ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Khoa Khoa học Ứng dụng
Bộ môn Toán
ĐỀ THI CUỐI KỲ I NĂM HỌC 2023-2024
Môn: Đại số tuyến tính và Cấu trúc đại số
Mã môn học: MATH143001
Thời gian: 90 phút. Ngày thi: 28/12/2023 (ĐT)
Được phép sử dụng 01 tờ A4 chép tay
————————————————————————————————————————
Đề thi
Câu I. (2.5 điểm)
(a) Ký hiệu Matn(R)là tập tất cả các ma trận vuông cấp nvới hệ số thực. Đặt
Sn(R)={M∈Matn(R)/det(M) =1}.
Chứng minh rằng, phép nhân hai ma trận trên Matn(R)là một phép toán hai ngôi trên
Sn(R), và Sn(R)cùng với phép toán này tạo thành một nhóm.
(b) Trong vành Z26,cho ma trận K="2 3
5 9#.Hãy dùng mật mã Hill với khoá Kđể mã
hoá đoạn tin nhắn sau đây: “MATH”. Biết rằng mỗi ký tự trong bảng chữ cái tiếng
anh được đặt tương ứng với mỗi phần tử trong Z26 như trong bảng sau:
A B C D E F G H I J K L M N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Câu II. (3.5 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f:R3→R3xác định bởi: với mọi u=ha b ciT∈R3,
f(u)=ha+2b+c3a−b−3c5a+3b−c)iT.
(a) Tìm một cơ sở và số chiều của Imf.
(b) Chứng minh rằng, F=u1=h1 2 1iT,u2=h2 3 −4iT,u3=h3−1 2iTlà
một cơ sở của R3.Tìm véc tơ u∈R3sao cho [f(u)]F=h3 5 1iT.
(c) Trong không gian R3được trang bị một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc (Oxyz),cho
ba mặt phẳng có phương trình như sau:
(P1) : (a+1)x+3y+az =3a,(P2) : 2x−ay+(3a+2)z=7,(P3) : ax+(a−3)y+7z=5.
Tìm tham số ađể ba mặt phẳng trên có một điểm chung duy nhất.
Câu III. (4.0 điểm) Cho các ma trận A=
4 2 0
2 4 0
0 0 3
,X=
x1
x2
x3
, với xi∈R,16i63.
(a) Xác định NulA.
(b) Hãy chéo hoá trực giao ma trận A.
(c) Sử dụng kết quả câu (b), hãy đưa dạng toàn phương Q(X)=XTA2023 Xvề dạng chính
tắc bằng phương pháp chéo hoá trực giao. Tính định thức của ma trận B=2023.A2023.
————————HẾT————————–
1
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
[CĐR G2.3]: Thực hiện được các phép toán ma trận, tính
được định thức, các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận,
tìm được ma trận nghịch đảo, giải được hệ phương trình
tuyến tính (giải bằng tay hay bằng cách sử dụng máy tính
có cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp như matlab, maple,
...) và biết ứng dụng vào các mô hình tuyến tính.
Câu II, Câu III
[CĐR G2.4]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về không
gian véctơ, không gian Euclide như: chứng minh không gian
con; xác định một vectơ có là tổ hợp tuyến tính của một hệ
vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của
một hệ vectơ; tìm cơ sở, số chiều của một không gian vectơ;
tìm tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở, tìm ma trận đổi
cơ sở; phương pháp GramSchmidt để xây dựng hệ vectơ trực
giao từ một hệ vectơ độc lập tuyến tính,. . .
Câu II, Câu III
[CĐR G2.5]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về ánh xạ
tuyến tính, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương: tìm nhân,
ảnh, ma trận, hạng của ánh xạ tuyến tính; tìm trị riêng, véctơ
riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa
dạng toàn phương về dạng chính tắc.
Câu II, Câu IV
[CĐR G2.6]: Xây dựng phép toán hai ngôi; xét xem tập hợp
với phép toán hai ngôi cho trước có là nhóm, vành, trường
hay không; mã hóa, phát hiện lỗi, sửa sai, ...
Câu I
TP HCM ngày .........tháng.......năm........
DUYỆT ĐỀ THI
2
ĐÁP ÁN ĐSTT-CTĐS (Đại trà)
Mã môn học: MATH143001
Ngày thi: 28/12/2023
Câu Ý Đáp án (tóm tắt) Điểm
I a Với mọi A, B ∈Sn(R),ta có det(A) = 1 = det(B).Vì A.B ∈Matn(R)
và det(AB) = det(A).det(B) = 1 nên AB ∈Sn(R).Vậy phép nhân hai
ma trận trên Matn(R)là một phép toán hai ngôi trên Sn(R)
0.5
Với mọi A, B, C ∈Sn(R),ta có (AB)C=A(BC).
Phần tử trung hoà: In∈Sn(R).0.5
Với mọi X∈Sn(R),ta có detX= 1,tồn tại X−1∈Matn(R).Hơn nữa,
det(X.X−1) = detIn= 1 = detX.detX−1,suy ra detX−1= 1.Do đó
X−1∈Sn(R).Vậy Sn(R)cùng với phép toán này tạo thành một nhóm.
0.5
b Số hoá "MA" và "TH" ta được 12
0và 19
7
K12
0(mod26) = 24
8→Y
I0.5
K19
7(mod26) = 7
2→H
C
Vậy tin nhắn sau khi mã hoá là "YIHC". 0.5
II a Im f ={f(u)∈R3/u = (a b c)T∈R3}
={(a+ 2b+c; 3a−b−3c; 5a+ 3b−c)T/a, b, c ∈R}
={a(1; 3; 5)T+b(2; −1; 3)T+c(1; −3; −1)T/a, b, c ∈R}
=Span{v1;v2;v3}.0.5
dim Imf = 2 và {w1= (1; 3; 5)T;w2= (0; 1; 1)T}là một cơ sở của Im f.0.5
b Ta có dimR3= 3 = |F|.0.5
Hơn nữa, Flà tập ĐLTT trong R3(giải thích). Từ đó suy ra, Flà một
cơ sở của R3.
0.5
Giả sử u= (a;b;c)T∈R3sao cho [f(u)]F= [3; 5; 1]T
⇐⇒ f(u) = 3u1+ 5u2+u3⇐⇒ (a+ 2b+c; 3a−b−3c; 5a+ 3b−c)T=
(16; 20; −15)T.Hệ này vô nghiêm. Vậy không tồn tại véc tơ u∈R3thoả
mãn yêu cầu bài toán.
0.5
c Để ba mặt phẳng trên có một điểm chung duy nhất thì hệ phương trình
(a+ 1)x+ 3y+az = 3a
2x−ay + (3a+ 2)z= 7
ax + (a−3)y+ 7z= 5
phải có duy nhất nghiệm
0.5
⇐⇒ detU= (a+ 2)(a−3)26= 0 ⇐⇒ a6= 2 và a6= 3.0.5
III a NulA={X∈R3/AX = 0}={0R3}0.5
b Giải phương trình đặc trưng |A−λI3|= (3 −λ)(λ2−8λ+ 12) = 0 tìm
được 3 giá trị riêng λ1= 3, λ2= 2, λ3= 6.
0.5
Với λ= 3, Vλ=3 ={a.(0; 0; 1)T/a ∈R}.Chọn vector riêng cơ sở của
Vλ=3 là X1= (0; 0; 1)T
0.5
Với λ= 2, Vλ=2 ={b.(−1; 1; 0)T/b ∈R}.Chọn vector riêng cơ sở của
Vλ=2 là X2= (−1; 1; 0)T
0.5
Với λ= 6, Vλ=6 ={c.(1; 1; 0)T/c ∈R}.Chọn vector riêng cơ sở của Vλ=6
là X3= (1; 1; 0)T
0.5
Đặt Y1=X1
||X1|| = (0; 0; 1)T, Y2=X2
||X2|| = (−1
√2;1
√2; 0)T, Y3=X3
||X3|| =
(1
√2;1
√2; 0)Tvà P= (Y1Y2Y3)là một ma trận trực giao.
1
Khi đó P−1AP =D=
3 0 0
0 2 0
0 0 6
=PTAP. Tức là, Ađược chéo hoá
trực giao bởi P
0.5
c Theo câu (b) ta có P−1AP =D, suy ra D2023 =P−1A2023P=
32023 0 0
0 22023 0
0 0 62023
=PTA2023P. Chứng tỏ A2023 được chéo hoá trực
giao bởi ma trận trực giao P, có ma trận đường chéo là D2023.
Do đó, phép biến đổi trực giao X=P Y đưa Q(X)về dạng chính tắc
QCT (Y) = 32023y2
1+ 22023y2
2+ 62023y2
3.
0.5
Ta có det(B) = det(2023A2023 ) = 20233.det(A2023) = 20233.(detA)2023 =
20233.362023.
0.5
2