David Hilbert
David Hilbert sinh ngy 23 th¡ng 1 n«m 1862 m§t ngy 14 th¡ng 2 n«m 1943. Æng
÷ñc gåi l nh to¡n håc ton di»n cuèi còng nh§t v l nh gi¡o tuy»t víi nh§t cõa
nhúng nh to¡n håc th¸ k XX.Nh÷ng tiºu sû cõa Hilbert l¤i b¼nh th÷íng nh§t. Æng sinh
ra t¤i thnh phè Prussi, Kenigsberg tr÷îc â d÷îi quy·n ch¿ huy cõa Bismark ¢ thèng
nh§t t§t c£ nhúng quèc gia ùc thnh ¸ quèc ùc. Hilbert ¢ sèng trong quèc gia ny,
sau â nâ bà tan vï sau chi¸n tranh th¸ giîi thù I. Sau â xu§t hi»n nh n÷îc Veimar
nh÷ng nâ công tçn t¤i khæng bao l¥u, ti¸p theo â l ¸ ch¸ Hitler v chi¸n tranh th¸ giîi
thù II. Nhúng bi¸n ëng ny ¢ c÷îp i sinh m¤ng cõa nhi·u ng÷íi, nh÷ng ¸n thíi cõa
Hilbert, æng ¢ dòng m÷u k¸ tr¡nh tham gia vo ch½nh trà v chi¸n tranh.
Æng khæng ph£i l th¦n çng nh÷ng l mët ng÷íi cê iºn °c tr÷ng. Câ ngh¾a l
Hilbert cè gng l¦n l÷ñt hiºu måi v§n · cõa to¡n håc mët c¡ch s¥u sc v tr¶n cì sð â
gi£i quy¸t nhúng bi to¡n m æng quan t¥m. Khi sü cao hùng v t÷ðng t÷ñng h¸t Hilbert
nh÷íng l¤i ho¤t ëng cõa m¼nh cho håc trá cõa æng. Khi vi¸t mët quyºn s¡ch gi¡o khoa
hay cho t§t c£ nhúng ng÷íi nghi¶n cùu v khi gi£ng bi cho sinh vi¶n æng luæn º l¤i
nhúng v§n · cõa m¼nh mët c¡ch trªt tü hon ton.
æi khi công câ tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i: Hilbert gi£ng khâa håc °c bi»t cho khâa håc
n«m sau nhúng v§n · to¡n håc mîi èi vîi æng. V½ dö nh÷ mòa h± khi æng nghi¶n cùu
mët v§n · no â th¼ trong ¦u n«m håc mîi æng d¤y ngay cho sinh vi¶n, gièng nh÷ d¤y
cho on leo nói v÷ñt qua nhúng d¢y nói xa l¤. Rìi vo thnh ph¦n nhâm ti¸n cæng nh÷
1
vªy l mët vinh h¤nh lîn nh÷ng l mët thû th¡ch khâ kh«n. Hilbert r§t quan t¥m ¸n
håc trá cõa m¼nh.
Gièng nh÷ Gause, Hilbert b§t ¦u nghi¶n cùu ph¦n ¤i sè. Th¸ k 19 ¢ bi¸n êi
ngnh khoa håc ny nh÷ng ¸n thíi iºm ph£i ÷a nâ vo trªt tü v Hibert ¢ bt ¦u
c£i tê tø lþ thuy¸t sè. Cì hëi ¦u ti¶n l ìn °t hng cõa Hëi to¡n håc: "tr¼nh by b¡o
c¡o têng qu¡t v· lþ thuy¸t sè hi»n ¤i v h÷îng ph¡t triºn cõa nâ". Vîi bi to¡n ny
HIlbert ¢ lm trong váng nûa n«m nh÷ng æng ¢ quan t¥m ¸n v§n · ny 5 n«m li·n.
K¸t qu£ "b¡o c¡o v· nhúng con sè" ¢ ÷ñc tr¼nh by trong s¡ch gi¡o khoa 400 trang,
ð â nhúng v§n · mîi nêi cëm ¢ ÷ñc gi£i th½ch. V½ dö, trong vnh sè nguy¶n vi»c
ph¥n t½ch nhúng thøa sè nguy¶n tè l khæng duy nh§t, ch½nh v¼ i·u ny m Kummer ¢
khæng thº hon thnh c¡ch chùng minh ành lþ lîn Ferma; hay lþ thuy¸t t½nh b§t bi¸n
cõa nhâm ¤i sè ¢ trð n¶n phê bi¸n v tø lóc â Feliks Klein ¢ ÷a ra kh¡i ni»m nhâm
èi xùng cõa nhúng vªt thº h¼nh håc. Hilbert a ÷a l¾nh vüc ¤i sè ny ¸n hon ch¿nh
v trªt tü; hay l v§n · cõa mët ng÷íi Anh Varing. Nh÷ ta ¢ bi¸t måi sè tü nhi¶n l
têng b¼nh ph÷ìng cõa khæng nhi·u hìn 4 sè h¤ng ho°c l têng lªp ph÷ìng cõa khæng
nhi·u hìn 9 sè h¤ng. Câ óng hay khæng, èi vîi måi lôy thøa
n
luæn t¼m th§y sè
k
sao
cho måi sè tü nhi¶n
N
l têng
n
lôy thøa cõa khæng nhi·u hìn
k
sæ h¤ng kh¡c nhau?
Ch¿ cho ¸n n«m 1909 v§n · ny ¢ ÷ñc chinh phöc bði Hilbert. Nh÷ng ng÷íi b¤n v
çng nghi»p th¥n nh§t cõa æng German Minkovski ¢ khæng kàp nghe c¥u chuy»n cõa
Hilbert v· nhúng thnh cæng cõa æng: German ¢ m§t sau ca ph¨u thuªt vi¶m ruët thøa
khæng thnh cæng tr÷îc 1 tu¦n khi Hilbert gi£i quy¸t xong v§n · Varing. Sau â 3 n«m
c¡i ch¸t t÷ìng tü ¢ c÷îp i nh to¡n håc ng÷íi Ph¡p Anry Puankare, mët nh to¡n håc
duy nh§t m Hilbert ¢ khæng kàp thº hi»n sü v÷ñt trëi b¬ng nhúng thnh qu£ cho ¸n
khi æng m§t.
Hilbert r§t thnh cæng trong t¼nh b¤n nh÷ng l¤i khæng may mn trong cuëc sèng gia
¼nh. Æng sèng t¥m ¦u þ hñp vîi ng÷íi vñ Kete nh÷ng con trai duy nh§t cõa æng khi
sinh ra ¢ k²m thæng minh, b¡c s¾ nâi r¬ng khæng câ c¡ch chúa trà. V¼ vªy håc trá t§t
2
c£ c¡c n÷îc ch¥u u, ch¥u M¾ ch½nh l gia ¼nh cõa Hilbert. Æng th÷íng xuy¶n tê chùc
nhúng buêi uèng tr v du làch, trong thíi gian â nhúng cuëc th£o luªn to¡n håc luæn
di¹n ra v læi cuèn nhi·u sinh vi¶n. èi vîi nhúng gi¡o s÷ c¥u n» ng÷íi ùc kiºu ti¸p
xóc vîi sinh vi¶n nh÷ vªy khæng quen, nh÷ng uy t½n cõa Hilbert ¢ lm n¶n ti¶u ch½ ð
Gettingen, cán nhúng håc trá v thüc tªp sinh cõa æng ¢ mang ti¶u ch½ ¡p döng khp
th¸ giîi. Ì Nga ti¶u ch½ ny ÷ñc ¡p döng bði Dmitri Egorov, Nikolai Luzin v nhúng
håc trá cõa hå: Pavel Alekcandrov, Pavel Uruson, Andrei Kolmogorov.
Ti¸p theo nhúng nghi¶n cùu ¦u ti¶n v· ¤i sè Hilbert bt ¦u nghi¶n cùu h¼nh håc
v ngay lªp tùc nghi¶n cùu 2 l¾nh vüc cõa h¼nh håc l h¼nh håc cê iºn Ìcl½t v h¼nh håc
cõa khæng gian væ h¤n chi·u m ÷ñc gåi l gi£i t½ch hm. Giúa t§t c£ nhúng khæng gian
v²c-tì, ÷ñc t¤o thnh tø nhúng hm sè, Hilbert chån ra 1 khæng gian thuªn lñi nh§t
trong â x¡c ành kho£ng c¡ch giúa 2 iºm, gâc giúa 2 v²c-tì v giîi h¤n cõa d¢y nhúng
iºm. Khæng gian ny ÷ñc gåi l khæng gian Hilbert. Nhúng t½nh ch§t h¼nh håc cõa nâ
÷ñc thº hi»n trong vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v trong nhúng bi to¡n phùc t¤p cõa
h¼nh håc "÷íng cong".
Trong khæng gian Ìcl½t Hilbert muèn lm cho nâ trªt tü. V¼ trong váng 23 th¸ k
y¶u c¦u lªp luªn nghi¶m tóc cng t«ng v khuy¸t iºm trong lªp luªn cõa Ìcl½t c¦n ÷ñc
khc phöc. N«m 1899 Hilbert ¢ ÷a ra gi£ thi¸t v· h» mîi gçm 20 ti¶n · m giúa chóng
khæng câ sü tròng nhau v câ thº nâi r¬ng khæng câ khuy¸t iºm. Hilbert nh§n m¤nh t½nh
hon ch¿nh log½c cõa c§u tróc cõa m¼nh bði c¥u nâi vui: "Sü óng n cõa nhúng ti¶n ·
khæng thay êi chót no, n¸u ta thay nhúng thuªt ngú quen thuëc nh÷ iºm, ÷íng, m°t
ph¯ng bði nhúng tø kh¡c nh÷ gh¸, bn, cèc bia! "
Nhúng thnh cæng ny ¢ gñi ra cho Hilbert hi vång r¬ng trong måi l¾nh vüc cõa to¡n
håc câ thº ÷a ra h» nhúng ành ngh¾a v ti¶n · c¦n v õ mët c¡ch hon ch¿nh v
nghi¶m ng°t. K¸t luªn tø t§t c£ nhúng kh¯ng ành tr¶n câ thº nâi r¬ng, æng ¢ trð thnh
lèi vo cho nhúng m¡y t½nh to¡n. Thªt vªy, m¡y t½nh s³ bá ch¤m ¸n ½ch m tr½ âc cõa
con ng÷íi th÷íng ¤t ÷ñc ch¿ bði 1 b÷îc nh£y. Nh÷ng méi suy o¡n ·u ÷ñc kiºm tra
3
chªm nh÷ng chc.
Hilbert ¢ nhªn ra hi vång cõa æng l nhúng gi£ thi¸t v nâ c¦n kiºm tra c©n thªn.
º kiºm tra æng ¢ ÷a ra v½ dö l æng chån lþ thuy¸t têng qu¡t cõa tªp hñp, trong
â câ gi£ thi¸t continum cõa Cantor. Câ tçn t¤i hay khæng tr¶n 1 o¤n tªp hñp khæng
¸m ÷ñc câ lüc l÷ñng nhä hìn lüc l÷ñng cõa ch½nh o¤n â? Khi x¥y düng khæng thnh
cæng tªp hñp nh÷ vªy, George Cantor ¢ lm ch½nh m¼nh th§t vång. Nh÷ng ng÷ñc l¤i,
Hilbert ¢ thû chùng minh i·u khæng thº chùng minh cõa gi£ thi¸t continum v æng ¢
lm ÷ñc i·u ny. Khi æng thû chùng minh t½nh khæng thº b¡c bä ÷ñc cõa nâ æng ¢
khæng thnh cæng. Thnh cæng trong vi»c ny ÷ñc lm vo n«m 1963 bði 1 ng÷íi Mÿ
Pola Koen v 1 ng÷íi S²c Karel Vopenka. K¸t qu£ ny ¢ lm cho Hilbert r§t vui: æng
chùng minh ÷ñc r¬ng gi£ thi¸t continum l mët trong nhúng ti¶n · c¦n thi¸t cõa lþ
thuy¸t tªp hñp. Nh÷ng trong l¾nh vüc ny Hilbert g°p ph£i sü th§t vång n°ng n·. Vo
n«m 1931 mët ng÷íi o tr´ tuêi Kurt Gedel ¢ chùng minh ÷ñc kh¯ng ành t÷ìng tü
nh÷ gi£ thi¸t continum (câ ngh¾a l t½nh khæng chùng minh ÷ñc v t½nh khæng b¡c bä
÷ñc) câ thº t¼m th§y trong måi h» ti¶n ·. V½ dö nh÷ trong h» ti¶n · Ìcl½t l 5 ành
· v· ÷íng th¯ng song song. Trong lþ thuy¸t tªp hñp l ti¶n · lüa chån v gi£ thi¸t
continum. Chóng xu§t hi»n trong måi l¾nh vüc cõa to¡n håc.
Câ ngh¾a l hy vång cõa Hilbert v· sü ph¡t biºu ¦y õ måi l¾nh vüc to¡n håc l
khæng óng. Æng ¢ khæng kh¡ng c¡o k¸t luªn â cõa tü nhi¶n. Nh÷ng câ thº ti¸p nhªn
tø æng vîi c¡ch nh¼n l¤c quan hìn: tø ành lþ Gedel suy ra sü ph¡t triºn cõa måi l¾nh
vüc khoa håc khæng bao gií døng l¤i. Thªt vªy, º câ ÷ñc i·u â ta ph£i th÷íng xuy¶n
ph¡t minh ra nhúng ành ngh¾a v ti¶n · mîi ÷ñc suy ra tø b£n ch§t cõa sü vi»c. i·u
ny ch¿ câ thº lm ÷ñc bði tr½ âc cõa con ng÷íi chù khæng ph£i l m¡y t½nh. Hilbert ¢
bi¸t ÷ñc i·u â qua thüc t¸, v¼ vªy æng khæng buçn phi·n m cán vui s÷îng v¼ sü ph¡t
minh kh¡c th÷íng cõa Gedel.
Nh÷ng n¸u nh÷ sü ph¡t minh mët h» ton di»n khæng thº duy nh§t cho to¡n håc ph¡t
triºn th¼ c¦n th¶m vo nâ nhúng d§u hi»u. Thªt vªy rã rng vi»c gi£i nhúng bi to¡n mîi
4
mang ¸n cho nh b¡c håc nhúng ni·m vui mîi, mang cho hå sùc m¤nh mîi. Câ ngh¾a
l t¤i måi thíi iºm måi nh to¡n håc ph£i câ kh¡i ni»m rã rng v· nhúng v§n · quan
trång ch÷a gi£i quy¸t ÷ñc cõa ngnh khoa håc cõa m¼nh. Nhi»m vö cõa nhúng nh to¡n
håc giäi khæng ch¿ gi£i nhúng bi to¡n nh÷ vªy m cán ph£i bi¸t °t ra v§n · mîi ái
häi c¡ch gi£i quy¸t mîi. Vo n«m 1900 khi æng åc b¡o c¡o " nhúng v§n · to¡n håc"
t¤i ¤i hëi to¡n håc Paris, Hilbert ¢ lao vo con ÷íng ny ð ë tuêi 38 tuêi. Tø â ¢
tr£i qua ¦y 1 th¸ k¿ rã rng r¬ng khæng mët nh to¡n håc no v÷ñt qua ÷ñc Hilbert
bði nhúng £nh h÷ðng cõa ch½nh m¼nh cho sü ph¡t triºn cõa khoa håc.
Th¸ nhúng bi to¡n no Hilbert xem l quan trång èi vîi to¡n håc? Thù nh§t â
l sü lªp luªn nhúng nh¡nh ph¡t triºn dú dëi mîi cõa to¡n håc nh÷ lþ thuy¸t tªp hñp,
log½c to¡n håc, lþ thuy¸t sè, h¼nh ¤i sè, gi£i t½ch hm. Trong méi l¾nh vüc §y Hilbert ¢
÷a ra mët ho°c hai bi to¡n ÷ñc ph¡t biºu ìn gi£n hìn nh÷ng khâ gi£i quy¸t. Gi£
thi¸t continum v t½nh phi m¥u thu¨n cõa sè håc, sü ph¥n chia sè nguy¶n tè v t½nh si¶u
vi»t cõa sè
e,
v.v., sü ph¥n chia cõa nhâm li¶n töc v t½nh gi£i ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh
Diophan.
¸n cuèi th¸ k XX t§t c£ nhúng bi to¡n ny ho°c ¢ ÷ñc gi£i quy¸t ho°c ¢ chùng
minh ÷ñc t½nh khæng gi£i ÷ñc cõa chóng. Nh÷ng méi v§n · ÷ñc gi£i quy¸t sinh ra
hng ngh¼n v§n · mîi phùc t¤p hìn v hay hìn. Ch½nh Hilbert ¢ o¡n ch½nh x¡c iºm
bèi c£nh ph¡t triºn cõa khoa håc to¡n håc trong váng 1000 n«m.
V§n · Hilbert thù 6 â l: " Tr¼nh by to¡n håc nhúng ti¶n · vªt lþ". â ch½nh
l h÷îng ph¡t triºn trüc ti¸p cõa ch÷ìng tr¼nh Newton theo nhúng thnh cæng v¾ ¤i v
khæng thnh cæng cõa Maksvell, Planka, Einstein. Hilbert khæng tr¼nh by cö thº v§n ·
v¼ tin r¬ng: méi ph¡t minh lîn trong vªt lþ °t ra cho nhúng nh to¡n håc væ sè nhúng
bi to¡n mîi v hay m qu¡ tr¼nh ny khæng câ k¸t thóc!
Hai m÷ìi n«m sau nhúng håc trá tr´ tuêi ¢ häi vui Hilbert: gi£i quy¸t nhúng bi to¡n
nh÷ vªy b¥y gií câ muën èi vîi to¡n håc hay khæng? Mët gi¡o s÷ ¦y kinh nghi»m ¢
tr£ líi h¸t sùc nghi¶m tóc r¬ng: "Bt ruçi ng÷ñc ¡nh tr«ng!" Nhúng håc trá ng©n ng÷íi
5