Đề án Thạc sĩ: Một số bất đẳng thức kiểu Opial cho đạo hàm có bậc không nguyên

Nghiên cứu về bất đẳng thức tích phân và đạo hàm đã trở thành một lĩnh vực trọng yếu trong toán học suốt thế kỷ qua, với những ứng dụng sâu rộng trong lý thuyết phương trình vi phân, xấp xỉ và xác suất. Đặc biệt, các bất đẳng thức kiểu Opial đã chứng tỏ tầm quan trọng to lớn, không chỉ qua những cải tiến và tổng quát hóa liên tục mà còn bởi vai trò của chúng trong việc thiết lập hằng số tốt nhất. Tầm hấp dẫn của bất đẳng thức loại Opial đối với đạo hàm có bậc không nguyên nằm ở khả năng làm công cụ hữu ích để chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, tính bị chặn, tính ổn định và dao động của nghiệm trong các bài toán giá trị riêng, mở ra hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực giải tích toán học.

Các nhà toán học, nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán giải tích, phương trình vi phân và phép tính vi phân phân số.

Đề án thạc sĩ này đi sâu vào nghiên cứu và tổng hợp các kết quả về bất đẳng thức kiểu Opial cho đạo hàm có bậc không nguyên, một chủ đề đang phát triển mạnh mẽ trong giải tích toán học. Luận văn bắt đầu bằng việc trình bày các kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân phân số, bao gồm các định nghĩa và tính chất của đạo hàm và tích phân bậc không nguyên theo nghĩa Riemann-Liouville, Caputo và Canavati. Đây là nền tảng cốt yếu để xây dựng các kết quả chính. Tiếp theo, nghiên cứu tập trung vào việc thiết lập và mở rộng các bất đẳng thức kiểu Opial cho các loại đạo hàm phân số này. Các phương pháp tiếp cận bao gồm việc áp dụng định nghĩa và tính chất của từng loại đạo hàm để xây dựng và chứng minh các bất đẳng thức tương ứng, cũng như khám phá các kết quả mở rộng. Giá trị ứng dụng và hàm ý của nghiên cứu được thể hiện rõ trong chương cuối, nơi các bất đẳng thức Opial được sử dụng để khảo sát tính chất nghiệm của các bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân bậc không nguyên, bao gồm sự tồn tại, tính duy nhất và bị chặn của nghiệm.