ĐẠI HỌC PHẠM KỸ THUT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Khoa Khoa học Ứng dụng
Bộ môn Toán
ĐỀ THI CUỐI KỲ I NĂM HỌC 2023-2024
Môn: Đại số tuyến tính Cấu trúc đại số
môn học: MATH143001
Thời gian: 90 phút. Ngày thi: 28/12/2023 (CLC)
Được phép sử dụng 01 tờ A4 chép tay
————————————————————————————————————————
Đề thi
Câu I. (4.0 điểm) Cho các ma trận A=
8 2 0
2 5 0
0 0 3
,X=
x1
x2
x3
, với xiR,16i63.
(a) Xác định NulA.
(b) Viết biểu thức của dạng toàn phương Q(X)=XTAX.Đưa dạng toàn phương Q(X)v
chính tắc bằng phương pháp chéo hoá trực giao.
(c) Sử dụng kết quả câu trên, y chéo hoá trực giao ma trận A2023.Ta đặt B=3.A2023,
tính định thức của ma trận B.
Câu II. (4.0 điểm) Cho tương ứng f:R3P2[x]được xác định bởi: với mọi u=ha b ciTR3,
f(u)=(a+2b+3c)+(2a+3bc)x+(3a+5b+2c)x2.
(a) Chứng minh rằng, f một ánh xạ tuyến tính.
(b) Tìm một sở và số chiều của Kerf.
(c) Trong không gian P2[x],cho tập W={v(x)P2[x]/v(1) =v(1) =0}.Chứng minh
rằng, W một không gian véc con của P2[x].
(d) Trong không gian R3được trang bị một hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc (Oxyz),cho
ba mặt phẳng phương trình như sau:
(α1) : x+3y+mz =2m+5,(α2) : mx y+5z=1m,(α3) : 3x+my +z=m2+1.
Tìm tham số mđể ba mặt phẳng trên một điểm chung duy nhất.
Câu III. (2.0 điểm)
(a) Ký hiệu Matn(R) tập tất cả các ma trận vuông cấp nvới hệ số thực. Đặt
U={UMatn(R)/det(U)=2023},S={UMatn(R)/det(U)=1}.
Hỏi phép nhân hai ma trận trên Matn(R) một phép toán hai ngôi trên Uhay
không? Chứng minh rằng, Scùng với phép nhân hai ma trận trên Matn(R)tạo thành
một nhóm.
(b) Trong vành Z26,cho ma trận K="2 3
5 9#.y dùng mật Hill với khoá Kđể
hoá đoạn tin nhắn sau đây: “DONE”. Biết rằng mỗi tự trong bảng chữ cái tiếng
anh được đặt tương ứng với mỗi phần tử trong Z26 như trong bảng sau:
A B C D E F G H I J K L M N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
————————HẾT————————–
1
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích thêm.
Chuẩn đầu ra của học phần (v kiến thức) Nội dung kiểm tra
[CĐR G2.3]: Thực hiện được các phép toán ma trận, tính
được định thức, các phép biến đổi cấp, tìm hạng ma trận,
tìm được ma trận nghịch đảo, giải được hệ phương trình
tuyến tính (giải bằng tay hay bằng cách sử dụng y tính
cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp như matlab, maple,
...) và biết ứng dụng vào các hình tuyến tính.
Câu I, Câu II
[CĐR G2.4]: Thực hiện được hầu hết các bài toán v không
gian véctơ, không gian Euclide như: chứng minh không gian
con; xác định một vectơ tổ hợp tuyến tính của một hệ
vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của
một hệ vectơ; tìm sở, số chiều của một không gian vectơ;
tìm tọa độ của một vectơ đối với một sở, tìm ma trận đổi
sở; phương pháp GramSchmidt để xây dựng hệ vectơ trực
giao từ một hệ vectơ độc lập tuyến tính,. . .
Câu I, Câu II
[CĐR G2.5]: Thực hiện được hầu hết các bài toán v ánh xạ
tuyến tính, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương: tìm nhân,
ảnh, ma trận, hạng của ánh xạ tuyến tính; tìm tr riêng, véctơ
riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa
dạng toàn phương v dạng chính tắc.
Câu I, Câu II
[CĐR G2.6]: y dựng phép toán hai ngôi; xét xem tập hợp
với phép toán hai ngôi cho trước nhóm, vành, trường
hay không; hóa, phát hiện lỗi, sửa sai, ...
Câu III
TP HCM ngày .........tháng.......năm........
DUYỆT ĐỀ THI
2
ĐÁP ÁN ĐSTT-CTĐS (CLC)
môn học: MATH143001
Ngày thi: 28/12/2023
Câu Ý Đáp án (tóm tắt) Điểm
I a NulA={XR3/AX = 0}={0R3}0.5
bQ(X) = XTAX = 8x2
1+ 5x2
2+ 3x2
3+ 4x1x2.
Giải phương trình |AλI3|= (3 λ)(λ28λ+ 12) = 0 tìm được 3 giá
trị riêng λ1= 4, λ2= 3, λ3= 9.
0.5
Với λ= 4, Vλ=4 ={a.(1; 2; 0)T/a R}.Chọn vector riêng sở của
Vλ=4 X1= (1; 2; 0)T.
0.5
Với λ= 3, Vλ=3 ={b.(0; 0; 1)T/b R}.Chọn vector riêng sở của Vλ=3
X2= (0; 0; 1)T
0.5
Với λ= 9, Vλ=9 ={c.(2; 1; 0)T/c R}.Chọn vector riêng sở của Vλ=9
X3= (2; 1; 0)T
0.5
Đặt Y1=X1
||X1|| = ( 1
5;2
5; 0)T, Y2=X2
||X2|| = (0; 0; 1)T, Y3=X3
||X3|| =
(2
5;1
5; 0)Tvà P= (Y1Y2Y3) một ma trận trực giao.
Khi đó P1AP =D=
4 0 0
0 3 0
0 0 9
=PTAP. Tức là, Ađược chéo hoá
trực giao bởi P. Phép đổi biến trực giao X=P Y đưa Q(X)v dạng
chính tắc QCT (Y) = 4y2
1+ 3y2
2+ 9y2
3
0.5
c Theo câu (b) ta P1AP =D=PTAP, suy ra D2023 =P1A2023P=
42023 0 0
0 32023 0
0 0 92023
=PTA2023P. Chứng tỏ A2023 được chéo hoá trực
giao bởi ma trận trực giao P, có ma trận đường chéo D2023.
0.5
Ta det(B) = det(3A2023) = 33.det(A2023) = 33.(detA)2023 = 33.1082023.0.5
II a Kiểm tra f(u+v) = f(u) + f(v)0.5
Kiểm tra f(αu) = αf(u),với mọi u, v R3, α R.0.5
b Ker f ={u= (a;b;c)TR3/f(u) = 0P2[x]}
={(a;b;c)TR3/a + 2b+ 3c= 0; 2a+ 3bc= 0; 3a+ 5b+ 2c= 0}
={(a;b;c)TR3/a+2b+3c= 0; b+7c= 0}={(11c;7c;c)T/c R}0.5
=Span{v= (11; 7; 1)T}. v6= 0R3nên {v} một sở của Kerfvà
dim Kerf = 1.
0.5
c Dễ thấy 0P2[x]WP2[x].
Với mọi αR, u, v W, ta v(1) = v(1) = 0, u(1) = u(1) = 0.
(αu)(1) = αu(1) = 0 = αu(1) = (αu)(1) nên αu W.
0.5
Hơn nữa, (u+v)(1) = u(1) + v(1) = 0 = u(1) + v(1) = (u+v)(1)
nên u+vW. Vậy W6P2[x].
0.5
d Để ba mặt phẳng trên một điểm chung duy nhất thì hệ phương trình
x+ 3y+mz = 2m+ 5
mx y+ 5z= 1 m
3x+my +z=m2+ 1
phải duy nhất nghiệm
0.5
detE= (m+ 4)(m24m+ 11) 6= 0 m6=4.0.5
III a Với mọi A, B U,ta det(A) = 2023 = det(B). det(AB) =
det(A).det(B) = 20232nên AB / U.Vậy phép nhân hai ma trận trên
Matn(R)không một phép toán hai ngôi trên U
0.5
1
Với mọi A, B S,ta det(A) = 1 = det(B). A.B Matn(R)và
det(AB) = det(A).det(B) = 1 nên AB S.Vậy phép nhân hai ma trận
trên Matn(R) một phép toán hai ngôi trên S.
Với mọi A, B, C S,ta (AB)C=A(BC).
Phần tử trung hoà: In S.0.5
Với mọi X S,ta detX= 1,tồn tại X1Matn(R).Hơn nữa,
det(X.X1) = detIn= 1 = detX.detX1,suy ra detX1= 1.Do đó
X1 S.Vy Scùng với phép nhân hai ma trận trên Matn(R)tạo
thành một nhóm.
0.5
b Số hoá "DO" và "NE" ta được 3
14và 13
4
K3
14(mod26) = 22
11và K13
4(mod26) = 12
23
Vậy tin nhắn sau khi hoá "WLMX". 0.5
2