Đề án Thạc sĩ: Một số bất đẳng thức kiểu Gronwall cho tích phân bậc không nguyên

Bất đẳng thức Gronwall đóng vai trò nền tảng trong lý thuyết phương trình vi phân, đặc biệt quan trọng trong việc phân tích tính chất nghiệm của các phương trình tích phân. Trong những năm gần đây, sự phát triển của phép tính vi phân bậc không nguyên đã thúc đẩy nghiên cứu các dạng tổng quát hóa của bất đẳng thức Gronwall. Những dạng này trở thành công cụ không thể thiếu để giải quyết các bài toán về sự tồn tại, duy nhất, tính bị chặn và ổn định của nghiệm trong các hệ thống vi phân bậc không nguyên phức tạp. Đề án này tập trung vào việc nghiên cứu và tổng hợp một cách có hệ thống các bất đẳng thức kiểu Gronwall cho tích phân bậc không nguyên, nhằm cung cấp một cái nhìn sâu sắc và toàn diện về công cụ toán học mạnh mẽ này trong toán giải tích hiện đại.

Sinh viên cao học, nghiên cứu sinh, giảng viên và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực toán giải tích, phương trình vi phân và phép tính bậc không nguyên.

Đề án này cung cấp một nghiên cứu chi tiết về các bất đẳng thức kiểu Gronwall áp dụng cho tích phân bậc không nguyên, một chủ đề thiết yếu trong lĩnh vực toán giải tích. Nội dung được trình bày một cách hệ thống, bắt đầu từ việc giới thiệu các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân bậc không nguyên, bao gồm các định nghĩa về tích phân và đạo hàm theo nghĩa Riemann-Liouville, ψ-Riemann-Liouville và Hilfer. Công trình đi sâu vào việc khảo sát các bất đẳng thức Gronwall khác nhau, đặc biệt là những dạng mở rộng cho tích phân bậc không nguyên Riemann-Liouville và ψ-Riemann-Liouville, cùng với các kết quả mở rộng liên quan. Các bất đẳng thức Gronwall này là những công cụ toán học cực kỳ quan trọng, cho phép nghiên cứu định tính các phương trình vi phân bậc không nguyên. Giá trị ứng dụng của chúng được làm nổi bật trong phần cuối của đề án, nơi các kết quả này được minh họa qua việc giải quyết các bài toán về sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm, và sự phụ thuộc của nghiệm vào điều kiện ban đầu trong các phương trình vi phân bậc không nguyên. Qua đó, đề án không chỉ hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu hiện có mà còn nhấn mạnh tầm quan trọng và tiềm năng ứng dụng của các bất đẳng thức Gronwall trong việc phân tích các mô hình toán học phức tạp.