Đại số 11: Chương 5 - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> Đại số 11<br /> <br /> CHƯƠNG V ĐẠO HÀM<br /> <br /> 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm · Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b): f ( x ) - f ( x0 ) Dy (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0)) = lim f '( x0 ) = lim D x ®0 D x x ® x0 x - x0 · Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm · Ý nghĩa hình học: + f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; f ( x0 ) ) . + Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x0 ; y0 ) là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) · Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s¢(t0). + Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q¢(t0). 3. Qui tắc tính đạo hàm ænÎ N ö ( x )¢ = 1 · (C)¢ = 0 (x)¢ = 1 (xn)¢ = n.xn–1 ç ÷ èn >1 ø 2 x æ u ö¢ u¢v - v¢u · (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ (uv)¢ = u¢v + v¢u (v ¹ 0) ç ÷ = èvø v2 æ 1 ö¢ v¢ (ku)¢ = ku¢ ç ÷ =- 2 èvø v · Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y¢ x = y¢u.u¢ x 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x sin u( x ) · lim = 1; lim = 1 (với lim u( x ) = 0 ) x ®0 x x® x0 u( x ) x® x0 ( tan x ) ¢ = 1 ( cot x ) ¢ = - 1 · (sinx)¢ = cosx (cosx)¢ = – sinx 2 cos x sin 2 x 5. Vi phân · dy = df ( x ) = f ¢( x ).D x · f ( x 0 + D x ) » f ( x 0 ) + f ¢( x 0 ).D x 6. Đạo hàm cấp cao ¢ · f ''( x ) = [ f '( x )]¢ ; f '''( x ) = [ f ''( x )]¢ ; f ( n) ( x ) = é f (n -1) ( x ) ù (n Î N, n ³ 4) ë û · Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f¢¢(t0).<br /> <br /> Trang 71<br /> <br /> Đại số 11<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Giả sử Dx là số gia của đối số tại x0. Tính Dy = f(x0 + Dx) – f(x0). Dy B2: Tính lim . D x ®0 D x Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: a) y = f ( x ) = 2 x 2 - x + 2 tại x0 = 1 c) y = f ( x ) = e) y = f ( x ) = 2x +1 tại x0 = 2 x -1<br /> 3<br /> <br /> b) y = f ( x ) = 3 - 2 x tại x0 = –3 d) y = f ( x ) = sin x f) y = f ( x ) = tại x0 =<br /> <br /> p 6<br /> <br /> x tại x0 = 1<br /> <br /> Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f ( x ) = x 2 - 3 x + 1 d) f ( x ) = 1 2x - 3 b) f ( x ) = x 3 - 2 x e) f ( x ) = sin x<br /> <br /> x2 + x +1 tại x0 = 0 x -1 c) f ( x ) = f) f ( x ) = x + 1, ( x > - 1) 1 cos x<br /> <br /> VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1 3 2 a) y = 2 x 4 - x 3 + 2 x - 5 - x + x x. b) y = 2 3 3 x d) y = ( x 2 - 1)( x 2 - 4)( x 2 - 9) g) y = 3 2x +1 e) y = ( x 2 + 3 x )(2 - x ) h) y = 2x +1 1 - 3x<br /> <br /> c) y = ( x 3 - 2)(1 - x 2 ) æ 1 ö f) y = ( x + 1) ç - 1÷ è x ø 1 - x + x2 2 x2 m) y = x2 - 2 x - 3 c) y = ( x 3 - 2 x 2 + 1)11 f) y= 1 ( x - 2 x + 5)2<br /> 3<br /> <br /> i) y =<br /> <br /> 1 + x - x2<br /> <br /> x2 - 3x + 3 2 x2 - 4 x + 1 k) y = l) y = x -1 x -3 Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = ( x 2 + x + 1)4 d) y = ( x 2 - 2 x)5 g) y = ( x + 1)2 ( x - 1)3 b) y = (1 - 2 x 2 )5 e) y = ( 3 - 2 x 2 )<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> æ 2x +1 ö h) y = ç ÷ è x -1 ø b) y =<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3 ö æ i) y = ç 2 - 2 ÷ x ø è c) y =<br /> <br /> Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = 2 x 2 - 5 x + 2 d) y = ( x - 2) x 2 + 3 x3 - x + 2 x+ x<br /> 3<br /> <br /> e) y = ( x - 2)3 Trang 72<br /> <br /> f) y = (1 + 1 - 2 x )<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng g) y = x3 x -1<br /> 2<br /> <br /> Đại số 11 h) y = 4x +1 x2 + 2 i) y = 4 + x2 x<br /> <br /> Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: æ sin x ö a) y = ç ÷ è 1 + cos x ø d) y = cot 2 x b) y = x .cos x e) y = sin 2 + x 2 c) y = sin3 (2 x + 1) f) y = sin x + 2 x i) y = 2sin 2 4 x - 3cos3 5 x<br /> <br /> g) y = (2 + sin 2 2 x )3<br /> <br /> h) y = sin ( cos2 x tan2 x )<br /> <br /> æ x +1 ö 2 1 k) y = cos2 ç l) y = tan 2 x + tan 3 2 x + tan 5 2 x ÷ ç x -1 ÷ 3 5 è ø Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx )' = n sin n-1 x.cos(n + 1) x c) (cos n x.sin nx )' = n.cosn -1 x .cos(n + 1) x b) (sin n x.sin nx ) ' = n.sin n-1 x .sin(n + 1) x d) (cos n x. cos nx )' = - n.cos n-1 x.sin(n + 1) x<br /> <br /> VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) (*) 1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) Î (C ) là: y - y0 = f '( x0 )( x - x0 ) 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: f ¢( x 0 ) = k (ý nghĩa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y0 = f ( x 0 ). + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) 3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)). + Phương trình tiếp tuyến (d): y - y0 = f '( x0 )( x - x0 ) (d) qua A ( x1 , y1 ) Û y1 - y0 = f '( x0 ) ( x1 - x0 ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y0 = f ( x0 ) và f '( x0 ). + Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). 4. Nhắc lại: Cho (D): y = ax + b. Khi đó: 1 + (d ) ¤¤ (D ) Þ kd = a + ( d ) ^ ( D ) Þ kd = a<br /> <br /> Baøi 1: Cho hàm số (C): y = f ( x ) = x 2 - 2 x + 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1. b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0. c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0. d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ. 2 - x + x2 (C). Baøi 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x -1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Trang 73<br /> <br /> Đại số 11 Baøi 3: Cho hàm số y = f ( x ) =<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> 3x + 1 (C). 1- x a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 1 d: y = x + 100 . 2 e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng D: 2x + 2y – 5 = 0.<br /> <br /> Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x 3 - 3 x 2 . a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I. Baøi 5: Cho hàm số (C): y = 1 - x - x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1 a) Tại điểm có hoành độ x0 = . 2 b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.<br /> <br /> VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao 1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y ( n) = y(n-1) 2. Để tính đạo hàm cấp n: · Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. · Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng. Baøi 1: Cho hàm số f ( x ) = 3( x + 1) cos x . æp ö b) Tính f ''(p ), f '' ç ÷ , f ''(1) è2ø Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: x-3 a) y = cos x, y ''' b) y = 5 x 4 - 2 x 3 + 5 x 2 - 4 x + 7, y '' c) y = , y '' x+4 a) Tính f '( x ), f ''( x ) d) y = 2 x - x 2 , y '' g) y = ( x 2 + 1)3 , y ''<br /> ( n)<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> /<br /> <br /> e) y = x sin x , y '' h) y = x 6 - 4 x 3 + 4, y (4)<br /> <br /> f) y = x tan x , y '' i) y = 1 , y (5) 1- x<br /> <br /> Baøi 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: a) Baøi 4: a) d)<br /> <br /> æ 1 ö æ æ (-1)n n! n.p ö n.p ö ( n) = b) (sin x )( n) = sin ç x + ç ÷ ÷ c) (cos x ) = cos ç x + ÷ 2 ø 2 ø (1 + x )n+1 è1+ x ø è è Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 x y= b) y = c) y = x+2 x2 - 3x + 2 x2 - 1 1- x y= e) y = sin 2 x f) y = sin 4 x + cos 4 x 1+ x Trang 74<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng Baøi 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: ì 2 ï ì y = x sin x a) í b) í y = 2 x - x 3 î xy ''- 2( y '- sin x ) + xy = 0 ï y y ''+ 1 = 0 î ì y = x tan x c) í 2 2 2 î x y ''- 2( x + y )(1 + y ) = 0 ì x-3 ïy = d) í x+4 ï2 y¢2 = ( y - 1) y '' î<br /> <br /> Đại số 11<br /> <br /> sin u( x ) x® x0 u( x ) Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức sin u( x ) lim = 1 (với lim u( x ) = 0 ) x® x0 x® x0 u( x ) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim Baøi 1: Tính các giới hạn sau: sin 3 x 1 - cos x a) lim b) lim x®0 sin 2 x x ®0 x2 1 + sin x - cos x x®0 1 - sin x - cos x 1 - sin x æp ö ç - x÷ è2 ø<br /> 2<br /> <br /> c) lim<br /> <br /> tan 2 x x®0 sin 5 x<br /> <br /> d) lim<br /> x®<br /> <br /> p 4<br /> <br /> cos x - sin x cos 2 x æ pö sin ç x - ÷ è 6ø 3 - cos x 2<br /> <br /> e) lim<br /> <br /> f) lim<br /> x®<br /> <br /> p 2<br /> <br /> æp ö g) lim ç - x ÷ tan x h) lim pè2 p ø x® x®<br /> 2<br /> <br /> 6<br /> <br /> VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Baøi 1: Giải phương trình f '( x ) = 0 với: a) f ( x ) = 3cos x - 4sin x + 5 x c) f ( x ) = sin2 x + 2 cos x e) f ( x ) = 1 - sin(p + x ) + 2 cos<br /> 4 ì a) í f ( x ) = sin 3 x îg( x ) = sin 6 x<br /> <br /> b) f ( x ) = cos x + 3 sin x + 2 x - 1 d) f ( x ) = sin x cos 4 x cos 6 x 4 6<br /> <br /> 3p + x f) f ( x ) = sin 3 x - 3 cos 3 x + 3(cos x - 3 sin x ) 2 Baøi 2: Giải phương trình f '( x ) = g( x ) với:<br /> 3 ì b) í f ( x ) = sin 2 x îg( x ) = 4 cos 2 x - 5sin 4 x ì 2 x ì x ï f ( x ) = 4 x cos 2 ï f ( x ) = 2 x 2 cos2 c) í d) í 2 2 ïg( x ) = x - x sin x ïg( x ) = 8cos x - 3 - 2 x sin x î î 2 Baøi 3: Giải bất phương trình f '( x ) > g '( x ) với:<br /> <br /> a) f ( x ) = x 3 + x - 2, g( x ) = 3 x 2 + x + 2 c) f ( x ) = 2 x 3 - x 2 + 3, g( x ) = x 3 + x2 - 3 2<br /> <br /> b) f ( x) = x 2 - 2 x - 8, g ( x ) = x d) f ( x ) = 2 , g( x ) = x - x3 x<br /> <br /> Trang 75<br /> <br />