Đề án Thạc sĩ: Ứng dụng khoảng nửa xác định dương của ma trận chùm giải bài toán miền tin cậy suy rộng

Bài toán miền tin cậy suy rộng (GTRS) là một vấn đề tối ưu hóa bậc hai có ràng buộc, đóng vai trò nền tảng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, từ bài toán thời gian đến đến các vấn đề thế năng kép. Mặc dù có nhiều phương pháp tiếp cận, các kỹ thuật truyền thống như nới lỏng SDP thường gặp hạn chế về hiệu quả khi xử lý các bài toán có số chiều lớn. Điều này đặt ra yêu cầu cấp thiết về việc phát triển các giải pháp tối ưu hơn. Đề án này tập trung khai thác và ứng dụng khái niệm khoảng nửa xác định dương của ma trận chùm, ký hiệu I≥(A, B), một công cụ mạnh mẽ dựa trên tính chất chéo hóa đồng dư đồng thời (SDC) của ma trận, để cung cấp một phương pháp hiệu quả nhằm giải quyết bài toán GTRS, từ đó nâng cao khả năng xử lý các mô hình phức tạp trong thực tiễn.

Các nhà nghiên cứu, sinh viên sau đại học trong lĩnh vực toán giải tích, tối ưu hóa, đại số tuyến tính số và các ngành toán ứng dụng liên quan.

Công trình này khảo sát chuyên sâu về Bài toán miền tin cậy suy rộng (GTRS), một dạng bài toán tối ưu bậc hai có ràng buộc với nhiều ứng dụng thực tiễn nhưng thường khó giải quyết, đặc biệt với các mô hình dữ liệu lớn. Khởi đầu, đề án phân tích các hạn chế của các phương pháp hiện có, chẳng hạn như nới lỏng semidefinite (SDP), vốn kém hiệu quả trong các trường hợp có số chiều cao. Trọng tâm của nghiên cứu là phát triển và áp dụng khái niệm Khoảng nửa xác định dương của ma trận chùm, ký hiệu là I≥(A, B) = {μ ∈ R : A + μB ≥ 0}, như một công cụ lý thuyết và thuật toán mạnh mẽ để giải quyết GTRS. Về phương pháp luận, đề án cung cấp kiến thức nền tảng về ma trận, bao gồm các ma trận xác định dương và nửa xác định dương, cùng với kỹ thuật Chéo hóa đồng dư đồng thời (SDC) cho hai ma trận. Tiếp đó, công trình đi sâu vào việc xác định khoảng I≥(A, B), kết hợp các tiến bộ gần đây trong lĩnh vực này, đặc biệt là các kết quả của Bong và cộng sự (2024) đã giải quyết triệt để vấn đề này thông qua SDC. Các trường hợp khác nhau của khoảng I>(A, B) (rỗng hay không rỗng) cũng được xem xét để đưa ra giải thuật phù hợp, bao gồm cả giải thuật chia đôi. Giá trị ứng dụng và hàm ý của đề án rất đáng kể. Việc khai thác triệt để khoảng I≥(A, B) thông qua SDC không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết lý thuyết về GTRS mà còn mở ra hướng đi mới cho việc thiết kế các thuật toán tối ưu hiệu quả hơn. Các kết quả này có thể được áp dụng rộng rãi trong toán giải tích và tối ưu hóa để giải quyết các bài toán phức tạp trong kỹ thuật, kinh tế và khoa học dữ liệu, nơi mà GTRS xuất hiện như một thành phần thiết yếu. Đề án cũng bao gồm các ví dụ minh họa cụ thể để chứng minh tính khả thi và hiệu quả của phương pháp được đề xuất.