ễn Th
DĐ: 01694 013 498
ải hệ phương tr
ải hệ phương tr
Đs:
ải ệ phươ
Căn bậc hai của số phức
ăn bậc hai của số phức:
ăn bậc hai của mỗi số phức sau:
Đs
ăn bậc hai của mỗi số phức sau:
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
1 3
a. (1 3)(1 ) b.
1
i
i i
i
c. sin cos
z i
d. 5
tan
8
z i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
ễn Th
DĐ: 01694 013 498
55
Giải:
a.
1 3 2 cos( ) sin( )
3 3
i i
;1 2 cos sin
4 4
i i
.
Do đó
(1 3)(1 ) 2 2 cos( ) sin( )
12 12
i i i
.
b. Từ phần trên ta có ngay kết quả
1 3 7 7
2 cos sin
1 12 12
ii
i
.
c. Ta có
sin cos cos( ) sin( )
2 2
z i i
.
d.
5 1 5 5 1 7 7
tan sin cos cos sin
5 3
8 8 8 8 8
cos cos
8 8
z i i i
Bài 2: Tuỳ theo góc
, hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác
(1 cos sin )(1 cos sin ).
i i
Giải:
Xét số phức
(1 cos sin )(1 cos sin )
z i i
, ta có
2 2
(2sin .2sin cos )(2cos .2sin cos )
2 2 2 2 2 2
z i i
2 2
4sin cos (sin cos )(cos sin )
2 2 2 2 2 2
2sin (sin cos sin cos (cos sin ))
2 2 2 2 2 2
i i
i
2sin sin cos
i
hay
2sin (sin cos )
z i
(*)
- Nếu sin > 0, từ (*) có
z 2sin cos( ) .sin( )
2 2
i
- Nếu sin < 0, từ (*) ta có
2sin ( sin cos )
z i
2sin cos( ) .sin( )
2 2
i
- Nếu sin = 0 z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng lượng giác:
1. cosa – isina, a [0;2). 2. sina + i(1 + cosa), a [0;2).
3. cosa + sina + i(sina – cosa), a [0;2)
Giải:
Ta có:
1.
cos sin cos(2 ) sin(2 )
a i a a i a
khi a [0;2)
2.
2sin 1 cos
z a i a
2sin
2
a
cos
2
a
+ 2icos2
2
a
= 2cos
2
a
(sin
2
a
+ i cos
2
a
)
- Nếu a [0; ) cos
2
a
> 0 z2 = 2cos
2
a
(cos(
2
-
2
a
) + i sin (
2
-
2
a
)
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
ễn Th
DĐ: 01694 013 498
56
- Nếu a ( ;2 ) cos
2
a
< 0 z2 = -2cos
2
a
(cos(
3
2
-
2
a
) + i sin (
3
2
-
2
a
)
- Nếu a z2 = 0(cos0 + isin0)
3.
3cos sin sin – cos
z a a i a a
2
(cos
4
a
+ i sin
4
a
Bài 4: : Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a. (1- i
3
)(1 + i) b.
1 3
1
i
i
c.
1
2 2
i
Giải:
1. Ta có: 1- i
3
= 2 cos sin
3 3
i
(1+ i) = 2 cos sin
4 4
i
Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:
(1- i
3
)(1 + i) = 2
2
cos sin
12 12
i
Tương tự
b.
1 3
1
i
i
=
2
7 7
cos sin
12 12
i
c.
1
2 2
i
=1
(1 )
4
i
=12 cos sin
4 4 4
i
= 2cos sin
2 4 4
i
Bài 5: Viết số phức
2
3
z i
dưới dạng lượng giác.
Giải:
Cách 1: Khai triển hằng đẳng thức rồi chuyển sang dạng lượng giác.
22
2 2 3 1 3
3 3 2 3 2 2 3 4 4
4 4 2 2
4 cos sin 4 cos sin
3 3 3 3
z i i i i i i
i i
Cách 2: Viết dạng lượng giác trước rồi áp dụng công thức Moa – vrơ.
3 1
3 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 6 6 6 6
i i i i
Suy ra:
2
2
3 2 cos sin 4 cos sin
6 6 3 3
i i i
Dạng 2: Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác
Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và
là 1 acgument của nó. Hãy tìm 1 acgument c
ủa các số phức sau:
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
ễn Th
DĐ: 01694 013 498
57
a.
1
2
z
b. 2
(sin 0)
2
z z
c. 23
(cos 0)
2
z z
Giải:
Số phức z có thể viết dưới dạng:
cos sin
z i
a.
1 1 1 1
cos sin cos sin
2 cos sin 2 2
2i i
i
z
1cos sin
2
i acgument
b.
2
23 3
cos sin cos sin 2sin sin 2cos sin
2 2 2 2
z z i i i
- Nếu 23 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
3 3 3
2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
- Nếu 23 3
sin 0 2sin sin cos
2 2 2 2
z z i
3 3 3
2sin sin cos
2 2 2 2 2 2 2
i Acgument
c.
2
23 3
os isin os isin 2 os os 2 os sin
2 2 2 2
z z c c c c c i
- Nếu 2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
2
Acgument
- Nếu 2
3 3
cos 0 2cos cos sin
2 2 2 2
z z i
2
Acgument
Bài 2: Tính:
5
10
10
1 3
1 3
i i
z
i
Giải:
10 5
10 5
10
10
7 7
2 cos sin .2 cos sin
4 4 6 6
4 4
2 cos sin
3 3
i i
z
i
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn
ễn Th
DĐ: 01694 013 498
58
10
10
35 35 5 5
2 cos sin cos sin
2 2 6 6
40 40
2 cos sin
3 3
i i
i
55 55
cos sin
3 3
cos5 sin5 1
40 40
cos sin
3 3
i
i
i
Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng:
1 3
z z i
và
iz
có một acgument
là .
6
Giải:
222
cos sin cos( ) sin( )
2 2 2 6 3
(cos sin )
1 3 3 3
( ) 1 1 1
2 2 2 2 2 4
iz ri r r i
z r i
r r r r
r i i iz r r
2
22
3 3 1 3 3
4 2
r r
z i r r
1 3 1 cos sin
3 3
iz z i r z i
Bài 4: Viết dạng lượng giác của số phức z biết rằng
2
z và một acgumen của
1
z
i
là
3
4
Giải:
Gọi
là một acgumen của z thì

là một acgumen của
z
mà
1
i
có một acgumen là
4
nên
1
z
i
có một acgumen là
4
.
Theo giả thiết ta có 3
2 2 ( )
4 4 2
k l l
Vậy dạng luợng giác của z là: 2 cos sin
2 2
z i
.
Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính toán
Bài 1: Tính giá trị
10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i i
Ai
Giải:
Biểu diễn lượng giác cho các số phức:
7 7
1 2 cos sin
4 4
i i
; 3 2 cos sin
6 6
i i
và
4 4
1 3 2 cos sin
3 3
i i
Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi
5 sin 5 1
A cos i
.
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
www.VNMATH.com
Vuihoc24h.vn