Ủ Ề
Ố
Ố Ợ Ố CH Đ 9: S NGUYÊN T H P S .
Ầ Ế Ớ Ứ A/ KI N TH C C N NH .
ị 1. D nh nghĩa:
ố ố ố ự ớ ơ ỉ ướ * S nguyên t là s t nhiên l n h n 1, ch có hai c là 1 và chính nó.
ợ ố ố ự ề ớ ơ ơ ướ * H p s là s t nhiên l n h n 1, có nhi u h n hai c.
2. Tính ch t:ấ
ế ố ố ế ố ố * N u s nguyên t p chia h t cho s nguyên t q thì p = q.
ế ế ố ố ừ ố ủ ấ ộ * N u tích abc chia h t cho s nguyên t p thì ít nh t m t th a s c a tích abc chia
ố ố ế h t cho s nguyên t p.
ế ế ố ố ế * N u a và b không chia h t cho s nguyên t p thì tích ab không chia h t cho s ố
nguyên t p .ố
ậ ế ộ ố ố 3. Cách nh n bi t m t s nguyên t :
ầ ượ ố ế ừ ỏ ế ớ ố a) Chia s đó l n l ố t cho các s nguyên t đã bi nh đ n l n. t t
ế ế ả ộ ố ố ố N u có m t phép chia h t thì s đó không ph i là s nguyên t .
ố ươ ế ế ỏ ơ ố ẫ N u chia cho đ n lúc s th ng nh h n s chia mà các phép chia v n còn s d ố ư
ố ố ố thì s đó là s nguyên t .
ướ ố ớ ả ơ ố ố ố ộ ố b) M t s có 2 c s l n h n 1 thì s đó không ph i là s nguyên t .
ừ ố ộ ố ố 4. Phân tích m t s ra th a s nguyên t :
ộ ố ự ừ ố ớ ơ ố ế ố * Phân tích m t s t nhiên l n h n 1 ra th a s nguyên t là vi t s đó d ướ ạ i d ng
ừ ố ộ ố m t tích các th a s nguyên t .
ừ ố ạ ố ủ ố ố D ng phân tích ra th a s nguyên t ỗ ố c a m i s nguyên t là chính s đó.
ọ ợ ố ề ượ ừ ố ố M i h p s đ u phân tích đ c ra th a s nguyên t .
a b g
=
A a b
.
c .....
V a b c l
￭i ,
, ￭ nh￭ng s￭ nguy￭n t￭.
a b g (cid:0) a b g (cid:0)
, , ..., N v￭
, , ...,
1
ướ ố ướ ố ủ ố 5. S các ổ c s và t ng các ộ ố c s c a m t s :
a b g
=
Gi
￭ s￭
A a b
.
c .....
V a b c l
￭i ,
, ￭ nh￭ng s￭ nguy￭n t￭.
a b g (cid:0) a b g (cid:0)
, , ..., N v￭
, , ...,
1
a b g
1. S￭ c￭c ￭￭c s￭ c￭a A l￭: ( +1)( +1)...( +1).
+1
1
1
a - - -
a
b+ b
1
1
1
2. T￭ng c￭c ￭￭c s￭ c￭a A l￭:
.
- - -
a
1
b
1
g+ c ... c
1
Ạ B/ CÁC D NG TOÁN.
Ố Ợ Ố Ế Ố Ạ Ậ D NG 1. NH N BI T S NGUYÊN T , H P S
ứ ố ị ố Căn c vào đ nh nghĩa s nguyên t ợ ố và h p s .
ứ ệ ế ấ Căn c vào các d u hi u chia h t.
ể ả ố ở ố ộ ố ể Có th dùng b ng nguyên t ị cu i SGK đ xác đ nh m t s (nh h n ỏ ơ 1000) là số
ố nguyên t hay không.
ố ố ố ợ ố hay h p s ? Bài 1. Các s sau là s nguyên t
312 ; 213 ; 435 ; 417 ; 3311 ; 67.
Gi iả
ợ ố ế ố ớ ơ Các s 312, 213, 435 và 417 là h p s vì chúng l n h n 3 và chia h t cho 3.
ợ ố ế ố ố ơ ớ S 3311 là h p s vì s này l n h n 11 và chia h t cho 11.
ố ố ớ ơ ỉ ướ ố S 67 là s nguyên t vì nó l n h n 1, ch có hai c là 1 và chính nó.
ọ ố ố ỗ ố ề . Đi n kí hi u ệ ∈ , ∉ ho cặ ⊂ vào ch tr ng cho đúng ậ Bài 2. G i p là t p các s nguyên t
:
83 … P, 91 … P, 15 … n, P … n
Đáp số
83 ∈ P, 91 ∉ P, 15 ∈ n, P ⊂ n
ố ố ở ố ố ố ố cu i SGK, tìm các s nguyên t trong các s sau : ả Bài 3. Dùng b ng s nguyên t
117 ; 131 ; 313 ; 469 ; 647.
Đáp số
ố ố Các s nguyên t là : 131 ; 313 ; 647.
ệ ổ ố ố ợ ố hay h p s ? Bài 4. T ng (hi u) sau là s nguyên t
a) 3.4.5 + 6.7 ; b) 7.9.11.13 – 2 3.4.7;
c) 5.7 + 11.13.17 ; d) 16354 + 67541.
Gi iả
ỗ ố ạ ủ ổ ề ế ế ổ ớ ơ a) M i s h ng c a t ng đ u chia h t cho 3. T ng chia h t cho 3 và l n h n 3 nên
ợ ố là h p s .
ỗ ố ạ ủ ệ ề ế ệ ế ơ ớ b) M i s h ng c a hi u đ u chia h t cho 7. Hi u chia h t cho 7 và l n h n 7 nên
ợ ố là h p s .
ỗ ố ạ ủ ổ ố ẻ ề ế ẵ ổ ố ổ c) M i s h ng c a t ng đ u là s l nên t ng là s ch n. T ng chia h t cho 2 và
ơ ợ ố ớ l n h n 2 nên là h p s .
ế ằ ậ ổ ổ ạ ớ ơ d) T ng t n cùng b ng 5 nên chia h t cho 5. T ng này l ợ ố i l n h n 5 nên là h p s .
ề ấ ợ Bài 5. Đi n d u “x ” vào ô thích h p :
Đúng
ố
ố
ề ế nhiên liên ti p đ u là s nguyên t ố liên ti p đ u là s nguyên t ố ẻ Sai … … …
ề ế ố ề đ u là s l ố ề Câu ố ự a) Có hai s t ố ẻ b) Có ba s l ọ ố c) M i s nguyên t ọ ố d) M i s nguyên t ữ ố ậ đ u có ch s t n cùng là ố … … …
ữ ố …
ộ m t trong các ch s 1, 3, 7, 9. iả ờ Tr l
ụ a) Đúng, ví d 2 và 3.
ụ b) Đúng, ví d 3, 5 và 7.
ụ ố ố ẵ c) Sai, ví d 2 là s nguyên t ch n.
ề ệ ổ ở ể B sung thêm đi u ki n đ câu sau tr thành câu đúng :
ọ ố ố ớ ố ẻ ề ơ M i s nguyên t l n h n 2 đ u là s l .
ụ ố ố ậ d) Sai, ví d 5 là s nguyên t t n cùng là 5.
ọ ố ổ ố ớ ề ậ ơ ở ộ B sung : M i s nguyên t l n h n 5 đ u t n cùng b i m t trong các ch s ữ ố
1, 3, 7, 9.
Ợ Ố Ừ Ế Ố Ố Ố Ữ Ạ Ặ D NG 2. VI T S NGUYÊN T HO C H P S T NH NG S CHO TR ƯỚ C
ệ ế ấ Dùng các d u hi u chia h t.
ả ố ố ỏ ơ Dùng b ng s nguyên t nh h n 1000.
ấ ể ượ ợ ố c h p s : ; . ữ ố Bài 7. Thay ch s vào d u * đ đ
Gi iả
ả ố ố ố ố ợ ố ậ Trong b ng s nguyên t có 11, 13, 17, 19 là các s nguyên t . V y các h p s có
ố d ng ạ là s 10, 12, 14, 15, 16, 18.
ả ố ố Trong b ng có 31, 37 là s nguyên t .
ạ ậ ợ ố V y các h p s có d ng là 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39.
ể ọ ế Cách khác: V i sớ ố có th ch n * là 0, 2, 4, 6, 8 (đ ể chia h t cho 2) có th ể
ọ ch n * = 5 (đ ể ế chia h t cho 5).
ể ọ ế ặ ọ V i sớ ố có th ch n * là 0, 2, 4, 6, 8 (đ ể chia h t cho 2), ho c ch n * là 3,
ế ặ 9 (để chia h t cho 3), ho c * = 5 (đ ể ế chia h t cho 5).
ể ượ ố ấ c s nguyên t ố : ; ữ ố Bài 8. Thay ch s vào d u * đ đ
Đáp số : 53 ; 59 ; 97.
Bài 9.
ố ự ể ố ố a) Tìm s t nhiên k đ 3. k là s nguyên t .
ố ự ể ố ố b) Tìm s t nhiên k đ 7. k là s nguyên t .
Gi iả
ớ ố ố a) V i k = 0 thì 3. k = 0, không là s nguyên t ợ ố , không là h p s .
ớ ố ố V i k = 1 thì 3. k = 3, là s nguyên t .
ợ ố ướ V i kớ ≥ 2 thì 3. k là h p s (vì có 3 là c khác 1 và khác chính nó).
ậ ớ ố ố V y v i k = 1 thì 3. k là s nguyên t .
ố b) Đáp s : k = 1.
Ố Ợ Ố Ỏ Ố Ạ Ề Ệ D NG 3: TÌM S NGUYÊN T , H P S TH A MÃN ĐI U KI N.
ế ằ ố ố ỏ ơ ủ ổ ố ố t r ng có 25 s nguyên t nh h n 100. T ng c a 25 s nguyên t ố ẵ là s ch n Bài 1: Ta bi
hay s l .ố ẻ
HD:
ố ộ ố ỏ ơ ố ẵ ấ ố Trong 25 s nguyên t ứ nh h n 100 có ch a m t s nguyên t ch n duy nh t là 2,
ố ạ ố ẻ ổ ố ố ố còn 24 s nguyên t còn l i là s l ủ . Do đó t ng c a 25 s nguyên t ố ẵ là s ch n.
ổ ố ố ằ ố ố ấ ỏ b ng 1012. Tìm s nguyên t nh nh t trong ba s ố ủ Bài 2: T ng c a 3 s nguyên t
ố nguyên t đó.
HD:
ủ ổ ố ố ằ ố ố ồ ạ Vì t ng c a 3 s nguyên t b ng 1012, nên trong 3 s nguyên t đó t n t ấ i ít nh t
ộ ố ố ẵ ố ố ẵ ấ ố ố ỏ m t s nguyên t ch n. Mà s nguyên t ch n duy nh t là 2 và là s nguyên t ấ nh nh t.
ậ ố ố ấ ỏ ố ố V y s nguyên t nh nh t trong 3 s nguyên t đó là 2.
ổ ố ố ể ằ có th b ng 2003 hay không? Vì sao? ủ Bài 3: T ng c a 2 s nguyên t
HD:
ủ ổ ố ố ằ ố ố ồ ạ Vì t ng c a 2 s nguyên t b ng 2003, nên trong 2 s nguyên t đó t n t i 1 s ố
ố ẵ ố ố ẵ ấ ố ố ạ nguyên t ch n. Mà s nguyên t ch n duy nh t là 2. Do đó s nguyên t còn l i là 2001.
ế Do 2001 chia h t cho 3 và 2001 > 3.
ả ố ố Suy ra 2001 không ph i là s nguyên t .
ố ố ố ố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các s nguyên t . Bài 4: Tìm s nguyên t
HD:
ả ử ố Gi ố s p là s nguyên t .
ề ế ả ố ố N u p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đ u không ph i là s nguyên t .
(cid:0) ố ạ ớ ế N u p 3 thì s nguyên t p có 1 trong 3 d ng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 v i k
(cid:0) N*.
(cid:0) ế ề ố ố +) N u p = 3k p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đ u là các s nguyên t . ố p = 3 (cid:0)
(cid:0) ế +) N u p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 M 3 và p + 2 > 3. Do đó
ợ ố p + 2 là h p s .
(cid:0) ế +) N u p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 M 3 và p + 4 > 3. Do đó
ợ ố p + 4 là h p s .
ậ ớ ố ố V y v i p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các s nguyên t .
ố ố ế ằ ủ ằ ố ố ổ ố ằ , bi t r ng s đó b ng t ng c a hai s nguyên t ệ và b ng hi u Bài 5: Tìm s nguyên t
ố ố ủ c a hai s nguyên t .
HD:
Gi
￭ s￭ a, b, c, d, e l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭ v￭ d > e.
Theo b￭i ra: a = b + c = d - e (* ).
(cid:0) (cid:0)
T￭ (* )
a > 2
a l￭ s￭ nguy￭n t￭ l￭.
(cid:0)
b + c v￭ d - e l￭ s￭ l￭.
(cid:0) (cid:0)
Do b, d l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭
b, d l￭ s￭ l￭
c, e
l￭ s￭ ch￭n.
(cid:0)
c = e = 2 (do c, e l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭).
(cid:0) (cid:0)
a = b + 2 = d - 2
d = b + 4.
V￭y ta c￭n t￭m s￭ nguy￭n t￭ b sao cho b + 2 v￭ b + 4 c￭ng l￭ c￭c s￭ nguy￭n t￭.
2 – 6y2 = 1.
ấ ả ố ố t c các s nguyên t x, y sao cho: x Bài 6: Tìm t
HD:
2
2
2
- = 2
=
- (cid:0) -
Ta c
￭: x
6
y
= (cid:0) 2 1
x
1 6
y
(
x
+ 1)(
x
1) 6
y
2
(cid:0) -
Do y
6
M 2
(
x
1)(
+ x
M 1) 2
(cid:0)
M
￭ x - 1 + x + 1 = 2x
x - 1 v￭ x + 1 c￭ c￭ng t￭nh ch￭n l￭.
(cid:0)
x - 1 v￭ x + 1 l￭ hai s￭ ch￭n li￭n ti￭p
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0)
(
x
1)(
+ x
M 1) 8
M 8
2 y 3
M 4
2
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
y 6 = (cid:0) 2
y
x
5
y
M 2
y
M 2
ố ố ố ố ố p sao cho các s sau cũng là s nguyên t : Bài 7: Tìm s nguyên t
a) p + 2 và p + 10.
b) p + 10 và p + 20.
c) p + 10 và p + 14.
d) p + 14 và p + 20.
e) p + 2và p + 8.
f) p + 2 và p + 14.
g) p + 4 và p + 10.
h) p + 8 và p + 10.
Ộ Ố Ợ Ố Ố Ố Ứ Ạ D NG 4. CH NG MINH M T S LÀ S NGUYÊN T HAY H P S
ộ ố ứ ể ố ố ứ ố ướ Đ ch ng minh m t s là s nguyên t , ta ch ng minh s đó không có c nào
khác 1 và khác chính nó.
ể ứ ợ ố ộ ố ồ ạ ằ ỉ ộ ướ ủ Đ ch ng minh m t s là h p s , ta ch ra r ng t n t i m t c c a nó khác 1 và
ứ ề ố ơ ướ khác chính nó. Nói cách khác, ta ch ng minh s đó có nhi u h n hai c.
ứ ủ ằ ố ố ộ ợ ố là m t h p s .
Bài 1. Hãy ch ng minh r ng tích c a hai s nguyên t
Gi iả
2. Tích c a hai s ủ
ủ ố ố ố ướ Tích c a hai s nguyên t gi ng nhau p.p có ba c là 1, p và p ố
1.p2 có b n
1, p2 và p1.p2.
ố ố ướ nguyên t khác nhau p c là 1, p
ủ ậ ố ố V y tích c a hai s nguyên t ộ ợ ố là m t h p s .
ố ố ứ ằ ợ ố (p > 3). Ch ng minh r ng p + 8 là h p s . Bài 2: Cho p và p + 4 là các s nguyên t
HD:
ố ố ố và p > 3, nên s nguyên t ạ p có 1 trong 2 d ng: 3k + 1, 3k + 2
ố Vì p là s nguyên t (cid:0) N*. v i k ớ
(cid:0) ế N u p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 M 3 và p + 4 > 3.
ợ ố ố ố ớ ề Do đó p + 4 là h p s (Trái v i đ bài p + 4 là s nguyên t ).
(cid:0) ế N u p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3) p + 8 M 3 và p + 8 > 3.
ợ ố Do đó p + 8 là h p s .
ậ ố ố ạ V y s nguyên t ợ ố p có d ng: p = 3k + 1 thì p + 8 là h p s .
ọ ố ứ ố ớ ề ạ ặ ơ l n h n 2 đ u có d ng 4n + 1 ho c 4n – 1. ằ Bài 3: Ch ng minh r ng m i s nguyên t
HD:
ỗ ố ự ố ư ể M i s t ọ nhiên n khi chia cho 4 có th có 1 trong các s d : 0; 1; 2; 3. Do đó m i
ể ế ượ ướ ạ c d t đ i 1 trong 4 d ng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 ố ự s t
v i k ớ ề nhiên n đ u có th vi (cid:0) N*.
ế N u n = 4k
(cid:0) nM4 (cid:0) n là h p s . ợ ố
ế N u n = 4k + 2
(cid:0) nM2 (cid:0) n là h p s . ợ ố
ậ ố ớ ề ạ ặ ơ ọ ố V y m i s nguyên t l n h n 2 đ u có d ng 4k + 1 ho c 4k – 1. Hay m i s ọ ố
ố ớ ề ạ ặ ơ ớ nguyên t l n h n 2 đ u có d ng 4n + 1 ho c 4n – 1 v i n
(cid:0) N*.
ố ố ứ ằ (p > 3). Ch ng minh r ng p + 1
M6.
Bài 4: Cho p và p + 2 là các s nguyên t
HD:
ố ố ố và p > 3, nên s nguyên t ạ p có 1 trong 2 d ng: 3k + 1, 3k + 2
ố Vì p là s nguyên t (cid:0) N*. v i k ớ
(cid:0) ế N u p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 M 3 và p + 2 > 3.
ợ ố ố ố ớ ề => p + 2 là h p s ( Trái v i đ bài p + 2 là s nguyên t ).
ế N u p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1).
ố Do p là s nguyên t và p > 3
(cid:0) p l
ẻ (cid:0) k l ẻ (cid:0) k + 1 ch n ẵ (cid:0) k + 1M2 (2)
ừ T (1) và (2) ố (cid:0) p + 1M6.
Bài 5:
ố ố ứ ằ a) Cho p và p + 4 là các s nguyên t ợ ố (p > 3). Ch ng minh r ng: p + 8 là h p s .
ố ố ứ b) Cho p và 2p + 1 là các s nguyên t ợ ố ằ (p > 3). Ch ng minh r ng: 4p + 1 là h p s .
ố ố ứ c) Cho p và 10p + 1 là các s nguyên t ợ ố ằ (p > 3). Ch ng minh r ng: 5p + 1 là h p s .
ố ố ứ ằ d) Cho p và p + 8 là các s nguyên t ợ ố (p > 3). Ch ng minh r ng: p + 4 là h p s .
ố ố ứ e) Cho p và 4p + 1 là các s nguyên t ợ ố ằ (p > 3). Ch ng minh r ng: 2p + 1 là h p s .
ố ố ứ f) Cho p và 5p + 1 là các s nguyên t ợ ố ằ (p > 3). Ch ng minh r ng: 10p + 1 là h p s .
ố ố ứ g) Cho p và 8p + 1 là các s nguyên t ợ ố ằ (p > 3). Ch ng minh r ng: 8p 1 là h p s .
ố ố ứ h) Cho p và 8p 1 là các s nguyên t ợ ố ằ (p > 3). Ch ng minh r ng: 8p + 1 là h p s .
2 + 1 là h p s . ợ ố
ố ố ứ ằ i) Cho p và 8p2 1 là các s nguyên t (p > 3). Ch ng minh r ng: 8p
2 1 là h p s . ợ ố
ố ố ứ ằ j) Cho p và 8p2 + 1 là các s nguyên t (p > 3). Ch ng minh r ng: 8p
ứ ằ Bài 6: Ch ng minh r ng:
2 – q2 M 24.
ế ố ố ớ a) N u p và q là hai s nguyên t
ế ố ố ớ ơ b) N u a, a + k, a + 2k (a, k ơ l n h n 3 thì p (cid:0) N*) là các s nguyên t l n h n 3 thì k
