Luận văn Thạc sĩ: Một số vấn đề về lý thuyết số nguyên tố

Luận văn này khám phá một số khía cạnh thú vị của số nguyên tố. Số nguyên tố đóng vai trò quan trọng trong số học, nhưng nhiều bí ẩn xung quanh chúng vẫn chưa được biết đến, mặc dù đã có nhiều nghiên cứu chuyên sâu. Sự phát triển của khoa học kỹ thuật và máy tính điện tử đã giúp tìm ra nhiều số nguyên tố lớn. Các định lí về số nguyên tố luôn thu hút sự chú ý của các nhà toán học, thúc đẩy họ tìm kiếm những chứng minh mới.

Tài liệu này hướng đến các nhà toán học, nghiên cứu sinh, và sinh viên chuyên ngành toán học, đặc biệt là những người quan tâm đến lí thuyết số nguyên tố và các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực như mật mã học.

Luận văn Thạc sĩ này đi sâu vào nhiều khía cạnh hấp dẫn của lí thuyết số nguyên tố. Nó nhấn mạnh tầm quan trọng bền vững của số nguyên tố trong toán học và những nỗ lực không ngừng nghỉ để khám phá các tính chất của chúng, đặc biệt với sự hỗ trợ của công nghệ máy tính hiện đại. Cấu trúc luận văn gồm hai chương chính. Chương 1 trình bày một tập hợp toàn diện gồm 19 chứng minh khác nhau cho định lí Euclid về tính vô hạn của tập hợp số nguyên tố. Các chứng minh này sử dụng nhiều công cụ toán học đa dạng, kể cả tô pô, minh họa cho tính liên ngành của lí thuyết số nguyên tố. Chương 2 khám phá các ứng dụng thực tiễn của số nguyên tố lớn, đặc biệt trong các hệ mật mã hiện đại như mật mã khóa công khai và hệ mã mũ, lý giải tầm quan trọng của việc tìm kiếm các số nguyên tố lớn. Chương này cũng cung cấp cái nhìn tổng quan chi tiết về lịch sử nghiên cứu số nguyên tố, tập trung vào hành trình tìm kiếm các số nguyên tố lớn, với sự chú trọng đặc biệt vào số nguyên tố Mersenne - loại số thường xuyên giữ kỷ lục là số nguyên tố lớn nhất được biết đến. Luận văn thảo luận về các tính chất của chúng, liệt kê các số nguyên tố Mersenne đã biết, và giới thiệu các loại số nguyên tố đặc biệt khác như số nguyên tố sinh đôi, số nguyên tố Sophie Germain, và số nguyên tố giai thừa/nguyên tố giai thừa. Cuối cùng, luận văn đề cập đến một số vấn đề chưa được giải quyết trong lí thuyết số nguyên tố, khuyến khích các nghiên cứu tiếp theo.