DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

179
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Có nhiều ứng dụng của lượng giác. Cụ thể có thể nói đến như là kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 1 i 3 a. (1  i 3)(1  i ) b. 1 i 5 c. z  sin   i cos  d. z  tan i 8
Giải:        a. 1  i 3  2 cos( )  i sin( )  ; 1  i  2 cos  i sin  .  3 3   4 4     Do đó (1  i 3)(1  i)  2 2  cos( )  i sin( )  .  12 12  b. Từ phần trên ta có ngay kết quả 1 i 3   7   7    2  cos     i sin    . 1 i   12   12     c. Ta có z  sin   i cos   cos(   )  i sin(   ) . 2 2 5 1  5 5  1  7 7  d. z  tan i    sin 8  i cos 8    cos 8  i sin 8  8 5   cos 3   cos 8 8 n Bài 2: Tuỳ theo góc  , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ). Giải: .v Xét số phức z  (1  cos   i sin  )(1  cos   i sin  ) , ta có       z  (2 sin 2  i.2 sin cos )(2 cos 2  i.2 sin cos )  2 2  2  2 2 2   4sin cos (sin  i cos )(cos  i sin ) 2  2 2  2 2 2 4h  2  2  2   2sin  (sin cos  sin cos  i (cos 2  sin 2 )) 2 c  2  2  2 sin  sin   i cos   hay z  2sin  (sin   i cos  ) (*) 2  o    ih - Nếu sin  > 0, từ (*) có z  2sin cos(  )  i.sin(  )   2 2  - Nếu sin  < 0, từ (*) ta có z  2sin  ( sin   i cos  )     2sin   cos(  )  i.sin(  )  2 V u   2  - Nếu sin  = 0  z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định. Bài 3: Viết các số sau dưới dạng lượng giác: 1. cosa – isina, a  [0;2). 2. sina + i(1 + cosa), a  [0;2). 3. cosa + sina + i(sina – cosa), a  [0;2) Giải: Ta có: 1. cos a  i sin a  cos(2  a )  i sin(2  a) khi a  [0;2) a a a a a a 2. z2  sin a  i 1  cos a   2sin cos + 2icos2 = 2cos (sin + i cos ) 2 2 2 2 2 2 a a  a  a - Nếu a  [0; )  cos > 0  z2 = 2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 2 2 2
a a 3 a 3 a - Nếu a  ( ;2 )  cos < 0  z2 = -2cos (cos( - ) + i sin ( - ) 2 2 2 2 2 2 - Nếu a  z2 = 0(cos0 + isin0)     3. z3  cos a  sin a  i  sin a – cos a   2 (cos  a   + i sin  a    4  4 Bài 4: : Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1 i 3 1 a. (1- i 3 )(1 + i) b. c. 1 i 2  2i Giải:       1. Ta có: 1- i 3 = 2  cos     i sin       3  3     (1+ i) = 2  cos  i sin   4 4 n Áp dụng công tthức nhân, chia số phức ta đuợc:        .v (1- i 3 )(1 + i) = 2 2  cos     i sin       12   12   Tương tự b. 1 i 3 1 i   7  = 2  cos     12   7     i sin     12   4h 2 1 1 1       2      c. = (1  i ) = 2  cos     i sin     =  cos   4   i sin   4   2  2i 4 4   4  4  2   c    2   o Bài 5: Viết số phức z  3  i dưới dạng lượng giác. Giải: ih Cách 1: Khai triển hằng đẳng thức rồi chuyển sang dạng lượng giác. 2 2 2 3  1 3    u z  3  i  3  2 3i  i 2  2  2 3i  4   4 i  4   2 2 i  4      V           4  cos  i sin   4  cos     i sin      3 3   3  3  Cách 2: Viết dạng lượng giác trước rồi áp dụng công thức Moa – vrơ.  3 1           3  i  2  i   2  cos  i sin   2  cos     i sin      2 2     6 6   6  6  2 2               Suy ra:  3 i    2  cos     i sin       4  cos     i sin        6  6     3  3  Dạng 2: Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và  là 1 acgument của nó. Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:
1  3 a.  b. z 2  z (sin  0) c. z 2  z (cos  0) 2z 2 2 Giải: Số phức z có thể viết dưới dạng: z  cos   i sin  1 1 1 1 a.      cos   i sin      cos    i sin     2z 2  cos   i sin   2 2  1  cos      i sin       acgument     2  2 3  3  b. z 2  z   cos   i sin     cos   i sin    2sin sin  2 cos sin i 2 2 2 2   3 3  - Nếu sin  0  z 2  z  2sin   sin  i cos  2 2 2 2      3    3    3  2 sin  sin     i cos      Acgument   n 2  2 2  2 2   2 2    3 3  .v - Nếu sin  0  z 2  z  2sin  sin  i cos  2 2 2 2     3    3    3   2sin  sin  2  2   i cos  2  2    Acgument  2  2 2   2    3  4h 3  c. z 2  z   cos  i sin     cos  i sin    2cos cos  2cos sin i 2 2 2 2 2 3 3     - Nếu cos  Acgument  2  0  z 2  z  2cos  cos  i sin   2  2 2  oc ih 2 3 3       - Nếu cos  0  z 2  z  2 cos  cos      i sin      2 2  2 2 u      Acgument    2 Bài 2: Tính: z  Giải: 10 1  i    1  i 3  V 3i 10  5 10 5 10  7 7  5    2  cos  4  i sin  .2  cos  i sin  4   6 6 z 10  4 4  210  cos  i sin   3 3 
 35 35  5 5   55 55  210  cos  i sin  cos  i sin   cos  i sin   2 2  6 6   3 3     cos 5  i sin 5  1  40 40   40 40  210  cos  i sin   cos  i sin   3 3   3 3  Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: z  1  z  i 3 và i z có một acgument  là . 6 Giải:        i z  ri cos   r sin   r cos(   )  i sin(   )          2 2  2 6 3 z  r (cos   i sin  ) 2 2 1 3 r r 3 r  3r  r(  i )  i  iz  1    1   r2  r 1 n 2 2 2 2 2  4 2 r2 r   .v  z i 3   3   1  r 2  3r  3  iz  1  z  i 3  r  1  z  cos  i sin 4 2  3 3 h z 3 Bài 4: Viết dạng lượng giác của số phức z biết rằng z  2 và một acgumen của là  1 i 4 Giải: 2 4 Gọi  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z mà 1  i có một acgumen là  nên z 1 i c 4  có một acgumen là   . 4  3 o ih Theo giả thiết ta có      k 2     l 2 (l  ) 4 4 2    u Vậy dạng luợng giác của z là: z  2  cos  i sin  .  2 2 Bài 1: Tính giá trị A  V Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính toán (1  i )10 ( 3  i)5 (1  i 3)10 Giải: Biểu diễn lượng giác cho các số phức:  7 7      4 4  1  i  2  cos  i sin  ; 3  i  2  cos  i sin  và 1  i 3  2  cos  i sin   4 4   6 6  3 3  Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi A  cos 5  i sin 5  1 . Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau
(1  i )10    1 1 a. A  9 b. B   cos  i sin  i 5 (1  3i) 7 c. z 2009  2009 . Biết z   1.  3i   3 3 z z Giải : 10       5 5   2  cos 4  i sin 4   25  cos  i sin      2 2  1 1 a. A  9   4 (cos   i sin  )         3 3  2 16 2  cos  i sin   29  cos  i sin   6 6   2 2    1 Vậy phần thực   và phần ảo = 0 16 7    5 7            b.  cos  i sin  i (1  3i) =  cos     i sin     i  2  cos  i sin    3 3   3  3    3 3         7 7   27  cos     i sin      cos  i  2 cos 2  i sin 2  i  2 i  128i n 7 7  i sin   3  3   3 3  .v Vậy phần thực bằng 0 và phần ảo bằng 128.  1  3i   h z   cos  i sin 1 2 3 3 c. Từ z   1  z 2  z  1  0   4 z  1  3i     z   cos     i sin    2  3  3 2    c Khi z  cos  i sin . 3 3 o Ta có 2009   ih 2009 1     1  z 2009    cos  i sin     cos   i sin  2009 z  3 3  u    3 3  2009 2009           2009 2009  V   cos  i sin   cos     i sin       cos  i sin   3 3   3  3   3 3   2009 2009   2  2   cos  i sin   2 cos  669    2 cos  1.  3 3   3  3     1 Tương tự : z  cos     i sin     z 2009  2009  1  3  3 z Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z 2  2  2 3i . Giải: Ta chuyển 2  2 3i sang dạng lượng giác rồi từ dạng lượng giác ta chuyển về dạng đại số.  1 3   2 2  2  2 3i  4     2 2 i   4  cos 3  i sin 3       Suy ra:
  2 2   z  4  cos 3.2  i sin 3.2   2 2    z 2  2  2 3i  z 2  4  cos 3  i sin  3     2 2   z   4  cos  i sin    3.2 3.2      1 3   z  2  i 1 i 3   z  2  cos  i sin   3 3  2 2         z  2  cos  i sin   z  -2  1  3 i   1  i 3 3 3   2 2        Vậy: Phần thực và phần ảo của z là 1 và 3 hoặc -1 và  3 . Ứng dụng của dạng lượng giác n Bài 1: Chứng minh rằng: sin 5t  16sin 5 t – 20sin 3 t  5sin t .v cos 5t  16cos5 t – 20cos3 t  5cos t Giải: h 5 Dùng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức  cos t  i sin t  Ta được: 2 4 cos 5t  i sin 5t  cos5 t  5i cos 4 t sin t  10i 2 cos3 t sin 2 t  10i3 cos2 t.sin 3 t  5i 4 cos t.sin 4 t  i 5 sin 5 t 2 2  cos 5t  i sin 5t  cos 5 t  10 cos3 t 1  cos 2 t   5cos t 1  sin 2 t   i 5 1  sin 2 t  sin t – 10 1  sin 2 t  sin 3 t  sin 5 t  c     Đồng nhất hai vế ta được điều phải chứng minh. o Bài 2: Giải phương trình: z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0 1 ih Giải: Ta có: 1  z 4  z  1  z 2  z  1   z  1  0  z  1   z  1  z 4  z 2  1  0   4 V 2 Xét phương trình: z 4  z 2  1  0  z 2  u z  z 1  0 1  3i  2 1 z     2 2 3 i  cos 2 3  i sin 2 3 2  2 1 3  2   2  z    i  cos     i sin     2 2  3   3     2 2  z  cos 3  i sin 3 Từ z 2  cos  i sin  3 3  z   cos   i sin    3 3
      z  cos   3   i sin   3   2   2       Từ z 2  cos     i sin     3   3       z   cos     i sin      3  3 Tóm lại phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm: 1 3 1 3 1 3 1 3 z  1 ; z = z   i; z   i; z   i; z    i 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 3: Cho z1 và z2 là hai số phứ xác định bởi z1  1  i 3 và z2  1 – i z a. Xác định dạng đại số và dạng lượng giác của 1 z2 7 7 b. Từ đó suy ra giá trị chính xác của: cos và sin 12 12 Giải: z 1 i 3 1 3 1  3  Ta có 1  z2 1 i   2   i 2         .v n h Ta có: z1 = 2(cos + isin ); z2 = 2 (cos    + isin    ) 3 3  4  4 4 z 7 7  1 = 2 (cos + isin ) z2 12 12  cos 7 12 = 1 3 2 và sin 7 1  3 12 = 2 c 2 o Bài 4: Cho số phức z0 có môđun bằng 1 và argument bằng 2 ih 5 A CMR z0 là nghiệm của phương trình z 5 – 1  0 b. Rút gọn biểu thức  z – 1 1  z  z 2  z 3  z 4  d. Giải phương trình ở câu c. V u e.Từ đó suy ra giá trị của z0 và biểu thức giá trị của cos   2 1  và sin 1 c. Hãy suy ra rằng z0 là nghiệm của phương trình:  z 2  2    z   + 1 = 0 z   2 z 5 5 Giải: 2 2 a. Ta có: z0 = cos + i sin 5 5 2 2 5 Áp dụng công thức Moavrơ ta có: z05 = (cos + i sin ) = cos2  + isin2 = 1  z0 là nghiệm của phương 5 5 trình z5 – 1 = 0. b. Khai triển đẳng thức này ta được z 5 – 1  0 c. z 5 – 1  0   z – 1 1  z  z 2  z 3  z 4   0
1 1 mà z0  0  z0 là nghiệm của phương trình 1+z + z2 + z3 + z4 = 0  z2 ( 2 + + 1 + z + z2 ) (với z  0) z z 1 1  z0 là nghiệm của phương trình 2 + + 1 + z + z2 = 0 (*)  đpcm. z z 1 1  5 d. Đặt y = z +  phương trình (*) có dạng: y 2 – y  1  0  y1,2  z 2 1 1 e) Từ các câu trên ta có: z0 là nghiệm của một trong hai phương trình sau: z + = y1 hoặc z + = y2 z z 1 1 5 - Xét phương trình: z + = y1  z2 – y1z + 1 = 0  z2 + z+1=0 z 2  1  5 i 5  5 2  5 5  2  z1   1 5  5 5  4 2 2      2   4   2  i  2        z  1  5  i 5  5 1  2  - Xét phương trình: z + = y2  z2 – y2z + 1 = 0  z2 + z 4 1 5 2 2 z+1=0 2 .v n  1 5  2  2   4   2  i  5 5  5 5   2  2     z1    4 4h 1  5 i 5  5  2 2 2      z  1  5  i 5  5  2 4 2 2 c  2 2 Vì cos và sin đều dương  phần thực và phần ảo của z0 đều dương 5 5 o ih 1  5 i 5  5 2 1  5 2 1 5  5  z0  z1    cos  và sin  4 2 2 5 2 5 2 2 u n  Bài 5: Tìm n là số nguyên dương và n  1,10  sao cho số phức z  1  i 3  là số thực Giải: Để z  R  2n.sin   n 3  3 V = 0  sin  3 n 3  Ta có: 1 + i 3 = 2  cos  i sin   z = 2n  cos  n 3  i sin n   3  = 0  n chia hết cho 3, mà n nguyên dương  [1;10]  n  [3;6;9] Bài 6: Giải phương trình: z 6  64 1 Giải: Giả sử z  x  yi  r (cos   i sin  ) Ta có: 64  64(cos   i sin  ) Z 6  64  r 6 (cos 6  i sin 6 )  64(cos   i sin  )  r 6  64  r  2   Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z)   =  2k 6 6
   Với k = 0  z1 = 2  cos  isin  = 3 +i  6 6       Với k = -1  z1  2  cos  -   isin      3  i   6  6     Với k = 1  z1  2  cos  i sin   2i  2 2       Với k = -2  z1  2  cos     i sin      2i   2  2    5   5   Với k = -3  z1  2  cos     i sin      3  i   6   6  3 i  Bài 7: Tìm số phức z thỏa mãn z  4 và một acgumen của bằng  z 6 n Giải: Ta có z  4  z  4(cos   i sin  )  z  4(cos( )  i sin( )) và .v    3 i 1     3  i  2  cos  i sin     cos      i sin       6 6 z 2 6  6  Theo giả thiết           4h 2 6 6 3      3     3  oc Vậy z  4  cos     i sin      2  2 3i Bài 8: Tính tổng sau: S  (1  i )2008  (1  i) 2008 ih Giải:   u 1  i  2(cos  i sin )  (1  i )2008  21004 (cos 502  i sin 502 ) 4 4     V 1  i  2(cos  i sin )  2(cos( )  i sin( )) 4 4 4 4 2008 1004  (1  i)  2 (cos(502 )  i sin(502 )). Do đó S  2 cos(502 )  21005 . 1005 Bài 9: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều. Giải: Xét phương trình z 3  1 trên  , có nghiệm z  r (cos   i sin  ) Khi đó r  1 z 3  1  r 3 (cos 3  i sin 3 )  1   3  k 2 , k  . Do đó phương trình có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là - Với k = 0 ta có z 0  cos 0  i sin 0  1 ;
2 2 1 3 - Với k = 1 ta có z1  cos  i sin   i ; 3 3 2 2 4 4 1 3 - Với k = 2 ta có z2  cos  i sin   i . 3 3 2 2 Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt      2  2 là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z1 , z 2 . Khi đó OA  OB  OC  1;   AOB ; BOC  3 3 Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều. Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta được nhiều kết quả hay và bất ngờ về tổ hợp. Một số ứng dụng khác 0 2 4 2006 2008 Bài 1: Tính giá trị của S  C2009  C2009  C2009  ...  C2009  C2009 Giải: Xét khai triển: (1  i )2009  2009 C k 0 k 2009 2 4 2008 1 3 5 .v n .i k   C2009  C2009  C2009  ...  C2009    C2009  C2009  C2009  ...  C2009  i 0 2009  Mặt khác (1  i )2009  ( 2) 2009 .  cos  2009 So sánh phần thực và phần ảo ta đợc S  2 . 4  i sin 1004 2009  4  1004   2  2 .i 1004 4h Nhận xét. c Bằng việc xét khai triển (1  i) n ta có kết quả tổng quát sau: 2 o  0 2 4 n n Cn  Cn  Cn  ...  ( 2) .cos 4  ih  (n   ) * C 1  C 3  C 5  ...  ( 2)n .sin n  n  n n 4 0 2 Do đó có thể giải như sau: 2 4 4 V u2010 Bài 2: Tính tổng S = C2010  C2010  C2010  ...  C2010 Giải: Ta có S = C2010  i 2C2010  i 4C2010  ...  i 2010 C2010 . 0 2010 (1  i )2010  (1  i) 2010 Cách 1: S = 2 2010 2010 2010 Cách 2: S là phần thực của số phức 1  i  (do 1  i  và 1  i  là hai số phức liên hợp) Bài tập tự giải: Viết dạng lượng giác của số phức Bài 1: a. Viết dạng lượng giác của số phức z2, biết z  1  i.
b. Viết dưới dạng lượng giác của số phức z  2i ( 3  i ). Bài 2: Viết số phức z dưới dạng đại số: z  ( 2  2  i 2  2 )8 . Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1 i 3 a. 1  i 3 b. 1 + i c. (1  i 3 )(1  i ) d. 1 i 1 e. 2.i.( 3  i) f. g. z  sin   i.cos  2  2i Đs:                a. 2  cos    i.sin   b. 2 . cos  i. sin  c. 2 2  cos( )  i.sin( )    3   3   4 4  12 12   7 7    2    d. 2  cos( )  i.sin( )  e. 4(cos  i. sin ) f.  cos( 4 )  i sin(  4 )   12 12  3 3 4       n g. cos     i sin     2  2  .v Bài 4: Cho số phức z  1  i 3 . Hãy viết dạng lượng giác của số phức z5 . 1 3 Bài 5: Viết dạng lượng giác số z   i .Suy ra căn bậc hai số phức z 2 2 Bài 6: Viết các số sau dưới dạng lượng giác: 1 3 4h 2 a. z1 = 6 + 6i 3 b. z2    i 4 4 c. z3    i Đs: 1 2 2 3 c d. z3  9 – 9i 3 o e. z5  4i ih    1 2 2  4 4 z1  12  cos  i sin  ; z2   cos  i sin  ; z3  cos  i sin  3 3 2 3 3  3 3 u  5 5   3 3  z4  18  cos  i sin  ; z5  4  cos  i sin ;  3 3   2 2  V Bài 12: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:        a. 2  cos  i sin  b.  cos  i sin   6 6  17 17      c.  sin  i cos  d. 1 – cos a  i sin a, a  [0; 2 )  17 17  Đs: 7 7       a. 2(cos +isin ) b. cos    + isin    6 6  17   17  15 15 c. cos + isin 34 34 d.
a a  a  a - Nếu a  (0;2 )  sin > 0  z2 = 2sin (cos( - ) + i sin ( - )) 2 2 2 2 2 2 - Nếu a = 0  không tồn tại số phức dưới dạng lượng giác. Bài : Tìm một acgumen của các số phức sau:   a.  2  2 3.i b. 4 4i c. 1 - 3.i d. cos  i. sin 4 4   e.  sin  i. cos f. (1  i. 3 )(1  i) 8 8 Đs: 2 3   5  a. b. c.  d.  e.  f.  3 4 3 4 8 12 Dạng toán về tính toán: Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:    3  3  7 a.  cos  i sin i 5 1  3i ;  b. 1  i 10 ; 3i 9   c. z 2000  z 1 .v 2000n biết rằng z  1 z  1. h 12  3i Bài 2: Chứng minh rằng:   1  i  là số thực 4    2 12  3i Đs: Sử dụng công thức Moavrơ :   64  1 i  c    o Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau (1  i)10    7 b.  cos  i sin  i 5 1  i 3 .   ih a. 9 . 3 3  3 i   HD: Sử dụng công thức Moivre. 1 Đáp số: a. Phần thực  , phần ảo bằng 0 16 V b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128 Bài 5: Áp dụng công thức Moivre để tính u 1 12 o 7 3 o a. (cos15  i sin15 ) o 5 b. 2  cos 30  i sin 30 o  c. (1  i )16 d.   i  2 2  2 2 Bài 6: Hãy tính tổng S  1  z  z 2  z 3  ...z n 1 biết rằng z  cos  i sin n n Bài 7: Thực hiện các phép tính a. 3  cos120o  i sin120o  (cos 45o  i sin 45o ) b. 2  cos18o  i sin18o  (cos 72o  i sin 72o )     cos85  i sin 85 c. 5(cos  i sin )3(cos  i sin ) d. 6 6 4 4 cos 40  i sin 40
2 2 2(cos  i sin ) 3 3 2 (cos 45  i sin 45 ) e. f.  2(cos  i sin )  3(cos15  i sin15 ) 2 2   5 1 1 g. (cos  i sin )i .(1  3i )7 h. z 2008  2008 biết z  1 3 3 z z     i. (cos  i. sin ).3(cos  i. sin ) 6 6 4 4 Đs: 3 2 3 2 5 5 a.  i. b. 3(cos  i.sin ) c. 2 2 12 12 6 2 6 2 2 6 d.  i. e.  i. f.  i. 4 4 4 4 2 6 Bài 8: Tìm môđun của z và argument: n 8 2 3  2i  1  i  6 .v a. z   8 1  i  6 2 3  2i  h 4  1  i  1 b. z  10  4  3  i   2 3  2i  n c. z  1  i 3   1  i 3  n 2 4 Đs: a. |z| = z  213  2 1 13 ; arg z  5 6 oc ih 1 b. z  9 ; arg z =  2 u 5n c. z  2n 1 cos ; arg z    {0;  } 3 V Bài 9: Thực hiện phép tính: 2 (cos 45 0  i. sin 45 0 ) a. 3  cos 20o  i sin 20o  cos 25o  i sin 25o  b. 3 (cos15 0  i. sin 15 0 ) 2 2 2 (cos  i. sin ) 3 3     c. d. 5 (cos  i. sin ).3(cos  i. sin )   6 6 4 4 2(cos  i. sin ) 2 2 Đs: 3 2 3 2 2 6 6 2 5 5 a.  i. b.  i. c.  i. d. 15(cos  i. sin ) 2 2 2 6 4 4 12 12 Bài 10: Tính: 7 a. (cos12o + isin12o)5 b.  2(cos 300  i sin 300 )  c. ( 3  i ) 6  
12 2008 21 16 1 3  i  1  5  3i 3  d. (1 + i) e.   i 2  f.   g.    2    i   1  2i 3    Đs 1 3 1 a. i b.  4 6  i.4 2 c. 26 d. 28 e. 1 f. h. 221 2 2 21004 Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 2 3 a.  2  2 3.i ĐS: b. 4 – 4i ĐS: 3 4     c. 1 - 3.i ĐS:  d. cos  i. sin ĐS:  3 4 4 4   5  e.  sin  i. cos ĐS:  f. (1  i. 3 )(1  i) ĐS:  8 8 8 12 Bài 12: Cho hai số phức z1  2  2i và z2  1  3i a. Tính môđun và argument của hai số phức nói trên. b. Tính môđun và argument của z13 và z22 và 1 2 z3 .v n c. Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos  12 z2 và sin  12 4h Đs:  a. Ta có |z1| = 2; 1 = ; |z2| = 2; 2 = 4  3 c 2 b. |z13| = 8; 3 = 3 ; |z2| = 4; 4 = 2 z13 o ; 2 = 2; 5 =  ih 4 3 z2 12  2 6  6 2 u c.cos = và sin = 12 4 12 4 Bài 13: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: V 1 i a. z  1  i b. 2  2  c. 2 1  i 3  d. 7  24i Đs:       2k   2 k  a. zk  4 2  cos 4  i sin 4  , k  {0;1}  2 2         2k  2k b. zk  cos 2  i sin 2 , k  {0;1} 2 2    2k  2k c. zk  cos 4  isin 4 , k  {0;1} 2 2
 4 4    2k   2k  d. zk  2  cos 3  isin 3  , k  {0;1}  2 2      Bài 14: Sử dụng dạng lượng giác để tính số phức sau: 1 3 a.   i 2 2     3  3i  2 3  2i  b. 1  i  2  2i  i   c. 2i (4  4 3i)  3  3i  d. 3 1  i  5  5i  Đs: 7 7 a. 12 2 (cos + isin ) b. 4(cos0 + isin0) 4 4 5 5   c. 48 2 (cos + isin ) d. 30(cos + isin ) 12 12 2 2 Bài 15: Tìm số phức z thỏa mãn Đs: z  2 3  1  2i z  3i z i  1 và z  1 có một acgumen là  1  6 z 3 .v n Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho z  và một acgumen của 1  Đs: z   cos  i sin   3 4h1 i là  4 2 3 2 2 Bài tập tự giải phần ứng dụng: Bài 1: Cho n nguyên dương. oc ih 0 2 4 6 2 n a. Chứng minh rằng: C2 n  3C2 n  9C 2 n  27C2 n  ...  (3)n C2 n  22 n.cos 2n 3 u b. Tính S = C20  3C20  32 C20  ...  310 C20 0 2 4 20 V Bài 2: Cho số nguyên dương n. a. Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n b. Chứng minh rằng 2 2 1  C2 4n  C44n  C4 n  ...  C4 n    C4 n  C4 n  C4 n  C4 n  ...  C44n 1   16n 6 4n 1 3 5 7 n Bài 3: a. Cho z  cos  i sin  (   R ). Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  1 , ta có 1 1 z n  n  2 cos n ; z n  n  2i sin n . z z b. Từ câu a. chứng minh rằng
1 cos 4   cos 4  4 cos 2  3, 8 1 sin 5   sin 5  5 sin 3  10 sin  . 16 1 3 Bài 4: Cho các số thực a,b, c và số phức z    i. . 2 2 Chứng minh rằng:  a  bz  cz 2  a  bz 2  cz   0 .Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào? .v n 4h c 2 o u ih V