,M
. Gọi
K
F
r
là hợp lực của các lực đặt vào
chất điểm
K
M
(có khối lượng tương ứng
K
m
) gây ra gia tốc
K
W
uur
. Lực quán tính của chất
điểm
K
M
là qt
K
K
K
Fm.W
=−
ruur
. Theo nguyên lý Đalamber với chất điểm ta có:
(
)
qt
KK
F,F0
=
rr
.
Cho K chạy từ
1n
→
và cộng từng vế ta được:
(
)
qtqtqt
12n12n
F,F,...,F,F,F,...,F0
=
rrrrrr
.
Nguyên lý Đalamber đối với cơ hệ được phát biểu như sau:
Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên chất điểm của cơ hệ và các lực quán tính của
các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân bằng.
24
(
)
qtqtqt
12n12n
F,F,...,F,F,F,...,F0
=
rrrrrr
(14.4)
III. PHƯƠNG PHÁP TĨNH – ĐỘNG LỰC VÀ PTCB TĨNH-ĐỘNG LỰC.
1. Nội dung phương pháp.
Khi hệ lực cân bằng thì vectơ chính và mômen của hệ lực với một tâm bất kỳ bằng
không do vậy theo nguyên lý Đalamber ta có:
(
)
()
qt
KK
qt
KK
O
FF0
mFF0
+=
+=
∑
∑
rr
rr
r.
Nếu phân hệ lực thành nội lực và ngoại lực ta được:
(
)
()()()()
eiqt eiqt
KKK KKK
eiqt
eiqt KKK
OOO
KKK
O
FFF0 FFF0
mFmFmF0
mFFF0
++= ++=
⇔

++=

++=
∑∑∑∑
∑∑∑
∑
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
r
Nhưng theo (10.4) thì i
K
F0
=
∑
r
và
(
)
i
K
O
mF0
=
∑
r
r
nên ta có:
()()
eqt
KK
eqt
KK
OO
FF0
mFmF0
+=
+=
∑∑
∑∑
rr
rr
rr
(14.5)
Trong hệ trên không có mặt của nội lực nên trong nhiều trường hợp rất thuận tiện để
giải quyết các bài toán. Tuy nhiên để sử dụng (14.5) ta cần biết biểu thức vectơ chính và
mômen chính của hệ lực quán tính.
2. Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn.
Vét tơ chính của vật chuyển động bất kỳ bằng: qtqt
K
K
RFm.W
==−
∑∑
urruur
.
Theo (12.1) thì: K
KC
m.WM.r
=
∑
uur
r
. Lấy đạo hàm hai lần theo t đẳng thức trên ta
được:
C
K
KC
KK
drdr
m.M.m.WM.W
dtdt
=⇔=
∑∑
r
r
uuruur
.
Thay vào ta có: qt
C
RM.W
=−
uruur
. (14.6)
Vét tơ chính của các lực quán tính của hệ chuyển động bất kỳ có hướng ngược với
gia tốc khối tâm của hệ và có độ lớn bằng tích khối lượng cơ hệ với gia tốc khối tâm cơ hệ.
Đối với mômen chính ta phải xét từng trường hợp riêng vì mômen chính phụ thuộc
tâm thu gọn.
a, Vật chuyển động tịnh tiến.
Mômen chính của hệ lực quán tính đối với khối tâm C là:
(
)
(
)
qtqtqt
CKK
KK
CKKKKK
MmFrFrm.Wm.rW
==∧=∧−=−∧
∑∑∑∑
uurrruuruur
rrrr
Mà
KC
WW
=
uuruur
vì vật chuyển động tịnh tiến nên: qt
CC
KK
MWm.r
=−∧
∑
r
Mặt khác
KKC
m.rM.r
=
∑
rr
, vì ta lấy tâm thu gọn là khối tâm C nên C
r0
=
r
vậy :
qt
C
M0
=
uur
Kết luận: với cơ hệ chuyển động tịnh tiến thì:
qt
C
qt
C
RM.W
M0
=−
=
uruur
uur (14.7)
25
b, Vật quay quanh trục cố định.
Mômen chính của hệ lực quán tính đối với tâm quay O là:
(
)
(
)
qtqtqt
CKK
KK
CKKKKK
MmFrFrm.Wm.rW
==∧=∧−=−∧
∑∑∑∑
uurrruuruur
rrrr
Mà n
KKK
WWW
τ
=+
uuruuruur
nên
(
)
qtn
C
KK
KK
Mm.rWW
τ
=−∧+
∑
uuruuruur
r
mà
n
K
K
rW
∧
uur
r
vì song song
nhau, vậy
()
qt 2
CK
KKKKKKKzO
Mm.rWm.rr.m.rJ.
τ
=−∧=−∧ε∧=−ε=−ε
∑∑∑
uuruur
rrrrrr
.
Kết luận: với cơ hệ chuyển động tịnh tiến thì:
qt
C
qt
CzO
RM.W
MJ.
=−
=−ε
uruur
uur
r
(14.8)
c, Vật chuyển động song phẳng.
Mômen chính của hệ lực quán tính đối với khối tâm C là:
(
)
(
)
qtqtqt
CKK
K
CKKK
MmFrFrm.W==∧=−∧
∑∑∑
uurrruur
rrr
Mà n
KCKCKC
WWWW
τ
=++
uuruuruuruur
nên:
(
)
(
)
qtn 2
C
CKCKCC
KKKKKK
Mrm.WWWrm.W.rr
τ
=−∧++=−∧+ω+ε∧
∑∑
uuruuruuruuruur
rrrrr
Ta có
(
)
2
KKK
rm..r0
∧ω=
rr
(hai vectơ song song) và
(
)
2
KKK
rr.r
∧ε∧=ε
rrrr
, thay vào ta
được:
(
)
qt
22
CCC
KKKKKKKK
Mrm.W.m.rWm.rm.r
=−∧+ε=−∧−ε
∑∑∑
uuruuruur
rrrr
Mà
KKC
m.rM.r
=
∑
rr
, vì ta lấy tâm thu gọn là khối tâm C nên C
r0
=
r
vậy:
qt 2
CKKzC
M.m.rJ.
=−ε=−ε
∑
uur
rr
Kết luận: với cơ hệ chuyển động tịnh tiến thì:
qt
C
qt
CzC
RM.W
MJ.
=−
=−ε
uruur
uur
r
(14.9)