SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNHPHÚC KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CHUYÊN _ — NĂM HỌC 2023-2024
Í ĐÈ CHÍNH THỨC | ĐỀ THỊ MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kế thời gian giao đề)
Bài I (4,0 điểm). a) Cho hai dãy số (x„).(y„). n= I,2.... được xác định như sau:
xị=l,xy =2, xu; =(n+1)(X„u +x,). y, = $—, n=1,2,...
* Chứng minh rằng dãy số ( y„ ) có giới hạn hữu hạn. b) Cho a>2 là một số thực cho trước và dây số (u„), n= l,2,... được xác định như sau:
Mị, = đ, 1. n=l,2,...
Chứng minh rằng dãy số (w„) xác định với mọi øe NỈ, có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. vì
Bài 2 (4,0 điểm). Cho a,b,c,đ là các số không âm thoả mãn —Ì_¿‡~—+——+—— =3 (*). a+l b+l c+Ì đt!
a) Chứng minh rằng a+b+e+d>S.
4
b) Tìm số thực m nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức 3(ab + ac + ad +bc + bđ +c4)+—————— đúng với mọi bộ số không âm (a,b,c,đ) thoả mãn điều kiện (*),
Bài 3 (3,0 điểm). Cho ø là số nguyên dương lớn hơn I. Kí hiệu G(n) là ước nguyên tố lớn nhất của z.
a) Chứng minh rằng nếu z:+1 là lũy thừa của 2, và m chia hết cho 11 thì GŒ(m) >11.
b) Hai số nguyên tế phân biệt p, g được gọi là xa /g nếu không tổn tại số nguyên dương n lớn bơn 1 đẻ hai tập hợp {p.4} và {G(m),G(z+1)} trùng nhau. Chứng minh rằng nếu p < g là hai số nguyên tố lẻ sao cho ørđ„2 = ord 2 thì 2, p là hai số xa lg và có vô hạn cặp số nguyên tố (p, 4) sao cho p < 4 và hai số p,g là xa lạ.
Bài 4 (6,0 điểm). Cho tam giác 48C nhọn và cân tại đỉnh 4. Gọi 7 và £ lần lượt là trung điểm của CB và CA, M là trung điểm của ĐE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác 4EM cắt cạnh 4B tại điểm X. Tiếp tuyến tại 4 và Ấ của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt nhau tại P.
a) Đường thẳng 4M cắt tiếp tuyên tại £ của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM ở điểm Ó. Chứng minh rằng ?,/,Ợ thảng hàng.
b) Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường thằng ÖC.
Bài 5 (3,0 điểm). Cho số nguyên dương nñ>Ì, số nguyên dương & được gọi là - good nếu với mọi cách tô màu mỗi số nguyên dương I,2,...,& bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ thi ta luôn chọn được ø số cùng màu (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng của ø số này cũng nằm trong tập hợp {I,2,.... k} và cùng màu với ø số vừa chọn.
a) Tìm số 2- goođ' nhỏ nhất.
b) Tìm số 2024- goođ' nhỏ nhất. Hắt