TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
ĐỀ TÀI HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM
KHOA TOÁN HỌC
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG THỰC TIỄN
Người hướng dẫn
Người thực hiện
TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
PHAN HỮU HIỆU
MSSV: 19S1011009
Huế, 6-2021
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN HỌC
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
TRONG THỰC TIỄN
ĐỀ TÀI HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM
Người hướng dẫn
TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Huế, 6-2021
1
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 3
LỜI GIỚI THIỆU 4
Chương 1. NỘI DUNG 5
5 1.1 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.1.1 Khái niệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.1.2 Tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . .
7 1.2 Một số ứng dụng của tích phân trong thực tiễn . . . . . . .
1.2.1 Ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc, gia
7 tốc của chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 1.2.2 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng .
8 1.2.3 Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay
9 1.2.4 Ứng dụng của tích phân tính thể tích vật thể . . . .
1.3 Một số bài toán ứng dụng trong thực tiễn . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận
tốc, gia tốc của chuyển động . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 12
1.3.3 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn
xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích một số
vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
Chương 2. KHẢO SÁT SỰ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH,
SINH VIÊN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG
THỰC TIỄN 19
KẾT LUẬN 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO 31
3
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình tìm hiểu thực hiện đề tài: “Ứng dụng của tích phân
trong thực tiễn” cùng với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy giáo TS Nguyễn Đăng
Minh Phúc, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện đề tài, đồng thời tôi cũng
nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên khoa Toán.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Nguyễn Đăng
Minh Phúc đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành đề tài của
mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành
đề tài này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế. Hơn nữa do lần đầu
tiên làm quen với việc tiến hành tìm hiểu một đề tài nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo và
các bạn. Xin chân thành cám ơn!
Thừa Thiên Huế, tháng 06 năm 2021
Tác giả
4
LỜI GIỚI THIỆU
Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về khái niệm: giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm và tích phân. Phần lớn người học rất lung túng và gặp khó
khăn khi học giải tích nói chung và tích phân, những bài toán thực tế cần
dùng đến tích phân nói riêng. Tích phân có rất nhiều ứng trong thực tiễn.
Bên cạnh đó, trong các đề thi THPT của các năm luôn xuất hiện những
bài toán liên quan đến tích phân. Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo
khoa Toán 12 chỉ thể hiện những bài tính toán khô khan, học sinh chỉ biết
tính toán một cách máy móc mà không thấy được những ứng dụng thực
tế của nó.
Với mong muốn giúp cho bản thân tôi và độc giả thấy rằng toán tích
phân rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, là những công cụ đắc lực giúp
giải quyết những vấn đề, tình huống trong thực tế. Từ đó tôi chọn đề tài:
"Ứng dụng của tích phân trong thực tiễn".
Nội dung của đề tài gồm 3 phần:
Phần 1. Tóm tắt lí thuyết.
Trong phần này tôi trình bày về các kiến thức cơ bản về tích phân và
các ứng dụng của tích phân.
Phần 2. Một số bài toán ứng dụng tích phân trong thực tiễn.
Phần 3. Khảo sát sự hiểu biết của học sinh, sinh viên về ứng dụng của
tích phân trong thực tiễn.
Trong phần này tôi tiến hành khảo sát trên 40 sinh viên về ứng dụng
của tích phân trong thực tiễn.
5
CHƯƠNG 1
NỘI DUNG
1.1 Tóm tắt lý thuyết
1.1.1 Khái niệm tích phân
Diện tích hình thang cong
Khái niệm tích phân được bắt nguồn từ những bài toán thực tế. Chẳng
hạn, bài toán tính diện tích hình thang cong.
Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.
Khái niệm hình thang cong giúp ta giải bài toán tìm diện tích một
hình phẳng được giới hạn bởi một đường cong khép kín (vì nó bằng tổng
diện tích của một số hình thang cong dạng này hay dạng khác), bằng cách
chuyển từ một bài toán phức tạp về bài toán đơn giản.
Định nghĩa tích phân
6
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F (x) là một nguyên
hàm của f (x) trên đoạn [a; b].
b
Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân
f (x)dx
a
1.1.2 Tính chất của tích phân
(cid:90) xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f (x) kí hiệu là:
b
a (cid:90)
Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], k ∈ R, c ∈ (a, b)
f (x)dx = −
f (x)dx.
a
b
b
c
b
(cid:90)
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx.
a
a
c
b
b
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
k.f (x)dx = k.
f (x)dx.
a
a
b
b
b
(cid:90) (cid:90)
[f (x) ± g(x)]dx =
f (x)dx ±
g(x)dx.
a
a
a
(cid:90) (cid:90) (cid:90)
7
1.2 Một số ứng dụng của tích phân trong thực tiễn
1.2.1 Ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc, gia tốc
của chuyển động
Vật chuyển động theo phương trình quãng đường tại thời điểm t là s(t).
s(cid:48)(t)
Phương trình vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là v(t) thì v(t) =
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t: a(t) = v(cid:48)(t) = s(cid:48)(cid:48)(t)
Khi đó ta rút ra một số kết quả sau:
Vận tốc vật tại thời điểm t = b, tính theo vận tốc tại thời điểm t = a
b
là:
v(b) = [v(b) − v(a)] + v(a) =
a(t)dt + v(a)
a
(cid:90)
b
Quãng đường đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là:
v(t)dt
L = s(b) − s(a) =
a
1.2.2 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng
(cid:90)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên
(a < b) được tính bởi công thức:
b
tục trên đoạn [a; b], trục hoành y = 0 và hai đường thẳng x = a, x = b
S =
|f (x)| dx.
a
(cid:90)
Tổng quát hơn, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm
số y = f (x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thằng x = a,
8
x = b (a < b) được tính bởi công thức:
b
|f (x) − g(x)| dx.
S =
a
1.2.3 Ứng dụng của tích phân tính thể tích khối tròn xoay
(cid:90)
y = f (x), y = 0
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H)
x = a, x = b(a < b)
quanh trục hoành giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
9
b
được tính bởi công thức:
V = π
f 2(x)dx
a
(cid:90)
.
y = f (x), y = g(x)
Tổng quát hơn, thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình
x = a, x = b(a < b)
quanh phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
b
trục hoành được tính bởi công thức:
V = π
|f 2(x) − g2(x)|dx
a
(cid:90)
1.2.4 Ứng dụng của tích phân tính thể tích vật thể
.
Cho vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b (a < b). Cắt B
(α) vuông góc với trục Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b).
bởi một mặt phẳng (α) nằm giữa 2 mặt phẳng x = a và x = b. Mặt phẳng
Sinh ra thiết diện có diện tích là một hàm số phụ thuộc vào x là S(x).
Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của vật thể được
10
b
tính bởi công thức:
V =
S(x)dx
a
(cid:90)
Nhận xét. Với S(x) là diện tích của các hình tròn thì công thức này
thực chất là công thức tính thể tích khối tròn xoay với S(x) = πf 2(x).
Như vậy f (x) có thể xem là hàm bán kính của hình tròn theo x.
1.3 Một số bài toán ứng dụng trong thực tiễn
1.3.1 Bài toán ứng dụng tích phân tính quãng đường, vận tốc,
gia tốc của chuyển động
Bài toán 1. Một ô tô chạy với vận tốc 18m/s thì hãm phanh. Sau khi
hãm thì ô tô chuyển động chậm dần đều với v(t) = 18 − 36t(m/s), t là
khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường vật
đi được cho đến khi dừng lại kể từ thời điểm hãm phanh ?
0. Theo công thức tính vận tốc của ô tô tính từ lúc thời điểm hãm phanh,
Lời giải. Khi ô tô dừng lại tức là vận tốc ô tô tại thời điểm đó bằng
(s)
0 = v(t) = 18 − 36t ⇒ t =
1 2
ta có thể suy ta thời gian ô tô dừng lại kể từ lúc ô tô hãm phanh là:
11
Như vậy ta sẽ tính quãng đường ô tô đi được từ thời điểm t = 0 cho
1 2
đến thời điểm t = với phương trình vận tốc là v(t) = 18 − 36t. Vì vậy
1
2(cid:90)
L =
(18 − 36t)dt = 4, 5m
0
quãng đường ô tô đi được cho đến khi dừng lại là:
Bài toán 2. Một vật chuyển động đều với v = 15m/s thì tăng tốc với
gia tốc a(t) = t2 + 4t. Tính quãng được vật đi được trong khoảng thời
gian sau 3 giây từ lúc bắt đầu tăng tốc ?
Lời giải. Ta sẽ tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t = 0 cho
3 (cid:90)
L =
v(t)dt
0
đến thời điểm t = 3 theo công thức:
Như vậy ta phải đi tìm phương trình vận tốc của vật chuyển động v(t).
Ta có:
+ 2t2 + C
a(t) = v(cid:48)(t) ⇒ v(t) =
a(t)dt =
(t2 + 4t)dt =
t3 3
(cid:90) (cid:90)
+ 2.02 + C = 15 ⇒ C = 15
03 3
Mà v(0) = 15 nên
Vậy quãng được vật đi được trong khoảng thời gian sau 3 giây từ lúc
3
bắt đầu tăng tốc là:
3 (cid:90)
L =
+ 2t2 + 15
dt =
+
+ 15t
= 69, 75m
(cid:19)
2t3 3
0
0
(cid:18) t4 12 (cid:18)t3 3 (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Chú ý. Để tìm được phương trình vận tốc của vật chuyển động ta cũng
t
t
có thể trình bày như sau:
a(t)dt+v(0) =
(t2+4t)dt+15 =
+2t2+15
v(t) = [v(t)−v(0)]+v(0) =
t3 3
0
0
(cid:90) (cid:90)
12
1.3.2 Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
x2 a2 +
y2 b2 = 1,
(a > b > 0).
Bài toán 1. Tính diện tích của một hình elip có dạng:
Lời giải. Gọi S1 là diện tích hình phẳng ở góc phần tư thứ I của hệ
y = 0, y = b
1 − x2 a2
x = 0, x = a
trục tọa độ Oxy. Khi đó diện tích cần tìm là S = 4S1. (cid:113) Ta có S1 là hình phẳng giới hạn bởi các đường
a (cid:82)
a (cid:82)
1 −
dx =
b
1 −
b
(cid:114) (cid:114)
x2 a2
x2 a2 dx.
0
0
Suy ra: S1 = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
= sin(t) ⇒ dx = acos(t)dt
x a
x = 0 ⇒ t = 0
Đặt
Đổi cận:
x = a ⇒ t = π 2
π
π
π
2(cid:82)
2(cid:82)
2(cid:82)
cos2(t)dt = ab
dt
1+2cos(2t) 2
0
0
π 2
=
= ab
(cid:112)1 − sin2(t)acos(t)dt = ab Do đó: S1 = b
4
0 (cid:17)(cid:12) (cid:12) (cid:12)
0
πab 4
(cid:16) t 2 + sin(2t)
Vậy diện tích elip cần tìm là: S = πab.
Nhận xét. Đây là một bài toán tổng quát của việc ứng dụng tích phân
để tính diện tích của hình elip bất kì. Ta có thể ứng dụng trong các bài
13
toán cụ thể như tính diện tích của một mảnh vườn, sân vận động,... có
dạng hình elip với giá trị a, b nào đó.
Bài toán 2. Ông A làm một cái cửa hình parabol có chiều cao tính từ
mặt đất là 2.25m, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3m, chi phí để hoàn
thành cái cửa là 1.000.000 vnđ/m2. Hỏi cần bao nhiều tiền để hoàn thành
cái cửa này?
Lời giải. Gán chiếc cửa hình parabol này vào hệ tọa độ Oxy như sau:
Với f (x) là parabol đi qua 3 điểm A(0, 2.25); B(1.5, 0); C(−1.5, 0). Khi
y = ax2 + bx + c, y = 0
đó diện tích cánh cửa là chính là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
x = −1.5, x = 1.5
đường:
Bây giờ ta cần tìm chính xác phương trình parabol. Từ đó ta có diện
1.5 (cid:90)
f (x)dx
−1.5
tích cánh cửa này là:
.
14
Ta có f (x) đi qua 3 điểm A(0, 2.25); B(1.5, 0); C(−1.5, 0) nên:
a = −1
a.02 + b.0 + c
= 2.25
⇒
b = 0
a(1.5)2 + 1.5b + c
= 0
c = 2.25
a(−1.5)2 − 1.5b + c = 0
1.5 (cid:82)
(−x2 + 2.25)dx =
9 2
−1.5
Suy ra diện tích cánh cửa là: .
.106 = 4.500.000 (vnđ)
9 2
Vậy số tiền để hoàn thành cánh cửa là:
Nhận xét. Bạn đọc có thể tự tổng quát bài toán này để tính diện tích
một vật thể hình parabol có chiều cao h và chiều rộng b bất kì bằng cách
bh.
2 3
ứng dụng tích phân. Kết quả của bài toán này là S =
Như vậy đối với những bài toán thực tế mà vật thể có diện tích phức
tạp hơn ta cần biết được dáng vẻ của hàm số đó trên hệ trục tọa độ Oxy.
Bài toán 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2, y = 2 − x
và hai đường thẳng x = 0 và x = 2 ?
x2 + x − 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [0, 1]
[0, 2]. Ta có:
Lời giải. Ta cần xét dấu biểu thức x2 − (2 − x) = x2 + x − 2 trên đoạn
x2 + x − 2 < 0 ⇔ x ∈ [1, 2]
2 (cid:90)
1 (cid:90)
2 (cid:90)
S =
(x2 + x − 2)dx −
(x2 + x − 2)dx = 3
Vậy diện tích cần tìm là:
0
0
1
1.3.3 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn
xoay
(cid:12)x2 + x − 2(cid:12) (cid:12) (cid:12) dx =
Bài toán 1. Tính thể tích của quả dưa hấu có thiết diện qua trục hình
dạng elip với độ dài trục lớn là 28cm trục nhỏ 25cm?
15
Lời giải. Từ giả thiết đề bài ta suy ra phương trình elip:
1 −
x2 142 +
y2 12.52 = 1 ⇔ y = ±12.5
x2 142
(cid:115)
(cid:114)
1 −
x2 142
Chọn y > 0 ⇒ y = 12.5
Như vậy thể tích quả dưa hấu chính là thể tích khi quay hình (H) quanh
trục Ox, khi đó:
14 (cid:90)
1 −
dx =
V = π
(cm3)
2 (cid:115)
x2 142
8750π 3
−14
12.5
Bài toán 2. Tính thể tích của cái phao có kích thước như hình vẽ.
Lời giải. Việc tính thể tích chiếc phao cũng chính là tính thể tích khối
tròn xoay khi quay hình tròn quanh trục Oy như hình vẽ trên.
Ta có phương trình đường tròn: (x−R)2+y2 = r2 ⇒ x = R±(cid:112)r2 − y2
16
r (cid:90)
Do đó thể tích chiếc phao cần tìm là:
V = π
r2 − y2)2 − (R −
r2 − y2)2(cid:12) (cid:12) dy = 2Rπ2r2. (cid:12)
−r
(cid:112) (cid:112) (cid:12) (cid:12) (cid:12)(R +
Oy. Ở bài toán trên, khi quay quanh trục Oy ta cần xác định hình phẳng
x = g(y), x = g(y)
Nhận xét. Ta có thể linh hoạt quay hình phẳng quanh trục Ox hoặc
(H) giới hạn bởi các hàm số:
y = a, y = b(a < b)
Đây là một bài toán tổng quát ứng dụng tích phân tính thể tích vật
thể, thể tích khối tròn xoay có dạng hình chiếc phao. Ta có thể áp dụng
R và r cụ thể.
1.3.4 Bài toán ứng dụng tích phân tính thể tích một số vật
thể
nó nhiều trường hợp như tính thể tích của xăm lốp xe đạp, xe máy,... với
Bài toán 1. Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính đáy 30cm, người
đường kính đáy của khúc gỗ và tạo với mặt đáy góc 45◦, thu được một vật
thể. Tính thể tích của vật thể đó.
Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cắt vật thể bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−15 ≤ x ≤ 15) ta được
√
√
√
P N =
R2 − x2 =
225 − x2, M N = P M.tan45◦ =
225 − x2
thiết diện là một tam giác vuông có độ dài cạnh góc vuông xác định bởi
17
2P N.M N = 1
2
Do đó diện tích thiết diện là: S (x) = 1 (cid:0)225 − x2(cid:1)
V =
S (x) dx ==
Vậy thể tích vật thể là:
1 2
15 ∫ −15
15 ∫ −15
(cid:0)225 − x2(cid:1) dx = 2250cm3
Bài toán 2. Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục
giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều
cạnh 3m. Chiều cao SO = 6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các
cạnh bên của (H) là các sợi dây C1, C2, C3, C4, C5, C6 nằm trên các
đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu
có) của (H) với mặt phẳng (P ) vuông góc với SO là một lục giác đều và
khi (P ) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh bằng 1m. Tính
thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó.
18
Lời giải. Chọn trục tọa độ Oy trùng với OS và Ox trùng với OA1
Phương trình đường cong Parabol C1 là y = ax2 + bx + c đi qua các
c = 6
điểm (0; 6) , (3; 0) , (1; 3) .
⇔ a = 1
9a + 3b + c = 0
2, b = − 7
2, c = 6 ⇒ y = 1
2x2 − 7
2x+6
a + b + c = 3
Do đó:
y (0 ≤ y ≤ 6) ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh
2x2 − 7
√
√
2x + 6. với x = 7−
1+8y 2
1+8y 2
√
√
√
Khi cắt (H) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ
3
3
x xác định bởi y = 1 Do đó: x = 7± Do đó diện tích thiết diện là S = 6. x2
1+8y 2
4 = 3
√
√
(cid:17)2 (cid:16) 7− .
3 (cid:16) 7−
√ 3
3
3
S (y) dy =
2
1+8y 2
dy = 135 8
6 ∫ 0
6 ∫ 0
(cid:17)2 (cid:0)m3(cid:1). Và thể tích của (H) là V =
Nhận xét. Đối với bài toán này ta phải biết đến công thức tính diện
√
a2
3
tích hình lục giác đều cạnh a chính là 6 lần diện tích của hình tam giác
4
đều cạnh a và có công thức là: S = 6.
19
CHƯƠNG 2
KHẢO SÁT SỰ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH,
SINH VIÊN VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN
Nhóm chúng tôi thực hiện khảo sát trên đối tượng là các sinh viên các
trường thuộc Đại học Huế. Thông qua hình thức phiếu khảo sát có nội
dung như sau:
20
21
22
Chúng tôi đã tiến hành khảo sát 40 sinh viên và thu được kết
quả sau đây:
23
24
25
26
27
28
29
Phân tích kết quả:
Từ bảng thống kê kết quả khảo sát và các biểu đồ, chúng tôi rút ra
được một số kết luận rằng:
Đa số các sinh viên chúng tôi khảo sát đều thuộc khối ngành khoa học
tự nhiên. Đa số đều cho rằng toán học thú vị và có nhiều ứng dụng trong
cuộc sống tuy nhiên nó vẫn còn khó.
Tất cả các bạn sinh viên đều biết đến tích phân và phần lớn vẫn còn
nhớ đến một số phương pháp tính tích phân và các ứng dụng của nó trong
thực tiễn đã được học ở trường trung học phổ thông.
Tuy nhiên qua kết quả nhận thấy ở 4 bài toán, mức độ áp dụng tích
phân vào thực tiễn còn thấp. Đặc biệt là ứng dụng trong việc tính diện
tích, thể tích.
Sau bài khảo sát, đa số các bạn đều muốn tìm hiểu thêm về một số ứng
dụng của tích phân trong thực tiễn. Đây cũng là mục đích của đề tài này.
30
KẾT LUẬN
Đề tài này đã trình bày và đạt được một số kết quả sau:
1. Trình bày nội dung kiến thức cơ bản về tích phân và ứng dụng của
tích phân trong thực tiễn.
2. Tổng hợp, sưu tầm một số bài toán ứng dụng tích phân trong thực
tiễn.
3. Thực hiện khảo sát và nắm được tương đối thực trạng sự hiểu biết
của sinh viên về ứng dụng của tích phân trong thực tiễn.
31
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài
- Cấn Văn Tuất (2006), Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
[2] Vũ Tuấn - Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Thu Nga - Phạm Thu -
Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất (2006), Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất
bản Giáo dục Việt Nam.
[3] Đặng Thành Nam (Biên soạn) (2020) - Bài tập ứng dụng tích phân
trong tính thể tích vật thể.
[4] Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh - Trường THCS
THPT Hoa Sen (2020-2021), Ứng dụng tích phân trong các bài toán thực
tế.
