ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
ƯỜ Ề ƯƠ Ậ Ọ Ỳ TR Đ C NG ÔN T P H C K II NĂM H C 2009 2010 Ổ Ạ NG THPT TH NH ĐÔNG T TOÁN TIN Ọ MÔN : TOÁN 11_NÂNG CAO
Ạ Ố Ả
Ậ Ạ ƯỜ A. Đ I S & GI I TÍCH Ặ I. CÁC D NG BÀI T P TH NG G P
Ớ Ạ CH I H N NG IV : GI
ớ ạ . i h n 0
ậ ụ ươ ị ố n) có gi V n d ng đ nh lí: N u | ƯƠ 1. Ch ng minh dãy s (u Ph ứ ng pháp:
nq = v i |q| < 1 ớ
1 n
1 3 n
lim ử ụ ố ớ ạ 0 ộ ố S d ng m t s dãy s có gi i h n 0: = , lim = , 0 lim = , lim 0 0 ế un| ≤ vn, (cid:0) n và lim vn = 0 thì limun = 0 1 n ớ ạ ủ
i h n c a dãy s ậ ụ ề ớ ạ ữ ạ ắ ớ ạ ố ủ ố , c a hàm s . ị V n d ng các đ nh lí v gi i h n h u h n và các quy t c tìm gi ự i h n vô c c ắ 2. Tìm gi ươ ng pháp: Ph Các quy t c tìm gi ố ự ủ i h n vô c c c a dãy s :
n = +(cid:0)
= 0 thì lim ế +) N u limu ớ ạ 1 nu
limvn = L limun=L limvn lim(unvn) +(cid:0) limun +(cid:0) u lim n v n L >0 +(cid:0) - (cid:0) +(cid:0) L < 0 - (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) 0 - (cid:0) L >0
+(cid:0) - (cid:0) +(cid:0) L >0 L > 0 L < 0 L < 0 ấ ủ D u c a vn + + L < 0
ớ ạ Các quy t c tìm gi
)
)
= = +(cid:0) ắ ( f x 0 thì +) N u ế (cid:0) (cid:0) lim x x 0 lim x x 0 ự ủ ố i h n vô c c c a hàm s : 1 ( f x
0
0
0
0
0
lim x(cid:0) x
0
xf )( xg )(
xf )( xg )( xgxf )( ). ( xf )( xg )( lim x(cid:0) x lim x(cid:0) x lim x(cid:0) x lim x(cid:0) x lim x(cid:0) x
L > 0 L > 0 0 L < 0 L < 0 + ∞ ∞ + ∞ ∞ + ∞ ∞ ∞ + ∞ D uấ ủ c a g(x) + + + ∞ ∞ ∞ + ∞
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
1
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ặ ạ ị ử ả ạ ằ ị ;0. ; ; chia t ử Chú ý khi g p các d ng vô đ nh: ta ph i kh các d ng vô đ nh đó b ng cách: (cid:0) 0 0 ử ặ ẫ ử ể ơ ả ử ả ấ ho c m u thành nhân t đ đ n gi n, nhân c t và ẫ ẫ ớ ớ ợ và m u cho n ho c x mũ l n nh t; phân tích t m u v i m t l ặ ộ ượ ng liên h p;…
ổ ạ
n
u 1
+
=
+ + L
L
S
= + u 1
u q 1
u q 1
1(cid:0)q ớ ủ ấ ố 3. Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n ạ ), ta có : Cho CSN (un) lùi vô h n (v i
q
1
-
ụ ủ
)
ươ ố ụ ủ ố ạ 0: i x Xét tính liên t c c a hs f(x) t ng pháp:
ế (n u có) +) Tìm (cid:0) 4. Xét tính liên t c c a hàm s Ph +) Tính f(x0) lim x x 0
lim x x 0
)
N u ế i x i ạ ạ 0. (cid:0)
lim x x 0
)
)
( f x ( ) f x ( f x ( f x
= = L
không t n t ) = (cid:0) L N u ế (cid:0) f(x) gián đo n t ạ ạ 0 i x (cid:0)
lim x x 0
ồ ạ (cid:0) f(x) gián đo n t ( f x 0 ( f x 0 N u ế (cid:0) f(x) liên t c t ụ ạ 0. i x (cid:0)
ộ ủ i nghi m c a m t ph ng trình. ị ươ ề ụ ố ị ứ ng pháp: ế ằ ươ ệ ấ ự ồ ạ 5. Ch ng minh s t n t ệ ụ ậ ươ Ph ạ đo n [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì ph ệ ả ủ V n d ng h qu c a đ nh lí v giá tr trung gian: N u hàm s y = f(x) liên t c trên ng trình f(x) = 0 có ít nh t 1 nghi m n m trong (a ; b).
ƯƠ Ạ NG V: Đ O HÀM ố ủ
(
)
x
= ' 1
ứ ạ ươ Áp d ng các công th c tính đ o hàm CH ạ ng pháp: ụ ạ (cid:0)
n
n
1
) ' =
=
-
(
)
v ' + v u '.
u
'
n u .
u .
'
n
n
1
=
c (
= ' 0 ; )
x
'
n x .
=
'
'
'
-
'.
u v v u '. 2 v
u � �= � � v � �
u ' 2 u u
=
1 � �= - � � u � � ) (
'
u
'
1 2 x 1
=
1 � �= - � � x � � ) (
' u
2
x
'
x
2
v ' 2 v
=
=
g
' x
' '. f u u x
1. Tìm đ o hàm c a hàm s Ph ắ +) Các quy t c tính đ o hàm: = (cid:0) u u v ' ( u v u v '. ( . ) ' k u k u . ( . ) ' ' -
1 � �= - � � v � � ạ
g x ( )
f u x [ ( )]
ủ ợ ế +) Đ o hàm c a hàm h p: N u thì
ố ượ ạ ủ +) Đ o hàm c a các hàm s l ng giác:
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
2
=
=
u
u
sin
'
'.cos
x
x
sin
'
cos
u = -
= -
( (
) )
( (
) )
u
u
u
cos
'.sin
'
x
cos
x sin
'
=
(
)
=
(
)
u
'
tan
x
'
tan
' 2
1 2 cos
= -
= -
u
(cot
) '
x
(cot
) '
u ' 2
u
u cos u sin
x
x 1 2 sin
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
0 có hoành đ xộ 0 có d ng:ạ
t ph ế ủ ồ ị ố ế ế ủ ồ ị ế ạ ố ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s . pt ti p tuy n c a đ th hàm s y = f(x) t ể i đi m M 2. Vi ươ Ph ế ươ ng pháp:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
= D x ). ạ ộ 3. Vi phân ủ Vi phân c a hàm s ố t f '( + D (cid:0) D f x + ) '( ) ụ Ứ f x ( 0 x 0
ể i n t đi m: ầ = f dy x 0 x ) = y dx ' df x ( ) '( ) df x ( ) 0 f x ( 0 hay
ủ
ạ ạ ạ ng d ng vi phân vào tính g n đúng: x dx ố ủ Vi phân c a hàm s : ấ 4. Đ o hàm c p cao ố ấ Đ o hàm c p hai c a hàm s : f’’= (f’)’. Đ o hàm c p n c a hàm s : f ố (n) = [f(n1)]’. ủ ấ
II. BÀI T PẬ
ƯƠ Ớ Ạ CH NG IV: GI I H N
n
(
n
n
n
) 1 + 2 n
n
n
(
n
n
n
n
n 3
) 1 + n 1 3
) 1 + n 1 3
ứ ố ớ ạ i h n 0: Bài 1: Ch ng minh các dãy s sau có gi + - n n = = = b u ) d u ) = c u ) n a u ) n + sin 2 + n cos n n n cos 3 + 2 n n 1 1 n 1 - - 2 ( = = = + n n h u ) + - 1 f u = ) e u ) g u ) 1 + n 1 2 + 1 5
5
3
3
2
3
2
2
n
n
n 3 2.4
ớ ạ i h n sau: - - + + 3 - - 2 n 2 2 c d ) lim ) lim b a ) lim ) lim - - - n 3 + 2 n n 3 n + n 3 + 2 1 ( 1) n - - + 2 n n 1 4 9 2 f g ) lim ) lim e h ) lim ) lim 1 n n + n 4 + n - - - 1 n 2.5 4 2 n 3 + n + + n n n Bài 2: Tìm các gi n 1 n 24 n 1 2 + n 1 2 3 n 2) (5 + - 1 2
nu
) 1
+ = + + ... i u v i ớ ) lim n 1 ( + n n 2 n 3 3.5 1 1 + 2.3 3.4 1 1.2
c) 0 d) 3/25 e) 1 f) 2/3 g) 1/2 h) 1 i) 1 ĐS: a) 3 b) +(cid:0)
2
2
)
( n ) lim 3
2
n
2
2
ớ ạ i h n sau: + + 4 - c n n sin 2 n+ - b n - + 2 n n 1) ) lim( 2 3) d n ) lim 3 1
)
n+ - - + - + -
)
(
e )limh n n n Bài 3 : Tính các gi 2 n a ) lim(3 ( n ) lim 2.3 5.4 f n g n n n ) lim 3 1 2 ) lim + - 1
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
3
2
2
3
3
2
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng
+ - - - - - -
)
)
)
ị ừ ( i + - n n k n n n l n n n n 6 1 7 ) lim ) lim 1 n n 3 ) limm
b) (cid:0)
) c) +(cid:0)
d) +(cid:0)
( e) (cid:0)
( g) 0 h) +(cid:0)
f) (cid:0) i) (cid:0) k) 1/2 l) 3/2 m) 1/3
( n ) lim 3 ĐS: a) +(cid:0)
1
1
ổ ủ ấ ố ạ
n- 1 � � � � 3 � �
- - - b) a) ,... 1, 1, , , ,..., ,..., ,... 1 1 1 , 3 9 27 Bài 4: Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n sau: n- 1 � � � � 2 � �
1 8 b) 3/2 1 1 , 2 4 ĐS: a) 2/3
3
(cid:0) ớ ạ ủ ạ ố i h n c a các hàm s sau: (D ng ): Bài 5: Tìm gi (cid:0)
2
- - - 5 1 a) b) c) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) lim (cid:0) +(cid:0) x lim x lim x + 2 x + x 2 1 2 - - x + + 2 - x 3 2 x x 4 1 d) f) e 1 2 (cid:0) - (cid:0) lim (cid:0) +(cid:0) x ) lim (cid:0) +(cid:0) x + 33 x + x 2 x 5 + 3 + - - lim x - x 5 2 x 3 3 x 2 2 x 1 + 1 x 4 3 x x 3 1 x x 2 2 5 c) (cid:0) d) (cid:0) x 2 e) 0 f) 1/5 - + 3 x + 3 x 2 + 5 x 2 1 3 ĐS: a) 1/2 b) (cid:0)
2
2
(cid:0) ạ ố i h n c a các hàm s sau: (D ng: a.
2
2
2
): + 3 + 4 - - - - x x x x x + x 3 1) 5 3) x + + x 2 b) c) a) (cid:0) - (cid:0) ớ ạ ủ Bài 6: Tìm gi + 3 lim ( 2 x lim ( (cid:0) +(cid:0) x lim 4 (cid:0) +(cid:0) x
-
)
)
(
(
x + x x + - x x x + + x x 3 2 2 f) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) lim 3 (cid:0) +(cid:0) x lim 2 x
b) (cid:0) c) + (cid:0) d) +(cid:0) e) e) (cid:0) f) + (cid:0) lim d) x ĐS: a) +(cid:0)
(
ố ớ ạ i h n c a các hàm s sau: (Gi - + + - - - ớ ạ ủ 1 x 1 a) b) c) d) e) f) (cid:0) - lim x 4 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) ộ i h n m t bên): + x + - - lim x 2 - lim x 0 4 x 3 lim + x- x 1 2 1 1 2 x x
1 3 b) (cid:0) x ) 2 x c) + (cid:0) x 2 lim x+ x 3 d) + (cid:0) 1 2 x+ 3 e) 1 f) + (cid:0) Bài 7: Tìm gi x lim x- x 3 ĐS: a) (cid:0)
3
2
2
2
2
2
2
ớ ạ ủ ạ ố i h n c a các hàm s sau: (D ng ): Bài 8: Tìm gi 0 0 + + - - - - x 2 3 2 a/ c) b/ d) e) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim x 3 - lim x 3 lim x 1 lim x 1 lim x 1 - - - - - x x x x x - - - x x 2 2 x 3 1 2 2 f) g) i) h) k) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) lim x 2 lim x 3 lim x 1 lim x 4 lim x 2 - - 9 3 x 2 + - x 7 3 x 2 x x x + x 1 9 + - 1 2 x x + x 3 2 x x x x x 3 + x 3 2 + - 1 3 2
2
3
(
)
) 1
2
(cid:0) ố ): + ạ + x - - - x 9. b) c) a) d/ - x x 8 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim x 0 - lim + x 3 - - lim + x 1 lim x 2 x 2 x 1 3 1 1 + - 2 1 + - 5 2 ĐS: a) 6 b) 1 c) 4 d) 3/2 e) 4/3 f) 6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0 ớ ạ ủ i h n c a các hàm s sau: (D ng 0. Bài 9: Tìm gi 1 1 � �- ( 1 �+� � x x 1 � x 2 2 x x 3 1 2
d) 0 ĐS: a) 1 b) 0 c) +(cid:0)
2
2
2
2
2
(cid:0) ớ ạ ủ ạ ố i h n c a các hàm s sau: (D ng (cid:0) ):
+ + 2 - - - -
)
)
)
)
Bài 10: Tìm gi (
(
(
(
x x x x x x - + x x x x x + - 1 2 1 2 1 b) c) d) a) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) lim (cid:0) +(cid:0) x lim (cid:0) +(cid:0) x lim 4 x lim x
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
4
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
2
2
x ớ ạ ủ ụ ố i h n c a các hàm s sau: (Áp d ng = ) 1 Bài 11: Tìm gi (cid:0) lim x 0 sin x - x x x nx x a) b) c) d) x n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim x 0 lim x 0 lim x 0 lim x 0 sin 3 x sin .sin 2 ....sin x x sin sin 2 x 3 x 1 cos x sin ĐS: a) 3 b) 2/3 c) 1 d) n!
khi x
2
=
f x ( )
2 4 x
2 4 x + x 2 4
= khi x
2
ụ ủ ố Bài 12: Xét tính liên t c c a các hàm s sau: (cid:0) (cid:0) - - x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) khi x 3 = - (cid:0) (cid:0) f x ( ) a) t i xạ 0 = 2 b) t i xạ 0 = 3 + x 3 (cid:0) (cid:0) - = (cid:0) (cid:0) x 5 khi 3
22 x
(cid:0) (cid:0) + - - 5 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) khi x 1 khi x 3 = - = (cid:0) (cid:0) - f x ( ) f x ( ) c) t i xạ 0 = 1 d) t i xạ 0 = 3 x 3 (cid:0) (cid:0) = = (cid:0) x 3 1 7 khi x 1 (cid:0) + x x 3 khi x 3
2 2 2
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) > (cid:0) (cid:0) khi x 2 khi x 2 = = - - - (cid:0) (cid:0) f x ( ) f x ( ) x x e/ t f) t i xạ 0 = 2 2 1 1 i xạ 0 = 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) = (cid:0) x x x 3 4 khi x 2 (cid:0) khi x
2 2 ụ ụ ụ ụ ; e) liên t c ; f) liên t c ụ 2 ụ ĐS: a) liên t c ; b) không liên t c ; c) liên t c ; d) không liên t c
(
2 3 x
<
2
ụ ủ ủ ố Bài 13: Xét tính liên t c c a các hàm s sau trên TXĐ c a chúng: - (cid:0) (cid:0) 1 - x 2 (cid:0) khi x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) khi x 2 - = x ) 2 - = (cid:0) (cid:0) x 2 f x ( ) f x ( ) a) b) (cid:0) (cid:0) = = (cid:0) + x 2 1 khi x 2 (cid:0) 3 khi x 2
x
khi x
0
x
2
>
khi
2
x
2
=
<
=
)
)
( f x
khi
x
0
1
( f x
x 2 x
khi
x 5
2
x
x
x + 2 x 2
1
khi x
1
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) c) d) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0) ụ ụ ụ ụ ả ả ỗ ỗ ọ ọ ị ị ạ ạ ĐS: a) hsliên t c trên R ; c) hsliên t c trên R ; b) hs liên t c trên m i kho ng ( d) hs liên t c trên m i kho ng ( ; 2), (2; +(cid:0) ; 1), (1; +(cid:0) ) và b gián đ an t ) và b gián đ an t i x = 2. i x = 1.
2
x
2
2
<
khi
x
1
=
)
= (cid:0)
( f x
f x ( )
x
x + 1
x ax 2
3
khi x khi x
1 1
= -
khi
x
1
ệ ủ ố ự ề ố ụ ạ 0. i x Bài 14: Tìm đi u ki n c a s th c a sao cho các hàm s sau liên t c t (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) a) v i xớ 0 = 1 b) v i xớ 0 = 1 - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a + -
= (cid:0)
f x ( )
23 x + a 2
1 1
< khi x khi x
1 1
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) khi x 2 = (cid:0) - f x ( ) c) v i xớ 0 = 2 d) v i xớ 0 = 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x x a 7 3 2 1 = khi x 2
ĐS: a) a = 3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
ằ -
- ệ ệ ấ ấ - ộ - ệ
Toán 11_Nâng cao
5 ươ ứ ng trình: Bài 15: Ch ng minh r ng ph + = 4 5 ộ có ít nh t m t nghi m. a) x x 2 0 - = 5 3 ộ có ít nh t m t nghi m. b) x x 7 0 + = 2 3 ấ ệ có ít nh t m t nghi m c) x x 2 3 5 0 - = 32 ấ d) có ít nh t 2 nghi m. x x 7 0 10 ậ ề ươ ng Ôn t p Đ c
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
3
ộ ộ ấ ả (cid:0) /3) ệ ấ
2
ệ ệ t.
3
2
- - ệ ấ ả ớ ọ - = x x 3 0 e) cosx = x có ít nh t m t nghi m thu c kho ng (0; f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nh t 2 nghi m. g) x h) ( ộ luôn có ít nh t 1 nghi m thu c kho ng (1; 2) v i m i m.
)
- - ấ ệ ớ ọ 1 ( m x - = 4 x x x+ - = 23 ệ có 3 nghi m phân bi 1 0 ) ( ) 3 + + 2 m x 1 ( ) 1 3 0 + 4 i) luôn có ít nh t 2 nghi m v i m i m.
ƯƠ CH Ạ NG V : Đ O HÀM
ị ạ ố
3
1 = y x= y y c) a) b) + d) Bài 1: Dùng đ nh nghĩa tìm đ o hàm các hàm s sau: + 1 x= 23 x= y 1 - x 1
3
ố Bài 2: Tính đ o hàm các hàm s sau:
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - y 3 2 5 x 5 1) = y 2) 3) = y
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y y 2 4 + 2 x x x x 3 5 2 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x y x x 3)(1 2( )2 4) y x y x x x 2 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 8) 6) 9) ( ) )5 x )(1 ( ( 6 5 4 3 7 x x 7) 2 ()2 )3
32 x
4
2
)
(
) ( 1
22 x
) ( 2 3
3
2
2
22 x + x + 2 x x
2
+ = - = ) 1 3 x y x 10) 11) 12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 y ạ 2 x + - x 2 x 3( )1 x 35)(1 ( 2 � � � � x � � - = + - = = + y x + x 7 13) 14) 15) y y x x 3 5 2 - - 5 = = = y 18) 16) 17) y y - - x 1 + 3 2 5 + 7 x 3 x 2 x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 22) 19) 20) x x 2 x x 2 x 2 + + x 1 1 y x x x y x x ( )1 1 6 7
=
y
22 x
) 3 1
2
(cid:0) (cid:0) x 2 3 = + - (cid:0) 21) ( 24) 23) y x 3 y - (cid:0) y + 1 x 1 x x x 1
) 3
3 2
3 � x � �- 2 �
= + + - = + - 2 ( 25) 27) y x x x x 26) y = x (x2 x +1) y x 3 x � 22 x � � �
2)
3
2
3
2
2
3 2 y cot 1 x
4
2
ủ ạ ố (cid:0) (cid:0) x Bài 3: Tính đ o hàm c a các hàm s sau: 1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 5) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) y x x y (cid:0) y cos cos y x 6) 7) 8) 9) cos x sin. (cid:0) y x x cot x x 1 3 3) y = x.cotx sin 4 x 2 4) sin sin 1( cos cos p = + = (cid:0) = + y cot (2x y y x x 10) 11) 12) x sin (cos 3 ) sin3 3sin. ) 4
= -
+
y
cotx
=
y
sin
- xp 3
= = + y x sin(2sin ) 13) 14) 15) 16) y 2 tan x
=
+
=
y
y
2
sinx x
x sinx
4 cosx 3 3sin x 3 xsinx + 1 tanx
4
4
(cid:0) = + y 17) 18) 19) 20) y 1 2tanx (cid:0) 1 2 sin x )2 1(
= = + x g x ( ) cos 4 và f x ( ) sin Bài 4: Cho hai hàm s : ố 1 4 = g x x f x '( ) '( ) ( ứ ằ Ch ng minh r ng: x x cos " ��. )
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
6
3
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) . T×m x ®Ó: a) y’ > 0 b) y’ < 3 x 3 2 x 2 (cid:0) x Bài 5: Cho y < 0 - (cid:0) ĐS: a) b) 1 < < + x 2 1 2 > (cid:0) x 2
xsin3
xxcos
ả ươ ế ằ i ph ng trình : f’(x) = 0 bi t r ng: Bài 6: Gi (cid:0) (cid:0)
a) f(x) = cos x + sin x + x. c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x b) f(x) = d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
2
= + + - 1 x. T�nh: f(3) (x 3)f '(3) Bài 7: Cho hàm s ố f(x)
2
3x 4x
2
(cid:0) (cid:0) x x 2 (cid:0) ứ ằ . Ch ng minh r ng: 2y.y’’ – 1 =y’ y Bài 8: a) Cho hàm s : ố 2 2 (cid:0) ứ ằ b) Cho hàm số y = . Ch ng minh r ng: 2(y’)2 =(y 1)y’’ (cid:0)
y
- + = 3y y" 1 0 c) Cho hàm số = ằ : 2x x . Ch ng minh r ng ứ
9
3
f x x > '( ) 0 ằ " ��, bi t:ế Bài 9: Ch ng minh r ng
2
= + = + 6 - - - x x f x ( ) 2 sin x x x x f x ( ) 2 + 2 x 3 6 1 a/ b/ ứ 2 3 + = (C) y Bài 10: Cho hàm s ố - x x ủ i x = 1. ế ươ ế ế ủ ể ạ t ph i đi m M có hoành đ x ộ 0 = 1. ố
ả ấ ạ ng trình ti p tuy n c a (C) t 3 – 2x2 (C) ươ ng trình f’(x) > 0.
3
ươ ươ ế ế ế ủ ế ủ ớ ườ ẳ x 2 ố ạ a) Tính đ o hàm c a hàm s t b/ Vi Bài 11: Cho hàm s y = f(x) = x i b t ph a) Tìm f’(x). Gi ế t ph b) Vi ế t ph c) Vi ộ 0 = 2. ể ạ ng trình ti p tuy n c a (C) t i đi m M có hoành đ x ế ế ế t ti p tuy n song song v i đ ng trình ti p tuy n c a (C) bi ng th ng d: y = x + 2.
= - ọ ồ ị ố ế ươ ế ủ ế . Vi t ph ng trình ti p tuy n c a (C ) y x + 25 x 2
ế ớ ườ ẳ Bài 12: G i ( C) là đ th hàm s : ạ a) T i M (0;2). ế ế b) Bi t ti p tuy n song song v i đ ng th ng y = 3x + 1.
ế ế ớ ườ ế c) Bi t ti p tuy n vuông góc v i đ ẳ ng th ng y = x – 4. 1 7
3x
: y (cid:0)
3
2
2
Bài 13: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng cong a) T¹i ®iÓm (-1 ;-1) ; b) T¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2 ; c) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3.
2)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) y (cid:0) x x y y x y x b) a) c) d) e) 1 2 cos x sin. 1( cot y x x 6 7 ố Bài 14: Tính vi phân các hàm s sau: sin 4 x 2
ủ ạ ố ấ Bài 15: Tìm đ o hàm c p hai c a các hàm s sau: + 1 = = = = y y y 1) 2) 3) 4) y x x + 2 1 - - x 2 1 = y x y x x 5) 6) x 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x x 1 x 2 2 sin x + x 2 + - 2 x 2 2 ) cos x = - (1
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
7
2
3
3
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
)
2
2
2
(
) 3
(
(
) 1
( x x 2 (
2
+ 2 - + x 4 10 14 6 3 = = = = y '' y y '' '' y '' 2) 3) 4) 3 3 ĐS: 1) x 2 - x 2 + + + x 30 ) 3 - 2 x x 1 x x + - x 2 x + ) 1
(
= - = + - x )2 y x + x x '' 2 sin x 4 cos 5) 6) 7) y’’ = 4sin2x – 4xcos2x y x x x x '' 4 sin ( 3) cos
8) y’’ = 29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
ủ ố ấ Bài 16: Tính đ o hàm c p n c a các hàm s sau:
(
)
n
)
( = -
n
( ny
+ 1
(
= y a) b) y = sinx x 1 n = y ạ 1 + ) 1 sin b) ĐS: a) n + x ! ) 1 p� + x n � 2 � � � �
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
8
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
B. HÌNH H CỌ
Ậ Ạ ƯỜ Ặ I. CÁC D NG BÀI T P TH NG G P
ẳ ứ ườ ng th ng a và b vuông góc
D ng 1ạ Ph
090 . ng c a
b
0 ( a (
b
'
(cid:0) ườ ẳ ng th ng ng pháp 1: ^ (cid:0) ươ ủ a và b). ng pháp 2: Ph ^ (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0) ữ r r , u v ) ươ ứ ng pháp 3: Ph ^ (cid:0) : Ch ng minh hai đ ứ ươ Ch ng minh góc gi a hai đ r r =� u v b a . a Ch ng minh ị ụ ươ ườ ế ủ ớ Áp d ng đ nh lí 3 đ a và b b ng ằ ơ ỉ ươ ầ ượ ch ph t là vect l n l a b b ) ( ho c ặ ^� a b a ng vuông góc ( v i b’ là hình chi u c a đt b ứ Ph ng pháp 4: lên mp ch a đt a).
ứ ườ ẳ ớ
D ng 2ạ Ph
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ng th ng d vuông góc v i mp (P). a và d (cid:0) b v i a ớ Ch ng minh: d b = M; a,b (cid:0) (P) : Ch ng minh đ ươ ng pháp 1: (cid:0) (cid:0) ươ ứ Ph ng pháp 2: (cid:0) (cid:0) ươ ứ Ch ng minh: d a = (P) (cid:0) (Q). Ph ng pháp 3: (cid:0) (cid:0) ươ ứ Ch ng minh d // a, a (Q) (cid:0) Ch ng minh: d = (Q) (P) (P), d (cid:0) (R) và (Q) (cid:0) (P), (R) (cid:0) (P). Ph ng pháp 4:
ứ
D ng 3ạ Ph
(cid:0) (cid:0) ứ : Ch ng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. ươ Ch ng minh (P) (Q). a (cid:0) ng pháp 1: (cid:0) (cid:0) ươ ứ Ch ng minh (P) // (R) (Q). Ph ng pháp 2: (cid:0) (cid:0) ươ ứ Ch ng minh (P) // a (Q). Ph ng pháp 3:
D ng 4ạ Ph
(cid:0) (cid:0) ữ : Tính góc gi a 2 đt a và b. ươ ị b’ = O) ng pháp: Xác đ nh đt a’// a, b’// b ( a’ Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
(cid:0) (cid:0) ữ G i góc gi a đt d và mp(P) là (cid:0) ng pháp: (P) thì (cid:0) ủ ế ớ
D ng 5ạ ữ : Tính góc gi a đt d và mp(P). ọ ươ Ph = 900. ế +) N u d ị ế +) N u d không vuông góc v i (P): Xác đ nh hình chi u d’ c a d lên mp(P) Khi đó: (cid:0)
= (d,d’)
ữ gi a hai mp (P) và (Q).
D ng 6ạ Ph
(cid:0)
(cid:0) (Q).
(P), b (cid:0) = (a,b)
(cid:0) (cid:0) ế ươ N u (P) (Q) = d
ng pháp 2: d (cid:0)
(cid:0) (P) (Q)
= (a,b). : Tính góc (cid:0) ươ ng pháp 1: Xác đ nh a ị Tính góc (cid:0) Ph Tìm (R) (cid:0) Xác đ nh a = (R) ị Xác đ nh b = (R) ị Tính góc (cid:0)
D ng 7ạ
ả : Tính kho ng cách.
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
9
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
(cid:0) ể ả m t đi m M đ n đt a:
ủ M trên a). Ph (cid:0) ế (v i ớ H là hình chi u vuông góc c a ế ế ừ ộ d M a MH= ( , ) ừ ộ ể ả ủ m t đi m A đ n mp (P): ế Tìm hình chi u H c a A lên (P).
(cid:0) ể ữ Tính kho ng t ươ ng pháp: Tính kho ng t ươ ng pháp: Ph d(M, (P)) = AH ả Tính kho ng gi a đt ). ộ (cid:0) , (P)) = d(M, (P)) (M là đi m thu c (cid:0) (cid:0) và mp (P) song song v i nóớ : d((cid:0) ữ ả ạ (cid:0) b : ị ng pháp 1: (cid:0) N u a ế b (cid:0) a và (P) (cid:0) b ủ ự ạ
ng pháp 2: (cid:0) a và (P) // b. (cid:0) ế a = H
ủ ớ ạ ắ i H c t đt b t i A.
ủ ạ
(cid:0) ạ ng pháp 2: a t i O
ủ (cid:0) ạ ế i K. b’ t
ạ ạ
ạ i A.
ạ Xác đ nh đo n vuông góc chung và tính kho ng gi a 2 đt chéo nhau a và b: ươ +) Ph D ng (P) ự Xác đ nh A = (P) ị ế D ng hình chi u H c a A lên b ủ AH là đo n vuông góc chung c a a và b ươ +) Ph D ng (P) ự D ng hình chi u b’ c a b lên (P). b’ // b, b’ ự D ng đt vuông góc v i (P) t ạ ự AH là đo n vuông góc chung c a a và b. ươ +) Ph D ng đt (P) ắ ự i I c t b t Xác đ nh hình chi u b’ c a b trên (P) (b’ đi qua O). ị K IK ẻ ạ D ng đt vuông góc v i (P) t ớ ự ắ i H. i K, c t b t K đt đi qua H và song song v i IK, c t đt a t ớ ẻ ắ AH là đo n vuông góc chung c a a và b. ủ
II. BÀI T PẬ
(cid:0) ạ i B. SA (ABC). (cid:0)
a) Ch ng minh: BC ứ b) G i AH là đ ọ
(cid:0) ườ Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t (SAB). ng cao c a ủ (cid:0) SAB. Ch ng minh: AH ứ SC.
ằ ứ (ABCD). Ch ng minh r ng: Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA (cid:0)
a) BC (cid:0) b) SD (cid:0) c) SC (cid:0)
(SAB). DC. BD.
ủ ể ọ di n ABCD có AB=AC, DB=DC. G i I là trung đi m c a BC. (cid:0)
(cid:0) ườ AD. ng cao c a ủ (cid:0) ADI. Ch ng minh: AH ứ (BCD). ứ ệ Bài 3: Cho t a) Ch ng minh: BC ứ b) G i AH là đ ọ
. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = 2a (cid:0) (ABCD).
a) Ch ng minh SO ứ b) G i I, K l n l ủ ầ ượ ọ ữ c) Tính góc gi a đt SB và mp(ABCD).
ể ứ t là trung đi m c a AB và BC. Ch ng minh IK (cid:0) SD
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
10
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
(cid:0) ế ủ ứ ọ CD, BC (cid:0) AD. G i H là hình chi u c a A lên mp(BCD). Ch ng minh: Bài 5: Cho t
a) H là tr c tâm b) AC (cid:0)
ứ ệ di n ABCD có AB (cid:0) BCD. ự BD.
ứ ệ ệ ủ ứ ệ ặ ạ ứ ề ố ớ ằ di n đ u ABCD. Ch ng minh r ng các c p c nh đ i di n c a t di n vuông góc v i nhau
Bài 6: Cho t ộ ừ t ng đôi m t.
ữ ậ , SA (cid:0) (ABCD). Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t, tâm O và AB = SA = a, BC = 3a
a) Ch ng minh các m t bên c a hình chóp là nh ng tam giác vuông. ặ b) G i I là trung đi m c a SC. Ch ng minh IO ứ ữ c) Tính góc gi a SC và (ABCD).
ủ (cid:0) ứ ọ ủ ể ữ (ABCD).
ầ ượ ọ (ABCD) . G i H, K l n l t là hình ủ Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (cid:0) chi u vuông góc c a A lên SB, SD. (cid:0) (SAC). (cid:0)
(cid:0) ứ ứ ứ (SAB), BD (cid:0) (AHK). (SAC). ế a) Ch ng minh BC b) Ch ng minh SC c) Ch ng minh HK
(cid:0) ạ i A, SA = AB = AC = a, SA (ABC). ọ ể (cid:0) (SAI).
ữ Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t G i I là trung đi m BC. ứ a) Ch ng minh BC b) Tính SI. c) Tính góc gi a (SBC) và (ABC).
(cid:0) ạ i B. SA (ABC) và SA = a, AC = 2a. Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t (cid:0) ằ ứ ả
ữ
a) Ch ng minh r ng: (SBC) (SAB). ế ừ ể b) Tính kho ng cách t đi m A đ n mp(SBC). c) Tính góc gi a (SBC) và (ABC). d) D ng và tính đ dài đo n vuông góc chung c a SA và BC.
ự ủ ạ ộ
ứ ệ ộ di n OABC có OA , OB , OC đôi m t vuông góc và OA= OB = OC = a. ầ ượ ế ủ ườ ẳ t là hình chi u c a O lên trên các đ ng th ng AB và AC. ể (OAI).
(OHK).
a =
ừ ể ế ả đi m O đ n mp (ABC).
B. BÀI T PẬ Bài 1: Cho t ọ G i I là trung đi m BC; H, K l n l 1. CMR: BC ^ 2. CMR: (OAI) ^ 3. Tính kho ng cách t 5. Tính côsin c a góc gi a OA và mp (OHK).
6 / 3
ữ ủ
j = ủ ữ ĐS: a/ 3 ĐS: cos ĐS: tan
ườ ữ ẳ ng vuông góc chung c a hai đ 2 ng th ng HK và OI. Tính kho ng cách gi a hai ườ ấ ườ ^ ạ . ĐS: a/ 2 = và SA a 2 ủ 6. Tính tang c a góc gi a (OBC) và (ABC). ả ủ 7. Tìm đ ng y. đ SA (ABCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, 1. CMR: Các m t bên c a hình chóp là các tam giác vuông.
a =
b = 0 45 ,
0 30
b ữ ữ gi a SC và mp (ABCD), góc gi a SC và mp (SAB). ĐS: ặ 2. CMR: mp (SAC) ^ mp(SBD) . 3. Tính góc a
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
11
ườ ạ Tr ng THPT Th nh Đông GV: Đào Th M ng ị ừ
j j = 2 ủ
ả ặ ế ữ ừ ể ẳ ặ ừ ể ẳ ả gi a hai m t ph ng (SBD) và (ABCD). đi m A đ n m t ph ng (SBC), kho ng cách t ĐS: tan ế đi m A đ n mp (SCD).
=
=
SA SB SD a 3 / 2
0
ườ ủ ẳ ả ng th ng SC và BD. Tính kho ng cách gi a hai ng vuông góc chung c a các đ ẳ ườ ấ ể ề ỉ 4. Tính tang c a góc 5. Tính kho ng cách t ĐS: a 6 / 3 ườ 6. Tìm đ đ ng th ng y. 7. Hãy ch ra đi m I cách đ u S, A, B, C, D và tính SI. ữ ĐS: a/ 2 ĐS: SI a= = ạ
ọ ^ ^ . ế ủ và SH (ABCD) ^
. (SBD).
ả ừ ế và SC = a 7 / 2 a ủ ữ ủ ữ S đ n (ABCD) và SC. gi a SD và (SAC), côsin c a góc = ĐS: SH a 15 / 6 b gi a SC và (SBD).
b = a = . 3/ 14
và cos ừ ế ả H đ n (SBD).
ĐS: a 10 /12 j =
ườ ủ ẳ ả 5 ng th ng SH và BC. Tính kho ng cách gi a hai
ể
ề
ỉ
9. Hãy ch ra đi m I cách đ u S, A, B, D và tính MI.
ng vuông góc chung c a các đ ẳ ườ ấ Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O c nh a, ﾷ BAD 60= và . G i H là hình chi u c a S trên AC. 1. CMR: BD (SAC) 2. CMR: AD SB 3. CMR: (SAC) ^ 4. Tính kho ng cách t 5. Tính sin c a góc ĐS: sin 3/ 3 6. Tính kho ng cách t 7. Tính góc gi aữ (SAD) và (ABCD). ĐS: tan ữ ườ 8. Tìm đ ng th ng y. đ
0 i A, AB = BC = a và
.
ĐS: a 3/ 3 ĐS: 3 15a/ 20 ﾷ ADC 45= ạ
2 .
ặ ặ ớ Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông t Hai m t bên SAB, SAD cùng vuông góc v i m t đáy và SA = a
a =
mp(SAB). ^ . g b ữ ữ gi a SC và (SAB), góc gi a SD và (SAC).
g = 0 30 , tan
2 / 2
1. CMR: BC ^ 2. CMR: CD SC 3. Tính góc a ữ gi a SC và (ABCD), góc b = 0 ĐS: 45 , j j = ủ ữ gi a mp(SBC) và mp(ABCD). 4. Tính tang c a góc ĐS: tan 2
ả ữ
ả ế ừ ĐS: 2a/ 5 ĐS: 2a/ 7
=
ề ể 5. Tính kho ng cách gi a SA và BD. A đ n (SBD). 6. Tính kho ng cách t ể ỉ
M, N ậ ươ ủ ứ ạ ĐS: MS a= , NS a 6 / 2 giác ABCD; và ng ABCD.A’B’C’D’ có c ch a . G i O là tâm c a t
^ ^ (BDC') . và A’C ^ .
a/ 3
^(ACC’A’). ^ (ACC’A’) và (MNC’)
ế ả t ừ C đ n mp(MNC’).
a = ủ ữ ĐS: 3a/ 17 ĐS: tan 2 2 / 3
b = ủ ữ mp(BDC’) vaø mp(ABCD). ĐS: 7. Hãy ch ra đi m M cách đ u S, A, B, C; đi m N cách đ u S, A, C, D. ề ừ T đó tính MS và NS. ọ Bài 5: Cho hình l p ph laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaøAD. 1. CMR: BD (ACC'A ') 2. CMR: A 'C AB' 3. CMR: (BDC’) 4. Tính khoaûng caùch töø C đ nế mp(BDC’). ĐS: 5. Tính kho ng cách 6. Tính tang c a góc gi a AC và (MNC’). 7. Tính tang c a góc gi a tan 2
j = ủ ữ ĐS: cos 7/ 51
ả ữ AB’ vaø BC’. ĐS: 8. Tính côsin c a góc gi a (MNC’) và (BDC’). 9. Tính kho ng cách gi a a 3/ 3
ề ươ
ậ
Đ c
ng Ôn t p
Toán 11_Nâng cao
12
