Đại số 11: Chương 5 - Trần Sĩ Tùng

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ˛ (a; b):

ﬁ

0 • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

= f x (Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0)) '()lim = 0 lim x D ) x fxf x ()( - x - y D x0 Dﬁ

• Ý nghĩa hình học:

2. Ý nghĩa của đạo hàm + . f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại

) ) 0 là:

)

( ;( Mxf x0 ( 0; Mx y0

y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) • Ý nghĩa vật lí: + V ận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm

t0 là v(t0) = s¢(t0). ường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q¢(t0). + C 3. Qui tắc tính đạo hàm

(

( • (C)¢ = 0 x)¢ = 1 (xn)¢ = n.xn–1 ¢ )x = (cid:246)˛ (cid:230) n N (cid:247)>Ł (cid:231) n 1 ł 2 x

¢ ¢ )¢¢ ( • uv u ( –= v – )¢¢ uv uv v u = + (v „ 0) ¢ (cid:246) uuvv u = (cid:247) v ł (cid:230) (cid:231) Ł ¢- ¢ v2

¢ ( )¢ ku ku = = - 1 ¢ (cid:246) (cid:247) v ł (cid:230) (cid:231) Ł v ¢ v2

. • Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u¢x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y¢u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: yy u ¢=¢ xu ¢ x 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

(

x 0 u x = ) 1 • = ; 1 = (với lim x 0 ﬁ sin x sin( ) u x ( ) u x lim x x ﬁ 0 lim() x x ﬁ 0

tan cot • (sinx)¢ = cosx (cos x)¢ = – sinx ¢ = ¢= - 1 x2 cos 1 x2 sin

5. Vi phân ()(). x D • fxxfxfx x +»+ ¢ D • dydfxfx == ¢ ()()().D 00 6. Đạo hàm cấp cao

[ '''()''( ) x =

()(1)()( ) n Ø x fxf = º

[ • ; ''()'( ) = • Ý nghĩa cơ học:

; fxf fxf x ¢ ] ¢ ] ¢ ø ß (n ˛ N, n ‡ 4)

ốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f¢¢(t0).

Gia t

Trang 71

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước: B1: Gi ả sử Dx là số gia của đối số tại x0. Tính Dy = f(x0 + Dx) – f(x0).

B2: Tính . lim x D y D x0 Dﬁ

Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:

2 yfx x a) yfxx ()2 x ==- + 1= b) == ()3 2 - tại x0 = –3 tại x0

c) ( ) yf x = = yfx = x ()sin = tại x0 = 2 d) tại x0 = p 6 x 1 2 + 1 x -

x 1 ( ) ( ) e) yfx = x 3 = yf x = = tại x0 = 1 f) tại x0 = 0 x + + x 1 -

Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) a) fxx ()3 () fxx x3 c) fxx x x2 1=- + = 2 - ()1,(1)=+> -

f) d) f x ( ) e) fx x ( ) f x = ()sin= = 2 3 1 cos x 1 x -

VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm bằng công thức

ắc tính đạo hàm của hàm số hợp.

3 (2)(1

b) a) yxx c) yx x ) . + 22 =-+ =- - Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) bằng công thức ta sử dụng các qui tắc tính đạo hàm. Chú ý qui t Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 31 x 5 - 3 2 3 3 yxx x =- x2

22 (1)(4)(9) -

1 f) d) yxx x x2(3)(2 ) =-- e) yxx =+ - y x 1

) 1

( =+

x (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) -(cid:231) Ł 2 1 x x + - h) i) g) y y y = = = 1

x 3 x 2 1 + 1 3 x - 224 x x - + 2 x 2 x + + l) m) k) y y y = = = 3 x 1 2 + 2 3 x - x 1 - 1 x - x 3 - x 2 x 3 - -

Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

3211 x (2 1)

b) c) yx a) yx y x2 (1)=+ + = =- +

2 x (2 ) -

2 x (25) -

1 (12 - ( x2 5 ) 4 ) d) e) f) y x y yx = = 3 2 - = x +

(1) x + g) h) i) y y y = = 3 2 x (cid:230) 2 -(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (1) x - (cid:230) = (cid:231) Ł (cid:246)+ x 1 2 (cid:247) 1 x - ł

Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

b) a) yx 2 yx 2 x =- x 225 + x 3 =- + c) yx = +

)

2 3

f) d) yx (2) x e) y y x =- + = (2) x -

( 11 2 - =+

Trang 72

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

1 + x g) h) i) y y y = = = 1 4 + x x x - 4 x x2 2 +

Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

3 sin(21) x

x b) a) x.cos c) y y yx = = + x (cid:230) sin = (cid:231) 1cos +Ł (cid:246) (cid:247) ł

)

e) f) d) y cot 2 x2 y xsin 2 = = + yx = +

i) h) g) y x x2 sin 2 ( 2 sincostan x 2sin43cos 5 x yx = = (2sin2 ) + yx = -

3 tan2tan2tan 2

x k) l) cos yx y = =+ + 2 x 3 1 x 5 x (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246)+ 1 (cid:247) (cid:247)- 1 ł

1 -

Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:

1 -

b) a) x (sin.cos)'sin.cos(1) xnxnxn = + x (sin.sin)'.sin.sin(1) xnxnxn = +

c) d) (cos.sin)'.cos.cos(1) xnxnxn x = + x (cos.cos)'.cos.sin(1) xnxnxn =- +

là: (*) ) yyfxx -= - x00

= (ý nghĩa hình học của đạo hàm)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) 1. Ph ương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) C( '()( )˛ 0 2. Vi ết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + G ọi x0 là hồnh độ của tiếp điểm. Ta có: fx k0( ) ¢ ải phương trình trên tìm x0, rồi tìm yf x0 0(). = ết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)

+ Gi + Vi 3. Vi ết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước: + G ọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)). + Ph ) ương trình tiếp tuyến (d): yyfxx -= - '()( 0

(d) qua A x00 - (,)'()()(1)(cid:219)-= xyyyfxx x 0 111001

+ Gi ) và f x0 '(). ải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm yf x0 = ừ đó viết phương trình (d) theo công thức (*). + T 4. Nh ắc lại: Cho (D): y = ax + b. Khi đó:

+ + ()( dk ()( d k ) D⁄⁄(cid:222) = a ) D^(cid:222)= - 1 a

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): Baøi 1: Cho hàm số (C): yfxx ==- x ()23. +

a) T ại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1.

b) Song song v ới đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.

c) Vuông góc v ới đường thẳng x + 4y = 0.

d) Vuông góc v ới đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.

2 (C). ( ) Baøi 2: Cho hàm số yf x = =

x x - + x 1 - ết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4). ết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. a) Vi b) Vi

Trang 73

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

(C). ( )

Baøi 3: Cho hàm số

yf x = = x 1 3 + x 1 -

ết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7). ết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. ết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. ết ph ương trình ti ếp tuy ến của (C) bi ết ti ếp tuy ến song song v ới đường th ẳng a) Vi b) Vi c) Vi d) Vi

d: . y x 100 = + 1 2 ết ph ương trình ti ếp tuy ến của (C) bi ết ti ếp tuy ến vuông góc v ới đường th ẳng e) Vi D: 2x + 2y – 5 = 0.

. x3 -

Baøi 4: Cho hàm số (C): yx = a) Vi b) Ch ết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2). ứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.

Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): Baøi 5: Cho hàm số (C): yx . 1 x =- -

a) T . ại điểm có hoành độ x0 =

1 2 ới đường thẳng x + 2y = 0.

()(1) n

b) Song song v VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao

y y =

(

)

• Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n. • Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

. 1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: 2. Để tính đạo hàm cấp n: Baøi 1: Cho hàm số fxx ()3(1)cos = x +

b) Tính a) Tính fxf '(),''( ) x ff ''(),'',''(1) f p p 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:

b) c) y ,'' y a) yx ycos,''' = yxxxx 5 =- y 2 +- 547,'' + = x x 3 4 - +

(5)

e) f) 2,'' y yxx ysin,'' yxx ytan,'' d) yxx = - = =

2 (1),'' +

63(4)44, y +

h) i) y y , y = g) yx = yxx =- 1 x 1 -

Baøi 3: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:

( ) n (sin)sin x

( ) n (cos)cos x

( ) n (cid:246) 1(1) (cid:247) x + ł

- a) b) c) ! = = = 1 . n p 2 . n p 2 n n 1 ) + (1 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) x +(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) x +(cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

x + Baøi 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

1 b) c) a) y y y = = = x 2 x 3 x 2 - + x x2 1 -

d) e) f) y y x2 = sin= yx = x4 sincos + 1 + x x 1 1 - +

Trang 74

Baøi 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

a) b) 0 = (cid:236) = x yx sin (cid:237) xyyxxy ''2('sin) --+ (cid:238) x 2 - ''1 0 + =

c) d) y tan x 2 ''2()(1) 0 = -++ (cid:236) = yx (cid:237) 22 xyxy (cid:238) 3 4 y x - x + 2 ¢ = 2(1)'' yy - (cid:236)(cid:239) = yx (cid:237) 3 y y (cid:239)(cid:238) (cid:236) y =(cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng u x sin( ) ( ) u x lim x x ﬁ 0

Ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và sử dụng công thức

0 u x = ) 1 = (với u x sin( ) ( ) u x lim x x ﬁ 0 lim() x x ﬁ 0

x x b) a) d) c) lim x 0 ﬁ lim x 0 ﬁ lim x 0 ﬁ Baøi 1: Tính các giới hạn sau: sin 3 sin 2 x x tan 2 x sin 5 x cossin x - cos 2 x 1cos - x2 lim p x ﬁ 4

sin p 6 (cid:246) (cid:247) ł f) g) e) h) x x x 2 lim x 0 ﬁ 1sincos x 1sincos x x x + - - - (cid:246) (cid:247) ł cos x - lim p x ﬁ 6 (cid:230) p limtan -(cid:231) 2p Ł x ﬁ 2 x (cid:230) x -(cid:231) Ł 3 2 1sin - lim p pﬁ (cid:230) x -(cid:231) 2 2 Ł (cid:246) (cid:247) ł

VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác

Baøi 1: Giải phương trình f x'() 0= với:

b) a) fxxx x 1 ()3cos4sin =- 5 + x ()cos3sin2 fxxx =++ -

x cos4cos 6 x d) c) fxx ()sin fx x x2 ()sin2cos = + =- - 4 6

x e) f) x ()sin33cos33(cos3sin ) fxxxx x ()1sin()2cos fx + =-+ p =-+ - 3 + p 2

với: Baøi 2: Giải phương trình fxg x'()( )=

a) b) x x x x ()sin 3 fx = ()sin 6 gx = fx ()sin 2 = ()4cos25sin 4 gxx = - (cid:236) (cid:237) (cid:238)

()4cos fx x = ()2cos fx x = x 2 c) d) x 2 ()sin gxxx x = - (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) x x ()8cos32sin gxx =- - 2

(cid:236) (cid:237) (cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238) với:

2 x

b) fxxxgx a) fxxxgxx ()2,()3 2 Baøi 3: Giải bất phương trình fxg x '()'( )> x3 =+-=+ + ()28,( )=-- =

32 x =-+=+

c) d) fxxxgx ()23,() 3 - (),( )== - fxgxx 2 x x x 2

Trang 75

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ˛ R: 3

a) 5 fxvôùifxxmx '()0()3 >=-+ - mx 3

3 mxmx 3

b) fxvôùifxm x '()0()(1)15 <=-++ -

3 yxxmx=-+

223. -

2 Tìm m để:

a) b) f f Baøi 5: Cho hàm số x bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất. '( ) x ‡ với mọi x. '() 0

3 mxmx fxm x=-+-- 3

()(3)2. Tìm m để: Baøi 6: Cho hàm số + 2

có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. f f x < với mọi x. '() 0 x '() 0=

có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc f x '() 0=

a) b) c) Trong trường hợp vào m.

Trang 76

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

2(4)

b) c) x3 yx (3)(1) x yx 2 a) yx = - =+ - =-

2 (21)

6 2 x + 1 9 x + x 1 +

f) x y d) yx = - e) yxx =+ x2 (21)(42 ) - =

2 2 )

2 3 x + - 3 x 2 -

x 2 1 g) h) i) y y y x = = = 3 2 ( - x 2 x - Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

23 +

b) c) a) yx x4 7 y x2 yx 2 =- 1= - =- x2 3 -

x x 1 x + d) e) f) y y = = y = 3- x 1 x - 1 x2 - Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x b) c) a) yx x 3 sin(2) y tan(cos ) x y =- + = = + sin x x sin x

2 cot(1) x

d) e) y yx yx = - f) =+ x2 2 cos(22) + = x x sincos x + sincos x -

i) h) g) y cos 2 cot 1 x y x x2 2 tan(34 ) = = + +

yx = Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của các hàm số, với:

a) Cyx ():3 + tại điểm M(1,2).- - x3 2=- 2 x 5 + b) () : C y = 0.= tại điểm có hoành độ x0 + x x 2 4 +

c) Cy ():2 x . 1= + biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = 1 3

25 +

có đồ thị (C). Vi ết phương trình ti ếp tuyến với đồ thị (C) Bài 5: Cho hàm số yx x3 2 =-

sao cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y =- x31. +

b) Vuông góc với đường thẳng y x = - 4. 1 7 c) Đi qua điểm A(0;2) .

cos x Bài 6: a) Cho hàm số () f x Tính giá trị của f f = p 3 cos 2 . x (cid:230)(cid:246)(cid:230) p '' (cid:231)(cid:247)(cid:231) 6 ŁłŁ (cid:246) . + (cid:247) ł

b) Cho hai hàm số fxx x4 và gx x So sánh f x'( ) và g x'( ) . ()sincos= + 1 ()cos4 . = 4

¢ , với: Bài 7: Tìm m để fxx R()0, >" ˛

b) a) fxxmx x3 fxxmxxmx ()sinsin2sin3 =-- 2 + ()(1)21.=+-+ + 1 3

¢ , với: Bài 8: Chứng minh rằng fxx R()0 , >" ˛

b) a) fxx ()2sin .= x + - 2 x963 ()2361. fxxxxx =-+-+ 3

Bài 9: a)

Trang 77