Đề án Thạc sĩ: Bất đẳng thức dạng luỹ thừa thực cho hàm lồi thông qua lý thuyết dưới trội yếu và ứngdụng

Lý thuyết hàm lồi và các bất đẳng thức liên quan đóng vai trò nền tảng trong nhiều lĩnh vực toán học, từ giải tích, tối ưu hóa đến vật lý toán. Các nghiên cứu gần đây đã tập trung vào việc cải tiến các bất đẳng thức này, đặc biệt là các bất đẳng thức dạng lũy thừa thực. Tuy nhiên, các phương pháp hiện có thường gặp hạn chế khi mở rộng cho các dạng tổng quát hơn và làm mịn bất đẳng thức Jensen. Nghiên cứu này đặt ra mục tiêu phát triển một cách tiếp cận thống nhất cho các hàm lồi và hàm log-lồi thông qua việc ứng dụng lý thuyết dưới trội yếu, một phương pháp mới đã chứng tỏ hiệu quả trong việc tạo ra các dạng lũy thừa tổng quát hơn. Mục tiêu là cung cấp một khuôn khổ mạnh mẽ cho việc phân tích và mở rộng các bất đẳng thức toán học.

Sinh viên cao học, nghiên cứu sinh, và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Toán Giải Tích, Đại số Tuyến Tính, Lý thuyết Bất đẳng thức và Lý thuyết Ma trận.

Nghiên cứu này trình bày một cách tiếp cận toàn diện để xây dựng các bất đẳng thức dạng lũy thừa thực cho hàm lồi và hàm log-lồi, vượt qua những hạn chế của các phương pháp trước đây. Luận văn được cấu trúc thành ba chương chính để đạt được mục tiêu này. Chương 1 tập trung vào việc hệ thống hóa các kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm các khái niệm cơ bản về ma trận, định nghĩa và tính chất của hàm lồi và hàm log-lồi, cùng với tổng quan về lý thuyết làm trội và dưới trội yếu. Đây là nền tảng quan trọng để hiểu các kết quả tiếp theo. Chương 2 là trọng tâm của nghiên cứu, nơi các bất đẳng thức dạng lũy thừa thực được phát triển cho cả hàm lồi và hàm log-lồi thông qua việc ứng dụng lý thuyết dưới trội yếu. Đặc biệt, chương này sẽ trình bày các kết quả về làm mịn bất đẳng thức Jensen ở dạng hai trọng số, cho phép tạo ra các dạng lũy thừa tổng quát và mạnh mẽ hơn. Cuối cùng, Chương 3 minh họa giá trị ứng dụng của các bất đẳng thức đã được thiết lập. Các kết quả này sẽ được áp dụng để cải thiện và mở rộng các bất đẳng thức cổ điển cho trung bình vô hướng và ma trận, bao gồm bất đẳng thức Heinz và Hölder, cũng như các ứng dụng trong bán kính số. Điều này không chỉ cung cấp các công cụ phân tích mới trong giải tích toán học mà còn mở ra hướng nghiên cứu sâu hơn về các bất đẳng thức trong đại số tuyến tính và lý thuyết ma trận.